资源描述
专题25以四边形为载体的几何综合问题 【例1】（2022贵州黔西中考真题）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），且EAF=45(1)当BE=DF时，求证：AE=AF；(2)猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；(3)如图2，连接AC，G是CB延长线上一点，GHAE，垂足为K，交AC于点H且GH=AE若DF=a，CH=b，请用含a，b的代数式表示EF的长【例2】（2022辽宁丹东中考真题）已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重合），连接AE，以AE为一边构造矩形AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接DG(1)如图1，当ADABAGAE1时，请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系；(2)如图2，当ADABAGAE2时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接MN，MD，ND，若AB5，AEB45，请直接写出MND的面积【例3】（2022湖南益阳中考真题）如图，矩形ABCD中，AB15，BC9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AFBE于F，CGBE于G，延长CG至点C，使CGCG，连接CF，AC(1)直接写出图中与AFB相似的一个三角形；(2)若四边形AFCC是平行四边形，求CE的长；(3)当CE的长为多少时，以C，F，B为顶点的三角形是以CF为腰的等腰三角形？【例4】（2022四川绵阳中考真题）如图，平行四边形ABCD中，DB23，AB4，AD2，动点E，F同时从A点出发，点E沿着ADB的路线匀速运动，点F沿着ABD的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动(1)如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为23秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；(2)如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为3个单位每秒，运动时间为x秒，AEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？(3)如图3，H在线段AB上且AH13HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、F在什么位置能使EMHM并说明理由【例5】（2022上海中考真题）平行四边形ABCD，若P为BC中点，AP交BD于点E，连接CE(1)若AE=CE，证明ABCD为菱形；若AB=5，AE=3，求BD的长(2)以A为圆心，AE为半径，B为圆心，BE为半径作圆，两圆另一交点记为点F，且CE=2AE若F在直线CE上，求ABBC的值一、解答题【共20题】1（2022山西实验中学模拟预测）综合与实践：问题情境：在综合与实践课上，数学老师出示了一道思考题：如图，在正方形ABCD中，P是射线BD上一动点，以AP为直角边在AP边的右侧作等腰直角三角形APE，使得APE=90，AP=PE，且点E恰好在射线CD上(1)如图1，当点P在对角线BD上，点E在CD边上时，那么BP与CE之间的数量关系是_；探索发现：(2)当点E在正方形ABCD外部时如图2与图3，（1）中的结论是否还成立？若成立，请利用图2进行证明；若不成立，请说明理由；问题解决：(3)如图4，在正方形ABCD中，AB=22，当P是对角线BD的延长线上一动点时，连接BE，若BE=62，求BPE的面积2（2022湖北武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连接CF，并延长CF交AD于点G求证：BCECDG；（2）在（1）的条件下，如图2，延长BF交AD边于点H若CEBC=23，求GHDH的值；（3）如图3，四边形ABCD为矩形，同样沿着BE折叠，连接CF，延长CF，BF分别交AD于G，H两点，若ABBC=34,DHGH=45，则DEEC的值为_（直接写出结果）3（2022浙江嘉兴一模）如图1，已知正方形ABCD和正方形CEFG，点B、C、E在同一直线上，BC=m(m1)，CE=1连接AF、BG(1)求图1中AF、BG的长（用含m的代数式表示）(2)如图2，正方形ABCD固定不动，将图1中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转度（0BC，D是AB的中点，F是BC延长线上一点，平移AB到FH，线段FH的中垂线与线段CA的延长线交于点E，连接EH、DE(1)连接CD，求证：BDC=2DAC；(2)依题意补全图形，用等式表示线段DE，DF，EH之间的数量关系，并证明5（2022浙江绍兴一模）如图，在正方形ABCD中，点E与点F分别在线段AC,BC上，且四边形DEFG是正方形(1)试探究线段AE与CG的关系，并说明理由(2)如图若将条件中的四边形ABCD与四边形DEFG由正方形改为矩形，AB=3，BC=4线段AE,CG在（1）中的关系仍然成立吗？