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专题27以相似为载体的几何综合问题 【例1】（2022四川内江中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB6，BC4，点M、N分别在AB、AD上，且MNMC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F(1)当F为BE的中点时，求证：AMCE；(2)若EFBF2，求ANND的值；(3)若MNBE，求ANND的值【例2】（2022贵州铜仁中考真题）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，记COD的面积为S1，AOB的面积为S2（1）问题解决：如图，若AB/CD，求证：S1S2=OCODOAOB（2）探索推广：如图，若AB与CD不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（3）拓展应用：如图，在OA上取一点E，使OE=OC，过点E作EFCD交OD于点F，点H为AB的中点，OH交EF于点G，且OG=2GH，若OEOA=56，求S1S2值【例3】（2022内蒙古包头中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AC是一条对角线，且AB=AC=5，BC=6，E，F是AD边上两点，点F在点E的右侧，AE=DF，连接CE，CE的延长线与BA的延长线相交于点G(1)如图1，M是BC边上一点，连接AM，MF，MF与CE相交于点N若AE=32，求AG的长；在满足的条件下，若EN=NC，求证：AMBC；(2)如图2，连接GF，H是GF上一点，连接EH若EHG=EFG+CEF，且HF=2GH，求EF的长【例4】（2022江苏泰州中考真题）已知：ABC中，D 为BC边上的一点.(1)如图，过点D作DEAB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长；(2)在图，用无刻度的直尺和圆规在AC边上做点F，使DFA=A；（保留作图痕迹，不要求写作法）(3)如图，点F在AC边上，连接BF、DF，若DFA=A，FBC的面积等于12CDAB，以FD为半径作F，试判断直线BC与F的位置关系，并说明理由.【例5】（2022湖南岳阳中考真题）如图，ABC和DBE的顶点B重合，ABC=DBE=90，BAC=BDE=30，BC=3，BE=2(1)特例发现：如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，可以得出结论：ADCE=_，直线AD与直线CE的位置关系是_；(2)探究证明：如图2，将图1中的DBE绕点B顺时针旋转，使点D恰好落在线段AC上，连接EC，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展运用：如图3，将图1中的DBE绕点B顺时针旋转(1960)，连接AD、EC，它们的延长线交于点F，当DF=BE时，求tan60-的值一、解答题【共20题】1（2022江苏镇江中考真题）已知，点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边AB、BC、CD、AD上(1)如图1，当四边形EFGH是正方形时，求证：AE+AH=AB；(2)如图2，已知AE=AH，CF=CG，当AE、CF的大小有_关系时，四边形EFGH是矩形；(3)如图3，AE=DG，EG、FH相交于点O，OE:OF=4:5，已知正方形ABCD的边长为16，FH长为20，当OEH的面积取最大值时，判断四边形EFGH是怎样的四边形？证明你的结论2（2022山东东营中考真题）ABC和ADF均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿AB、BC运动，运动到点B、C停止.(1)如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段CD、EF的数量关系是_，位置关系是_；(2)如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)当点D运动到什么位置时，四边形CEFD的面积是ABC面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形BDEF是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明.3（2022辽宁鞍山中考真题）如图，在ABC中，AB=AC，BAC=120，点D在直线AC上，连接BD，将DE绕点D逆时针旋转120，得到线段DE，连接BE，CE(1)求证：BC=3AB；(2)当点D在线段AC上（点D不与点A，C重合）时，求CEAD的值；(3)过点A作ANDE交BD于点N，若AD=2CD，请直接写出ANCE的值4（2022浙江衢州中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分CBE交DE于点G (1)求证：DBG=90.(2)若BD=6，DG=2GE求菱形ABCD的面积.求tanBDE的值.