中考数学压轴题专题第23讲二次函数推理计算与证明综合问题

专题23二次函数推理计算与证明综合问题 【例1】（2022北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线yax2+bx+c（a0）上，设抛物线的对称轴为直线xt（1）当c2，mn时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；（2）点（x0，m）（x01）在抛物线上若mnc，求t的取值范围及x0的取值范围【例2】（2022绍兴）已知函数yx2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3）（1）求b，c的值（2）当4x0时，求y的最大值（3）当mx0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值【例3】（2022青岛）已知二次函数yx2+mx+m23（m为常数，m0）的图象经过点P（2，4）（1）求m的值；（2）判断二次函数yx2+mx+m23的图象与x轴交点的个数，并说明理由【例4】（2022杭州）设二次函数y12x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴（2）若函数y1的表达式可以写成y12（xh）22（h是常数）的形式，求b+c的最小值（3）设一次函数y2xm（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y12（xm）（xm2）的形式，当函数yy1y2的图象经过点（x0，0）时，求x0m的值【例5】（2022安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点例如：点（1，1），（，），（，），都是和谐点（1）判断函数y2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数yax2+6x+c（a0）的图象上有且只有一个和谐点（，）求a，c的值；若1xm时，函数yax2+6x+c+（a0）的最小值为1，最大值为3，求实数m的取值范围一解答题（共20题）1（2022瑞安市校级三模）已知抛物线yax22ax2+a2（a0）（1）求这条抛物线的对称轴；若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值；（2）设点P（m，y1），Q（4，y2）在抛物线上，若y1y2，求m的取值范围2（2022西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）为抛物线yax22ax+a（a0）上的两点（1）求抛物线的对称轴；（2）当2x11且1x22时，试判断y1与y2的大小关系并说明理由；（3）若当tx1t+1且t+2x2t+3时，存在y1y2，求t的取值范围3（2022新野县三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线yax24ax+2（1）抛物线的对称轴为直线 ，抛物线与y轴的交点坐标为 ；（2）若当x满足1x5时，y的最小值为6，求此时y的最大值4（2022萧山区二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数yax2+（a1）x1（1）若该函数的图象经过点（1，2），求该二次函数图象的顶点坐标（2）若（x1，y1），（x1，y2）为此函数图象上两个不同点，当x1+x22时，恒有y1y2，试求此函数的最值（3）当a0且a1时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由5（2022盈江县模拟）抛物线C1：yx2+bx+c的对称轴为x1，且与y轴交点的纵坐标为3（1）求b，c的值；（2）抛物线C2：yx2+mx+n经过抛物线C1的顶点P求证：抛物线C2的顶点Q也在抛物线C1上；若m8，点E是在点P和点Q之间抛物线C1上的一点，过点E作x轴的垂线交抛物线C2于点F，求EF长度的最大值6（2022沂水县二模）抛物线yax2+bx经过点A（4，0），B（1，5）；点P（2，c），Q（x0，y0）是抛物线上的点（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若x06，比较c、y0的大小；（3）若直线ym与抛物线交于M、N两点，（M、N两点不重合），当MN5时，求m的取值范围7（2022姜堰区二模）设一次函数y12x+m+n和二次函数y2x（2x+m）+n（1）求证：y1，y2的图象必有交点；（2）若m0，y1，y2的图象交于点A（x1，a）、B（x2，b），其中x1x2，设C（x3，b）为y2图象上一点，且x3x2，求x3x1的值；（3）在（2）的条件下，如果存在点D（x1+2，c）在y2的图象上，且ac，求m的取值范围8（2022西城区校级模拟）已知抛物线yx24mx+4m21（1）求此抛物线的顶点的坐标；（2）若直线yn与该抛物线交于点A、B，且AB4，求n的值；（3）若这条抛物线经过点P（2m+1，y1），Q（2mt，y2），且y1y2，求t的取值范围9（2022黄岩