数学建模 第四章 概率统计模型课件

数学建模数学建模数学建模数学建模（Mathematical Modeling)Mathematical Modeling)数学建模（Mathematical Modeling)概率统计模型概率统计模型数数 学学 建建 模模 概率统计模型数 学 建 模 线性回归模型线性回归模型概率统计模型概率统计模型经济轧钢模型经济轧钢模型重点重点:概率统计模型的建立和求解概率统计模型的建立和求解难点难点:概率统计模型的基本原理及数值计算概率统计模型的基本原理及数值计算决策模型决策模型数数 学学 建建 模模建模举例建模举例排队论模型排队论模型 报纸零售商最优购报问题报纸零售商最优购报问题 线性回归模型概率统计模型经济轧钢模型重点:概率统计模型的建立数数 学学 建建 模模 决策问题是人们在政治、经济、技术和决策问题是人们在政治、经济、技术和日常生活中经常遇到的一类问题。它是现代日常生活中经常遇到的一类问题。它是现代企业管理的核心问题，贯穿于整个企业管理企业管理的核心问题，贯穿于整个企业管理的始终。本节将首先简要说明决策的概念和的始终。本节将首先简要说明决策的概念和分类，然后介绍风险型和不确定型决策模型分类，然后介绍风险型和不确定型决策模型及其应用。及其应用。4.1 4.1 决策模型决策模型数 学 建 模 决策问题是人们在政治、经济、技数数 学学 建建 模模 4.1.1 4.1.1 决策的概念和类型决策的概念和类型 所谓决策，就是从多个备选方案中，选择一个所谓决策，就是从多个备选方案中，选择一个最优的或满意的方案付诸实施。最优的或满意的方案付诸实施。例例4.1.1（展销会选址问题）（展销会选址问题）某公司为扩大市场，要举办一个产品展销某公司为扩大市场，要举办一个产品展销会，会址打算选择甲、乙、丙三地，获利情会，会址打算选择甲、乙、丙三地，获利情况除了与会址有关外，还与天气有关，天气况除了与会址有关外，还与天气有关，天气分为晴、阴、多雨三种，据天气预报，估计分为晴、阴、多雨三种，据天气预报，估计三种天气情况可能发生概率为三种天气情况可能发生概率为0.2，0.5，0.3其收益情况见表其收益情况见表4.4.1，现要通过分析，确定，现要通过分析，确定会址，使收益最大。会址，使收益最大。数 学 建 模 4.1.1 决策的概念和类型 所数数 学学 建建 模模 1.决策者决策者2.决策的备选方案或策略决策的备选方案或策略A1，A2，Am3.决策准则，即衡量所选方案正确性的标准。对决策准则，即衡量所选方案正确性的标准。对 同一个决策问题，不同的决策准则将导致不同同一个决策问题，不同的决策准则将导致不同 的方案选择。的方案选择。4.事件或自然状态事件或自然状态N1，N2，Nn5.结果，即某事件结果，即某事件(状态状态)发生带来的收益或损失值发生带来的收益或损失值 决策问题通常包含以下要素：决策问题通常包含以下要素：数 学 建 模 1.决策者决策问题通常包含以下要素：数数 学学 建建 模模 数 学 建 模 数数 学学 建建 模模 决策的分类：决策的分类：1.确定型决策确定型决策自然状态只有一种，即自然状态只有一种，即n=1；2.风险型决策风险型决策n1且各种自然状态出现的概率且各种自然状态出现的概率Pj（j=1，2，n）可通过某种途径获得；）可通过某种途径获得；3.不确定型决策不确定型决策各种自然状态下发生的概率各种自然状态下发生的概率既不知道，也无法预先估计。既不知道，也无法预先估计。数 学 建 模 决策的分类：1.确定型决策自然状态只有一数数 学学 建建 模模 4.1.2 4.1.2 风险型决策问题风险型决策问题 由概率论知识，一个事件的概率就是该事由概率论知识，一个事件的概率就是该事件在一次试验中发生的可能性大小，概率越大，件在一次试验中发生的可能性大小，概率越大，事件发生的可能性就越大。基于这种思想，在事件发生的可能性就越大。基于这种思想，在风险决策中我们选择一种发生概率最大的自然风险决策中我们选择一种发生概率最大的自然状态来进行决策，而不顾及其他自然状态的决状态来进行决策，而不顾及其他自然状态的决策方法，这就是最大可能准则。这个准则的实策方法，这就是最大可能准则。这个准则的实质是将风险型决策问题转化为确定型决策问题质是将风险型决策问题转化为确定型决策问题的一种决策方法。的一种决策方法。1 1最大可能准则最大可能准则数 学 建 模 4.1.2 风险型决策问题 数数 学学 建建 模模 例如例如4.4.14.4.1投资决策问题若采用最大可能准则可得投资决策问题若采用最大可能准则可得因此方案因此方案A A1 1最优。最优。应该指出的是：如果各种自然状态出现的概率比较应该指出的是：如果各种自然状态出现的概率比较接近，此决策方法不宜采用。接近，此决策方法不宜采用。数 学 建 模 例如4.4.1投资决策问题若采用最大可能准则数数 学学 建建 模模 如果把每个行动方案看作随机变量，在每个自如果把每个行动方案看作随机变量，在每个自 然状态下的效益值看作随机变量的取值，其概率然状态下的效益值看作随机变量的取值，其概率为自然状态出现的概率，则期望值准则就是将每为自然状态出现的概率，则期望值准则就是将每个行动方案的数学期望计算出来，视其决策目标个行动方案的数学期望计算出来，视其决策目标的情况选择最优行动方案。的情况选择最优行动方案。2 2期望值准则期望值准则数 学 建 模 如果把每个行动方案看作随机变量，在每数数 学学 建建 模模 例如，对例例如，对例4.1.14.1.1按期望值准则进行决策，则需要按期望值准则进行决策，则需要计算各行动方案的期望收益值，事实上计算各行动方案的期望收益值，事实上 显然，显然，E(AE(A1 1)最大，所以采取行动方案最大，所以采取行动方案A A1 1最佳，即最佳，即选择甲地举办展销会效益最大。选择甲地举办展销会效益最大。有些实际问题中，为了获得收益，还必须增加一定的投资，有些实际问题中，为了获得收益，还必须增加一定的投资，这时，需从投资和收益两个方面综合考虑选择最优行动方案。这时，需从投资和收益两个方面综合考虑选择最优行动方案。