数学建模微分方程第一讲课件

微分方程模型讲微分方程模型讲微分方程模型讲微分方程模型讲数学建模培训数学建模培训微分方程模型讲数学建模培训一、动态模型一、动态模型 有许多实际问题包含着时间发展的过程，有许多实际问题包含着时间发展的过程，如投资、还贷、养老金、种群增长、疾病传如投资、还贷、养老金、种群增长、疾病传播、化学反应、污染控制、空间飞行、军事播、化学反应、污染控制、空间飞行、军事战斗等等，对这些动态过程建立动态模型，战斗等等，对这些动态过程建立动态模型，能够表现这些过程的演变，并给出预测和控能够表现这些过程的演变，并给出预测和控制的答案。制的答案。一、动态模型 有许多实际问题包含着时间发展的过程动动态态模模型型1、微分方程模型、微分方程模型2、差分方程模型、差分方程模型3、随机过程模型、随机过程模型4、动态规划模型、动态规划模型（动态模型与优化模型相结合）（动态模型与优化模型相结合）描述对象特征随时间描述对象特征随时间(空间空间)的演变过程的演变过程 分析对象特征的变化规律分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态预报对象特征的未来性态 研究控制对象特征的手段研究控制对象特征的手段动态动态模型模型分类分类动1、微分方程模型 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 分在研究实际问题时在研究实际问题时,我们常常不能直接得出变量之间我们常常不能直接得出变量之间的关系的关系,但却能容易得出包含变量导数在内的关系式但却能容易得出包含变量导数在内的关系式,这就是微分方程这就是微分方程.在现实社会中在现实社会中,又有许多变量是离散变化的又有许多变量是离散变化的,如人口如人口数、生产周期与商品价格等数、生产周期与商品价格等,而且离散的运算具有可而且离散的运算具有可操作性操作性,差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁.因此实际问题只要涉及改变，变化，增加，减少，因此实际问题只要涉及改变，变化，增加，减少，衰变等等词语是都可用方程建立模型。衰变等等词语是都可用方程建立模型。在研究实际问题时,我们常常不能直接得出变量之间的关系,但却1、微分方程模型、微分方程模型描述动态过程的状态随时间连续变化，描述动态过程的状态随时间连续变化，用连续函数用连续函数x=x(t)表示动态过程表示动态过程在时刻在时刻t的状态。称为连续动态过程。的状态。称为连续动态过程。涉及涉及“改变改变”、“变化变化”、“增加增加”、“减少减少”、“衰变衰变”、“边际边际”、“速度速度”、“运动运动”、“追赶追赶”、“逃跑逃跑”等等词语等等词语的确定性连续问题。的确定性连续问题。1、微分方程模型描述动态过程的状态随时间连续变化，2、差分方程模型、差分方程模型描述动态过程的状态在离散时段上的变化，描述动态过程的状态在离散时段上的变化，用数列用数列 表示动态过程表示动态过程在第在第k个时段个时段t的状态。称为离散动态过程。的状态。称为离散动态过程。2、差分方程模型描述动态过程的状态在离散时段上的变化，3、微分模型和差分模型的解、微分模型和差分模型的解（1）解析解（精确解）解析解（精确解）适用于线性系统和少量非线性系统（伯努利方程）适用于线性系统和少量非线性系统（伯努利方程）（2）数值解（近似解）数值解（近似解）对于多数的线性系统和非线性系统，但不能对系统对于多数的线性系统和非线性系统，但不能对系统 的行为提供一个号的定性解释。的行为提供一个号的定性解释。（3）定性解（定性理论分析）定性解（定性理论分析）用定性理论和稳定性理论分析系统在局部和全局用定性理论和稳定性理论分析系统在局部和全局 的动态行为。的动态行为。定性理论适用于二维、三维系统。定性理论适用于二维、三维系统。稳定性理论适用于高维系统。稳定性理论适用于高维系统。3、微分模型和差分模型的解（1）解析解（精确解）4、微分模型和差分模型的建模方法、微分模型和差分模型的建模方法1、根据规律建模根据规律建模利用数学、力学、物理、化学等利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立模型。学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立模型。2、用微元法建模用微元法建模利用已知的定理与规律寻求微元利用已知的定理与规律寻求微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。直接对函数及其导数应用规律。3、用模拟近似法建模用模拟近似法建模在生物、经济等学科的实际在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是及其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现是及其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。4、微分模型和差分模型的建模方法1、根据规律建模利用数学4、微分模型的建模原理、微分模型的建模原理在建立微分方程的时候，所要求的其实是微分方程在建立微分方程的时候，所要求的其实是微分方程的一条解曲线，通过它来反映某些我们所要寻求的的一条解曲线，通过它来反映某些我们所要寻求的规律。微分方程曲线思想是，如果知道曲线上每一规律。微分方程曲线思想是，如果知道曲线上每一点处的导数以及它的起始点，那么就能构造这条曲点处的导数以及它的起始点，那么就能构造这条曲线。具体步骤如下：线。具体步骤如下：1、转化、转化实际问题中，有许多表示实际问题中，有许多表示“导数导数”的常用词，如的常用词，如“速率速率”、”增长增长“（在生物学以及人口问题研究中）、（在生物学以及人口问题研究中）、”衰变衰变“（在放射性问题中）以及（在放射性问题中）以及”边际的边际的“（在经济学中）等。