区一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y1ax2+bx+3与直线y2x+1（1）当抛物线y1ax2+bx+3与直线y2x+1两个交点的横坐标分别为1和2时求抛物线解析式；直接写出当y1y2，时x的取值范围；（2）设yy1y2，当xm时yM，xn时yN，当m+n1（mn）时，MN求证：a+b110（2022路桥区一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数yx2（m+2）x+m（m是常数）（1）求证：不论m取何值，该二次函数的图象与x轴总有两个交点；（2）若点A（2m+1，7）在该二次函数的图象上，求该二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，若抛物线yx2（m+2）x+m与直线yx+t（t是常数）在第四象限内有两个交点，请直接写出t的取值范围11（2022安徽模拟）已知：抛物线yx22mx+m22与直线x2交于点P（1）若抛物线经过（1，2）时，求抛物线解析式；（2）设P点的纵坐标为yp，当yp取最小值时，抛物线上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1x22，比较y1与y2的大小；（3）若线段AB两端点坐标分别是A（0，2），B（2，2），当抛物线与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围12（2022富阳区一模）已知抛物线ya（x1）（x）（1）若抛物线过点（2，1），求抛物线的解析式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1）、N（x2，y2）都满足：当x1x20时，（x1x2）（y1y2）0；当0x1x2时，（x1x2）（y1y2）0，试判断点（2，9）在不在此抛物线上；（3）抛物线上有两点E（0，n）、F（b，m），当b2时，mn恒成立，试求a的取值范围13（2022河东区二模）已知抛物线ya（x+3）（x4）与y轴交于点A（0，2）（）求抛物线ya（x+3）（x4）的解析式及顶点坐标；（）设抛物线与x轴的正半轴的交点为点B，点P为x轴上一动点，点D满足DPA90，PDPA（i）若点D在抛物线上，求点D的坐标；（ii）点E（2，）在抛物线上，连接PE，当PE平分APD时，求出点P的坐标14（2022长春模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2+bx+c（b、c是常数）经过点（0，1）和（2，7），点A在这个抛物线上，设点A的横坐标为m（1）求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点C的坐标（2）点B在这个抛物线上（点B在点A的左侧），点B的横坐标为12m当ABC是以AB为底的等腰三角形时，求OABC的面积将此抛物线A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G，当顶点C在图象G上，记图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h与m之间的函数关系式（3）设点D的坐标为（m，2m），点E的坐标为（1m，2m），点F在坐标平面内，以A、D、E、F为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出m的取值范围15（2022长春二模）在平面直角坐标系中，抛物线yx22mx+m2与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；（2）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（x1，y1），N（x2，y2）为图形G上任意两点当m0时，若x1x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由；若对于x1m1，x2m+1，都有y1y2，求m的取值范围；（3）当图象G与直线ym+2恰好有3个公共点时，直接写出m的取值范围16（2022开福区校级一模）已知：抛物线C1：yax2+bx+c（a0）（1）若顶点坐标为（1，1），求b和c的值（用含a的代数式表示）；（2）当c0时，求函数y2022|ax2+bx+c|1的最大值；（3）若不论m为任何实数，直线与抛物线C1有且只有一个公共点，求a，b，c的值；此时，若kxk+1时，抛物线的最小值为k，求k的值17（2022安徽模拟）已知二次函数yax2x+c的图象经过点A（2，2），该图象与直线x2相交于点B（1）求点B的坐标；（2）当c0时，求该函数的图象顶点纵坐标的最小值；（3）点M（m，0）、N（n，0）是该函数图象与x轴的两个交点当m2，n3时，结合函数图象分析a的取值范围18（2022江都区一模）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足yM，那么称这个函数是有上界函数在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界例如，函数y（x3）2+2是有上界函数，其上确界是2（1）函数yx2+2x+1和y2x3（x5）中是有上界函数的为 （只填序号即可），其上确界为 ；（2）若反比例函数y（axb，a0）的上确界是b+1，且该函数的最小值为2，求a、b的值；（3）如果函数yx2+2ax+2（1x3）是以6为上确界的有上界函数，求实数a的值19（2022亭湖区校级一模）已知抛物线yax2（3a1）x2（a为常数且a0）与y轴交于点A（1）点A的坐标为 ；对称轴为 （用含a的代数式表示）；（2）无论a取何值，抛物线都过定点B（与点A不重合），则点B的坐标为 ；（3）若a0，且自变量x满足1x3时，图象最高点的纵坐标为2，求抛物线的表达式；（4）将点A与点B之间的函数图象记作图象M（包含点A、B），若将M在直线y2下方的部分保持不变，上方的部分沿直线y2进行翻折，可以得到新的函数图象M1，若图象M1上仅存在两个点到直线y6的距离为2，求a的值20（2022义安区模拟）已知抛物线的图象经过坐标原点O（1）求抛物线解析式（2）若B，C是抛物线上两动点，直线BC：ykx+b恒过点（0，1），设直线OB为yk1x，直线OC为yk2x若B、C两点关于y轴对称，求k1k2的值求证：无论k为何值，k1k2为定值【例1】（2022北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线yax2+bx+c（a0）上，设抛物线的对称轴为直线xt（1）当c2，mn时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；（2）点（x0，m）（x01）在抛物线上若mnc，求t的取值范围及x0的取值范围【分析】（1）将点（1，m），（3，n）代入抛物线解析式，再根据mn得出b4a，再求对称轴即可；（2）再根据mnc，可确定出对称轴的取值范围，进而可确定x0的取值范围【解答】解：（1）将点（1，m），（3，n）代入抛物线解析式，mn，a+b+c9a+3b+c，整理得，b4a，抛物线的对称轴为直线x2；t2，c2，抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）（2）mnc，a+b+c9a+3b+cc，解得4ab3a，3ab4a，即t2当t时，x02；当t2时，x03x0的取值范围2x03【例2】（2022绍兴）已知函数yx2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3）（1）求b，c的值（2）当4x0时，求y的最大值（3）当mx0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值【分析】（1）将图象经过的两个点的坐标代入二次函数解析式解答即可；（2）根据x的取值范围，二次函数图象的开口方向和对称轴，结合二次函数的性质判定y的最大值即可；（3）根据对称轴为x3，结合二次函数图象的性质，分类讨论得出m的取值范围即可【解答】解：（1）把（0，3），（6，3）代入yx2+bx+c，得b6，c3（2）yx26x3（x+3）2+6，又4x0，当x3时，y有最大值为6（3）当3m0时，当x0时，y有最小值为3，当xm时，y有最大值为m26m3，m26m3+（3）2，m2或m4（舍去）当m3时，当x3时y有最大值为6，y的最大值与最小值之和为2，y最小值为4，（m+3）2+64，m或m（舍去）综上所述，m2或【例3】（2022青岛）已知二次函数yx2+mx+m23（m为常数，m0）的图象经过点P（2，4）（1）求m的值；（2）判断二次函数yx2+mx+m23的图象与x轴交点的个数，并说明理由【分析】（1）将（2，4）代入解析式求解（2）由判别式的符号可判断抛物线与x轴交点个数【解答】解：（1）将（2，4）代入yx2+mx+m23得44+2m+m23，解得m11，m23，又m0，m1（2）m1，yx2+x2，b24ac12+890，二次函数图象与x轴有2个交点【例4】（2022杭州）设二次函数y12x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴（2）若函数y1的表达式可以写成y12（xh）22（h是常数）的形式，求b+c的最小值（3）设一次函数y2xm（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y12（xm）（xm2）的形式，当函数yy1y2的图象经过点（x0，0）时，求x0m的值【分析】（1）根据A、B两点的坐标特征，可设函数y1的表达式为y12（xx1）（xx2），其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标；（2）把函数y12（xh）22，化成一般式，求出对应的b、c的值，再根据b+c式子的特点求出其最小值；（3）把y1，y2代入yy1y2求出y关于x的函数表达式，再根据其图象过点（x0，0），把（x0，0）代入其表达式，形成关于x0的一元二次方程，解方程即可【解答】解：（1）二次函数y12x2+bx+c过点A（1，0）、B（2，0），y12（x1）（x2），即y12x26x+4抛物线的对称轴为直线x（2）把y12（xh）22化成一般式得，y12x24hx+2h22b4h，c2h22b+c2h24h22（h1）24把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，当h1时，b+c的最小值是4（3）由题意得，yy1y22（xm） （xm2）（xm） （xm）2（xm）5函数y的图象经过点 （x0，0），（x0m）2（x0m）50x0m0，或2（x0m）50 即x0m0或x0m【例5】（2022安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点例如：点（1，1），（，），（，），都是和谐点（1）判断函数y2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数yax2+6x+c（a0）的图象上有且只有一个和谐点（，）求a，c的值；若1xm时，函数yax2+6x+c+（a0）的最小值为1，最大值为3，求实数m的取值范围【分析】（1）设函数y2x+1的和谐点为（x，x），可得2x+1x，求解即可；（2）将点（，）代入yax2+6x+c，再由ax2+6x+cx有且只有一个根，254ac0，两个方程联立即可求a、c的值；由可知yx2+6x6（x3）2+3，当x1时，y1，当x3时，y3，当x5时，y1，则3m5时满足题意【解答】解：（1）存在和谐点，理由如下，设函数y2x+1的和谐点为（x，x），2x+1x，解得x1，和谐点为（1，1）；（2）点（，）是二次函数yax2+6x+c（a0）的和谐点，a+15+c，ca，二次函数yax2+6x+c（a0）的图象上有且只有一个和谐点，ax2+6x+cx有且只有一个根，254ac0，a1，c；由可知yx2+6x6（x3）2+3，抛物线的对称轴为直线x3，当x1时，y1，当x3时，y3，当x5时，y1，函数的最大值为3，最小值为1；当3m5时，函数的最大值为3，最小值为1一解答题（共20题）1（2022瑞安市校级三模）已知抛物线yax22ax2+a2（a0）（1）求这条抛物线的对称轴；若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值；（2）设点P（m，y1），Q（4，y2）在抛物线上，若y1y2，求m的取值范围【分析】（1）把解析式化成顶点式，根据顶点式求得对称轴和顶点坐标，根据顶点在x轴上得到关于a的方程，解方程求得a的值；（2）根据二次函数的性质，分两种情况即可求出m的范围【解答】解：（1）抛物线yax22ax2+a2a（x1）2+a2a2，抛物线的对称轴为直线x1若抛物线的顶点在x轴上，则a2a20，a2或1（2）抛物线的对称轴为直线x1，则Q（4，y2）关于直线x1对称点的坐标为（2，y2），当a0时，若y1y2，m的取值范围为：2m4；当a0时，若y1y2，m的取值范围为：m2或m42（2022西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）为抛物线yax22ax+a（a0）上的两点（1）求抛物线的对称轴；（2）当2x11且1x22时，试判断y1与y2的大小关系并说明理由；（3）若当tx1t+1且t+2x2t+3时，存在y1y2，求t的取值范围【分析】（1）先化抛物线的表达式为ya（x1）2+1，依此可求抛物线的对称轴；（2）利用二次函数性质即可求得答案；（3）利用二次函数性质存在A到对称轴的距离与B到对称轴的距离相等即可解答【解答】解：（1）yax22ax+aa（x1）2，抛物线的对称轴为x1；（2）2x11，1x22，1x11x2，A离对称轴越远，若a0，开口向上，则y1y2，若a0，开口向下，则y1y2，（3）tx1t+1，t+2x2t+3，存在y1y2，则t+11且t+21，t0且t1，存在1x1x21，即存在A到对称轴的距离与B到对称轴的距离相等，1tt+21且1（t+1）t+31，1t03（2022新野县三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线yax24ax+2（1）抛物线的对称轴为直线 x2，抛物线与y轴的交点坐标为 （0，2）；（2）若当x满足1x5时，y的最小值为6，求此时y的最大值【分析】（1）由对称轴方程，将对应系数代入可得，令抛物线解析式中的x0，求得y，答案可得；（2）利用当x满足1x5时，y的最小值为6，可求得a的值，再利用二次函数图象的特点可确定y的最大值【解答】解：（1）抛物线yax24ax+2的对称轴为直线x2令x0，则y2抛物线yax24ax+2与y轴的交点为（0，2）故答案为：x2；（0，2）（2）抛物线yax24ax+2的对称轴为直线x2，顶点在1x5范围内，当x满足1x5时，y的最小值为6，当a0时，抛物线开口向下，x5时y有最小值6，25a20a+26，解得a，抛物线为yx2+x+2当x2时，y22+2+2，此时y的最大值为当a0，抛物线开口向上，x2时y有最小值6，4a8a+26，解得a2，抛物线为y2x28x+2，当x5时，y22585+212，此时y的最大值12综上，y的最大值为124（2022萧山区二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数yax2+（a