数 学 建 模 例如，对例4.1.1按期望值准则进行决数数 学学 建建 模模 决策树法就是把各种备选方案、可能出现的状决策树法就是把各种备选方案、可能出现的状态和概率以及产生的后果用树状图画出来（形象态和概率以及产生的后果用树状图画出来（形象地称为决策树或决策树图），然后根据期望值准地称为决策树或决策树图），然后根据期望值准则进行决策的一种方法。则进行决策的一种方法。3.3.决策树法决策树法数 学 建 模 决策树法就是把各种备选方案、可能出数数 学学 建建 模模 1.画一个方框画一个方框作为出发点，称为作为出发点，称为决策点决策点。从决策点画出若干条直线或折线，每一条从决策点画出若干条直线或折线，每一条代表一个行动方案，这样的直代表一个行动方案，这样的直(折折)线，称线，称为为方案分枝方案分枝。分枝数表示可能的行动方案。分枝数表示可能的行动方案数。数。步骤如下步骤如下:2.在各方案分枝的末端画一个圆圈在各方案分枝的末端画一个圆圈，称，称为为状态节点状态节点或方案节点。从状态节点引出或方案节点。从状态节点引出若干条直线或折线，此分枝称为若干条直线或折线，此分枝称为概率分枝概率分枝。每条线表示一种自然状态，在线旁边标出每条线表示一种自然状态，在线旁边标出相应状态发生的概率。相应状态发生的概率。数 学 建 模 1.画一个方框作为出发点，称为决策点。从决数数 学学 建建 模模 3.在各概率分枝的末端画一个三角在各概率分枝的末端画一个三角，称为，称为末稍末稍节点节点。把各方案在各种状态下的益损值标记在末。把各方案在各种状态下的益损值标记在末稍节点右边稍节点右边4.在决策树上在决策树上由右向左计算各状态点出的数学期由右向左计算各状态点出的数学期望值望值，并将结果标在状态节点上。遇到决策点则，并将结果标在状态节点上。遇到决策点则比较各方案分枝的效益期望值以决定方案的优劣，比较各方案分枝的效益期望值以决定方案的优劣，并且双线并且双线“”划去淘汰掉的方案分枝，选出划去淘汰掉的方案分枝，选出收益期望值最大收益期望值最大(或损失值最小或损失值最小)的方案作为最优的方案作为最优方案，将最优方案的期望值标在决策点的上方。方案，将最优方案的期望值标在决策点的上方。数 学 建 模 3.在各概率分枝的末端画一个三角，称为末稍数数 学学 建建 模模 下面采用决策树法求解展销会选址问题下面采用决策树法求解展销会选址问题 数 学 建 模 下面采用决策树法求解展销会选址问题 数数 学学 建建 模模 例例4.4.14.4.1只包括一个决策点，称为只包括一个决策点，称为单级决策单级决策问题问题。在有些实际问题中将包括两个或两个。在有些实际问题中将包括两个或两个以上的决策点，称为以上的决策点，称为多级决策问题多级决策问题，可利用，可利用同样的思路进行决策。同样的思路进行决策。例例4.1.2 某工程采用正常速度施工，若无坏天气的某工程采用正常速度施工，若无坏天气的影响，可确保在影响，可确保在30天内按期完成工程，但据天气预天内按期完成工程，但据天气预报，报，15天后天气肯定变坏，有天后天气肯定变坏，有40%的可能出现的可能出现阴雨阴雨天气天气，但这不会影响工程进度，有，但这不会影响工程进度，有50%的可能遇到的可能遇到小风暴小风暴，而使工期推迟，而使工期推迟15天；另有天；另有10%的可能遇到的可能遇到大风暴大风暴而使工期推迟而使工期推迟20天。对于以上可能出现的情天。对于以上可能出现的情况，考虑两种方案：况，考虑两种方案：数 学 建 模 例4.4.1只包括一个决策点，称为单级决策问数数 学学 建建 模模 1 1）提前加班，确保工程在）提前加班，确保工程在1515天内完成，实施此方案需增加额外支付天内完成，实施此方案需增加额外支付18 18 000000元。元。2 2）先维持原定的施工进度，等到）先维持原定的施工进度，等到1515天后根据实际出现的天气状况再天后根据实际出现的天气状况再作对策：作对策：a a）若若遇阴雨天遇阴雨天，则维持正常进度，不必支付额外费用。，则维持正常进度，不必支付额外费用。b b）若）若遇小风暴遇小风暴，则有下述两个供选方案：一是抽空（风暴过后）施，则有下述两个供选方案：一是抽空（风暴过后）施工，支付工程延期损失费工，支付工程延期损失费20 00020 000元，二是采用应急措施，实施此措施元，二是采用应急措施，实施此措施可能有三种结果：有可能有三种结果：有50%50%的可能减少误工期的可能减少误工期1 1天，支付延期损失费和应天，支付延期损失费和应急费用急费用24 00024 000元；元；30%30%的可能减少误工期的可能减少误工期2 2天，支付延期损失费和应急天，支付延期损失费和应急费用费用18 00018 000元元;有有20%20%的可能减少误工期的可能减少误工期3 3天，支付延期损失费和应急天，支付延期损失费和应急费用费用12 00012 000元。元。c c）若）若遇大风暴遇大风暴，则仍然有两个方案可供选择：一是抽空进行施工，则仍然有两个方案可供选择：一是抽空进行施工，支付工程的延期损失费支付工程的延期损失费50 00050 000元元;二是采取应急措施，实施此措施可二是采取应急措施，实施此措施可能有三种结果：有能有三种结果：有70%70%的可能减少误工期的可能减少误工期 2 2天，支付延期损失费及应天，支付延期损失费及应急费用急费用54 00054 000元；有元；有20%20%可能减小误工期可能减小误工期3 3天，支付延期损失费及应急天，支付延期损失费及应急费用费用46 00046 000元；有元；有10%10%的可能减少误工期的可能减少误工期4 4天，支付延期损失费及应急天，支付延期损失费及应急费用费用38 00038 000元。元。试进行决策，选择最佳行动方案。试进行决策，选择最佳行动方案。