（在经济学中）等。这些词就是信号，这个时候要注意是哪些研究对象这些词就是信号，这个时候要注意是哪些研究对象在变化，对这些规律的表示微分方程也许就能用得上。在变化，对这些规律的表示微分方程也许就能用得上。4、微分模型的建模原理在建立微分方程的时候，所要求的其实是微考虑：我们所研究的对象是否遵循某些原考虑：我们所研究的对象是否遵循某些原则或物理定理呢？是应该用已知的定律呢？则或物理定理呢？是应该用已知的定律呢？还是必须去推导呢？大部分微分方程模型还是必须去推导呢？大部分微分方程模型符合下面的模式：符合下面的模式：净变化率净变化率=输入率输入率输出率输出率考虑：我们所研究的对象是否遵循某些原2、准确性和总体特征、准确性和总体特征微分方程式一个在任何时刻都必须正确的微分方程式一个在任何时刻都必须正确的瞬时表达式，这是问题的核心。建立微分瞬时表达式，这是问题的核心。建立微分方程模型，首先要把注意力放在方程文字方程模型，首先要把注意力放在方程文字形式的总关系上：形式的总关系上：净变化率净变化率=输入率输入率输出率输出率或者：或者：变化率（微商）变化率（微商）=单位增加量单位增加量-单位减少量单位减少量等式通常是利用已有的原则或定律。等式通常是利用已有的原则或定律。2、准确性和总体特征或者：3、单位、单位一旦确定了哪些子项应该列入微分方程中，一旦确定了哪些子项应该列入微分方程中，就要确保每一项都采用同样的物理单位。就要确保每一项都采用同样的物理单位。这是在建立微分方程过程中容易疏忽的问题。这是在建立微分方程过程中容易疏忽的问题。3、单位4、约束条件、约束条件约束条件是关于所研究对象在某一特定时刻约束条件是关于所研究对象在某一特定时刻的信息（比如初始时刻），它们独立于微分的信息（比如初始时刻），它们独立于微分方程而存在。在建立微分方程模型后，利用方程而存在。在建立微分方程模型后，利用它们来确定模型中有关的常数，这些常数包它们来确定模型中有关的常数，这些常数包括比例系数、原微分方程的其他参数和解中括比例系数、原微分方程的其他参数和解中的积分常数。为了完整，充分地给出问题的的积分常数。为了完整，充分地给出问题的数学陈述，建模过程中应该将这些约束数学陈述，建模过程中应该将这些约束条件和微分方程一起写出。条件和微分方程一起写出。4、约束条件5、概念框架、概念框架前面阐述的都是使用微分方程建模的关键问题。当面临前面阐述的都是使用微分方程建模的关键问题。当面临一个典型问题是，首先必须有一个明确的概念框架一个典型问题是，首先必须有一个明确的概念框架（建立其他模型也是如此），这个概念框架就是关键步骤。（建立其他模型也是如此），这个概念框架就是关键步骤。具体如下：具体如下：（1）把用语言描述的情况转化为文字方程。）把用语言描述的情况转化为文字方程。（2）陈述出所涉及的原则或物理定律。）陈述出所涉及的原则或物理定律。（3）建立微分方程，配备方程各子项的单位。）建立微分方程，配备方程各子项的单位。（4）给定约束条件，包括初始条件或其他条件。）给定约束条件，包括初始条件或其他条件。（5）给出微分方程的解。）给出微分方程的解。（6）求出微分方程的常数。）求出微分方程的常数。（7）给出问题答案。）给出问题答案。（8）检验答案是否满足问题的要求。）检验答案是否满足问题的要求。在建模过程中，明确了概念框架，然后就是依次完成在建模过程中，明确了概念框架，然后就是依次完成框架中每一步所要做的事情。框架中每一步所要做的事情。5、概念框架模型模型1 1 饿狼追兔问题饿狼追兔问题现有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正现有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正西西100100米处。假设兔子与狼同时发现对方并米处。假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北一起起跑，兔子往正北6060米处的巢穴跑，米处的巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。问题是兔子能否狼的速度是兔子的两倍。问题是兔子能否安全回到巢穴？安全回到巢穴？yxhy=f(x)B-60A(100,0)C(x,y)O初等模型举例分析初等模型举例分析:模型1 饿狼追兔问题现有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正西1解解 首先建立坐标系，兔子在首先建立坐标系，兔子在O O处，狼在处，狼在A A处。处。由于狼要盯着兔子追，所以狼行走的是一条曲由于狼要盯着兔子追，所以狼行走的是一条曲线，且在同一时刻，曲线上狼的位置与兔子的线，且在同一时刻，曲线上狼的位置与兔子的位置的连线为曲线上该点处的切线。设狼的行位置的连线为曲线上该点处的切线。设狼的行走轨迹是走轨迹是y=f(x)y=f(x)，则有则有 ，又因狼的速度是兔子的两倍，所以在相同时间又因狼的速度是兔子的两倍，所以在相同时间内狼走的距离为兔子走的距离的两倍。假设在内狼走的距离为兔子走的距离的两倍。假设在某一时刻，兔子跑到某一时刻，兔子跑到(0,h)(0,h)处，而狼在处，而狼在(x,y)(x,y)处，处，则有则有解 首先建立坐标系，兔子在O处，狼在A处。由于狼要盯着兔子整理得到下述模型整理得到下述模型n这属于可降阶的二阶微分方程，解得狼的行这属于可降阶的二阶微分方程，解得狼的行走轨迹走轨迹n因因 ，所以狼追不上兔子。，所以狼追不上兔子。整理得到下述模型这属于可降阶的二阶微分方程，解得狼的行走轨迹模型模型2 2 尸体冷却问题尸体冷却问题受害者的尸体于晚上受害者的尸体于晚上7:307:30被发现，法医于被发现，法医于晚上晚上8:208:20赶到凶案现场，测得尸体温度为赶到凶案现场，测得尸体温度为32.632.6；一小时后，当尸体即将被抬走时，；一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为测得尸体温度为31.431.4，室温在几个小时，室温在几个小时内始终保持内始终保持21.121.1。