1）x1（1）若该函数的图象经过点（1，2），求该二次函数图象的顶点坐标（2）若（x1，y1），（x1，y2）为此函数图象上两个不同点，当x1+x22时，恒有y1y2，试求此函数的最值（3）当a0且a1时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由【分析】（1）直接将点（1，2）代入即可求得a的值，然后根据顶点公式求得即可；（2）利用题意，1求解a，然后把解析式化成顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论；（3）利用顶点公式求得x+，y，由a0且a1即可判断x0，y0，即可得到该二次函数图象的顶点在第二象限【解答】解：（1）函数图象过点（1，2），将点代入yax2+（a1）x1，解得a2，二次函数的解析式为y2x2+x1，x，y21，该二次函数的顶点坐标为（，）；（2）函数yax2+（a1）x1的对称轴是直线x，（x1，y1），（x2，y2）为此二次函数图象上的两个不同点，且x1+x22，则y1y2，1，a1，yx22x1（x+1）20，当x1时，函数有最大值0；（3）yax2+（a1）x1，由顶点公式得：x+，y，a0且a1，x0，y0，该二次函数图象的顶点在第二象限5（2022盈江县模拟）抛物线C1：yx2+bx+c的对称轴为x1，且与y轴交点的纵坐标为3（1）求b，c的值；（2）抛物线C2：yx2+mx+n经过抛物线C1的顶点P求证：抛物线C2的顶点Q也在抛物线C1上；若m8，点E是在点P和点Q之间抛物线C1上的一点，过点E作x轴的垂线交抛物线C2于点F，求EF长度的最大值【分析】（1）根据对称轴公式x，即可求出b的值，由抛物线与y轴交点的纵坐标为3即可求得c的值；（2）由（1）可得抛物线C1的解析式，从而可得抛物线C1的顶点P的坐标，由抛物线C2经过抛物线C1的顶点可得nm3，从而可得抛物线C2为：yx2+mxm3，根据对称轴公式x，即可求出顶点Q的坐标，再将点Q的横坐标代入抛物线C1的解析式中，即可证明；先分别求出点P和点Q的横坐标，由可得n11，设点E横坐标为x，由点E在抛物线C1上可表示出纵坐标，由题可知点F与点E横坐标相同，代入抛物线C2的解析式中可得点F纵坐标，即可求解【解答】（1）解：抛物线C1：yx2+bx+c对称轴为x1，且与y轴交点的纵坐标为3，x1，c3，b2；（2）证明：抛物线C1的解析式为：yx22x3，顶点P的坐标为：（1，4），抛物线C2经过抛物线C1的顶点，412+m+n，nm3，抛物线C2为：yx2+mxm3，对称轴为：直线x，将x代入yx2+mxm3，得：ym3，点Q坐标为：（，m3），将x代入yx22x3，得：ym3，点Q也在抛物线C1上；解：由知nm3，m8，n11，抛物线C2的解析式为：yx2+8x11，对称轴为：直线x4，设点E横坐标为x，点E是在点P和点Q之间抛物线C1上的一点，点E坐标为（x，x22x3），1x4，过点E作x轴的垂线交抛物线C2于点F，点F横坐标为x，点F坐标为（x，x2+8x11），EFx2+8x11（x22x3）x2+8x11x2+2x+32x2+10x82（x25x+4）2（x25x+）+2（x）2+，当x时，EF取得最大值，最大值为，EF长度的最大值为6（2022沂水县二模）抛物线yax2+bx经过点A（4，0），B（1，5）；点P（2，c），Q（x0，y0）是抛物线上的点（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若x06，比较c、y0的大小；（3）若直线ym与抛物线交于M、N两点，（M、N两点不重合），当MN5时，求m的取值范围【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线解析式，化成顶点式即可求得顶点坐标；（2）根据二次函数的性质判断即可；（3）设M、N的横坐标分别为x1、x2，则x1、x2是方程x2+4xm的两个根，根据根与系数的关系得到x1+x24，x1x2m，由MN5，则（x1x2）225，所以（x1+x2）24x1x225，即16+4m25，解得即可【解答】解：（1）抛物线yax2+bx经过点A（4，0），B（1，5），解得，抛物线为yx2+4x，yx2+4x（x+2）24，抛物线的顶点坐标为（2，4）；（2）抛物线为yx2+4x的对称轴为直线x2，且开口向上，当x2时，y随x的增大而减小，点P（2，c）关于对称轴的对称点为（6，c），x06，当6x02时，则cy0；当x02时，则cy0；（3）设M、N的横坐标分别为x1、x2，直线ym与抛物线交于M、N两点，（M、N两点不重合），x1、x2是方程x2+4xm的两个根，x1+x24，x1x2m，MN5，（x1x2）225，（x1+x2）24x1x225，即16+4m25，解得m，抛物线的顶点坐标为（2，4），函数的最小值为4，4m7（2022姜堰区二模）设一次函数y12x+m+n和二次函数y2x（2x+m）+n（1）求证：y1，y2的图象必有交点；（2）若m0，y1，y2的图象交于点A（x1，a）、B（x2，b），其中x1x2，设C（x3，b）为y2图象上一点，且x3x2，求x3x1的值；（3）在（2）的条件下，如果存在点D（x1+2，c）在y2的图象上，且ac