中考数学压轴题专题第19讲二次函数与平移变换综合问题

专题19二次函数与平移变换综合问题【例1】（2022湖北）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yx22x3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CBx轴，交该抛物线于另一点B（1）求点B的坐标及直线AC的解析式；（2）当二次函数yx22x3的自变量x满足mxm+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且pq2，求m的值；（3）平移抛物线yx22x3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围【例2】（2022常州）已知二次函数yax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：x10123y430512（1）求二次函数yax2+bx+3的表达式；（2）将二次函数yax2+bx+3的图象向右平移k（k0）个单位，得到二次函数ymx2+nx+q的图象，使得当1x3时，y随x增大而增大；当4x5时，y随x增大而减小请写出一个符合条件的二次函数ymx2+nx+q的表达式y ，实数k的取值范围是 ；（3）A、B、C是二次函数yax2+bx+3的图象上互不重合的三点已知点A、B的横坐标分别是m、m+1，点C与点A关于该函数图象的对称轴对称，求ACB的度数【例3】（2022连云港）已知二次函数yx2+（m2）x+m4，其中m2（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；（2）求证：二次函数yx2+（m2）x+m4的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线yx2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求AOB面积的最大值【例4】（2022聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x1，顶点为点D（1）求二次函数的表达式；（2）连接DA，DC，CB，CA，如图所示，求证：DACBCO；（3）如图，延长DC交x轴于点M，平移二次函数yx2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD12CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标【例5】（2022镇江）一次函数yx+1的图象与x轴交于点A，二次函数yax2+bx+c（a0）的图象经过点A、原点O和一次函数yx+1图象上的点B（m，）（1）求这个二次函数的表达式；（2）如图1，一次函数yx+n（n，n1）与二次函数yax2+bx+c（a0）的图象交于点C（x1，y1）、D（x2，y2）（x1x2），过点C作直线l1x轴于点E，过点D作直线l2x轴，过点B作BFl2于点Fx1 ，x2 （分别用含n的代数式表示）；证明：AEBF；（3）如图2，二次函数ya（xt）2+2的图象是由二次函数yax2+bx+c（a0）的图象平移后得到的，且与一次函数yx+1的图象交于点P、Q（点P在点Q的左侧），过点P作直线l3x轴，过点Q作直线l4x轴，设平移后点A、B的对应点分别为A、B，过点A作AMl3于点M，过点B作BNl4于点NAM与BN相等吗？请说明你的理由；若AM+3BN2，求t的值一解答题（共20题）1（2022秋临海市月考）如图，以A（3，0），为顶点的抛物线交y轴于点B（0，4）（1）求此抛物线的函数解析式（2）点C（7，4）是否也在这个抛物线上？（3）你能否通过左右平移该抛物线，使平移后的抛物线经过点C（7，4）？若能，请写出平移的方法2（2022秋江夏区月考）已知抛物线yx2+bx+c经过点A（1，2）（1）抛物线顶点位于y轴右侧且纵坐标为6求抛物线的解析式如图1，直线yx+4与抛物线交于B、C两点，P为线段BC上一点，过P作PMy轴交抛物线于M点若PM3，求P点的坐标（2）将抛物线平移，使点A的对应点为A（m+1，b+4），其中m2若平移后的抛物线经过点N（2，1），平移后的抛物线顶点恰好落在直线yx+5上，求b的值3（2022湖里区二模）抛物线yax2+bx+1与x轴仅有一个交点A（m，0），与y轴交于点B，过点B的直线BCAB交x轴于点M，BCkAB（1）用含b的式子表示m；（2）若四边形AMBE是平行四边形，且点E在抛物线上，求抛物线的解析式；（3）已知点C在抛物线上，且m0，k4，将抛物线yax2+bx+1平移，若点M在平移后的抛物线上，判断平移后的抛物线是否经过点C？