(3)若BE=AB，当DAB的大小发生变化时（0DAB180），在AE上找一点T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值5（2022山东枣庄中考真题）已知ABC中，ACB90，ACBC4cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒2cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒(1)如图，若PQBC，求t的值；(2)如图，将PQC沿BC翻折至PQC，当t为何值时，四边形QPCP为菱形？6（2022江苏南通中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于BAC，连接CF(1)当点E在BC上时，作FMAC，垂足为M，求证AM=AB；(2)当AE=32时，求CF的长；(3)连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值7（2022山东菏泽中考真题）如图1，在ABC中，ABC=45,ADBC于点D，在DA上取点E，使DE=DC，连接BE、CE(1)直接写出CE与AB的位置关系；(2)如图2，将BED绕点D旋转，得到BED（点B，E分别与点B，E对应），连接CE、AB，在BED旋转的过程中CE与AB的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致?请说明理由；(3)如图3，当BED绕点D顺时针旋转30时，射线CE与AD、AB分别交于点G、F，若CG=FG,DC=3，求AB的长8（2022辽宁丹东中考真题）已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重合），连接AE，以AE为一边构造矩形AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接DG(1)如图1，当ADABAGAE1时，请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系；(2)如图2，当ADABAGAE2时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接MN，MD，ND，若AB5，AEB45，请直接写出MND的面积9（2022山东济南中考真题）如图1，ABC是等边三角形，点D在ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60，得到线段AE，连接BD，DE，CE(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；(2)延长ED交直线BC于点F如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_；如图3，当点F为线段BC中点，且EDEC时，猜想BAD的度数，并说明理由10（2022湖南益阳中考真题）如图，矩形ABCD中，AB15，BC9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AFBE于F，CGBE于G，延长CG至点C，使CGCG，连接CF，AC(1)直接写出图中与AFB相似的一个三角形；(2)若四边形AFCC是平行四边形，求CE的长；(3)当CE的长为多少时，以C，F，B为顶点的三角形是以CF为腰的等腰三角形？11（2022四川绵阳中考真题）如图，平行四边形ABCD中，DB23，AB4，AD2，动点E，F同时从A点出发，点E沿着ADB的路线匀速运动，点F沿着ABD的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动(1)如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为23秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；(2)如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为3个单位每秒，运动时间为x秒，AEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？(3)如图3，H在线段AB上且AH13HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、F在什么位置能使EMHM并说明理由12（2022山东济宁中考真题）如图，AOB是等边三角形，过点A作y轴的垂线，垂足为C，点C的坐标为（0，3）P是直线AB上在第一象限内的一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为D，交AO于点E，连接AD，作DMAD交x轴于点M，交AO于点F，连接BE，BF(1)填空：若AOD是等腰三角形，则点D的坐标为 ；(2)当点P在线段AB上运动时（点P不与点A，B重合），设点M的横坐标为m求m值最大时点D的坐标；是否存在这样的m值，使BEBF？