数 学 建 模 1）提前加班，确保工程在15天内完成，实施此数数 学学 建建 模模 解解（1 1）据题意画出决策树）据题意画出决策树数 学 建 模 解（1）据题意画出决策树数数 学学 建建 模模 （2）计算第一级节点）计算第一级节点E,F的损失费用期望值的损失费用期望值将将19 800和和50 800标在相应的机会点上，然后在第一级决策点标在相应的机会点上，然后在第一级决策点C,D外分外分别进行方案比较：首先考察别进行方案比较：首先考察C点，其应急措施支付额外费用的期望值较点，其应急措施支付额外费用的期望值较少，故它为最佳方案，同时划去抽空施工的方案分枝，再在少，故它为最佳方案，同时划去抽空施工的方案分枝，再在C上方标明上方标明最佳方案期望损失费用最佳方案期望损失费用19 800元；再考虑元；再考虑D外的情况，应急措施比抽空外的情况，应急措施比抽空施工支付的额外费用的期望值少，故划去应急措施分标，在施工支付的额外费用的期望值少，故划去应急措施分标，在D上方标上上方标上50 000元。元。（3）计算第二级节点）计算第二级节点B的损失费用期望值的损失费用期望值将其标在将其标在B的上方，在第二级决策点的上方，在第二级决策点A处进行比较，发现正常进度方案处进行比较，发现正常进度方案为最佳方案，故划去提前加班的方案分枝，并将为最佳方案，故划去提前加班的方案分枝，并将14 900标在标在A点上方。点上方。数 学 建 模（2）计算第一级节点E,F的损失费用期望值数数 学学 建建 模模 4.1.3 4.1.3 不确定型决策不确定型决策1.1.乐观准则乐观准则 乐观准则的思想就是对客观情况总是持乐观态乐观准则的思想就是对客观情况总是持乐观态度，事事都合人意，即选最大效益的最大值度，事事都合人意，即选最大效益的最大值所对应的行动方案作为决策，也称为所对应的行动方案作为决策，也称为好中求好法好中求好法。数 学 建 模 4.1.3 不确定型决策1.乐观准则 数数 学学 建建 模模 2 2悲观准则悲观准则 悲观准则的思想就是对客观情况总是持悲观悲观准则的思想就是对客观情况总是持悲观态度，万事都不会如意，即总是把事情的结果估态度，万事都不会如意，即总是把事情的结果估计的很不利，因此就在最坏的情况下找一个较好计的很不利，因此就在最坏的情况下找一个较好的行动方案。也就是在每个状态下的最小效益值的行动方案。也就是在每个状态下的最小效益值中选最大值中选最大值 所对应的行动方案作为所对应的行动方案作为决策，也称为决策，也称为小中取大小中取大法法。数 学 建 模 2悲观准则 悲观准则的思想就是对数数 学学 建建 模模 3 3等可能准则（等可能准则（LaplaceLaplace准则）准则）等可能准则的思想就是既然不能断定哪种自然等可能准则的思想就是既然不能断定哪种自然状态出的可能性的大小，就认为各自然状态出现的状态出的可能性的大小，就认为各自然状态出现的可能性相同可能性相同，即，即 。然后按风险决。然后按风险决策的方法进行决策。策的方法进行决策。数 学 建 模 3等可能准则（Laplace准则）数数 学学 建建 模模 例例4.1.3 4.1.3 某厂有一种新产品，其推销策略有某厂有一种新产品，其推销策略有A A1 1，A A2 2，A A3 3 三种可供选择，但各方案所需资金、时间都不三种可供选择，但各方案所需资金、时间都不同，加上市场情况的差别，因而获利和亏损情况不同，加上市场情况的差别，因而获利和亏损情况不同，而市场情况有三种：同，而市场情况有三种：N N1 1需求量大需求量大，N N2 2需求量一需求量一般般，N N3 3需求量低需求量低。市场情况的概率并不知道，其效。市场情况的概率并不知道，其效益值见表益值见表4.1.24.1.2。（1 1）用）用乐观法乐观法进行决策。进行决策。（2 2）用）用悲观法悲观法进行决策。进行决策。（3 3）用）用等可能等可能法进行决策。法进行决策。数 学 建 模 例4.1.3 某厂有一种新产品，其推销策略数数 学学 建建 模模 市场情况销售策略 A1 A2 A3 N1 N2 N3 50 10 -5 30 25 0 10 10 10 N aA表表4.1.2数 学 建 模 市场情况销售策略 数数 学学 建建 模模 解解 乐观法：乐观法：因为每个行动方案在各种状态下的最因为每个行动方案在各种状态下的最大效益值为大效益值为 所以最大效益的最大值为所以最大效益的最大值为 其最大值其最大值50对应的行动方案为对应的行动方案为A1，因此用乐观，因此用乐观法的决策结果是执行策略法的决策结果是执行策略A1。数 学 建 模 解 乐观法：因为每个行动方案在各种状态下的数数 学学 建建 模模 解解 悲观法：悲观法：因为每个行动方案在各种状态下的最因为每个行动方案在各种状态下的最大效益值为大效益值为 所以最大效益的最大值为所以最大效益的最大值为 其最大值其最大值1010对应的行动方案对应的行动方案A A3 3为。因此用悲观为。因此用悲观法决策的结果是应执行策法决策的结果是应执行策略略A A3 3 。数 学 建 模 解 悲观法：因为每个行动方案在各种状态下的数数 学学 建建 模模 解解 等可能法：等可能法：取取 计算出各行计算出各行动方案的期望值为动方案的期望值为 显然显然 都达到最大值，这时究竟选都达到最大值，这时究竟选那一个策略可由决策者的偏好决定，若是乐观型的，那一个策略可由决策者的偏好决定，若是乐观型的，可选可选A A1 1，否则选，否则选A A2 2 。数 学 建 模 解 等可能法：取 数数 学学 建建 模模 从本例可以看出，对不确定型的决策问题，采从本例可以看出，对不确定型的决策问题，采用不同的决策准则所得到的结果并非完全一致。用不同的决策准则所得到的结果并非完全一致。但难说哪个准则好，哪个准则不好。究竟在实但难说哪个准则好，哪个准则不好。究竟在实际问题中采用哪个准则，依决策者对各种自然际问题中采用哪个准则，依决策者对各种自然状态的看法而定。因此，为了改进不确定型决状态的看法而定。因此，为了改进不确定型决策，人们总是设法得到各自然状态发生的概率，策，人们总是设法得到各自然状态发生的概率，然后进行决策。然后进行决策。数 学 建 模 从本例可以看出，对不确定型的决策问题，采用不数数 学学 建建 模模 问问题题报纸零售商售报：报纸零售商售报：a(零售价零售价)b(购进价购进价)c(退回退回价价)售出一份赚售出一份赚 a-ba-b；退回一份赔；退回一份赔 b-cb-c 每天购进多少份可使收入最大？每天购进多少份可使收入最大？