若经过，请说明抛物线平移的方式；若不经过，请说明理由4（2022上海）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2+bx+c过点A（2，1），B（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）平移抛物线，平移后的顶点为P（m，n）（m0）如果SOBP3，设直线xk，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，求k的取值范围；点P在原抛物线上，新抛物线交y轴于点Q，且BPQ120，求点P的坐标5（2022青浦区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点P为抛物线上一点，且在x轴下方，联结PA当PABACO时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向平移，平移后点P的对应点为点Q，当AQ平分PAC时，求抛物线平移的距离6（2022凉山州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yx2+bx+c经过点A（1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90，点C落在抛物线上的点P处（1）求抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由7（2022雁塔区校级模拟）已知抛物线L1：yax2+bx+c（a0）与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线L的表达式；（2）若点P是直线yx+1上的一个动点，将抛物线L进行平移得到抛物线L，点B的对应点为点Q，是否存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出抛物线的平移方式；若不存在，请说明理由8（2022渭滨区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y+bx2+c经过点A（1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90，点C落在抛物线上的点P处（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标9（2021秋普兰店区期末）抛物线yax2+4（a0）与x轴交于A，B两点（A点在B点的左侧），AB4，点P（2，1）位于第一象限（1）求抛物线的解析式；（2）若点M在抛物线上，且使MAP45，求点M的坐标；（3）将（1）中的抛物线平移，使它的顶点在直线yx+4上移动，当平移后的抛物线与线段AP只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围10（2022碑林区校级四模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）（1）若抛物线的对称轴为直线x3，AB4求抛物线的表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x轴正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标11（2022静安区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标是（2，4），点B在x轴上，OBAB（如图所示），二次函数的图象经过点O、A、B三点，顶点为D（1）求点B与点D的坐标；（2）求二次函数图象的对称轴与线段AB的交点E的坐标；（3）二次函数的图象经过平移后，点A落在原二次函数图象的对称轴上，点D落在线段AB上，求图象平移后得到的二次函数解析式12（2022富阳区二模）设二次函数y（xa）（xa+2），其中a为实数（1）若二次函数的图象经过点P（2，1），求二次函数的表达式；（2）把二次函数的图象向上平移k个单位，使图象与x轴无交点，求k的取值范围；（3）若二次函数的图象经过点A（m，t），点B（n，t），设|mn|d（d2），求t的最小值13（2022宁波模拟）已知二次函数yx2+xm的部分图象如图所示（1）求该二次函数图象的对称轴，并利用图象直接写出一元二次方程x2+xm0的解（2）向上平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式14（2022宁波模拟）已知二次函数yx22mx+m21（m为常数）的图象与x轴交于A，B两点，顶点为C（1）若把二次函数图象向下平移3个单位恰好过原点，求m的值（2）若P（m3，y1），Q（m+2，y2）在已知的二次函数图象上，比较y1，y2的大小；求ABC的面积15（2022吴兴区一模）如图已知二次函数yx2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作ABx轴，交y轴于点D，交二次函数yx2+bx+c的图象于点B，连接BC（1）求该二次函数的表达式及点M的坐标：（2）若将该二次函数图象向上平移m（m0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC的内部（不包括ABC的边界），求m的取值范围；（3）若E为y轴上且位于点C下方的一点，P为直线AC上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