此案最大的嫌疑犯张。此案最大的嫌疑犯张某声称自己是无罪的，并有证人说：某声称自己是无罪的，并有证人说：“下下午张某一直在办公室上班，午张某一直在办公室上班，5:005:00时打完电时打完电话后就离开了办公室话后就离开了办公室”。从张某到受害者。从张某到受害者家（凶案现场）步行需家（凶案现场）步行需5 5分钟，现在的问题分钟，现在的问题是，张某不在凶案现场的证言能否被采信，是，张某不在凶案现场的证言能否被采信，使他排除在嫌疑犯之外。使他排除在嫌疑犯之外。模型2 尸体冷却问题受害者的尸体于晚上7:30被发现，法医于解：首先应确定凶案的发生时间，若死亡时间在下解：首先应确定凶案的发生时间，若死亡时间在下午午5 5点点5 5分之前，则张某就不是嫌疑犯，否则不能将分之前，则张某就不是嫌疑犯，否则不能将张某排除。张某排除。设设T(t)T(t)表示表示t t时刻尸体的温度，并记晚上时刻尸体的温度，并记晚上8:208:20为为t=0t=0，则，则T(0)=32.6T(0)=32.6，T(1)=31.4T(1)=31.4。假设受害者死亡。假设受害者死亡时体温是正常的，即时体温是正常的，即T=37T=37是要确定受害者死亡的是要确定受害者死亡的时间，也就是求时间，也就是求T(t)=37T(t)=37的时刻，进而确定张某的时刻，进而确定张某是否是嫌疑犯。是否是嫌疑犯。n人体体温受大脑神经中枢调节。人死亡后体温调节人体体温受大脑神经中枢调节。人死亡后体温调节的功能消失，尸体的温度受外界环境温度的影响。的功能消失，尸体的温度受外界环境温度的影响。假设尸体温度的变化率服从牛顿冷却定律，即尸体假设尸体温度的变化率服从牛顿冷却定律，即尸体温度的变化律与他同周围的温度差成正比。即：温度的变化律与他同周围的温度差成正比。即：解：首先应确定凶案的发生时间，若死亡时间在下午5点5分之前，分离变量积分得：分离变量积分得：n由由T(0)=21.1+a=32.6 T(0)=21.1+a=32.6 得得a=11.5a=11.5；由；由T(1)=21.1+aeT(1)=21.1+ae-k-k=31.4=31.4n得得e-ke-k115/103115/103，即，即k=0.11k=0.11，所以，所以T(t)=21.1+11.5eT(t)=21.1+11.5e-0.11t-0.11tn当当T=37T=37时，有时，有t=-2.95 t=-2.95 小时小时-2-2小时小时5757分，分，8 8小时小时2020分分2 2小时小时5757分分5 5小时小时2323分。即死分。即死亡时间大约在下午亡时间大约在下午5:235:23，因此张某不能被排，因此张某不能被排除在嫌疑犯之外。除在嫌疑犯之外。分离变量积分得：由T(0)=21.1+a=32.6 得a=为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。本节将建立控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一下这方面的问题。几个简单的单种群增长模型，以简略分析一下这方面的问题。种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量,由此引由此引起的误差将是十分微小的。起的误差将是十分微小的。模型三、四模型三、四 MalthusMalthus模型与模型与LogisticLogistic模型模型 为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控模型三、人口模型模型三、人口模型(微分方程模型微分方程模型)1798年英国人口统计学家年英国人口统计学家Malthus在担任牧师期间，在担任牧师期间，查看当地教堂查看当地教堂100多年的人口出生资料发现多年的人口出生资料发现人口出生率是一个常数，于是他提出了闻名于世人口出生率是一个常数，于是他提出了闻名于世的的Malthus人口模型。人口模型。假设人口相对增长率是常数（即单位时间内人口假设人口相对增长率是常数（即单位时间内人口净增长数与人口总数之比）记为净增长数与人口总数之比）记为r,则：则：在在t到到t+这段时间内人口数量这段时间内人口数量N=N(t)增长量为：增长量为：N(t+)-N(t)=rN(t)模型三、人口模型(微分方程模型)假设人口相对增长率是常数（即 马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口净增长率人口净增长率r r基本上是一常数，（基本上是一常数，（r r=b b-d d,b b为出生率，为出生率，d d为死亡率），即：为死亡率），即：或或（3.5）（3.6）（3.1）的解为：的解为：其中其中N0=N(t0)为初始时刻为初始时刻t0时的种群数。时的种群数。马尔萨斯模型的一个显著特点马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需种群数量翻一番所需的时间是固定的的时间是固定的。令种群数量翻一番所需的时间为令种群数量翻一番所需的时间为T，则有：，则有：故故 马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口净模型检验模型检验 比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，1961年世界人年世界人口数为口数为30.6（即（即3.06109），人口增长率约为），人口增长率约为2%，人口数大，人口数大约每约每35年增加一倍。检查年增加一倍。