分分析析购进太多购进太多卖不完退回卖不完退回赔钱赔钱购进太少购进太少不够销售不够销售赚钱少赚钱少应根据需求确定购进量应根据需求确定购进量每天需求量是随机的每天需求量是随机的优化问题的目标函数应是长期的日平均收入优化问题的目标函数应是长期的日平均收入每天收入是随机的每天收入是随机的存在一个合存在一个合适的购进量适的购进量等于每天收入的期望等于每天收入的期望4.24.2 报纸零售商最优购报问题报纸零售商最优购报问题数 学 建 模 问题报纸零售商售报：a(零售价)b数数 学学 建建 模模 建建模模 设每天购进设每天购进 n 份，份，日平均收入为日平均收入为 G(n)调查需求量的随机规律调查需求量的随机规律每天每天需求量为需求量为 r 的概率的概率 p(r),r=0,1,2准准备备求求 n 使使 G(n)最大最大 已知售出一份赚已知售出一份赚 a-b；退回一份赔；退回一份赔 b-c数 学 建 模 建模 设每天购进 n 份，日平均收入为 G(数数 学学 建建 模模 求解求解将将r视为连续变量视为连续变量数 学 建 模 求解将r视为连续变量数数 学学 建建 模模 结果解释结果解释取取n使使 a-b 售出一份赚的钱售出一份赚的钱 b-c 退回一份赔的钱退回一份赔的钱0rfnf1f2数 学 建 模 结果解释取n使 a-b 售出一份赚的钱0r数数 学学 建建 模模 当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多。之比越大时，报童购进的份数就应该越多。结论结论实例：实例：如如a=1，b=0.6,c=0.3，需求量，需求量r服从正态分服从正态分布布N（100,102），），则则不难计算查表得到不难计算查表得到n=102时长期平均收益最大。时长期平均收益最大。数 学 建 模 当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与数数 学学 建建 模模 例例4.2.14.2.1 某商店拟出售甲商品，已知每单位甲商品成本为某商店拟出售甲商品，已知每单位甲商品成本为50元，售价为元，售价为70元，如果售不出去，每单位商品将元，如果售不出去，每单位商品将损失损失10元。已知甲商品销售量元。已知甲商品销售量r 服从参服从参 （即平均（即平均销售量为销售量为6单位）的泊松分布，单位）的泊松分布，问该商店订购量应为多少单位时，才能问该商店订购量应为多少单位时，才能使平均收益使平均收益最大最大？数 学 建 模 例4.2.1 某商店拟出售甲商品，已数数 学学 建建 模模 理学院理学院解解 该商店每单位盈利为该商店每单位盈利为70-5070-5020;20;每单位损失为每单位损失为50-4050-401010，即，即a=70a=70，b=50b=50，c=40,c=40,故故今记今记 ，而，而 ，查泊松分布表得，查泊松分布表得而而F F（6 6）的数值更接近于）的数值更接近于0.6670.667，所以订货量应为，所以订货量应为6 6个单位。个单位。数 学 建 模 理学院解 该商店每单位盈利为70-5020数数 学学 建建 模模 轧制钢材轧制钢材两道工序两道工序 粗轧粗轧(热轧热轧)形成钢材的雏形形成钢材的雏形 精轧精轧(冷轧冷轧)得到钢材规定的长得到钢材规定的长度度粗轧粗轧钢材长度正态分布钢材长度正态分布均值可以调整均值可以调整方差由设备精度确定方差由设备精度确定粗轧钢材长粗轧钢材长度大于规定度大于规定切掉多余切掉多余 部分部分粗轧钢材长粗轧钢材长度小于规定度小于规定整根报废整根报废随机因随机因素影响素影响精轧精轧问题：如何调整粗轧的均值，使精轧的浪费最小问题：如何调整粗轧的均值，使精轧的浪费最小背背景景4.3 4.3 经济轧钢模型经济轧钢模型数 学 建 模 轧制钢材两道工序 粗轧(热轧)形成钢材数数 学学 建建 模模 分析分析设已知精轧后钢材的规定长度为设已知精轧后钢材的规定长度为 l，粗轧后钢材长度的均方差为粗轧后钢材长度的均方差为 切掉多余部切掉多余部分的概率分的概率整根报废整根报废的概率的概率记粗轧时可以调整的均值为记粗轧时可以调整的均值为 ，则粗轧得到的，则粗轧得到的钢材长度为正态随机变量，记作钢材长度为正态随机变量，记作 xN(,2)存在最佳的存在最佳的 使总的浪费最小使总的浪费最小0f(概率密度概率密度)xPPPP数 学 建 模 分析设已知精轧后钢材的规定长度为 l，粗轧数数 学学 建建 模模 建模建模选择合适的目标函数选择合适的目标函数切掉多余部分切掉多余部分的浪费的浪费整根报废整根报废的浪费的浪费总浪费总浪费=+每次轧制钢材的平均浪费量每次轧制钢材的平均浪费量每次轧制获得成品钢的平均长度每次轧制获得成品钢的平均长度 其中其中 表示表示的的 概率，概率，数 学 建 模 建模选择合适的目标函数切掉多余部分的浪费整根数数 学学 建建 模模 每次轧制（包括粗轧、精轧）的平均浪费量与每次轧制每次轧制（包括粗轧、精轧）的平均浪费量与每次轧制获得成品钢的平均长度之比最小为标准。获得成品钢的平均长度之比最小为标准。目标函数目标函数优化模型：求优化模型：求 使使J1最小（已知最小（已知l,）数 学 建 模 每次轧制（包括粗轧、精轧）的平均浪费量与每次数数 学学 建建 模模 求解求解由于由于l是常数，故等价的目标函数为是常数，故等价的目标函数为记记 其中其中 求求 z 使使J(z)最小（已知最小（已知 ）目标函数目标函数 数 学 建 模 求解由于l是常数，故等价的目标函数为记 其中数数 学学 建建 模模 求解求解数 学 建 模 求解数数 学学 建建 模模 计算实例：计算实例：=l/=25z*=-2.19*=（-z*）=5.438即将钢材的均值调整到即将钢材的均值调整到5.438m5.438m时浪费最少时浪费最少 设要轧制长为设要轧制长为l=5.0m的成品钢材，由粗轧设备的成品钢材，由粗轧设备等因素组成的方差精度等因素组成的方差精度=0.2m ，问需要将钢，问需要将钢材长度的均值调整到多少才使浪费最少？材长度的均值调整到多少才使浪费最少？