q，使以C、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的横坐标：若不存在，请说明理由16（2022南宁模拟）已知关于x的二次函数yax2+2ax+c（a0），且c3a（1）若a1，求该二次函数的解析式和顶点坐标；（2）在（1）的条件下，求出下表中k、n的值，并在以下平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；根据图象回答：当0x2时，直接写出y的最小值（3）当3x0时，y有最小值4，若将该二次函数的图象向右平移m（m1）个单位长度，平移后得到的图象所对应的函数y在3x0的范围内有最小值3，求函数yax+m的解析式x101y4kn17（2022房山区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，1）在二次函数yx2（2m+1）x+m的图象上（1）直接写出这个二次函数的解析式；（2）当nx1时，函数值y的取值范围是1y4n，求n的值；（3）将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O设平移后的图象对应的函数表达式为ya（xh）2+k，当x2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围18（2022洞头区模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，3），交x轴于点B（3，0）（1）求抛物线的解析式，并根据该图象直接写出y3时x的取值范围（2）将线段OB向左平移m个单位，向上平移n个单位至OB（m，n均为正数），若点O，B均落在此二次函数图象上，求m，n的值19（2022桥西区校级模拟）如图，抛物线，点Q为顶点（1）无论a为何值，抛物线L总过一个定点为 ；（2）若抛物线的对称轴为直线x1求该抛物线L的表达式和点Q的坐标；将抛物线L向下平移k（k0）个单位长度，使点Q落在点A处，平移后的抛物线与y轴交于点B若QAQB，求k的值；（3）当a2时，点M（m，n）为抛物线上一点，点M到y轴的距离不超过2，直接写出n的取值范围20（2022宜宾）如图，抛物线yax2+bx+c与x轴交于A（3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），其顶点为点D，连结AC（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；（2）在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；（3）在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PF+PM的最小值【例1】（2022湖北）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yx22x3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CBx轴，交该抛物线于另一点B（1）求点B的坐标及直线AC的解析式；（2）当二次函数yx22x3的自变量x满足mxm+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且pq2，求m的值；（3）平移抛物线yx22x3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围【分析】（1）求出A、B、C三点坐标，再用待定系数法求直线AC的解析式即可；（2）分四种情况讨论：当m1时，pq（m+2）22（m+2）3m2+2m+32，解得m（舍）；当m+21，即m1，pqm22m3（m+2）2+2（m+2）+32，解得m（舍）；当m1m+1，即0m1，pq（m+2）22（m+2）3+42，解得m1或m1（舍）；当m+11m+2，即1m0，pqm22m3+42，解得m+1（舍）或m+1；（3）分两种情况讨论：当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，平移后的抛物线解析式为y（x1+h）24+h，求出直线BA的解析式为yx5，联立方程组，由0时，解得h，此时抛物线的顶点为（，），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位，平移后的抛物线解析式为y（x1k）24k，当抛物线经过点B时，此时抛物线的顶点坐标为（4，7），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；当抛物线的顶点为（1，4）时，平移后的抛物线与射线BA有两个公共点，由此可求解【解答】解：（1）yx22x3（x1）24，顶点A（1，4），令x0，则y3，C（0，3），CBx轴，B（2，3），设直线AC解析式为ykx+b，解得，yx3；（2）抛物线yx22x3的对称轴为直线x1，当m1时，xm时，qm22m3，xm+2时，p（m+2）