若存在，求出此时的m值；若不存在，请说明理由13（2022山东烟台中考真题）(1)【问题呈现】如图1，ABC和ADE都是等边三角形，连接BD，CE求证：BDCE(2)【类比探究】如图2，ABC和ADE都是等腰直角三角形，ABCADE90连接BD，CE请直接写出BDCE的值(3)【拓展提升】如图3，ABC和ADE都是直角三角形，ABCADE90，且ABBCADDE34连接BD，CE求BDCE的值；延长CE交BD于点F，交AB于点G求sinBFC的值14（2022吉林长春中考真题）如图，在ABCD中，AB=4，AD=BD=13，点M为边AB的中点，动点P从点A出发，沿折线AD-DB以每秒13个单位长度的速度向终点B运动，连结PM作点A关于直线PM的对称点A，连结AP、AM设点P的运动时间为t秒(1)点D到边AB的距离为_；(2)用含t的代数式表示线段DP的长；(3)连结AD，当线段AD最短时，求DPA的面积；(4)当M、A、C三点共线时，直接写出t的值15（2022内蒙古通辽中考真题）已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A (1)如图1，当点G在AD上，F在AB上，求2CE2DG的值为多少；(2)将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转(090)，如图2，求：CEDG的值为多少；(3)AB=82，AG=22AD，将正方形AFEG绕A逆时针方向旋转(0360)，当C，G，E三点共线时，请直接写出DG的长度16（2022湖南郴州中考真题）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作EFCE，交AB于点F(1)求证：AEFDCE；(2)如图2，连接CF，过点B作BGCF，垂足为G，连接AG点M是线段BC的中点，连接GM求AG+GM的最小值；当AG+GM取最小值时，求线段DE的长17（2022广西贵港中考真题）已知：点C，D均在直线l的上方，AC与BD都是直线l的垂线段，且BD在AC的右侧，BD=2AC，AD与BC相交于点O(1)如图1，若连接CD，则BCD的形状为_，AOAD的值为_；(2)若将BD沿直线l平移，并以AD为一边在直线l的上方作等边ADE如图2，当AE与AC重合时，连接OE，若AC=32，求OE的长；如图3，当ACB=60时，连接EC并延长交直线l于点F，连接OF求证：OFAB18（2022山东青岛中考真题）如图，在RtABC中，ACB=90,AB=5cm,BC=3cm，将ABC绕点A按逆时针方向旋转90得到ADE，连接CD点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/sPQ交AC于点F，连接CP,EQ设运动时间为t(s)(0t5)解答下列问题：(1)当EQAD时，求t的值；(2)设四边形PCDQ的面积为S(cm2)，求S与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使PQCD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由19（2022辽宁营口中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=-12x2+bx+c经过点A-12,278和点B4,0，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)如图，点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作PDAB，垂足为D，作PEx轴，垂足为E，交AB于点F，设PDF的面积为S1，BEF的面积为S2，当S1S2=4925时，求点P坐标；(3)点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由20（2022山东威海中考真题）回顾：用数学的思维思考(1)如图1，在ABC中，ABACBD，CE是ABC的角平分线求证：BDCE点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE求证：BDCE（从两题中选择一题加以证明）(2)猜想：用数学的眼光观察经过做题反思，小明同学认为：在ABC中，ABAC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BDCE进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：如图2，在ABC中，ABAC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BDCE，并证明(3)探究：用数学的语言表达如图3，在ABC中，ABAC2，A36，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延长线上一点判断BF与CE能否相等若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由21（2022四川内江中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB6，BC4，点M、N分别在AB、AD上，且MNMC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F(1)当F为BE的中点时，求证：AMCE；(2)若EFBF2，求ANND的值；(3)若MNBE，求ANND的值【答案】(1)见解析(2)2737(3)27【分析】(1)根据矩形的性质，证明BMF