，求m的取值范围【分析】（1）证明y1y2时，方程2x+m+nx（2x+m）+n有解，进而转化证明一元二次方程的根的判别式非负便可；（2）由y1y2，求出x1与x2，进而求得b，由b的值，求得x3的值，进而得x3x1的值；（3）把点A（x1，a）、点D（x1+2，c）代入y2x（2x+m）+n，根据ac得x1（2x1+m）+n2（x1+2）2m（x1+2）n0，化简得4x1+4+m0，由（2）得x1，代入求解即可【解答】（1）证明：当y1y2时，得2x+m+nx（2x+m）+n，化简为：2x2+（m2）xm0，（m2）2+8m（m+2）20，方程2x+m+nx（2x+m）+n有解，y1，y2的图象必有交点；（2）解：当y1y2时，2x+m+nx（2x+m）+n，化简为：2x2+（m2）xm0，（2x+m）（x1）0，m0，x1x2，x1，x21，b2+m+n，当y2+m+n时，y2x（2x+m）+n2+m+n，化简为：2x2+mxm20，2x22+mxm0，2（x+1）（x1）+m（x1）0，（2x+m+2）（x1）0，解得，x1（等于x2），或x，x3，x3x1（）1；（3）解：点D（x1+2，c）在y2的图象上，c（x1+2）2（x1+2）+m+n2（x1+2）2+m（x1+2）+n点A（x1，a）在y2的图象上，ax1（2x1+m）+nac，ac0，x1（2x1+m）+n2（x1+2）2m（x1+2）n0，化简得4x1+4+m0，由（2）得x1，4（）+4+m0，2m+4+m0，m+40，m4，m的取值范围为m48（2022西城区校级模拟）已知抛物线yx24mx+4m21（1）求此抛物线的顶点的坐标；（2）若直线yn与该抛物线交于点A、B，且AB4，求n的值；（3）若这条抛物线经过点P（2m+1，y1），Q（2mt，y2），且y1y2，求t的取值范围【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解（2）由二次函数的对称性及AB4可得点A，B坐标，进而求解（3）由点P坐标及抛物线对称轴可得点P关于对称轴的对称点P坐标，由抛物线开口向下可求解【解答】解：（1）yx24mx+4m21（x2m）21，抛物线顶点坐标为（2m，1）（2）点A，B关于抛物线对称轴对称，AB4，对称轴为直线x2m，抛物线经过（2m+2，n），（2m2，n），将（2m+2，n）代入y（x2m）21得n2213（3）点P（2m+1，y1）关于抛物线对称轴的对称点P坐标为（2m1，y1），抛物线开口向上，当2mt2m+1或2mt2m1时，且y1y2，解得t1或t19（2022黄岩区一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y1ax2+bx+3与直线y2x+1（1）当抛物线y1ax2+bx+3与直线y2x+1两个交点的横坐标分别为1和2时求抛物线解析式；直接写出当y1y2，时x的取值范围；（2）设yy1y2，当xm时yM，xn时yN，当m+n1（mn）时，MN求证：a+b1【分析】（1）由交点横坐标及直线解析式可得交点坐标，然后通过待定系数法求解由抛物线开口方向及交点横坐标求解（2）由yy1y2，MN可得m，n为方程ax2+（b1）x+20的两个根，由一元二次方程根与系数的关系进行证明【解答】解：（1）将x1和x2分别代入y2x+1得y20，y23，抛物线经过（1，0），（2，3），解得，y1x2+2x+3抛物线y1x2+2x+3开口向下，抛物线与直线交点坐标为（1，0），（2，3），1x2时，y1y2（2）yy1y2ax2+bx+3（x+1）ax2+（b1）x+2，xm时，Mam2+（b1）m+2，xn时，Nan2+（b1）n+2，m，n为方程ax2+（b1）x+20的两个根，由一元二次方程根与系数的关系可得m+n1，b1a，a+b110（2022路桥区一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数yx2（m+2）x+m（m是常数）（1）求证：不论m取何值，该二次函数的图象与x轴总有两个交点；（2）若点A（2m+1，7）在该二次函数的图象上，求该二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，若抛物线yx2（m+2）x+m与直线yx+t（t是常数）在第四象限内有两个交点，请直接写出t的取值范围【分析】（1）由b24ac0证明（2）将点A坐标代入解析式求解（3）分类讨论，通过数形结合求解【解答】解：（1）令x2（m+2）x+m0，则（m+2）24mm2+40，方程x2（m+2）x+m0有两个不相等实数根，二次函数的图象与x轴总有两个交点（2）将（2m+1，7）代入yx2（m+2）x+m得7（2m+1）2（m+2）（2m+1）+m，解得m2或m2，当m2时，yx24x+2，当m2时，yx22（3）当m2时，yx24x+2，令x24x+20，解得x12+，x22，抛物线与x轴交点坐标为（2+，0），（2，0），如图，当直线yx+t经过（2+，0）时，2+t0，解得t2，当直线yx+t与抛物线yx24x+2只有1个公共点时，令x24x+2x+t，整理得x25x+2t0，则524（2t）17+4t0，解得t，t2满足题意同理，当m2时，yx22，将