22（m+2）3，pq（m+2）22（m+2）3m2+2m+32，解得m（舍）；当m+21，即m1，xm时，pm22m3，xm+2时，q（m+2）22（m+2）3，pqm22m3（m+2）2+2（m+2）+32，解得m（舍）；当m1m+1，即0m1，x1时，q4，xm+2时，p（m+2）22（m+2）3，pq（m+2）22（m+2）3+42，解得m1或m1（舍）；当m+11m+2，即1m0，x1时，q4，xm时，pm22m3，pqm22m3+42，解得m1+（舍）或m1，综上所述：m的值1或1；（3）设直线AC的解析式为ykx+b，解得，yx3，如图1，当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，平移后的抛物线解析式为y（x1+h）24+h，设直线BA的解析式为ykx+b，解得，yx5，联立方程组，整理得x2（32h）x+h2h+20，当0时，（32h）24（h2h+2）0，解得h，此时抛物线的顶点为（，），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；如图2，当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位，平移后的抛物线解析式为y（x1k）24k，当抛物线经过点B时，（21k）24k3，解得k0（舍）或k3，此时抛物线的顶点坐标为（4，7），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点，当抛物线的顶点为（1，4）时，平移后的抛物线与射线BA有两个公共点，综上所述：1n4或n【例2】（2022常州）已知二次函数yax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：x10123y430512（1）求二次函数yax2+bx+3的表达式；（2）将二次函数yax2+bx+3的图象向右平移k（k0）个单位，得到二次函数ymx2+nx+q的图象，使得当1x3时，y随x增大而增大；当4x5时，y随x增大而减小请写出一个符合条件的二次函数ymx2+nx+q的表达式yyx2+6x5（答案不唯一），实数k的取值范围是 4k5；（3）A、B、C是二次函数yax2+bx+3的图象上互不重合的三点已知点A、B的横坐标分别是m、m+1，点C与点A关于该函数图象的对称轴对称，求ACB的度数【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的表达式为yx22x+3；（2）将二次函数yx22x+3的图象向右平移k（k0）个单位得y（xk+1）2+4的图象，新图象的对称轴为直线xk1，根据当1x3时，y随x增大而增大；当4x5时，y随x增大而减小，且抛物线开口向下，知3k14，得4k5，即可得到答案；（3）求出A（m，m22m+3），B（m+1，m2m），C（2m，m22m+3），过B作BHAC于H，可得BH|m24m（m22m+3）|2m3|，CH|（2m）（m+1）|2m3|，故BHC是等腰直角三角形，ACB45，当B在C右侧时，同理可得ACB135【解答】解：（1）将（1，4），（1，0）代入yax2+bx+3得：，解得，二次函数的表达式为yx22x+3；（2）如图：yx22x+3（x+1）2+4，将二次函数yx22x+3的图象向右平移k（k0）个单位得y（xk+1）2+4的图象，新图象的对称轴为直线xk1，当1x3时，y随x增大而增大；当4x5时，y随x增大而减小，且抛物线开口向下，3k14，解得4k5，符合条件的二次函数ymx2+nx+q的表达式可以是y（x3）2+4x2+6x5，故答案为：yx2+6x5（答案不唯一），4k5；（3）当B在C左侧时，过B作BHAC于H，如图：点A、B的横坐标分别是m、m+1，yAm22m+3，yB（m+1）22（m+1）+3m24m，A（m，m22m+3），B（m+1，m24m），点C与点A关于该函数图象的对称轴对称，而抛物线对称轴为直线x1，1，ACx轴，xC2m，C（2m，m22m+3），过B作BHAC于H，BH|m24m（m22m+3）|2m3|，CH|（2m）（m+1）|2m3|，BHCH，BHC是等腰直角三角形，HCB45，即ACB45，当B在C右侧时，如图：同理可得BHC是等腰直角三角形，ACB180BCH135，综上所述，ACB的度数是45或135【例3】（2022连云港）已知二次函数yx2+（m2）x+m4，其中m2（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；（2）求证：二次函数yx2+（m2）x+m4的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线yx2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求AOB面积的最大值【分析】（1）把O（0，0）代入yx2+（m2）x+m4可得yx2+2x（x+1）21，即得函数图像的顶点A的坐标为（1，1）；（2）由抛物线顶点坐标公式得yx2+（m2）x+m4的顶点为（，），根据m2，（