ECF，得BMCE，再利用点E为CD的 中点，即可证明结论； (2)利用BMFECF，得BFEF=BMCE=12，从而求出BM的长，再利用ANMBMC ，得ANBM=AMBC ，求出AN的长，可得答案； (3)首先利用同角的余角相等得 CBF CMB，则tanCBFtanCMB，得CEBC=BCBM ，可得BM的长，由（2）同理可得答案（1）证明：F为BE的中点，BFEF，四边形ABCD是矩形，ABCD，ABCDBMFECF，BFMEFC，BMFECF（AAS），BMCE，点E为CD的中点，CE12CD，ABCD，BM=CE=12AB，AM=BM，AMCE；（2）BMFECF，BFMEFC，BMFECF，BFEF=BMCE=12，CE3，BM32，AM92，CMMN，CMN90，AMN+BMC90，AMN+ANM90，ANMBMC，AMBC，ANMBMC，ANBM=AMBC，AN32=924，AN=2716，DNADAN427163716，ANDN=27163716=2737；（3）MNBE，BFCCMN，FBC+BCM90，BCM+BMC90，CBFCMB，tanCBFtanCMB，CEBC=BCBM，34=4BM，BM=163，AM=AB-BM=6-163=23，由（2）同理得，ANBM=AMBC，AN163=234，解得：AN89，DNADAN489289，ANND=89289=27【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，求出BM的长是解决（2）和（3）的关键22（2022贵州铜仁中考真题）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，记COD的面积为S1，AOB的面积为S2（1）问题解决：如图，若AB/CD，求证：S1S2=OCODOAOB（2）探索推广：如图，若AB与CD不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（3）拓展应用：如图，在OA上取一点E，使OE=OC，过点E作EFCD交OD于点F，点H为AB的中点，OH交EF于点G，且OG=2GH，若OEOA=56，求S1S2值【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析：（3）2554【分析】（1）如图所示，过点D作AEAC于E，过点B作BFAC于F，求出DE=ODsinDOE，BF=OBsinBOF，然后根据三角形面积公式求解即可；（2）同（1）求解即可；（3）如图所示，过点A作AMEF交OB于M，取BM中点N，连接HN，先证明OEFOCD，得到OD=OF，证明OEFOAM，得到OFOM=OEOA=56，设OE=OC=5m，OF=OD=5n，则OA=6m，OM=6n，证明OGFOHN，推出ON=32OF=15n2，BN=MN=ON-OM=3n2，则OB=ON+BN=9n，由（2）结论求解即可【详解】解：（1）如图所示，过点D作AEAC于E，过点B作BFAC于F，DE=ODsinDOE，BF=OBsinBOF，SOCD=S1=12OCDE=12OCODsinDOE，SAOB=S2=12OABF=12OAOBsinBOF，DOE=BOF，sinDOE=sinBOF；S1S2=12OCODsinDOE12OAOBsinBOF=OCODOAOB；（2）（1）中的结论成立，理由如下：如图所示，过点D作AEAC于E，过点B作BFAC于F，DE=ODsinDOE，BF=OBsinBOF，SOCD=S1=12OCDE=12OCODsinDOE，SAOB=S2=12OABF=12OAOBsinBOF，DOE=BOF，sinDOE=sinBOF；S1S2=12OCODsinDOE12OAOBsinBOF=OCODOAOB；（3）如图所示，过点A作AMEF交OB于M，取BM中点N，连接HN，EFCD，ODC=OFE，OCD=OEF，又OE=OC，OEFOCD（AAS），OD=OF，EFAM，OEFOAM，OFOM=OEOA=56，设OE=OC=5m，OF=OD=5n，则OA=6m，OM=6n，H是AB的中点，N是BM的中点，HN是ABM的中位线，HNAMEF，OGFOHN，OGOH=OFON，OG=2GH，OG=23OH，OGOH=OFON=23，ON=32OF=15n2，BN=MN=ON-OM=3n2，OB=ON+BN=9n，由（2）可知S1S2=OCODOAOB=5m5n6m9n=2554【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键23（2022内蒙古包头中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AC是一条对角线，且AB=AC=5，BC=6，E，F是AD边上两点，点F在点E的右侧，AE=DF，连接CE，CE的延长线与BA的延长线相交于点G(1)如图1，M是BC边上一点，连接AM，MF，MF与CE相交于点N若AE=32，求AG的长；在满足的条件下，若EN=NC，求证：AMBC；(2)如图2，