x0代入yx22得y2，抛物线经过（0，2），将（0，2）代入yx+t得t2，令x22x+t，由14（2t）0可得t，t2满足题意综上所述，t2或t211（2022安徽模拟）已知：抛物线yx22mx+m22与直线x2交于点P（1）若抛物线经过（1，2）时，求抛物线解析式；（2）设P点的纵坐标为yp，当yp取最小值时，抛物线上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1x22，比较y1与y2的大小；（3）若线段AB两端点坐标分别是A（0，2），B（2，2），当抛物线与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围【分析】（1）将（1，2）代入解析式求解（2）将x2代入解析式求出点P纵坐标，通过配方可得yp取最小值时m的值，再将二次函数解析式化为顶点式求解（3）分别将点A，B坐标代入解析式求解【解答】解：（1）将（1，2）代入yx22mx+m22得21+2m+m22，解得m1，yx2+2x1（2）将x2代入yx22mx+m22得yPm2+4m+2（m+2）22，m2时，yp取最小值，yx2+4x+2（x+2）22，x2时，y随x增大而减小，x1x22，y1y2（3）yx22mx+m22（xm）22，抛物线顶点坐标为（m，2），抛物线随m值的变化而左右平移，将（0，2）代入yx22mx+m22得m222，解得m2或m2，将（2，2）代入yx22mx+m22得244m+m22，解得m0或m4，2m0时，抛物线对称轴在点A左侧，抛物线与线段AB有交点，2m4时，抛物线对称轴在点A右侧，抛物线与线段AB有交点2m0或2m412（2022富阳区一模）已知抛物线ya（x1）（x）（1）若抛物线过点（2，1），求抛物线的解析式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1）、N（x2，y2）都满足：当x1x20时，（x1x2）（y1y2）0；当0x1x2时，（x1x2）（y1y2）0，试判断点（2，9）在不在此抛物线上；（3）抛物线上有两点E（0，n）、F（b，m），当b2时，mn恒成立，试求a的取值范围【分析】（1）将（2，1）代入函数解析式求解（2）由当x1x20时，（x1x2）（y1y2）0；当0x1x2时，（x1x2）（y1y2）0，可得抛物线对称轴为y轴，从而可得a的值，然后将x2代入解析式判断（3）由b2时，mn恒成立，可得抛物线开口向下，求出点E关于对称轴对称的点坐标，列不等式求解【解答】解：（1）将（2，1）代入ya（x1）（x）得1a（2），解得a2，y2（x1）（x）（2）ya（x1）（x），抛物线与x轴交点坐标为（1，0），（，0），抛物线对称轴为直线x，x1x20时，（x1x2）（y1y2）0，0x1x2时，（x1x2）（y1y2）0，抛物线对称轴为值x0，即1+0，解得a3，y3（x1）（x+1），将x2代入y3（x1）（x+1）得y9，点（2，9）在抛物线上（3）抛物线对称轴为直线x，点E（0，n）关于对称轴对称的点E（1+，n），当b2时，mn恒成立，抛物线开口向下，即a0，且21+，解得a113（2022河东区二模）已知抛物线ya（x+3）（x4）与y轴交于点A（0，2）（）求抛物线ya（x+3）（x4）的解析式及顶点坐标；（）设抛物线与x轴的正半轴的交点为点B，点P为x轴上一动点，点D满足DPA90，PDPA（i）若点D在抛物线上，求点D的坐标；（ii）点E（2，）在抛物线上，连接PE，当PE平分APD时，求出点P的坐标【分析】（）将点A（0，2）代入ya（x+3）（x4），即可求解；（）（i）设P（t，0），分两种情况讨论：当D点在点P右侧时，过点D作DNx轴交于点N，通过证明PNDAOP（AAS），可得D（t+2，t），再将D点代入二次函数解析式求出t的值，从而求出D的坐标；当点D在点P的左侧时，同理可得D（t2，t），再将D点代入二次函数解析式求出t的值，即可求解；（ii）分两种情况讨论：当D点在x轴下方时，当PEy轴时，OAP45，P（2，0）；当D点在x轴上方时，过A点作AGPA交PE于点G，过G点作FGx轴，交于点F，可证明GAFAPO（AAS），从而得到GF2，则E点与G点重合，OPAFOAOF2，求出P（，0）【解答】解：（）将点A（0，2）代入ya（x+3）（x4），得12a2，a，y（x+3）（x4）x2x2，yx2x2（x）2，顶点为（，）；（）（i）令a（x+3）（x4）0，解得x4或x3，B（4，0），设P（t，0），如图1，当D点在点P右侧时，过点D作DNx轴交于点N，APD90，OPA+NPD90，OPA+OAP90，NPDOAP，PNDAOP（AAS），OPND，AOPN，D（t+2，t），（t+5）（t2）t，解得t1或t10，D（3，1）或（8，10）；当点D在点P的左侧时，同理可得D（t2，t），t（t2+3）（t24），解得t，D（，）或（，）；综上所述：D点坐标为（3，1）或（8，10）或（，）或（，）；（ii）如图2，当D点在x轴下方时，PE平分APD，APEEPD，APD90，APE45，当PEy轴时，OAP45，P（2，0）； 