m4）2110，可知二次函数yx2+（m2）x+m4的顶点在第三象限；（3）设平移后图像对应的二次函数表达式为yx2+bx+c，其顶点为（，），将（，）代入yx2得c，可得OBc，过点A作AHOB于H，有SAOBOBAH（）1（b+1）2+，由二次函数性质得AOB面积的最大值是【解答】（1）解：把O（0，0）代入yx2+（m2）x+m4得：m40，解得m4，yx2+2x（x+1）21，函数图像的顶点A的坐标为（1，1）；（2）证明：由抛物线顶点坐标公式得yx2+（m2）x+m4的顶点为（，），m2，2m0，0，（m4）2110，二次函数yx2+（m2）x+m4的顶点在第三象限；（3）解：设平移后图像对应的二次函数表达式为yx2+bx+c，其顶点为（，），当x0时，B（0，c），将（，）代入yx2得：2，c，B（0，c）在y轴的负半轴，c0，OBc，过点A作AHOB于H，如图：A（1，1），AH1，在AOB中，SAOBOBAH（）1b2b+1（b+1）2+，0，当b1时，此时c0，SAOB取最大值，最大值为，答：AOB面积的最大值是【例4】（2022聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x1，顶点为点D（1）求二次函数的表达式；（2）连接DA，DC，CB，CA，如图所示，求证：DACBCO；（3）如图，延长DC交x轴于点M，平移二次函数yx2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD12CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标【分析】（1）根据抛物线对称轴和点C坐标分别确定b和c的值，进而求得结果；（2）根据点A，D，C坐标可得出AD，AC，CD的长，从而推出三角形ADC为直角三角形，进而得出DAC和BCO的正切值相等，从而得出结论；（3）先得出y1的顶点，进而得出先抛物线的表达式，N的坐标，根据三角形相似或一次函数可求得点M坐标，以MN为边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是MNQP和MNPQ根据M，N和点P的横坐标可以得出Q点的横坐标，进而求得结果【解答】（1）解：由题意得，二次函数的表达式为：yx22x+3；（2）证明：当x1时，y12（1）+34，D（1，4），由x22x+30得，x13，x21，A（3，0），B（1，0），AD220，C（0，3），CD22，AC218，AC2+CD2AD2，ACD90，tanDAC，BOC90，tanBCO，DACBCO；（3）解：如图，作DEy轴于E，作D1Fy轴于F，DEFD1，DECD1FC，FD12DE2，CF2CE2，D1（2，1），y1的关系式为：y（x2）2+1，当x0时，y3，N（0，3），同理可得：，OM3，M（3，0），设P（2，m），当MNQP时，MNPQ，PQMN，Q点的横坐标为1，当x1时，y（12）2+18，Q（1，8），当MNPQ时，同理可得：点Q横坐标为：5，当x5时，y（52）2+18，Q（5，8），综上所述：点Q（1，8）或（5，8）【例5】（2022镇江）一次函数yx+1的图象与x轴交于点A，二次函数yax2+bx+c（a0）的图象经过点A、原点O和一次函数yx+1图象上的点B（m，）（1）求这个二次函数的表达式；（2）如图1，一次函数yx+n（n，n1）与二次函数yax2+bx+c（a0）的图象交于点C（x1，y1）、D（x2，y2）（x1x2），过点C作直线l1x轴于点E，过点D作直线l2x轴，过点B作BFl2于点Fx1，x2（分别用含n的代数式表示）；证明：AEBF；（3）如图2，二次函数ya（xt）2+2的图象是由二次函数yax2+bx+c（a0）的图象平移后得到的，且与一次函数yx+1的图象交于点P、Q（点P在点Q的左侧），过点P作直线l3x轴，过点Q作直线l4x轴，设平移后点A、B的对应点分别为A、B，过点A作AMl3于点M，过点B作BNl4于点NAM与BN相等吗？请说明你的理由；若AM+3BN2，求t的值【分析】（1）先求出点A、B的坐标，利用交点式设yax（x+2），把B（，）代入即可求得答案；（2）联立得x2+2xx+n，解方程即可求得答案；分两种情况：当n1时，CD位于AB的上方，可得：AE2，BF，故AEBF；当n1时，CD位于AB的下方，可得：AE（2），BF，故AEBF；（3）方法一：设P、Q平移前的对应点分别为P、Q，则PQPQ，可得PQAB，再由（2）及平移的性质可证得结论；由AM+3BN2，可得AMBN，根据二次函数yx2+2x的图象的顶点为（1，1），二次函数y（xt）2+2的图象的顶点为（t，2），可得新二次函数的图象是由原二次函数的图象向右平移（t+1）个单位，向上平移3个单位得到的，把Q（t+1，3）代入yx+1，即可求得答案；方法二：设点Q的坐标为（x3，y3），由y3x3+1，y3（x3t）2+2，得x3+1（x3t）2+2，可得：点P的横坐标为，点Q的横坐标为（t）再由二次函数yx2+2x图象的顶点为（1，1），二次函数y（xt）2+2的图象的顶点为（t，2），可得新二次函数的图象是由原二次函数的图象向右