连接GF，H是GF上一点，连接EH若EHG=EFG+CEF，且HF=2GH，求EF的长【答案】(1)53；证明见解析(2)2【分析】（1）解：根据平行四边形ABCD的性质可证AGEDCE，得到AGDC=AEDE，再根据AB=AC=5，BC=6，AE=32，结合平行四边形的性质求出DE的长，代入比例式即可求出AG的长；先根据ASA证明ENFCNM可得EF=CM，再根据AE=32，AE=DF求出EF=3，进一步证明BM=MC，最后利用等腰三角形的三线合一可证明结论（2）如图，连接CF，先根据SAS证明AECDFC，再结合EHG=EFG+CEF，说明EHCF，利用平行线分线段成比例定理可得GEEC=12，接着证明AGEDCE，可得到AEDE=12，设AE=x，则DE=2x，根据AD=AE+DE=6构建方程求出x，最后利用EF=AD-AE-DF可得结论（1）解：如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=AC=5，BC=6，ABCD，ADBC，DC=AB=5，AD=BC=6，GAE=CDE，AGE=DCE，AGEDCE，AGDC=AEDE，AGDE=DCAE，AE=32，DE=AD-AE=6-32=92，92AG=532，AG=53，AG的长为53证明：ADBC，EFN=CMN，EN=NC，在ENF和CNM中，EFN=CMNEN=CNENF=CNMENFCNMASA，EF=CM，AE=32，AE=DF，DF=32，EF=AD-AE-DF=3，CM=3，BC=6，BM=BC-CM=3，BM=MC，AB=AC，AMBC（2）如图，连接CF，AB=AC，AB=DC，AC=DC，CAD=CDA，AE=DF，在AEC和DFC中，AC=DCCAD=CDAAE=DFAECDFCSAS，CE=CF，CFE=CEFEHG=EFG+CEF，EHG=EFG+CEF=EFG+CFE=CFG，EHCF，GHHF=GEEC，HF=2GH，GEEC=12，ABCD，GAE=CDE，AGE=DCE，AGEDCE，AEDE=GECE，AEDE=12，DE=2AE，设AE=x，则DE=2x，AD=6，AD=AE+DE=x+2x=6，x=2，即AE=2，DF=2，EF=AD-AE-DF=2EF的长为2【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的三线合一，平行线的判定及性质，平行线分线段成比例定理等知识灵活运用相似三角形和全等三角形的判定及性质是解答本题的关键24（2022江苏泰州中考真题）已知：ABC中，D 为BC边上的一点.(1)如图，过点D作DEAB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长；(2)在图，用无刻度的直尺和圆规在AC边上做点F，使DFA=A；（保留作图痕迹，不要求写作法）(3)如图，点F在AC边上，连接BF、DF，若DFA=A，FBC的面积等于12CDAB，以FD为半径作F，试判断直线BC与F的位置关系，并说明理由.【答案】(1)2(2)图见详解(3)直线BC与F相切，理由见详解【分析】（1）由题意易得CDBD=23，则有CDCB=25，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解；（2）作DTAC交AB于点T，作TDF=ATD，射线DF交AC于点F，则点F即为所求；（3）作BRCF交FD的延长线于点R，连接CR，证明四边形ABRF是等腰梯形，推出AB=FR，由CFBR，推出SCFB=SCFR=12ABCD=12FRCD，推出CDDF，然后问题可求解（1）解：DEAB，CDECBA，DEAB=CDCB，AB=5，BD=9，DC=6，DE5=66+9，DE=2；（2）解：作DTAC交AB于点T，作TDF=ATD，射线DF交AC于点F，则点F即为所求；如图所示：点F即为所求，（3）解：直线BC与F相切，理由如下：作BRCF交FD的延长线于点R，连接CR，如图，DFA=A，四边形ABRF是等腰梯形，AB=FR，FBC的面积等于12CDAB，SCFB=SCFR=12ABCD=12FRCD，CDDF，FD是F的半径，直线BC与F相切【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定是解题的关键25（2022湖南岳阳中考真题）如图，ABC和DBE的顶点B重合，ABC=DBE=90，BAC=BDE=30，BC=3，BE=2(1)特例发现：如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，可以得出结论：ADCE=_，直线AD与直线CE的位置关系是_；(2)探究证明：如图2，将图1中的DBE绕点B顺时针旋转，使点D恰好落在线段AC上，连接EC，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展运用：如图3，将图1中的DBE绕点B顺时针旋转(1960)，连接AD、EC，它们的延长线交于点F，当DF=BE时，求tan60-的值【答案】(1)3，垂直(2)成立，理由见解析(3)85-9311【分析】（1）解直角三角形求出EC，AD，可得结论；（2）结论不变，证明ABDCBE，推出ADEC=ABBC=3，ADB=BEC，可得结论；（3）如图3中，过点B作BJAC于点J，设BD交AK于点K，过点K作KTAC于点K.