检查1700年至年至1961的的260年人口实际数年人口实际数量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数量量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数量每每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。年增加一倍，两者也几乎相同。模型预测模型预测 假如人口数真能保持每假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式增长。例如，到以几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达年，人口达21014个，个，即使海洋全部变成陆地，每人也只有即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围，平方英尺的活动范围，而到而到2670年，人口达年，人口达361015个，只好一个人站在另一人的肩个，只好一个人站在另一人的肩上排成二层了。上排成二层了。故故马尔萨斯模型是不完善的。马尔萨斯模型是不完善的。几何级数的增长MalthusMalthus模型模型实际上只有在群体总数实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现等原因，就可能发生生存竞争等现象。象。所以所以MalthusMalthus模型假设的人口模型假设的人口净净增长率不可能始终保持常数，增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。它应当与人口数量有关。模型检验 比较历年的人口统计资料，可发现人数学建模微分方程第一讲课件数学建模微分方程第一讲课件模型模型2 2 Logistic Logistic模型模型 人口净增长率应当与人口数量有关，即：人口净增长率应当与人口数量有关，即：r=r(N)从而有：从而有：（3.7）r(N N)是未知函数，但根是未知函数，但根据实际背景，它无法用据实际背景，它无法用拟合方法来求拟合方法来求 。为了得出一个有实际意义的为了得出一个有实际意义的模型，我们不妨采用一下工模型，我们不妨采用一下工程师原则。工程师们在建立程师原则。工程师们在建立实际问题的数学模型时，总实际问题的数学模型时，总是采用尽可能简单的方法。是采用尽可能简单的方法。r(N)最简单的形式是常数，此最简单的形式是常数，此时得到的就是马尔萨斯模型。时得到的就是马尔萨斯模型。对马尔萨斯模型的最简单的改对马尔萨斯模型的最简单的改进就是引进一次项（竞争项）进就是引进一次项（竞争项）对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令 r(N)=r-aN 此时得到微分方程：此时得到微分方程：或或（3.8）（3.8）被称为被称为LogisticLogistic模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学生模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学生物学家弗赫斯特（物学家弗赫斯特（VerhulstVerhulst）首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群数）首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群数量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。（3.8）可改写成：可改写成：（3.9）(3.9)式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为的种群数量的上界为K（近似地将（近似地将K看成常数），看成常数），N表示当前的种群数量，表示当前的种群数量，K-N恰为环境还能供养的种群数量，（恰为环境还能供养的种群数量，（3.9）指出，种群增长率与两者的乘）指出，种群增长率与两者的乘积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（3.9）也被称为统计筹算律的原因。也被称为统计筹算律的原因。模型2 Logistic模型 人口净增长率应当与人口数量有图图3-5对对（3.9）分离变量：分离变量：两边积分并整理得：两边积分并整理得：令令N(0)=N0，求得：，求得：故故（3.9）的满足初始条件的满足初始条件N(0)=N0的解为：的解为：（3.10）易见：易见：N(0)=N0，N(t)的图形请看图的图形请看图3.5 图3-5对（3.9）分离变量：两边积分并整理得：令N(0)模型检验模型检验 用用LogisticLogistic模型来描述种群增长的规律效果如何呢？模型来描述种群增长的规律效果如何呢？19451945年克朗皮克（年克朗皮克（CrombicCrombic）做了一个人工饲养小谷虫的实验，数）做了一个人工饲养小谷虫的实验，数学生物学家高斯（学生物学家高斯（EFGaussEFGauss）也做了一个原生物草履虫实）也做了一个原生物草履虫实验，实验结果都和验，实验结果都和LogisticLogistic曲线十分吻合。曲线十分吻合。大量实验资料表明用大量实验资料表明用LogisticLogistic模型来描述种群的增长，效模型来描述种群的增长，效果还是相当不错的。例如，高斯果还是相当不错的。例如，高斯把把5只草履虫放进一个盛有只草履虫放进一个盛有0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9%的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量375个，实验数据与个，实验数据与r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的的LogisticLogistic曲线：曲线：几乎完全吻合，见图几乎完全吻合，见图3.6。