平移（t+1）个单位，向上平移3个单位得到的，求得：B（t+，），A（t1，3），即可证得结论【解答】解：（1）直线yx+1与x轴交于点A，令y0，得x+10，解得：x2，A（2，0），直线yx+1经过点B（m，），m+1，解得：m，B（，），抛物线yax2+bx+c（a0）经过A（2，0），O（0，0），B（，），设yax（x+2），则a（+2），解得：a1，yx（x+2）x2+2x，这个二次函数的表达式为yx2+2x；（2）由题意得：x2+2xx+n（n），解得：x1，x2，故答案为：，；当n1时，CD位于AB的上方，A（2，0），B（，），AE2，BF，AEBF，当n1时，CD位于AB的下方，A（2，0），B（，），AE（2），BF，AEBF，当n且n1时，AEBF；（3）方法一：设P、Q平移前的对应点分别为P、Q，则PQPQ，PQAB，平移后点A、B的对应点分别为A、B，由（2）及平移的性质可知：AMBN；AM+3BN2，AMBN，设点Q在原抛物线上的对应点为Q，二次函数yx2+2x的图象的顶点为（1，1），二次函数y（xt）2+2的图象的顶点为（t，2），新二次函数的图象是由原二次函数的图象向右平移（t+1）个单位，向上平移3个单位得到的，Q的横坐标为0或1，Q（0，0）或（1，3），当Q（0，0）时，Q（t+1，3），将点Q的坐标代入yx+1，得：3（t+1）+1，解得：t3；当Q（1，3）时，Q（t+2，6），将点Q的坐标代入yx+1，得：6（t+2）+1，解得：t8；综上所述，t3或8；另解：AM+3BN2，AMBN，B（，）的对应点为B（t+，），BN，点Q的横坐标为t+1，代入yx+1，得y（t+1）+1t+，Q（t+1，t+），将点Q的坐标代入y（xt）2+2中，得t+（t+1t）2+2，解得：t3方法二：设点Q的坐标为（x3，y3），由y3x3+1，y3（x3t）2+2，得x3+1（x3t）2+2，当t时，解得：x3，点Q的横坐标为；同理可得点P的横坐标为，点P在点Q的左侧，点P的横坐标为，点Q的横坐标为（t）二次函数yx2+2x图象的顶点为（1，1），二次函数y（xt）2+2的图象的顶点为（t，2），新二次函数的图象是由原二次函数的图象向右平移（t+1）个单位，向上平移3个单位得到的，B（，）的对应点为B（t+，），A（2，0）的对应点为A（t1，3）BNt+，AM（t1），AMBN一解答题（共20题）1（2022秋临海市月考）如图，以A（3，0），为顶点的抛物线交y轴于点B（0，4）（1）求此抛物线的函数解析式（2）点C（7，4）是否也在这个抛物线上？（3）你能否通过左右平移该抛物线，使平移后的抛物线经过点C（7，4）？若能，请写出平移的方法【分析】（1）设顶点式ya（x3）2，然后把B点坐标代入求出a，从而得到抛物线解析式；（2）根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断；（3）设平移后的抛物线解析式为y（xm）2，再把C（7，4）代入求出m的值为4或10，从而可判断抛物线向右平移1个单位或7个单位【解答】解：（1）设抛物线解析式为ya（x3）2，把B（0，4）代入得4a（03）2，解得a，抛物线解析式为y（x3）2；（2）当x7时，y（x3）2（73）24，点C（7，4）不在这个抛物线上；（3）能设平移后的抛物线解析式为y（xm）2，把C（7，4）代入得（7m）24，解得m14，m210，把抛物线y（x3）2向右平移1个单位或7个单位可经过点C（7，4）2（2022秋江夏区月考）已知抛物线yx2+bx+c经过点A（1，2）（1）抛物线顶点位于y轴右侧且纵坐标为6求抛物线的解析式如图1，直线yx+4与抛物线交于B、C两点，P为线段BC上一点，过P作PMy轴交抛物线于M点若PM3，求P点的坐标（2）将抛物线平移，使点A的对应点为A（m+1，b+4），其中m2若平移后的抛物线经过点N（2，1），平移后的抛物线顶点恰好落在直线yx+5上，求b的值【分析】（1）将点A（1，2）代入yx2+bx+c，得到b、c的关系为cb3，再由6，求出b、c的值即可求函数的解析式；设M（t，t2+2t+5），则P（t，t+4），可得PMt2+3t+13，求出t的值即可求M点坐标；（2）由题意可知抛物线向右平移m+2个单位，向上平移b+2个单位，则平移后的抛物线解析为y（xm2）2+2b+5+，所以抛物线的顶点为（+m+2，2b+5+），再由题意可得m+b2，（m）2+2b+5+1，由求出b的值即可【解答】解：（1）将点A（1，2）代入yx2+bx+c，cb3，抛物线的顶点纵坐标为6，6，c3或c5，b6或b2，顶点位于y轴右侧，b0，b2，yx2+2x+5；设M（t，t2+2t+5），则P（t，t+4），PMt2+3t+1，PM3，t2+3t+13，解得t1或t2，P（1，3）或（2，2）；（2）点A（1，2）平移后对应点为A（m+1，b+4），抛物线向右平移m+2个单位，向上平移b+2个单位，cb3，yx2+bx+c（x）2+b+3+，平移后的抛物线解析为y（xm2）2+2b+5+，抛物线的顶点为（+m+2，2b+5+），抛物线顶点恰好落在直线yx+5上，+m+2+52b+5+，m+b2，平移后的抛物线经过点N（2，1），（m）2+2b+5+1，由可得，b+2mb+4或b+2mb4，当b+2mb+4时，m2，此时不符合题意；当b+2mb4时，b0或b10，当b0时，m2；当b10时，m8；b的值为0或103（2022湖里区二模）抛物线yax2+bx+1与x轴仅有一个交点A（m，0），与y轴交于点B，过点B的直线BCAB交x轴于点M，BCkAB（1）用含b的式子表示m；（2）若四边形AMBE是平行四边形，且点E在抛物线上，求抛物线的解析式；（3）已知点C在抛物线上，且m0，k4，将抛物线yax2+bx+1平移，若点M在平移后的抛物线上，判断平移后的抛物线是否经过点C？