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推广推广一元函数微分学一元函数微分学 二元函数微分学二元函数微分学 注意注意:善于类比善于类比,区别异同区别异同二元函数微积分二元函数微积分 推广一元函数微分学 二元函数微分学 注意:善于类比,区别1一、区域一、区域二、二元函数的概念二、二元函数的概念二元函数的基本概念二元函数的基本概念 一、区域二、二元函数的概念二元函数的基本概念 2区域区域平面上满足某个条件的一切点构平面上满足某个条件的一切点构成的集合。成的集合。平面点集：平面点集：平面区域：平面区域：由平面上一条或几条曲线所围成由平面上一条或几条曲线所围成的部分平面点集称为平面区域，的部分平面点集称为平面区域，通常记作通常记作D。01边界边界闭区域闭区域开区域开区域区域平面上满足某个条件的一切点构成的集合。平面点集：平面区域300型区域型区域常见区域由四条曲线围成由四条曲线围成00型区域型区域常见区域由四条曲线围成由四条曲线围成4邻域邻域:01邻域:015二元函数的概念二元函数的概念二元函数的概念6一元函数一元函数二元函数二元函数定义域定义域自变量个数自变量个数一个：一个：两个：两个：在数轴上讨论在数轴上讨论（区间）（区间）在平面上讨论在平面上讨论（区域）（区域）一元函数二元函数定义域自变量个数一个：两个：在数轴上讨论在平7一、一、偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算二二、高阶偏导数、高阶偏导数 偏导数一、偏导数概念及其计算二、高阶偏导数 偏导数8定义：定义：在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数注意注意:定义：在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限9同样可定义对同样可定义对同样可定义对同样可定义对 y y 的偏导数的偏导数的偏导数的偏导数若函数 z=f(x,y)在域 D 内每一点(x,y)处对 x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数偏导数,记为或 y 偏导数存在,同样可定义对 y 的偏导数若函数 z=f(x,y10例如例如,三元函数三元函数 u=f(x,y,z)在点在点(x,y,z)处对处对 x 的的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数偏导数的概念可以推广到二元以上的函数偏导数的概念可以推广到二元以上的函数偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .偏导数定义为(请自己写出)例如,三元函数 u=f(x,y,z)在点 11例例1.求求解：解：在点(1,2)处的偏导数.由偏导数的定义可以看出，要求二元函数对某个自变量的偏导数，只需将另一个自变量看做常量，然后利用一元函数求导公式和求导法则即可。例1.求解：在点(1,2)处的偏导数.由12例例2.2.设设设设证证:例例3.求的偏导数.解解:求证例2.设证:例3.求的偏导数.解:求证13偏导数记号是一个例例4.4.已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程求证:证证:说明说明:(R 为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,偏导数记号是一个例4.已知理想气体的状态方程求证:证:说14练练 习习练 习15二、高阶偏导数二、高阶偏导数设 z=f(x,y)在域 D 内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是则称它们是z=f(x,y)的的二阶偏导数二阶偏导数.按求导顺序不同按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导有下列四个二阶偏导数:二、高阶偏导数设 z=f(x,y)在域 D 内存在16类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z=f(x,y)关于 x 的三阶偏导数为z=f(x,y)关于 x 的 n 1 阶偏导数,再关于 y 的一阶偏导数为类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)17解：解：解：18例例6.6.证明函数证明函数证明函数证明函数满足拉普拉斯证：证：利用对称性,有方程例6.证明函数满足拉普拉斯证：利用对称性,有方程19内容小结1.偏导数的概念及有关结论 定义;记号2.偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先求后代（把其他变量视为常数）利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法内容小结1.偏导数的概念及有关结论 定义;记号2.偏导20练练 习习练 习21
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