高考数学文科江苏版1轮复习课件第8章平面解析几何4第4讲直线与圆圆与圆的位置关系

第八章第八章 平面解析几何平面解析几何 第第4讲讲 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 1直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(半径半径 r，圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为 d)图形图形 量量方程观点方程观点 _0 相离相离 相切相切 相交相交 _0d_ r _0 d_ r 化化 几何观点几何观点 r d_2.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系(两圆半径两圆半径 r1、r2，dO1O2)图形图形 量的量的外离外离 外切外切 相交相交 内切内切 内含内含|r r|12_dr1r2 _ dr1r2 d_|r1r2|d_|r1r2|_ dr r 12_ 关系关系 1直线直线 x2y5 50 被圆被圆 x y 2x4y0 截得的弦截得的弦4 长为长为_ 22解析解析 圆的方程可化为圆的方程可化为(x1)(y2)5，圆心，圆心(1，2)到直到直线线 x2y5 50 的距离的距离 d1，截得弦长，截得弦长 l2 r d 4.22222已知圆已知圆 C1：x y 2mx4ym 50 与圆与圆 C2：x y2222222x2mym 30，若圆，若圆 C1与圆与圆 C2相外切，则实数相外切，则实数 m2或或5 _ 解析解析 圆圆 C1和圆和圆 C2的标准方程为的标准方程为(xm)(y2)9，(x1)(ym)4，圆心分别为，圆心分别为 C1(m，2)，C2(1，m)，半径分别为半径分别为 3，2.当两圆外切时，当两圆外切时，（m1）（m2）5，解得，解得 m2 或或 m5.222222 1必明辨的必明辨的 2 个易错点个易错点(1)过圆外一点引圆的切线，过圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率易忽视切线斜率 k不存在的情形不存在的情形 (2)两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形 2必会的必会的 2种方法种方法(1)圆的切线问题圆的切线问题 过圆过圆 x y r(r0)上一点上一点 M(x0，y0)的切线方程为的切线方程为 x0 xy0yr；过圆过圆 x y DxEyF0 外一点外一点 M(x0，y0)引切线，有引切线，有两条，求方程的方法是待定系数法，切点为两条，求方程的方法是待定系数法，切点为 T 的切线长公式的切线长公式为为 MT22x0y0Dx0Ey0F222222MC r(其中其中 C 为圆为圆 C22的圆心，的圆心，r 为其半径为其半径)(2)求圆的弦长的常用方法求圆的弦长的常用方法 l?几何法：几何法：设圆的半径为设圆的半径为 r，弦心距为弦心距为 d，弦长为弦长为 l，则则?2?r d.代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：AB1k|x1x2|（1k）（x1x2）4x1x2.222222 1过点过点(2，3)与圆与圆(x1)y 1 相切的直线的方程为相切的直线的方程为x2 或或 4x3y10 _ 22解析解析 当切线斜率存在时，设圆的切线方程为当切线斜率存在时，设圆的切线方程为 yk(x2)43，由圆心，由圆心(1，0)到切线的距离为半径到切线的距离为半径 1，得，得 k，所以切线，所以切线3方程为方程为 4x3y10，当切线斜率不存在时，直线，当切线斜率不存在时，直线 x2 也也是圆的切线，所以直线方程为是圆的切线，所以直线方程为 4x3y10 或或 x2.2过原点的直线与圆过原点的直线与圆 x y 4x30 有公共点，则直线有公共点，则直线?0，?5，?6?6?的倾斜角的取值范围是的倾斜角的取值范围是 _ 22解析解析 由题意，设过原点的直线为由题意，设过原点的直线为 ykx，即，即 kxy0，因，因为过原点的直线与圆为过原点的直线与圆x y 4x30 有公共点，所以有公共点，所以|2k0|33221，解得，解得3k3，所以直线的倾斜角的取值，所以直线的倾斜角的取值k 122?5?范围是范围是?0，6?6，?.