若经过，请说明抛物线平移的方式；若不经过，请说明理由【分析】（1）利用b24ac决定抛物线与x轴的交点个数得到b24a0，可得a，则yx2+bx+1（x+）2，把A（m，0）代入即可求解；（2）求出E（，1），则BE|，证明AOBBOM，可求M（，0），再由AMBE，得到|m+|，求出b2，即可求解析式y（x1）2或y（x+1）2；（3）平移后抛物线的顶点由A变为M，则平移后的抛物线为y（x+）2，因为C在抛物线上，平移后的抛物线经过C，所以（x+）2（xm）2，此时m21，m无解【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+1与x轴仅有一个交点A（m，0），b24acb24a0，a，yx2+bx+1（x+）2，把A（m，0）代入得，（m+）20，m； （2）若四边形AMBE是平行四边形，A，M均在x轴上，则AMBE，AMBE，B在y轴上，当x0时，yax2+bx+11，B（0，1），E的纵坐标为1，把yE1代入抛物线y（x+）2，（x+）21，解得x0（舍）或，E（，1），BE|，BCAB，MBA90，MBO+ABO90，ABO+BAO90，BAOMBO，AOBBOM，OM，M（，0），AMBE，|m+|，m，b2，y（x1）2或y（x+1）2；（3）平移后的抛物线不经过点C，理由如下：平移后抛物线的顶点由A变为M，平移后的抛物线为y（x+）2，C在抛物线上，平移后的抛物线经过C，（x+）2（xm）2，m21，m无解，平移后的抛物线不经过C点4（2022上海）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2+bx+c过点A（2，1），B（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）平移抛物线，平移后的顶点为P（m，n）（m0）如果SOBP3，设直线xk，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，求k的取值范围；点P在原抛物线上，新抛物线交y轴于点Q，且BPQ120，求点P的坐标【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）i根据三角形面积求出平移后的抛物线的对称轴为直线x2，开口向上，由二次函数的性质可得出答案；iiP（m，3），证出BPPQ，由等腰三角形的性质求出BPC60，由直角三角形的性质可求出答案【解答】解：（1）将A（2，1），B（0，3）代入yx2+bx+c，得：，解得：，抛物线的解析式为yx23（2）iyx23，抛物线的顶点坐标为（0，3），即点B是原抛物线的顶点，平移后的抛物线顶点为P（m，n），抛物线平移了|m|个单位，SOPB3|m|3，m0，m2，即平移后的抛物线的对称轴为直线x2，在xk的右侧，两抛物线都上升，原抛物线的对称轴为y轴，开口向上，k2；ii把P（m，n）代入yx23，n3，P（m，3），由题意得，新抛物线的解析式为y+n3，Q（0，m23），B（0，3），BQm2，+，PQ2，BPPQ，如图，过点P作PCy轴于C，则PC|m|，PBPQ，PCBQ，BCBQm2，BPCBPQ12060，tanBPCtan60，m2或m2（舍），n33，P点的坐标为（2，3）5（2022青浦区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点P为抛物线上一点，且在x轴下方，联结PA当PABACO时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向平移，平移后点P的对应点为点Q，当AQ平分PAC时，求抛物线平移的距离【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）设P（t，t2+4t3），如图1，过点P作PDx轴于点D，连接AC、AP，可证得APDCAO，建立方程求解即可得出答案；（3）如图2，连接AQ、PQ，过点P作PEPA交AQ于点E，过点E作EFPQ于点F，可证得APDPEF（AAS），得出：PFAD，EFPD，即E（，），再利用待定系数法求得直线AE的解析式为y2x+2，再求得Q（，），即可求得抛物线平移的距离【解答】解：（1）抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），解得：，该抛物线的表达式为yx2+4x3，当x0时，y3，C（0，3）；（2）设P（t，t2+4t3），如图1，