图图3-6模型检验 用Logistic模型来描述种群增长的规律效MalthusMalthus模型和模型和LogisticLogistic模型的总结模型的总结 MalthusMalthus模型和模型和LogisticLogistic模型模型均为对微分方程（均为对微分方程（3.7）所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常为一常数，（数，（r被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原因，对模型进行修改。因，对模型进行修改。Malthus Malthus模型与模型与LogisticLogistic模型虽然都是为了研究种群数量的模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。Malthus模型和Logistic模型的总结 例例4-14-1 Logistic模型应用模型应用新产品的推广新产品的推广 经济学家和社会学家一直很关心新产品的推销速经济学家和社会学家一直很关心新产品的推销速度问题。怎样建立一个数学模型来描述它，并由此析度问题。怎样建立一个数学模型来描述它，并由此析出一些有用的结果以指导生产呢？以下是第二次世界出一些有用的结果以指导生产呢？以下是第二次世界大战后日本家电业界建立的电饭煲销售模型。大战后日本家电业界建立的电饭煲销售模型。设需求量有一个上界，并记此上界为设需求量有一个上界，并记此上界为K，记，记t时刻已销售出的时刻已销售出的电饭煲数量为电饭煲数量为x(t)，则尚未使用的人数大致为，则尚未使用的人数大致为Kx(t)，于是由统，于是由统计筹算律：计筹算律：记比例系数为记比例系数为k k，则则x(t)满足：满足：此方程即此方程即LogisticLogistic模型，解为：模型，解为：还有两个奇解还有两个奇解:x=0和和x=K 对对x(t)求一阶、两阶导数：求一阶、两阶导数：例4-1 Logistic模型应用新产品的推广 经济学x(t)0，即，即x(t)单调增加。单调增加。令令x(t0)=0，有，有当当tt0时，时，x(t)单调减小。单调减小。在销出量小于最大需求量的一在销出量小于最大需求量的一半时，销售速度是不断增大的，半时，销售速度是不断增大的，销出量达到最大需求量的一半销出量达到最大需求量的一半时，该产品最为畅销，接着销时，该产品最为畅销，接着销售速度将开始下降。售速度将开始下降。所以初期应采取小批量生产并加所以初期应采取小批量生产并加以广告宣传；从有以广告宣传；从有20%20%用户到有用户到有80%80%用户这段时期，应该大批量用户这段时期，应该大批量生产；后期则应适时转产，这样生产；后期则应适时转产，这样做可以取得较高的经济效果。做可以取得较高的经济效果。x(t)0，即x(t)单调增加。令x(t0)=0，有数学建模微分方程第一讲课件数学建模微分方程第一讲课件历史背景历史背景:模型六模型六 赝品的鉴定赝品的鉴定 在第二次世界大战比利时解放以后，荷兰野战军保安机关开始搜捕纳粹在第二次世界大战比利时解放以后，荷兰野战军保安机关开始搜捕纳粹同谋犯。他们从一家曾向纳粹德国出卖过艺术品的公司中发现线索，于同谋犯。他们从一家曾向纳粹德国出卖过艺术品的公司中发现线索，于19451945年年5 5月月2929日以通敌罪逮捕了三流画家范日以通敌罪逮捕了三流画家范梅格伦（梅格伦（HAVanmeegrenHAVanmeegren），此），此人曾将人曾将1717世纪荷兰名画家扬世纪荷兰名画家扬弗米尔（弗米尔（Jan VeermeerJan Veermeer）的油画）的油画“捉奸捉奸”等卖等卖给纳粹德国戈林的中间人。可是，范给纳粹德国戈林的中间人。可是，范梅格伦在同年梅格伦在同年7 7月月1212日在牢里宣称：日在牢里宣称：他从未把他从未把“捉奸捉奸”卖给戈林，而且他还说，这一幅画和众所周知的油画卖给戈林，而且他还说，这一幅画和众所周知的油画“在在埃牟斯的门徒埃牟斯的门徒”以及其他四幅冒充弗米尔的油画和两幅德胡斯（以及其他四幅冒充弗米尔的油画和两幅德胡斯（1717世纪荷兰世纪荷兰画家）的油画，都是他自己的作品，这件事在当时震惊了全世界，为了证明画家）的油画，都是他自己的作品，这件事在当时震惊了全世界，为了证明自己是一个伪造者，他在监狱里开始伪造弗米尔的油画自己是一个伪造者，他在监狱里开始伪造弗米尔的油画“耶稣在门徒们中间耶稣在门徒们中间”，当这项工作接近完成时，范，当这项工作接近完成时，范梅格伦获悉自己的通敌罪已被改为伪造罪，梅格伦获悉自己的通敌罪已被改为伪造罪，因此他拒绝将这幅画变陈，以免留下罪证。因此他拒绝将这幅画变陈，以免留下罪证。历史背景:模型六 赝品的鉴定 在第二次世界大战比利时解 为了审理这一案件，法庭组织了一个由著名化学家、物理学家和艺术史为了审理这一案件，法庭组织了一个由著名化学家、物理学家和艺术史学家组成的国际专门小组查究这一事件。他们用学家组成的国际专门小组查究这一事件。他们用X X射线检验画布上是否曾经射线检验画布上是否曾经有过别的画。此外，他们分析了油彩中的拌料（色粉），检验油画中有没有有过别的画。此外，他们分析了油彩中的拌料（色粉），检验油画中有没有历经岁月的迹象。科学家们终于在其中的几幅画中发现了现代颜料钴兰的痕历经岁月的迹象。科学家们终于在其中的几幅画中发现了现代颜料钴兰的痕迹，还在几幅画中检验出了迹，还在几幅画中检验出了2020世纪初才发明的酚醛类人工树脂。根据这些证世纪初才发明的酚醛类人工树脂。根据这些证据，范据，范梅格伦于梅格伦于19471947年年1010月月1212日被宣告犯有伪造罪，被判刑一年。可是他日被宣告犯有伪造罪，被判刑一年。可是他在监狱中只待了两个多月就因心脏病发作，于在监狱中只待了两个多月就因心脏病发作，于19471947年年1212月月3030日死去。