若成立，请证明，若不成立，请写出你认为正确的关系，并说明理由当CDE为等腰三角形时，求CG的长6（2022广东揭西县宝塔实验学校三模）如图1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G(1)求线段CE的长；(2)如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且DMN=DAM，设DN=x求证四边形AFGD为菱形；是否存在这样的点N，使DMN是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由7（2022福建省福州教育学院附属中学模拟预测）问题发现(1)如图，RtABC中，C=90，AC=3，BC=4，点P是AB边上任意一点，则CP的最小值为_(2)如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值(3)如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AB边上一点，且AE=2，点F是BC边上的任意一点，把BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度若不存在，请说明理由8（2022广东 三模）特例发现：如图1，点E和点F分别为正方形ABCD边BC和边CD上一点，当CECF时，则易得BEDF，BEDF(1)如图2，点E为正方形ABCD内一点，且ECF90，CFCE，点E，F在直线CD的两侧，连接EF，BE，DF，探究线段BE与DF之间的关系，并说明理由；(2)如图3，在矩形ABCD中，ABBC12，点E在矩形ABCD内部，ECF90，点E，F在直线BC的两侧，CECF12，连接EF，BE，DE，BF，DF请探究线段DE，BF之间的关系，并说明理由；(3)若（2）中矩形ABCD的边AB3，RtCEF的边CE1，当BEDF时，求BF的长9（2022浙江丽水一模）在菱形ABCD中，AB=6，A=60，点E在AD边上，AE=4，点P是边AB上一个动点，连结EP，将AEP沿EP翻折得到FEP(1)当EFAB时，求AEP的度数；(2)若点F落在对角线BD上，求证：DEFBFP；(3)若点P在射线BA上运动，设直线PF与直线BD交于点H，问当AP为何值时，BHP为直角三角形10（2022广东深圳市南山外国语学校（集团）二模）问题初探：数学兴趣小组在研究四边形的旋转时，遇到了这样的一个问题如图1，四边形ABCD和BEFG都是正方形，BHAE于H，延长HB交CG于点M通过测量发现CMMG为了证明他们的发现，小亮想到了这样的证明方法：过点C作CNBM于点N他已经证明了ABHBCN，但接下来的证明过程，他有些迷茫了(1)请同学们帮小亮将剩余的证明过程补充完整；(2)深入研究：若将原题中的“正方形”改为“矩形”（如图2所示），且ABBC=BGBE=k（其中k0），请直接写出线段CM、MG的数量关系为_；(3)拓展应用：在图3中，在RtABC和RtADE中，BAC=DAE=90，ACB=AED=30，连接BD、CE，F为BD中点，则AF与CE的数量关系为_11（2022广东佛山市华英学校三模）已知，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，ADBC,ABCD，AC平分BAD(1)如图1，求证：四边形ABCD是菱形；(2)如图2，过点A作ANBC于N，若AC=6，BD=8，求AN的长；(3)如图3，CA=CB，点R为CB延长线上一点，连接OR交AB于点E，点F、H分别是AB、BC边上一点(BFBH)，且OF=OH，过点O作BC的垂线，垂足为M，HOM=BOR，当BF=10，BH=8时，求RB的长12（2022广东测试编辑教研五一模）在矩形ABCD中，ADCD，O是AC的中点，点P是AO上一点，连接PD，过点P作PEPD交BC于点E，连接DE(1)如图（1），点P在AO上运动时DEP的大小是否改变？请说明理由(2)如图（2），连接PB，若PBAC，DEAC交AC于点H，PB=4，DP=26，求ADCD的值13（2021吉林长春市赫行实验学校二模）阅读理解在学习中，我们学习了一个定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在RtABC中，ACB=90，若点D是斜边AB的中点，则CD=12AB灵活应用如图2，ABC中，BAC=90，AB=6，AC=8，点D是BC的中点，将ABD沿AD翻折得到AED，连接BE，CE (1)根据题意，则DE的长为 (2)判断BCE的形状，并说明理由(3)请直接写出CE的长 