求出BJ，JK，可得结论(1)解：在RtABC中，B=90，BC=3，A=30，AB=3BC=33，在RtBDE中，BDE=30，BE=2，BD=3BE=23，EC=1，AD=3，ADEC=3，此时ADEC，故答案为：3，垂直；(2)结论成立理由：ABC=DBE=90，ABD=CBE，AB=3BC，BD=3BE，ACBC=DBEB，ABDCBE，ADEC=ABBC=3，ADB=BEC，ADB+CDB=180，CDB+BEC=180，DBE+DCE=180，DBE=90，DCE=90，ADEC；(3)如图3中，过点B作BJAC于点J，设BD交AK于点K，过点K作KTAC于点KAJB=90，BAC=30，ABJ=60，KBJ=60-AB=33，BJ=12AB=332，AJ=3BJ=92，当DF=BE时，四边形BEFD是矩形，ADB=90，AD=AB2-BD2=(33)2-(23)2=15，设KT=m，则AT=3m，AK=2m，KTB=ADB=90，tan=KTBT=ADBD，mBT=1523，BT=255m，3m+255m=33，m=45-61511，AK=2m=90-121511，KJ=AJ-AK=92-90-121511=2415-8122，tan60-=KJBJ=85-9311【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题一、解答题1（2022江苏镇江中考真题）已知，点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边AB、BC、CD、AD上(1)如图1，当四边形EFGH是正方形时，求证：AE+AH=AB；(2)如图2，已知AE=AH，CF=CG，当AE、CF的大小有_关系时，四边形EFGH是矩形；(3)如图3，AE=DG，EG、FH相交于点O，OE:OF=4:5，已知正方形ABCD的边长为16，FH长为20，当OEH的面积取最大值时，判断四边形EFGH是怎样的四边形？证明你的结论【答案】(1)见解析(2)AE=CF(3)平行四边形，证明见解析【分析】（1）利用平行四边形的性质证得BEF=AHE，根据角角边证明AEHBFE（2）当AE=CF，证得AEHFCG，EBF是等腰直角三角形，HEF=EFG=90，即可证得四边形EFGH是矩形（3）利用正方形的性质证得AEGD为平行四边形，过点H作HMBC，垂足为点M，交EG于点N，由平行线分线段成比例，设OE=4x，OF=5x，HN=h，则可表示出HN，从而把OEH的面积用x的代数式表示出来，根据二次函数求出最大值，则可得OE=OG，OF=OH，即可证得平行四边形（1）四边形ABCD为正方形，A=B=90，AEH+AHE=90四边形EFGH为正方形，EH=EF，HEF=90，AEH+BEF=90，BEF=AHE在AEH和BFE中，A=B=90，AHE=BEF，EH=FE，AEHBFEAH=BEAE+AH=AE+BE=AB；（2）AE=CF；证明如下：四边形ABCD为正方形，A=B=90，AB=BC=AD=CD，AE=AH，CF=CG，AE=CF，AH=CG，AEHFCG，EH=FGAE=CF，ABAE=BCCF，即BE=BF，EBF是等腰直角三角形，BEF=BFE=45，AE=AH，CF=CG，AEH=CFG=45，HEF=EFG=90，EHFG，四边形EFGH是矩形（3）四边形ABCD为正方形，ABCDAE=DG，AEDG，四边形AEGD为平行四边形ADEGEGBC过点H作HMBC，垂足为点M，交EG于点N，HNHM=HOHFOE:OF=4:5，设OE=4x，OF=5x，HN=h，则h16=20-5x20，h=44-xS=12OEHN=124x4(4-x)=-8(x-2)2+32当x=2时，OEH的面积最大，OE=4x=8=12EG=OG，OF=5x=10=12HF=OH，四边形EFGH是平行四边形【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的判定和平行四边形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，有一定的综合性，解题的关键是熟悉这些知识并灵活运用2（2022山东东营中考真题）ABC和ADF均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿AB、BC运动，运动到点B、C停止.(1)如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段CD、EF的数量关系是_，位置关系是_；(2)如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)当点D运动到什么位置时，四边形CEFD的面积是ABC面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形BDEF是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明.