首先做出及的图形首先做出及的图形数 学 建 模 计算实例：=l/=25z*=-2.19某个农户辛勤劳动积累了一万元，他决定将这一万元用来某个农户辛勤劳动积累了一万元，他决定将这一万元用来发展生产，他了解了三个发展方向：发展生产，他了解了三个发展方向：（1 1）将这一万元存入投资银行，由投资银行安排资金的利）将这一万元存入投资银行，由投资银行安排资金的利用，他可以获得利息，年利率为用，他可以获得利息，年利率为10%10%；（2 2）办养鸡场。如果顺利，他可以赢得）办养鸡场。如果顺利，他可以赢得50005000元，如果不顺元，如果不顺利，他将损失利，他将损失10001000元，他有元，他有80%80%的把握办好养鸡场；的把握办好养鸡场；（3 3）养貂。如果顺利，他可以赢得）养貂。如果顺利，他可以赢得1000010000元，如果不顺利，元，如果不顺利，他将损失他将损失30003000元。养貂顺利的机会为元。养貂顺利的机会为60%60%。他犹豫不决，希。他犹豫不决，希望用决策分析的方法帮助他分析各种可能的结果。望用决策分析的方法帮助他分析各种可能的结果。数数 学学 建建 模模 习题：习题：某个农户辛勤劳动积累了一万元，他决定将这一万元用来发展生产，数数 学学 建建 模模 习题：习题：为了生产某种产品，设计了两个基建方案一是建大厂，二是建小厂，为了生产某种产品，设计了两个基建方案一是建大厂，二是建小厂，大厂需要投资大厂需要投资300300万元，小厂需要投资万元，小厂需要投资160160万元，两者使用期都是万元，两者使用期都是1010年。年。估计在此期间，产品销路好的可能性是估计在此期间，产品销路好的可能性是0.70.7，销路差的可能性是，销路差的可能性是0.30.3。若。若销路好，建大厂每年收益销路好，建大厂每年收益100100万元，建小厂每年收益万元，建小厂每年收益4040万元；若销路差，万元；若销路差，建大厂每年损失建大厂每年损失2020万元，建小厂每年收益万元，建小厂每年收益1010万元，试问应建大厂还是建万元，试问应建大厂还是建小厂？小厂？进一步，将投资分为前三年和后七年两期考虑，根据市场预测，前进一步，将投资分为前三年和后七年两期考虑，根据市场预测，前三年销路好的概率为三年销路好的概率为0.70.7，而如果前三年的销路好，则后七年销路好的，而如果前三年的销路好，则后七年销路好的概率为概率为0.90.9，如果前三年的销路差则后七年的销路肯定差，在这种情况，如果前三年的销路差则后七年的销路肯定差，在这种情况下，建大厂和建小厂哪个方案好？下，建大厂和建小厂哪个方案好？若先建设小厂，如销路好，则三年以后考虑扩建，扩建投资需要若先建设小厂，如销路好，则三年以后考虑扩建，扩建投资需要140140万元，扩建后可使用七年，每年的益损值与大厂相同，这个方案与万元，扩建后可使用七年，每年的益损值与大厂相同，这个方案与建大厂方案比较，优劣如何？建大厂方案比较，优劣如何？数 学 建 模 习题：为了生产某种产品，设计了两个数数 学学 建建 模模 在现实生活中，变量与变量之间经常存在一定的关系，在现实生活中，变量与变量之间经常存在一定的关系，一般来说，可分为两大类，一类是一般来说，可分为两大类，一类是确定性确定性的关系，这种关系的关系，这种关系通常用函数来表示。另一类是通常用函数来表示。另一类是非确定性非确定性关系，变量之间的这关系，变量之间的这种非确定性关系通常称为相关关系。种非确定性关系通常称为相关关系。回归分析回归分析就是数理统计中研究相关关系的一种数学方就是数理统计中研究相关关系的一种数学方法，它就是通过大量的试验或观测，发现变量之间关系的法，它就是通过大量的试验或观测，发现变量之间关系的统统计规律计规律。它在工农业生产和科学研究各个领域中均有广泛应。它在工农业生产和科学研究各个领域中均有广泛应用。回归分析一般分为用。回归分析一般分为线性回归分析线性回归分析与与非线性回归分析非线性回归分析。本。本节着重介绍线性回归分析，它是两类回归分析中较为简单的节着重介绍线性回归分析，它是两类回归分析中较为简单的一类，也是应用得较多的一类。一类，也是应用得较多的一类。4.4 4.4 线性回归模型线性回归模型数 学 建 模 在现实生活中，变量与变量之间经常存在一定 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 4.4.14.4.1数学模型数学模型例例4.4.14.4.1（水泥凝固时放出热量问题）（水泥凝固时放出热量问题）某种水泥在凝固时放出的热量某种水泥在凝固时放出的热量y（卡（卡/克）与水泥中下克）与水泥中下列列4种化学成份有关。种化学成份有关。x1：3CaOAl2O3的成份（的成份（%）x2：3CaOSiO2的成份（的成份（%）x3：4CaOAl2O3Fe3O3的成份（的成份（%）x4：2CaOSiO2的成份（的成份（%）现记录了现记录了13组数据，列在表组数据，列在表4.4.1中，根据表中的数据，中，根据表中的数据，试研究试研究y与与x1，x2，x3，x4四种成份的关系。四种成份的关系。黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 表表4.4.14.4.1 编编 号号x1(%)x2(%)x3(%)x4(%)y(卡卡/克克)172666078.52129155274.331156820104.34113184787.6575263395.961155922109.27371176102.78131224472.59254182293.1102147426115.911140233483.8121166912113.3131068812109.4数 学 建 模 表4.4.1 编 号x1(%)x2(%)x数数 学学 建建 模模 为了研究方便，我们考虑一个变量受其它变量影响时，为了研究方便，我们考虑一个变量受其它变量影响时，仍把这变量称为因变量，记为仍把这变量称为因变量，记为Y Y，其它变量称为自变量，其它变量称为自变量，记为记为X X，这时相关关系可记作，这时相关关系可记作 Y=f Y=f（x x）+其中其中f f（x x）为当）为当X=X=x x时，因变量时，因变量Y Y的均值，即的均值，即 f f（x x）=E=E（Y Y|X=xX=x）称称f f（x x）为）为Y Y对对X X的的回归函数回归函数，为为Y Y与与f f（x x）的的偏差偏差，它是一个随机变量，并假定它是一个随机变量，并假定E E（）=0=0。