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 (1)直线直线 l：mxy1m0 与圆与圆 C：x(y1)522相交相交 的位置关系是的位置关系是_ (2)若直线若直线 xmy2m 与圆与圆 x y 2x2y10 相交，相交，22(，0)(0，)则实数则实数 m的取值范围为的取值范围为_?mxy1m0，【解析】【解析】(1)法一：由法一：由?2消去消去 y，2?x（y1）5，整理得整理得(1m)x 2m xm 50，因为因为 16m 200，所以直线，所以直线 l 与圆相交与圆相交|m|法二：由题意知，圆心法二：由题意知，圆心(0，1)到直线到直线 l 的距离的距离 d2m 11 5，故直线，故直线 l 与圆相交与圆相交 22222法三：直线法三：直线 l：mxy1m0 过定点过定点(1，1)，因为点，因为点(1，1)在圆在圆 x(y1)5 的内部，所以直线的内部，所以直线 l 与圆相交与圆相交 (2)由由 x y 2x2y10 得得(x1)(y1)1，因为直线因为直线 xmy2m与圆与圆 x y 2x2y10相交，相交，所所|1m2m|2以以1，21m所以所以 m0，即，即 m(，0)(0，)22222222 判断直线与圆的位置关系常见的方法判断直线与圆的位置关系常见的方法 (1)几何法：利用几何法：利用 d与与 r 的关系的关系 (2)代数法：联立方程后利用代数法：联立方程后利用 判断判断 (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交判断直线与圆相交 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题动直线问题 (2018苏州市高三调研测试苏州市高三调研测试)在平面直角坐在平面直角坐标系标系 xOy中，中，已知过点已知过点 M(1，1)的直线的直线 l 与圆与圆(x1)(y2)22 1 25相切，相切，且与直线且与直线 axy10垂直，垂直，则实数则实数 a_ 解析：当直线解析：当直线 l 的斜率不存在时，直线的斜率不存在时，直线 x1 与圆不相切当直与圆不相切当直线线 l 的斜率存在时，设斜率为的斜率存在时，设斜率为 k，则，则 l：y1k(x1)，因为直，因为直线线 kxy1k0与圆相切，与圆相切，圆心的坐标为圆心的坐标为(1，2)，半径为半径为5，|k21k|2则则 5，化简得，化简得 k 4k40，解得，解得 k2，又，又2k 111直线直线 l 与直线与直线 axy10 垂直，所以垂直，所以a，则，则 a.22 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系(高频考点高频考点)(1)已知两圆已知两圆 C1：x y 2x10y240，C2：x y 2x2y80，则则两两圆圆公公共共弦弦所所在在的的直直线线方方程程 是是2222x2y40 _(2)两圆两圆 x y 6x6y480与与 x y 4x8y440公公22222 切线的条数是切线的条数是_ (3)已知圆已知圆 C1：(xa)(y2)4 与圆与圆 C2：(xb)(y2)9 1 相外切，则相外切，则 ab的最大值为的最大值为_ 42222【解析】【解析】(1)两圆的方程相减得两圆的方程相减得 x2y40.(2)两圆圆心距两圆圆心距 d 740，N(x，y)|(x1)(y 3)a，a0，则，则 MN?时，时，a 的最大值与最的最大值与最2 22 2 22 小值分别为小值分别为_、_ 22222【解析】【解析】因为集合因为集合 M(x，y)|y2a x，a0，所以集合所以集合 M 表示以表示以 O(0，0)为圆心，半径为为圆心，半径为 r1 2a 的上半的上半圆圆 同理，集合同理，集合 N 表示以表示以 O(1，3)为圆心，半径为为圆心，半径为 r2a的圆上的点的圆上的点 这两个圆的半径随着这两个圆的半径随着 a 的变化而变化，的变化而变化，但但 OO2.如图所示，如图所示，当两圆外切时，由当两圆外切时，由2aa2，得，得 a2 22；当两圆内切时，由当两圆内切时，由2aa2，得，得 a2 22.所以所以 a的最大值为的最大值为 2 22，最小值为，最小值为 2 22.22 本题主要考查集合的运算及圆与圆相切的相本题主要考查集合的运算及圆与圆相切的相关知识，考查考生综合运用知识解决问题的能力借助数形关知识，考查考生综合运用知识解决问题的能力借助数形结合的思想方法求解本题较为简捷，在求解时要注意对结合的思想方法求解本题较为简捷，在求解时要注意对 MN?的意义的理解，若题中未指明集合非空时，要考虑到空的意义的理解，若题中未指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，集的可能性，例如例如 A?B，则则 A?或或 A?两种可能，两种可能，应分类应分类讨论本题的设计亮点就是将集合的关系与圆的位置关系较讨论本题的设计亮点就是将集合的关系与圆的位置关系较好地结合起来好地结合起来 设集合设集合 Am?222?（x，y）（x2）y m，?2?x，yR，B(x，y)|2mxy2m1，x，yR若若?1，2 2?2?AB?，则实数，则实数 m的取值范围是的取值范围是_ m2解析解析 由题意知由题意知 A?，则，则m，21即即 m0或或 m.因为因为 AB?，则有：，则有：21(1)当当 2m12，即，即 m 时，圆心时，圆心(2，0)到直线到直线 xy2m12|22m1|2的距离为的距离为 d1|m|，化简得，化简得 2m 4m10，解，解222得得 1m1，2221所以所以 1m2，即，即 m1 时，时，|22m|圆心圆心(2，0)到直线到直线 xy2m 的距离为的距离为 d2|m|，化，化2简得简得 m 4m20，解得解得 2 2m2 2，所以所以 1m2 2.1?综上可知，满足题意的综上可知，满足题意的 m的取值范围为的取值范围为?2，2 2?.2