如图3，当D点在x轴上方时，过A点作AGPA交PE于点G，过G点作FGx轴，交于点F，PAF+FAG90，FAG+FGA90，PAFFGA，PE平分APD，APD90，APEEPD45AGP，APAG，GAFAPO（AAS），AFOP，FGOA，OA2，GF2，E（2，），E点与G点重合，OPAFOAOF2，P（，0）；综上所述：P点坐标为（2，0）或（，0）14（2022长春模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2+bx+c（b、c是常数）经过点（0，1）和（2，7），点A在这个抛物线上，设点A的横坐标为m（1）求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点C的坐标（2）点B在这个抛物线上（点B在点A的左侧），点B的横坐标为12m当ABC是以AB为底的等腰三角形时，求OABC的面积将此抛物线A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G，当顶点C在图象G上，记图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h与m之间的函数关系式（3）设点D的坐标为（m，2m），点E的坐标为（1m，2m），点F在坐标平面内，以A、D、E、F为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出m的取值范围【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式，再将抛物线的解析式化成顶点式，即可求解；（2）先根据等腰三角形的性质求出A、B、C三点坐标，再根据三角形面积公式求解即可；按第一种情况：当点A是最高点，可得m1或m，第二种情况：当点B是最高点，得m的取值范围，再计算纵坐标的差h即可解答；（3）分情况讨论：当m1时，当1m1时时，当1m2时，当2m3时，当m3，当3m4时，当m4时，当m4时，分别画出图形求解即可【解答】解：（1）把（0，1）和（2，7）代入yx2+bx+c，得：，解得：，抛物线对应的函数表达式为：yx2+2x1，yx2+2x1（x+1）22，顶点C的坐标为（1，2）；（2）当x12m时，y（12m+1）224m22，B（12m，4m22）当ABC是以AB为底的等腰三角形时，则ACBC，又点C在抛物线对称轴x1上，点A、点B关于直线x1对称，A（2m1，4m22），点A的横坐标为m，2m1m，解得：m1，A（1，2），B（3，2），由（1）得，C（1，2），SABC1（3）2（2）8；A（m，（m+1）22），B（12m，4m22）当点A是最高点，即m1或m时，则h（m+1）22（2）（m+1）2；当点B是最高点，即0m1时，则h4m22（2）4m2，综上，h与m之间的函数关系式为：h（m+1）2（m1或m）或 h4m2（0m1）；（3）当m1时，则2m3，1m2，如图：此时矩形ADEF与抛物线有3个交点；当1m1时，则12m3，01m2，如图：此时矩形ADEF与抛物线有2个交点；当1m2时，则02m1，11m0，如图：此时矩形ADEF与抛物线有2个交点；当2m3时，则12m0，21m1，如图：此时矩形ADEF与抛物线有2个交点；当m3时，点E在抛物线上，此时矩形ADEF与抛物线有3个交点；当3m4时，则22m1，31m2，如图：此时矩形ADEF与抛物线有4个交点；当m4时，则2m2，1m3，如图：此时矩形ADEF与抛物线有3个交点（ED经过抛物线的顶点）；当m4时，则2m2，1m3，如图：此时矩形ADEF与抛物线有2个交点综上，当m1或m4时，抛物线与矩形有3个交点15（2022长春二模）在平面直角坐标系中，抛物线yx22mx+m2与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；（2）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（x1，y1），N（x2，y2）为图形G上任意两点当m0时，若x1x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由；若对于x1m1，x2m+1，都有y1y2，求m的取值范围；（3）当图象G与直线ym+2恰好有3个公共点时，直接写出m的取值范围【分析】（1）直接利用对称轴公式x即可求出；（2）y1y2利用图象法，根据函数的增减性判断即可；通过计算可知，点P（m1，1）、Q（m+1、1）为抛物线上关于对用轴xm对称的两点，分类讨论当m变化时，y轴与点P、Q的相对位置：当y轴在点P左侧时（含点P），作出图形，即可得出经翻折后，得到点M，N的纵坐标相同，此时y1y2，不符题意；当y轴在点Q右侧时（含点Q），作出图形，即可得出点M、N分别和点P、Q重合，此时y1y2，不符题意；当y轴在点P、Q之间时（不含P、Q），作出图形，即可得出经翻折后，点N在l下方，点M、P重合，在l上方，此时y1y2，符合题意，即有m10m+1即1mm；（3）当m0时，图象G与直线ym+2恰好有3个公共点时，可列不等式组，当m0时，图象G与直线ym+2恰好有3个公共点时，可列不等式组，分别解出即可得到结果【解答】解：（1）抛物线yx22mx+m2的对称轴为直线xm；（2）当m0时，二次函数解析式是