数 学 建 模 为了研究方便，我们考虑一个变量受其它变量影数数 学学 建建 模模 回归函数可以是一元函数，也可以是多元函数，即回归函数可以是一元函数，也可以是多元函数，即 Y=Y=f f（x x1 1，x x2 2，x xm m）+其中其中f f（x x1 1，x x2 2，x xm m）=E=E（Y|XY|X1 1=x x1 1，X X2 2=x x2 2，XXm m=x xm m）为为m m元回归函数，统称为元回归函数，统称为多元回归函数多元回归函数。若回归函数若回归函数f f（x x1 1，x x2 2，x xm m）中的）中的m m=1,=1,且是一元线性函数，则称为是且是一元线性函数，则称为是一一元线性回归元线性回归；m m11且是多元线性函数，则称为是且是多元线性函数，则称为是多元多元线性回归线性回归；若回归函数；若回归函数f f（x x1 1,x x2 2，x xm m）是非线性函数，则称为是）是非线性函数，则称为是非线性回非线性回归归。数 学 建 模 回归函数可以是一元函数，也可以是多元函数数 学学 建建 模模 例如，在水泥凝固时放出热量问题中，可建立例如，在水泥凝固时放出热量问题中，可建立线性回归模型线性回归模型其中其中E（）=0，D（）=2，b0，b1，b2，b3，b4和和2是未知参数，为了估计这些参数，将表是未知参数，为了估计这些参数，将表4.4.14.4.1的的值代入模型值代入模型数 学 建 模 例如，在水泥凝固时放出热量问题中，可数数 学学 建建 模模 其中，其中，x1，x2，xm是自变量，是自变量，b0为常数，为常数，b1，b2，bm为回归系数，为回归系数，b0，b1，b2，bm皆为未知，统称皆为未知，统称b0，b1，b2，bm为回归参数，一旦回归参数确定，则多元线为回归参数，一旦回归参数确定，则多元线性回归模型就完全确定，一般假定随机误差性回归模型就完全确定，一般假定随机误差N（0,2）得线性模型得线性模型一般地，多元线性回归模型可表示为一般地，多元线性回归模型可表示为数 学 建 模 其中，x1，x2，xm是自变量，b0为常数数 学学 建建 模模 为了得到回归参数的估计值，就要对变量进行观测，为了得到回归参数的估计值，就要对变量进行观测，假设对变量的假设对变量的n（nm）次独立观测数据为）次独立观测数据为 （yi，xi1，xi2，xim）,i=1n,则这些观测数据应满足上式，即有则这些观测数据应满足上式，即有 数 学 建 模 为了得到回归参数的估计值，就要对变量数数 学学 建建 模模 则多元线性回归的数学模型式可以写成矩阵形式则多元线性回归的数学模型式可以写成矩阵形式 若记若记数 学 建 模 则多元线性回归的数学模型式可以写成矩阵形式若数数 学学 建建 模模 为了获得参数为了获得参数的估计，我们采用最小二乘法，即选的估计，我们采用最小二乘法，即选择择，使，使 达到最小。达到最小。将将Q（）对）对求导数并令其为零，得求导数并令其为零，得 1 1回归系数的最小二乘估计回归系数的最小二乘估计4.4.2 4.4.2 模型参数估计模型参数估计数 学 建 模 为了获得参数的估计，我们采用最小二乘法，数数 学学 建建 模模 此方程称为此方程称为正规方程正规方程，其中其中 X X 为为nn（m+1m+1）阶矩阶矩阵，一般假定阵，一般假定rankrank（X X）=m+1=m+1，由线性代数理论可知，由线性代数理论可知，L=XL=XT TX X为满秩矩阵，它的秩为满秩矩阵，它的秩rankrank（L L）=m+1=m+1，则正规方程有，则正规方程有唯一解，记作唯一解，记作 即即 我们可以证明上式中的我们可以证明上式中的 为参数向量为参数向量的最小二乘法估的最小二乘法估计量。计量。记记 ，则，则数 学 建 模 此方程称为正规方程，其中 X 为n数数 学学 建建 模模 在实际工作中，常称在实际工作中，常称为为经验线性回归方程经验线性回归方程。数 学 建 模 在实际工作中，常称数数 学学 建建 模模 2 2最小二乘法估计量的性质最小二乘法估计量的性质 首先假定首先假定 （1 1）是是的线性无偏估计量的线性无偏估计量（2 2）的协方差矩阵为的协方差矩阵为（3 3）是是的最小方差线性无偏估计的最小方差线性无偏估计其中其中 数 学 建 模 2最小二乘法估计量的性质 首先假定（1）数数 学学 建建 模模 4.4.34.4.3多元线性回归模型的检验与预测多元线性回归模型的检验与预测从上面的参数估计过程可以看出，对于一批观察数据从上面的参数估计过程可以看出，对于一批观察数据不论它们是否具有线性关系，总可以利用最小二乘法不论它们是否具有线性关系，总可以利用最小二乘法建立起多元线性回归方程建立起多元线性回归方程但是但是Y与与x1，x2，xm 是否确实存在相关关系呢？回归方程的效果是否确实存在相关关系呢？回归方程的效果如何呢？这就要进行如何呢？这就要进行“整个回归效果是否显著整个回归效果是否显著”的检验。的检验。当当 时，时，没有关系，没有关系，回归模型没有意义，于是我们要检验回归模型没有意义，于是我们要检验 是否成立。是否成立。数 学 建 模 4.4.3多元线性回归模型的检验与预测从上面数数 学学 建建 模模 若若H0成立，则成立，则x1，x2，xm对对y没有影响；反之，没有影响；反之，若若H0不成立，则不成立，则x1，x2，xm对对y有影响，此时有影响，此时y与与x1，x2，xm的线性关系显著，也称为整个回归效果显著。的线性关系显著，也称为整个回归效果显著。但要注意，即使整个回归效果是显著的，但要注意，即使整个回归效果是显著的，y y也可能只也可能只与某几个与某几个x xi i关系密切（相应的关系密切（相应的b bi i显著不为零），而与另几显著不为零），而与另几个个x xi i关系不密切（相应的关系不密切（相应的b bi i为零）。这就是说，多元线性为零）。