14（2022广东东莞市光明中学三模）ABC中，BAC=60，AB=AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作菱形ADEF，使DAF=60，连接CF(1)观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，AB与CF的位置关系为：_BC，CD，CF之间的数量关系为：_；(2)数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论，是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明(3)拓展延伸：如图3，当点D在线段BC的延长线上时，设AD与CF相交于点G，若已知AB=4，CD=12AB，求AG的长15（2022福建省福州屏东中学三模）如图，抛物线y=ax2-4ax+2(a0)与y轴交于点A，对称轴交x轴于点B，点F是抛物线在第一象限内的一个动点，FCAB交y轴于点C，交x轴于点D，EFx轴于点E，点M是抛物线的顶点，已知在点F的运动过程中，FD的最大值是42(1)求点B的坐标与a的值；(2)当点D恰好是OB的中点时，求点E的坐标；(3)连结AM，作点E关于直线DF的对称点P，当点P落在线段AM上时，则点E的坐标为_.(直接写出答案)16（2022广东深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）【操作与发现】如图，在正方形ABCD中，点N，M分别在边BC、CD上连接AM、AN、MNMAN45，将AMD绕点A顺时针旋转90，点D与点B重合，得到ABE易证：ANMANE，从而可得：DM+BNMN(1)【实践探究】在图条件下，若CN6，CM8，则正方形ABCD的边长是_(2)如图，在正方形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN、MN，MAN45，若tanBAN=13，求证：M是CD的中点(3)【拓展】如图，在矩形ABCD中，AB12，AD16，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN，已知MAN45，BN4，则DM的长是_17（2022辽宁阜新中考真题）已知，四边形ABCD是正方形，DEF绕点D旋转（DE1)，CE=1连接AF、BG(1)求图1中AF、BG的长（用含m的代数式表示）(2)如图2，正方形ABCD固定不动，将图1中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转度（0BC，D是AB的中点，F是BC延长线上一点，平移AB到FH，线段FH的中垂线与线段CA的延长线交于点E，连接EH、DE(1)连接CD，求证：BDC=2DAC；(2)依题意补全图形，用等式表示线段DE，DF，EH之间的数量关系，并证明【答案】(1)见解析(2)图见解析，结论：DE2+DF2=EH2，理由见解析【分析】（1）利用直角三角形斜边的中线的性质即可解决问题；（2）图形如图所示，结论：DE2+DF2=EH2，想办法证明EDF=90即可（1）证明：连接CDACB=90，AD=DB，CD=AD=DB，DAC=DCA，BDC=DAC+DCA=2DAC；（2）解：图形如图所示，结论：DE2+DF2=EH2理由：连接EF，AH，取FH的中点T，连接AT，DT，ET点E在FH的垂直平分线上，EF=EH，AD=DB，HT=TF，AB=FH，AD=FT=HT，ADFH，四边形AHTD，四边形ADFT是平行四边形，AHDT，ATDF，FDT=ATD=TAH，AHBF，HAC=ACB=90，EH=EF，HT=FT，ETFH，TEH=TEF，EAH=ETH=90，四边形A,E,H,T四点共圆，TAH=TEH，FDT=FET，E，D，F，T四点共圆，EDF+ETF=180，EDF=90，DE2+DF2=EH2【点睛】本题考查作图-平移变换，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，平行四边形的判定与性质，圆周角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型5（2022浙江绍兴一模）如图，在正方形ABCD中，点E与点F分别在线段AC,BC上，且四边形DEFG是正方形(1)试探究线段AE与CG的关系，并说明理由(2)如图若将条件中的四边形ABCD与四边形DEFG由正方形改为矩形，AB=3，BC=4线段AE,CG在（1）中的关系仍然成立吗？若成立，请证明，若不成立，请写出你认为正确的关系，并说明理由当CDE为等腰三角形时，求CG的长【答案】(1)AE=CG,AECG，理由见解析(2)位置关系保持不变，数量关系变为CGAE=34；理由见解析；当CDE为等腰三角形时，CG的长为32或2120或158【分析】（1）如图1，根据SAS证明ADEDGC，可得AE=CG，及ACG=90，则AGAC，所以AECG；（2）如图2，连接EG,DF交于点O，连接OC，根据矩形的性质和直角三角形斜边中线的性质得：OE=OF=OG=OD=OC，可知D,E,F,C,G在以点O为圆心的圆上，根据直径所对的圆周角是直角得ECG=90，再证明ADECDG，得CGAE=DCAD=34；先根据CGAE=34，设CG=3x,AE=4x，分三种情况：（i）当ED=EC时，如图3，根据等腰三角形三线合一的性质和中位线定理可得x的值，从而计算CG的长；（ii）当DE=DC=3时，如图4，证明CDHCAD，列比例式可得CH的长，从而根据A
展开阅读全文