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1/15 拉盖尔多项式拉盖尔多项式 I氢原子薛定谔方程氢原子薛定谔方程广义拉盖尔方程广义拉盖尔方程拉盖方程与拉盖尔多项式拉盖方程与拉盖尔多项式广义拉盖尔多项式广义拉盖尔多项式 拉盖尔多项式 I氢原子薛定谔方程2/15定态薛定谔方程定态薛定谔方程氢原子是最简单的原子氢原子是最简单的原子,它的核由一个它的核由一个质子组成质子组成,其电荷数其电荷数 Z=1.为使计算结果为使计算结果也适用于其它类氢原子也适用于其它类氢原子,假定原子核有假定原子核有 Z 个质子个质子,带有正电荷带有正电荷+Ze.取核在坐取核在坐标原点标原点,根据库仑定律根据库仑定律,势函数势函数薛定谔方程薛定谔方程 分离变量分离变量.设设定态薛定谔方程氢原子是最简单的原子,它的核由一个质子组成,3/15势能具球面对称性势能具球面对称性,考虑坐标变换考虑坐标变换势能具球面对称性,考虑坐标变换4/15薛定谔方程算符薛定谔方程算符其中其中球坐标系下定态薛定谔方程球坐标系下定态薛定谔方程分离变量法分离变量法,设设薛定谔方程算符其中球坐标系下定态薛定谔方程分离变量法,设5/15 角动量本征方程角动量本征方程 求解结果求解结果(见球谐函数见球谐函数)角动量本征方程 求解结果(见球谐函数)6/15径向方程径向方程角向方程角向方程(球谐函数球谐函数)(拉盖多项式拉盖多项式)令令 ,径向方程角向方程(球谐函数)(拉盖多项式)令 7/15令令 渐近行为分析渐近行为分析:当当时时,方程近似为方程近似为令 渐近行为分析:当时,方程近似为8/15令令令9/15称方程为称方程为 n 次次 (2l+1)阶广义拉盖尔方程阶广义拉盖尔方程径向薛定谔方程解径向薛定谔方程解为为 n 次次 (2l+1)阶广义拉盖尔多项式阶广义拉盖尔多项式记记称方程为 n 次(2l+1)阶广义拉盖尔方程径向薛定谔10/15拉盖尔方程拉盖尔方程设级数解设级数解微分方程微分方程 拉盖尔方程设级数解微分方程 11/1512/15拉盖尔方程拉盖尔方程多项式解多项式解取取多项式最高次项系数为多项式最高次项系数为拉盖尔方程多项式解取多项式最高次项系数为13/15拉盖尔拉盖尔多项式多项式拉盖尔拉盖尔方程方程拉盖尔多项式拉盖尔方程14/15注注:量子力学教材所用拉盖尔量子力学教材所用拉盖尔多项式略有不同多项式略有不同取取广义拉盖尔多项式广义拉盖尔多项式注:量子力学教材所用拉盖尔多项式略有不同取广义拉盖尔多项15/15拉盖尔方程与广义拉盖尔方程比较拉盖尔方程与广义拉盖尔方程比较拉盖尔多项式与广义拉盖尔多项式比较拉盖尔多项式与广义拉盖尔多项式比较16/15思考题与练习题思考题与练习题1.比较极坐标和球坐标下拉普拉斯表达式异同比较极坐标和球坐标下拉普拉斯表达式异同2.证明二阶常微分方程证明二阶常微分方程的解为的解为思考题与练习题1.比较极坐标和球坐标下拉普拉斯表达式异同2
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