这就是说，多元线性回归除了首先要检验回归除了首先要检验“整个回归是否显著整个回归是否显著”外，还要逐个外，还要逐个检验每一个检验每一个b bi i是否为零，以便分辨出哪些是否为零，以便分辨出哪些x xi i对对y y并无显著影并无显著影响，最后，还要对各个响，最后，还要对各个b bi i作出区间估计。作出区间估计。数 学 建 模 若H0成立，则x1，x数数 学学 建建 模模 1 1回归方程的显著性检验回归方程的显著性检验（1 1）回归显著性检验（）回归显著性检验（F检验）检验）若若H H0 0为真为真 （回归平方和）（回归平方和）（残差平方和）（残差平方和）其中其中（离差平方和）（离差平方和）（复相关系数）（复相关系数）故故拒绝拒绝H H0 0，否则就接受，否则就接受H H0 0数 学 建 模 1回归方程的显著性检验（1）回归显著性检验数数 学学 建建 模模 （2 2）单个回归系数为零的检验（）单个回归系数为零的检验（t检验）检验）若若H0i为真为真 其中其中（剩余标准差或估计的标准差）（剩余标准差或估计的标准差）为为 中第中第i i个对角线元素。个对角线元素。故故拒绝拒绝H H0i0i，否则就接受，否则就接受H H0i0i数 学 建 模（2）单个回归系数为零的检验（t检验）若H0数数 学学 建建 模模 2 2回归系数的置信区间回归系数的置信区间对对bi的区间估计的区间估计 由于由于 因而因而b bi i的的 置信区间为置信区间为 其中其中 数 学 建 模 2回归系数的置信区间对bi的区间估计 由于数数 学学 建建 模模 3 3预测预测a a）点预测）点预测求出回归方程求出回归方程 对于给定自变量的值对于给定自变量的值 ，用，用来预测来预测称称 为为 的的点预测点预测。数 学 建 模 3预测a）点预测求出回归方程 对于给定自变数数 学学 建建 模模 b b）区间预测）区间预测 y0的的95%预测区间近似为预测区间近似为 其中其中数 学 建 模 b）区间预测 y0的95%预测区间近似为数数 学学 建建 模模 1 1多项式回归分析模型多项式回归分析模型4.4.44.4.4多元线性回归分析模型的推广多元线性回归分析模型的推广 多项式回归模型的一般形式为：多项式回归模型的一般形式为：令令则模型就变成为则模型就变成为多元线性回归模型多元线性回归模型：数 学 建 模 1多项式回归分析模型4.4.4多元线性回归数数 学学 建建 模模 多项式回归还有许多推广的形式：多项式回归还有许多推广的形式：上述模型的共同特点是未知参数都是以线性形式出现，上述模型的共同特点是未知参数都是以线性形式出现，所以都可以采用恒等变换化为多元线性回归模型。所以都可以采用恒等变换化为多元线性回归模型。数 学 建 模 多项式回归还有许多推广的形式：数数 学学 建建 模模 广义线性回归模型的一般形式为：广义线性回归模型的一般形式为：其中：其中：是一个不含未知数参数的一元函数，是一个不含未知数参数的一元函数，且有反函数：且有反函数：的不含未知的不含未知参数的多元函数。参数的多元函数。2 2广义线性回归模型广义线性回归模型数 学 建 模 广义线性回归模型的一般形式为：2广义数数 学学 建建 模模 广义线性回归模型的回归系数的确定：广义线性回归模型的回归系数的确定：达到最小。达到最小。此时也就是令此时也就是令 即广义线性回归模型化为多元线性回归模型。即广义线性回归模型化为多元线性回归模型。则则用最小二乘法求出用最小二乘法求出 的估计的估计 使得使得数 学 建 模 广义线性回归模型的回归系数的确定：达到最小。黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院4.4.54.4.5建立线性回归模型的步骤建立线性回归模型的步骤2.2.估计参数估计参数1.1.建立理论模型建立理论模型3.3.进行检验进行检验a a）标准误差）标准误差b b）判定系数）判定系数R2c)c)复相关系数复相关系数d d）回归系数显著性检验（）回归系数显著性检验（t检验）检验）e)e)总体回归方程的显著性检验（总体回归方程的显著性检验（F检验）检验）4 4进行预测进行预测 黑龙江科技学院 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院4.4.6Matlab4.4.6Matlab和和MathematicaMathematica求解求解 1）求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型：求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型：b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha)1 1MatlabMatlab命令命令回归系数的区间估计回归系数的区间估计残差残差用于检验回归模型的统计量，用于检验回归模型的统计量，有三个数值：相关系数有三个数值：相关系数R2、F值、与值、与F对应的概率对应的概率p置信区间置信区间 显著性水平显著性水平（缺省时为（缺省时为0.05）黑龙江科技学院 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院2）画出残差及其置信区间：画出残差及其置信区间：rcoplot（r，rint）其中其中b b，X X，Y Y分别为：分别为：bXY 黑龙江科技学院 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院2 2MathematicaMathematica命令命令 在在MathematicaMathematica中键入命令中键入命令StatisticsLinearRegression.m x1=7 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10;x1=7 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10;x2=26 