【答案】(1)CD=EF，CDEF(2)CD=EF，CDEF，成立，理由见解析(3)点D运动到BC的中点时，BDEF是菱形，证明见解析【分析】（1）根据ABC和ADF均为等边三角形，得到AF=AD，AB=BC，FAD=ABC=60，根据E、D分别与点A、B重合，得到AB=AD，EF=AF，CD=BC，FAD=FAB，推出CD=EF，CDEF；（2）连接BF，根据FAD=BAC=60，推出FAB=DAC，根据AF=AD，AB=AC，推出AFBADC，得到ABF=ACD=60，BF=CD，根据AE=BD，推出BE=CD，得到BF=BE，推出BFE是等边三角形，得到BF=EF，FEB=60，推出CD=EF， CDEF；（3）过点E作EGBC于点G，设ABC的边长为a，AD=h，根据AB=BC，BD=CD= 12BC= 12a， BD=AE，推出AE=BE= 12AB，根据AB=AC， 推出ADBC，得到EGAD，推出EBGABD，推出EGAD=BEAB=12，得到EG=12AD= 12h，根据CD=EF， CDEF，推出四边形CEFD是平行四边形，推出SCEFD=CDEG=12a12h=1212ah=12SABC，根据EF=BD，EFBD，推出四边形BDEF是平行四边形，根据BF=EF，推出BDEF是菱形（1）ABC和ADF均为等边三角形，AF=AD，AB=BC，FAD=ABC=60，当点E、D分别与点A、B重合时，AB=AD，EF=AF，CD=BC，FAD=FAB，CD=EF，CDEF；故答案为：CD=EF，CDEF；（2）CD=EF，CDEF，成立证明：连接BF，FAD=BAC=60，FAD-BAD=BAC-BAD，即FAB=DAC，AF=AD，AB=AC，AFBADC(SAS)，ABF=ACD=60，BF=CD，AE=BD，BE=CD，BF=BE，BFE是等边三角形，BF=EF，FEB=60，CD=EF，BCEF，即CDEF，CD=EF， CDEF；（3）如图，当点D运动到BC的中点时，四边形CEFD的面积是ABC面积的一半，此时，四边形BDEF是菱形证明：过点E作EGBC于点G，设ABC的边长为a，AD=h，AB=BC，BD=CD= 12BC= 12a， BD=AE，AE=BE= 12AB，AB=AC， ADBC，EGAD，EBGABD，EGAD=BEAB=12，EG=12AD= 12h，由（2）知，CD=EF， CDEF，四边形CEFD是平行四边形，S四边形CEFD=CDEG=12a12h=1212ah=12SABC,此时，EF=BD，EFBD，四边形BDEF是平行四边形，BF=EF，BDEF是菱形【点睛】本题主要考查了等边三角形判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，菱形的判定，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定3（2022辽宁鞍山中考真题）如图，在ABC中，AB=AC，BAC=120，点D在直线AC上，连接BD，将DE绕点D逆时针旋转120，得到线段DE，连接BE，CE(1)求证：BC=3AB；(2)当点D在线段AC上（点D不与点A，C重合）时，求CEAD的值；(3)过点A作ANDE交BD于点N，若AD=2CD，请直接写出ANCE的值【答案】(1)证明见解析；(2)3(3)5719或2121【分析】（1）作AHBC于H，可得BH32AB，BC2BH，进而得出结论；（2）证明ABDCBE，进而得出结果；（3）当点D在线段AC上时，作BFAC，交CA的延长线于F，作AGBD于G，设ABAC3a，则AD2a，解直角三角形BDF，求得BD的长，根据DAGDBF求得AQ，进而求得AN，进一步得出结果；当点D在AC的延长线上时，设ABAC2a，则AD4a，同样方法求得结果（1）证明：如图1，作AHBC于H，ABAB，BAHCAH12BAC1212060，BC2BH，sin60BHAB，BH32AB，BC2BH3AB；（2）解：ABAC，ABCACB180-BAC2180-120230，由（1）得，BCAB=3，同理可得，DBE30，BEBD=3，ABCDBE，BCAB=BEBD，ABCDBCDBEDBC，ABDCBE，ABDCBE，CEAD=BEBD=3；（3）：如图2，当点D在线段AC上时，作BFAC，交CA的延长线于F，作AGBD于G，设ABAC3a，则AD2a，由（1）得，CE=3AD=23a，在RtABF中，BAF180BAC60，AB3a，AF3acos6032a，BF3asin60332a，在RtBDF中，DFADAF2a+32a=72a，BDBF2DF2=332a2+72a2=19a，AGDF90，ADGBDF，DAGDBF，AGBFADBD，AG332a=2a19a，AG=3319a，ANDE，ANDBDE120，ANG60，ANAGsin60=331923a=61919a，ANCE=61919a23a=5719，如图3，当点D在AC的延长线上时，设ABAC2a，则AD4a，由（1）得，CE3AD=43a，作BRCA，交CA的延长线于R，作AQBD于Q，同理可得，ARa，BR3a，BD=3a2+5a2=27a，AQ3a=4a27a，AQ=237a，AN=237a23=47a，ANCE=47a43a=2121，综上所述：ANCE的值为5719或2121【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是正确分类和较强的计算能力4（2022浙江衢州中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分CBE交DE于点G (1)求证：DBG=90.