过点P作PDx轴于点D，连接AC、AP，则ADPAOC90，ADt1，PD（t2+4t3）t24t+3，又OA1，OC3，PABACO，APDCAO，即，3t213t+100，解得：t11（舍去），t2，当t时，t2+4t3（）2+43P（，）；（3）如图2，连接AQ、PQ，过点P作PEPA交AQ于点E，过点E作EFPQ于点F，由（2）知：P（，），PAC90，PD，AD1，ADP90，将抛物线沿平行于y轴的方向平移，平移后点P的对应点为点Q，D、P、Q在同一条直线上，APD+EPF90，PFE90ADP，PEF+EPF90，APDPEF，AQ平分PAC，PAEPAC9045，又PEPA，APE是等腰直角三角形，APPE，APDPEF（AAS），PFAD，EFPD，E（，），设直线AE的解析式为ykx+d，则，解得：，直线AE的解析式为y2x+2，当x时，y2x+22+2，Q（，），（），抛物线yx2+4x3向下平移了个单位6（2022凉山州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yx2+bx+c经过点A（1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90，点C落在抛物线上的点P处（1）求抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）利用配方法得到y（x1）2+4，则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直线x1，如图，设CDt，则D（1，4t），根据旋转性质得PDC90，DPDCt，则P（1+t，4t），然后把P（1+t，4t）代入yx2+2x+4得到关于t的方程，从而解方程求出t，即可得到点P的坐标；（3）P点坐标为（2，3），顶点C坐标为（1，4），利用抛物线的平移规律确定E点坐标为（1，1），找出点E关于y轴的对称点F（1，1），连接PF交y轴于M，则MP+MEMP+MFPF的值最小，然后利用待定系数法求出直线PF的解析式，即可得到点M的坐标【解答】解：（1）把A（1，0）和点B（0，3）代入yx2+bx+c，得，解得：，抛物线解析式为yx2+2x+3；（2）y（x1）2+4，C（1，4），抛物线的对称轴为直线x1，如图，设CDt，则D（1，4t），线段DC绕点D按顺时针方向旋转90，点C落在抛物线上的点P处，PDC90，DPDCt，P（1+t，4t），把P（1+t，4t）代入yx2+2x+3得：（1+t）2+2（1+t）+34t，整理得t2t0，解得：t10（舍去），t21，P（2，3）；（3）P点坐标为（2，3），顶点C坐标为（1，4），将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，E点坐标为（1，1），点E关于y轴的对称点F（1，1），连接PF交y轴于M，则MP+MEMP+MFPF的值最小，设直线PF的解析式为ykx+n，解得：，直线PF的解析式为yx+，点M的坐标为（0，）7（2022雁塔区校级模拟）已知抛物线L1：yax2+bx+c（a0）与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线L的表达式；（2）若点P是直线yx+1上的一个动点，将抛物线L进行平移得到抛物线L，点B的对应点为点Q，是否存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出抛物线的平移方式；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）根据已知条件画出符合题意的图形，利用等腰直角三角形的性质和菱形的性质解答即可【解答】解：（1）由题意得：，解得：抛物线L的表达式为yx2+2x+3；（2）存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是菱形理由：点A（1，0），点B（3，0），AB4如图，当四边形ABQP为菱形时，过点P作PCx轴于点C，令x0，则y1，D（0，1），OD1，令y0，则x+10，x1，A（1，0）OA1OAOD，DAO45PCx轴，PCAC四边形ABQP为菱形，PAAB4PCACPAsin4542，P（21，2），Q（3+2，2）抛物线的平移方式为：先将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位；同理，当点P在第三象限时，P（21，2），Q（32，2），此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位；如图，当四边形APBQ为菱形时，OAOD1，DAO45四边形APBQ为菱形，BAQDAO45，PAQ90，四边形APBQ为正方形，P（1，2），Q（1，2）此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位；如图，当四边形ABPQ为菱形时，OAOD1，DAO45四边形APBQ为菱形，PAQDAO45，BAQ90，四边形ABPQ为正方形，P（3，4），Q（1，4