日死去。历史背景历史背景:为了审理这一案件，法庭组织了一个由著名化学家、物理学 然而，事情到此并未结束，许多人还是不肯相信著名的然而，事情到此并未结束，许多人还是不肯相信著名的“在埃牟斯的门在埃牟斯的门徒徒”是范是范梅格伦伪造的。事实上，在此之前这幅画已经被文物鉴定家认定梅格伦伪造的。事实上，在此之前这幅画已经被文物鉴定家认定为真迹，并以为真迹，并以1717万美元的高价被伦布兰特学会买下。专家小组对于怀疑者的万美元的高价被伦布兰特学会买下。专家小组对于怀疑者的回答是：由于范回答是：由于范梅格伦曾因他在艺术界中没有地位而十分懊恼，他下决心梅格伦曾因他在艺术界中没有地位而十分懊恼，他下决心绘制绘制“在埃牟斯的门徒在埃牟斯的门徒”，来证明他高于三流画家。当创造出这样的杰作后，来证明他高于三流画家。当创造出这样的杰作后，他的志气消退了。而且，当他看到这幅他的志气消退了。而且，当他看到这幅“在埃牟斯的门徒在埃牟斯的门徒”多么容易卖掉以多么容易卖掉以后，他在炮制后来的伪制品时就不太用心了后，他在炮制后来的伪制品时就不太用心了 。这种解释不能使怀疑者感到。这种解释不能使怀疑者感到满意，他们要求完全科学地、确定地证明满意，他们要求完全科学地、确定地证明“在埃牟斯的门徒在埃牟斯的门徒”的确是一个伪的确是一个伪造品。这一问题一直拖了造品。这一问题一直拖了2020年，直到年，直到19671967年，才被卡内基年，才被卡内基梅伦梅伦（Carnegie-MellonCarnegie-Mellon）大学的科学家们）大学的科学家们 基本上解决。基本上解决。历史背景历史背景:然而，事情到此并未结束，许多人还是不肯相信著名的“在原理与模型原理与模型 测定油画和其他岩石类材料的年龄的关键是本世纪初发现的测定油画和其他岩石类材料的年龄的关键是本世纪初发现的放射性现象。放射性现象。放射性现象放射性现象：著名物理学家卢瑟夫在本世纪初发现，某些：著名物理学家卢瑟夫在本世纪初发现，某些“放放射性射性”元素的原子是不稳定的，并且在已知的一段时间内，有元素的原子是不稳定的，并且在已知的一段时间内，有一定比例的原子自然蜕变而形成新元素的原子，且物质的放射一定比例的原子自然蜕变而形成新元素的原子，且物质的放射性与所存在的物质的原子数成正比。性与所存在的物质的原子数成正比。用用N(t)表示时间表示时间t时存在的原子数时存在的原子数,则：则：常数常数是正的，称为该是正的，称为该物质的衰变常数物质的衰变常数 用用来计算半衰期来计算半衰期T:与负增长的与负增长的MalthusMalthus模型模型完全一样完全一样 其解为其解为:令令则有则有:许多物质的半衰期已被测许多物质的半衰期已被测定，如碳定，如碳14，其，其T=5568；轴轴238，其，其T=45亿年。亿年。原理与模型 测定油画和其他岩石类材料的年龄的关键是本世纪初发与本问题相关的其他知识与本问题相关的其他知识:(1)艺术家们应用白铅作为颜料之一，已达两千年以上。白艺术家们应用白铅作为颜料之一，已达两千年以上。白铅中含有微量的放射铅铅中含有微量的放射铅210，白铅是从铅矿中提炼出来的，而，白铅是从铅矿中提炼出来的，而铅又属于铀系，其演变简图如下（删去了许多中间环节）铅又属于铀系，其演变简图如下（删去了许多中间环节）(3)从铅矿中提炼铅时，铅从铅矿中提炼铅时，铅210与铅与铅206一起被作为铅留下，一起被作为铅留下，而其余物质则有而其余物质则有9095%被留在矿渣里，因而打破了原有的放被留在矿渣里，因而打破了原有的放射性平衡。射性平衡。铀铀238-45亿亿年年-钍钍234-24天天-钋钋234-6/5分分-铀铀234-257亿亿年年-钍钍230-8万万年年-镭镭226-1600年年-氡氡222-19/5天天-钋钋218-3分分-铅铅214-27分分-钋钋214-铅铅210-20年年-铋铋210-5天天-钋钋210-138天天-铅铅206（一种非放射性物质）（一种非放射性物质）注：时间均为半衰期注：时间均为半衰期 (2)地壳里几乎所有的岩石中均含有微量的铀。一方面，铀地壳里几乎所有的岩石中均含有微量的铀。一方面，铀系中的各种放射性物质均在不断衰减，而另一方面，铀又不断系中的各种放射性物质均在不断衰减，而另一方面，铀又不断地衰减，补充着其后继元素。各种放射性物质（除铀以外）在地衰减，补充着其后继元素。各种放射性物质（除铀以外）在岩石中处于放射性平衡中。根据世界各地抽样测量的资料，地岩石中处于放射性平衡中。根据世界各地抽样测量的资料，地壳中的铀在铀系中所占平均重量比约为百万分之壳中的铀在铀系中所占平均重量比约为百万分之2.7（一般含量（一般含量极微）。各地采集的岩石中铀的含量差异很大，但从未发现含极微）。各地采集的岩石中铀的含量差异很大，但从未发现含量高于量高于23%的。的。与本问题相关的其他知识:(1)艺术家们应用白铅作简化假定：简化假定：本问题建模是为了鉴定几幅不超过本问题建模是为了鉴定几幅不超过300年的古画，为了使模型年的古画，为了使模型尽可能简单，可作如下假设：尽可能简单，可作如下假设：(1)由于镭的半衰期为由于镭的半衰期为1600年，经过年，经过300年左右，应用微分年左右，应用微分方程方法不难计算出白铅中的镭至少还有原量的方程方法不难计算出白铅中的镭至少还有原量的90%，故可以，故可以假定，每克白铅中的镭在每分钟里的分解数是一个常数。假定，每克白铅中的镭在每分钟里的分解数是一个常数。(2)铅铅210210的衰变为：的衰变为：铅铅210T=22年年钋钋210铅铅206T=138天天若画为真品，颜料应有若画为真品，颜料应有300年左右或年左右或300年以上的历史，容易证年以上的历史，容易证明：每克白铅中钋明：每克白铅中钋210的分解数等于铅的分解数等于铅210的分解数（相差极微，的分解数（相差极微，已无法区别）。可用前者代替后者，因钋的半衰期较短，易于已无法区别）。可用前者代替后者，因钋的半衰期较短，易于测量测量。