29 56 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68;x2=26 29 56 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68;x3=6 15 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8;x3=6 15 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8;x4=60 52 20 47 33 22 6 44 22 26 34 12 12;x4=60 52 20 47 33 22 6 44 22 26 34 12 12;y=78.5 74.3 104.3 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9 y=78.5 74.3 104.3 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9 83.8 113.3 109.4;83.8 113.3 109.4;x=ones(13,1)x1 x2 x3 x4;x=ones(13,1)x1 x2 x3 x4;b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,0.05);b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,0.05);黑龙江科技学院 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院disp(disp(回归系数估计值回归系数估计值)b bdisp(disp(回归系数估计值的置信区间回归系数估计值的置信区间)bintbintdisp(disp(残差平方和残差平方和)r*rr*rdisp(disp(相关系数的平方相关系数的平方)stats(1)stats(1)disp(Fdisp(F统计量统计量)stats(2)stats(2)disp(disp(与统计量与统计量F F对应的概率对应的概率p)p)stas(3)stas(3)执行后输出执行后输出回归系数估计值回归系数估计值 b=b=62.4054 62.4054 1.5511 1.5511 0.5102 0.5102 0.1019 0.1019 -0.1441 -0.1441回归系数估计值的置信区间回归系数估计值的置信区间bint=bint=-99.1786 223.9893 -99.1786 223.9893 -0.1663 3.2685 -0.1663 3.2685 -1.1589 2.1792 -1.1589 2.1792 -1.6385 1.8423 -1.6385 1.8423 -1.7791 1.4910 -1.7791 1.4910残差平方和残差平方和ans=ans=47.8636 47.8636相关系数的平方相关系数的平方 ans=ans=0.9824 0.9824 F F统计量统计量 ans=ans=111.4792 111.4792 黑龙江科技学院 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院从计算结果可知，回归方程从计算结果可知，回归方程查表得：查表得：易见统计量易见统计量 进一步可得进一步可得 所以回归效果是高度所以回归效果是高度显著的。显著的。黑龙江科技学院 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院例4.4.2据观察，个子高的人一般腿都长，今据观察，个子高的人一般腿都长，今从从16名成年女子测得数据如下表名成年女子测得数据如下表4.4.2，希望，希望从中得到身高与腿长之间的回归关系。如果从中得到身高与腿长之间的回归关系。如果某位女子测得身高为某位女子测得身高为167cm，请估计其腿长，请估计其腿长为多少？为多少？表表4.4.2 黑龙江科技学院 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院解解 （1 1）由表）由表4.4.24.4.2给出的数据画出散点图：给出的数据画出散点图：x=143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 x=143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164;158 159 160 162 164;y=88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 y=88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102;102;plot(x,y,*)plot(x,y,*)图图4.4.14.4.1散点图散点图由图由图4.4.14.4.1可以看出，数可以看出，数据点大致落在一条直线据点大致落在一条直线附近，这说明变量与之附近，这说明变量与之间的关系大致可以看做间的关系大致可以看做是直线关系是直线关系。黑龙江科技学院 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院（2 2）输入数据进行回）输入数据进行回归分析及检验：归分析及检验：x=143 145 146 147 x=143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 157 158 159 160 162 164;164;X=ones(16,1)x;X=ones(16,1)x;Y=88 85 88 91 92 93 Y=88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 93 95 96 98 97 96 98 99 100