(2)若BD=6，DG=2GE求菱形ABCD的面积.求tanBDE的值.(3)若BE=AB，当DAB的大小发生变化时（0DAB180），在AE上找一点T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值【答案】(1)见解析(2)24，49(3)ET103，理由见解析【分析】（1）由菱形的性质可证得CBDABD12ABC，由BG平分CBE交DE于点G，得到CBGEBG12CBE，进一步即可得到答案；（2）连接AC交BD于点O,RtDOC中，OCCD2-OD2=52-32=4，求得AC8，由菱形的面积公式可得答案；由BGAC，得到DHDG=DOBD=12，DHHG，DG2DH，又由DG2GE，得到EGDHHG，则DHEH=12，再证明CDHAEH，CH13AC83，OHOCCH48343，利用正切的定义得到答案；（3）过点G作GTBC，交AE于点T，BGEAHE，得ABBE5，则EGGH，再证DOHDBG，得DHGHEG，由EGTEDA得GTAD=ETEA=13，GT53，为定值，即可得到ET的值（1）证明：四边形ABCD是菱形，BCDC，ABCD，BDCCBD，BDCABD，CBDABD12ABC，BG平分CBE交DE于点G，CBGEBG12CBE，CBDCBG12（ABCCBE）1218090，DBG90；（2）解：如图1，连接AC交BD于点O，四边形ABCD是菱形，BD6，OD12BD3，ACBD，DOC90，在RtDOC中，OCCD2-OD2=52-32=4，AC2OC8，S菱形ABCD=12ACBD=1286=24，即菱形ABCD的面积是24如图2，连接AC，分别交BD、DE于点O、H，四边形ABCD是菱形，ACBD，DBG90BGBD，BGAC，DHDG=DOBD=12，DHHG，DG2DH，DG2GE，EGDHHG，DHEH=12，ABCD，DCHEAH，CDHAEH，CDHAEH，CHAH=DHEH=12，CH13AC83，OHOCCH48343，tanBDEOHOD=49；（3）如图3，过点G作GTBC交AE于点T，此时ET103理由如下：由题（1）可知，当DAB的大小发生变化时，始终有BGAC，BGEAHE，EGGH=BEAB，ABBE5，EGGH，同理可得，DOHDBG，DHGH=DOBO，BODO，DHGHEG，GTBC，GTAD，EGTEDA，GTAD=EGED=ETEA=13，ADAB5，GT53，为定值，此时ET13AE13（ABBE）103【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键5（2022山东枣庄中考真题）已知ABC中，ACB90，ACBC4cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒2cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒(1)如图，若PQBC，求t的值；(2)如图，将PQC沿BC翻折至PQC，当t为何值时，四边形QPCP为菱形？【答案】(1)当t2时，PQBC(2)当t的值为43时，四边形QPCP为菱形【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可（2）作PDBC于D，PEAC于E，证明出ABC为直角三角形，进一步得出APE和PBD为等腰直角三角形，再证明四边形PECD为矩形，利用勾股定理在RtPCE、RtPDQ中，结合四边形QPCP为菱形，建立等式进行求解【详解】（1）解：（1）如图，ACB90，ACBC4cm，ABAC2+BC242+42=42（cm），由题意得，AP2tcm，BQtcm，则BP（422t）cm，PQBC，PQB90，PQBACB，PQAC，BPQ=BACBQP=BCA，BPQBAC，BPBABQBC，42-2t42=t4，解得：t2，当t2时，PQBC（2）解：作PDBC于D，PEAC于E，如图，AP=2t，BQ=tcm，(0t4)C=90，AC=BC=4cm，ABC为直角三角形，A=B=45，APE和PBD为等腰直角三角形，PE=AE=22AP=tcm，BD=PD，CE=AC-AE=(4-t)cm，四边形PECD为矩形，PD=EC=(4-t)cm，BD=(4-t)cm，QD=BD-BQ=(4-2t)cm，在RtPCE中，PC2=PE2+CE2=t2+(4-t)2，在RtPDQ中，PQ2=PD2+DQ2=(4-t)2+(4-2t)2，四边形QPCP为菱形，PQ=PC，t2+(4-t)2=(4-t)2+(4-2t)2，t1=43，t2=4（舍去）t的值为43【点睛】此题是相似形综合题，主要考查的是菱形的性质、等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键6（2022江苏南通中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于BAC，连接CF(1)当点E在BC上时，作FMAC，垂足为M，求证AM=AB；(2)当AE=32时，求CF的长；(3)连接DF，点
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