简化假定：本问题建模是为了鉴定几幅不超过300年的古画，为了建模：建模：(1)记提炼白铅的时刻为记提炼白铅的时刻为t=0，当时每克白铅中铅，当时每克白铅中铅210的分子的分子数为数为y0，由于提炼前岩石中的铀系是处于放射性平衡的，故铀，由于提炼前岩石中的铀系是处于放射性平衡的，故铀与铅的单位时间分解数相同。可以推算出当时每克白铅中铅与铅的单位时间分解数相同。可以推算出当时每克白铅中铅210每分钟分解数不能大于每分钟分解数不能大于30000个。个。若若则则（个）这些铀约重这些铀约重 （克）即每克白铅约含即每克白铅约含0.040.04克铀，含量为克铀，含量为4%4%以上确定了每克白铅中铅分解数以上确定了每克白铅中铅分解数的上界，若画上的铅分解数大于的上界，若画上的铅分解数大于该值，说明画是赝品；但若是小该值，说明画是赝品；但若是小于不能断定画一定是真品。于不能断定画一定是真品。建模：(1)记提炼白铅的时刻为t=0，当时每克 (2)设设t时刻时刻1克白铅中铅克白铅中铅210含量为含量为y(t)，而镭的单位时间分，而镭的单位时间分解数为解数为r（常数），则（常数），则y(t)满足微分方程：满足微分方程：由此解得：由此解得：故：故：画中每克白铅所含铅画中每克白铅所含铅210目前的分解数目前的分解数y(t)及目前镭的分解及目前镭的分解数数r均可用仪器测出，从而可求出均可用仪器测出，从而可求出y0的近似值，并利用（的近似值，并利用（1）判）判断这样的分解数是否合理。断这样的分解数是否合理。(2)设t时刻1克白铅中铅210含量为y(t)，而Carnegie-MellonCarnegie-Mellon大学的科学家们利用上述模型对部分有疑问大学的科学家们利用上述模型对部分有疑问的油画作了鉴定，测得数据如下（见表的油画作了鉴定，测得数据如下（见表3-13-1）。）。油画名称油画名称210210分解数（个分解数（个/分）分）镭镭226226分解数（个分解数（个/分）分）1 1、在埃牟斯的门徒、在埃牟斯的门徒 8.5 8.50.80.82 2、濯足、濯足12.612.60.260.263 3、看乐谱的女人、看乐谱的女人10.310.30.30.34 4、演演奏奏曼曼陀陀琳琳的的女女人人8.28.20.170.175 5、花边织工、花边织工1.51.51.41.46 6、笑女、笑女5.25.26.06.0计算计算y0（个（个/分）分）98050980501571301571301273401273401022501022501274.81274.8-10181-10181表表3-1 3-1 对对“在埃牟斯的门徒在埃牟斯的门徒”，y y0 09805098050（个（个/每克每分钟），它必定是一每克每分钟），它必定是一幅伪造品。类似可以判定（幅伪造品。类似可以判定（2 2），（），（3 3），（），（4 4）也是赝品。而（）也是赝品。而（5 5）和（）和（6 6）都不会是几十年内伪制品，因为放射性物质已处于接近平衡的状态，这样的都不会是几十年内伪制品，因为放射性物质已处于接近平衡的状态，这样的平衡不可能发生在十九世纪和二十世纪的任何作品中。平衡不可能发生在十九世纪和二十世纪的任何作品中。判定判定结果：结果：Carnegie-Mellon大学的科学家们利用上述模型对部 利用放射原理，还可以对其他文物的年代进行测定。利用放射原理，还可以对其他文物的年代进行测定。例如对有机物（动、植物）遗体，考古学上目前流行的测例如对有机物（动、植物）遗体，考古学上目前流行的测定方法是放射性碳定方法是放射性碳1414测定法，这种方法具有较高的精确度，测定法，这种方法具有较高的精确度，其基本原理是：由于大气层受到宇宙线的连续照射，空气其基本原理是：由于大气层受到宇宙线的连续照射，空气中含有微量的中微子，它们和空气中的氮结合，形成放射中含有微量的中微子，它们和空气中的氮结合，形成放射性碳性碳1414（C C1414）。有机物存活时，它们通过新陈代谢与外界）。有机物存活时，它们通过新陈代谢与外界进行物质交换，使体内的进行物质交换，使体内的C C1414处于放射性平衡中。一旦有机处于放射性平衡中。一旦有机物死亡，新陈代谢终止，放射性平衡即被破坏。因而，通物死亡，新陈代谢终止，放射性平衡即被破坏。因而，通过对比测定，可以估计出它们生存的年代。例如，过对比测定，可以估计出它们生存的年代。例如，19501950年年在巴比伦发现一根刻有在巴比伦发现一根刻有HammurabiHammurabi王朝字样的木炭，经测定，王朝字样的木炭，经测定，其其C C1414衰减数为衰减数为4.094.09个个/每克每分钟，而新砍伐烧成的木炭中每克每分钟，而新砍伐烧成的木炭中C C1414衰减数为衰减数为6.686.68个个/每克每分钟，每克每分钟，C C1414的半衰期为的半衰期为55685568年，年，由此可以推算出该王朝约存在于由此可以推算出该王朝约存在于3900-40003900-4000年前。年前。利用放射原理，还可以对其他文物的年代进行测定。例如对数学建模微分方程第一讲课件2、单种群微分模型表达式、单种群微分模型表达式（1）只考虑内禀增长率）只考虑内禀增长率bdN(t)内禀增长率内禀增长率N(t)t2、单种群微分模型表达式（1）只考虑内禀增长率bdN(t)内（2）考虑密度制约影响（如环境容纳量的制约）考虑密度制约影响（如环境容纳量的制约）内禀增长率内禀增长率环境容纳量环境容纳量N(t)tk（2）考虑密度制约影响（如环境容纳量的制约）内禀增长率环境容(3)考虑其他因素（各个方面）影响考虑其他因素（各个方面）影响模型的一般式可写为：模型的一般式可写为：或或根据实验数据来确定根据实验数据来确定F和和f的函数形式的函数形式Logistic模型模型(3)考虑其他因素（各个方面）影响或根据实验数据来确定Log例如：池塘里，鱼的增长模型可记为：例如：池塘里，鱼的增长模型可记为：又如：若是公海，则每一个国家都有各自的捕鱼又如：若是公海，则每一个国家都有各自的捕鱼规律，则鱼的增长模型可记为：规律，则鱼的增长模型可记为：时变收获率时变收获率各个国家的时变收获率各个国家的时变收获率例如：池塘里，鱼的增长模型可记为：又如：若是公海，则每一个国3、两种群微分模型、两种群微分模型两种群在一个共同的自然环境中生存，两种群在一个共同的自然环境中生存，它们之间的相互作用只有以下四种情况：它们之间的相互作用只有以下四种情况：（1）捕食者与被捕食者）捕食者与被捕食者（2）寄生物与寄主）寄生物与寄主（3）两种群相互竞争）两种群相互竞争（4）两种群互惠共存）两种群互惠共存3、两种群微分模型两种群在一个共同的自然环境中生存，假设相互作用的两种群在时刻假设相互作用的两种群在时刻t的密度分别为的密度分别为x(t)和和y(t),显然它们如果是单独生存的话，它显然它们如果是单独生存的话，它们都要分别符合：们都要分别符合：的但种群增长规律增长。的但种群增长规律增长。但现在但现在x(t)和和y(t)有相互作用。有相互作用。假设相互作用的两种群在时刻t的密度分别为的但种群增长规律增长假设假设x(t)受到受到y(t)的作用，作用函数是的作用，作用函数是g(y);y(t)受到受到x(t)的作用，作用函数是的作用，作用函数是f(x),则两则两种群互相作用模型如下：种群互相作用模型如下：F(x(t)g(y)x(t)y(t)G(y(t)f(x)假设x(t)受到y(t)的作用，作用函数是g(y);F(x(例如：例如：1926年年Volterra提出一个非常著名的捕食提出一个非常著名的捕食食饵模型：食饵模型：x(t)y(t)例如：1926年Volterra提出一个非常著名的捕食食饵数学建模微分方程第一讲课件例如：例如：1973年年Gilpin-Ayala竞争模型：竞争模型：例如：例如：1976年年May互惠共存模型：互惠共存模型：y的存在使的存在使x的容纳量扩大的容纳量扩大x的存在使的存在使y的容纳量扩大的容纳量扩大例如：1973年Gilpin-Ayala竞争模型：例如：194、三种群模型、三种群模型三种群中其实就是将两种群的三种群中其实就是将两种群的4种关系种关系（捕食、寄生、竞争、共存）两两组合，（捕食、寄生、竞争、共存）两两组合，从而产生种类繁多的数学模型。从而产生种类繁多的数学模型。如：如：CBA说明：说明：C主要以主要以A,B为生为生 当当A=B=0时，时，C 0A B：捕食：捕食食饵食饵A B:互惠共存互惠共存A B：竞争：竞争4、三种群模型如：CBA说明：C主要以A,B为生A 数学表达式为：数学表达式为：数学表达式为：ACB例例2、ACB例2、ACB例例3、ACB例3、ABC例例4、ABC例4、ACB例例5、ACB例5、ACB例例6、ACB例6、ACB例例7、ACB例7、ACB例例8、ACB例8、注意：对于离散时间的单种群、两种群、多种群注意：对于离散时间的单种群、两种群、多种群的相互作用模型，它们的形式与上面微分方程模的相互作用模型，它们的形式与上面微分方程模型完全类似，只要把那里的微分改为差分就可以。型完全类似，只要把那里的微分改为差分就可以。1、两种群相互作用的一般差分方程如下：、两种群相互作用的一般差分方程如下：注意：对于离散时间的单种群、两种群、多种群范例范例范例2、差分方程建模的另一种方法、差分方程建模的另一种方法 相互作用事件的概率描述相互作用事件的概率描述例如：三种群相互作用差分方程模型。例如：三种群相互作用差分方程模型。2、差分方程建模的另一种方法数学建模微分方程第一讲课件数学建模微分方程第一讲课件数学建模微分方程第一讲课件数学建模微分方程第一讲课件以上方法可以把四种作用推广到以上方法可以把四种作用推广到4个种群个种群以及更多个种群上去，并且可得到相应的以及更多个种群上去，并且可得到相应的数学模型数学模型以上方法可以把四种作用推广到4个种群数学建模微分方程第一讲课件 传染病历来就是人类的大敌。公元传染病历来就是人类的大敌。公元600年瘟疫年瘟疫的流行导致欧洲约一半人丧生，在死亡率最高的流行导致欧洲约一半人丧生，在死亡率最高时每天死亡达时每天死亡达1万多人；使人闻之色变的黑死病万多人；使人闻之色变的黑死病（淋巴腺鼠疫）曾于（淋巴腺鼠疫）曾于1346年年-1722年年3次大规模次大规模流行于欧洲，造成大批人员死亡，给人类带来流行于欧洲，造成大批人员死亡，给人类带来了深重的灾难。长期以来，尽管人类与各种传了深重的灾难。长期以来，尽管人类与各种传染病进行了不屈不饶的斗争，特别是染病进行了不屈不饶的斗争，特别是20世纪世纪取得了不少辉煌成果，但是征服传染病的道路取得了不少辉煌成果，但是征服传染病的道路依然曲折漫长。世界卫生组织（依然曲折漫长。世界卫生组织（WTO）的研究）的研究报告表明，传染病仍然是人类第一杀手。报告表明，传染病仍然是人类第一杀手。传染病历来就是人类的大敌。公元600年瘟疫 以以1995年为例，全世界共死亡年为例，全世界共死亡5200万人，其中万人，其中1700万人丧生于各种传染病。近万人丧生于各种传染病。近20年来，像年来，像AIDS病，病，039霍乱，疯牛病，霍乱，疯牛病，SARS等恶性传染病相继爆发，等恶性传染病相继爆发，结核，白喉，鼠疫，登革热等一些老的传染病也重新结核，白喉，鼠疫，登革热等一些老的传染病也重新抬头。特别是抬头。特别是AIDS病传播迅速，联合国艾滋病规划署病传播迅速，联合国艾滋病规划署和和WTO报告显示：截止报告显示：截止2000年底，全球累计感染年底，全球累计感染HIV病毒人数已达到病毒人数已达到5790万人，每天有近万人，每天有近16000名新感染者。名新感染者。该两组织估计，若不采取紧急有效的措施，到该两组织估计，若不采取紧急有效的措施，到2100年年非洲人的平均寿命将因为艾滋病而下降非洲人的平均寿命将因为艾滋病而下降30岁，非洲撒岁，非洲撒哈拉沙漠以南地区的一半人口将因哈拉沙漠以南地区的一半人口将因AIDS而死亡。因此，而死亡。因此，研究传染病动力学模型具有重要的意义。研究传染病动力学模