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选修选修4-1 几何证明几何证明(选讲选讲)第第2节直线与圆的位置关系节直线与圆的位置关系1会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理2会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理要点梳理1圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理(1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的_的一半(2)圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的_推论1：同弧或等弧所对的_相等；同圆或等圆中，相等的_所对的弧也相等圆心角度数圆周角圆周角【考点自主回扣】推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是_；90的圆周角所对的弦是_(3)弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的_推论：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半直角直径圆周角2圆内接四边形的判定定理和性质定理定理(或推论)内容判定定理如果一个四边形的对角_，那么这个四边形的四个顶点共圆判定定理的推论如果四边形的一个外角等于它的_，那么这个四边形的四个顶点共圆性质定理圆的内接四边形的对角_圆内接四边形的外角等于它的内角的_互补内角的对角互补对角3.圆的切线定义、定理及推论内容定义如果一条直线与一个圆有唯一公共点，则这条直线叫做这个圆的切线，公共点叫做切点判定定理经过半径的_并且_这条半径的直线是圆的切线性质定理圆的切线_经过切点的半径性质定理的推论经过圆心且垂直于切线的直线必经过_经过切点且垂直于切线的直线必经过_外端垂直于垂直于切点圆心4.直线与圆位置关系的有关定理定理内容切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的_相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的_相等割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的_相等切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的_相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角比例中项积积切线长基础自测1给出下列命题：圆心角等于圆周角的2倍；相等的圆周角所对的弧也相等；等腰梯形一定有外接圆；弦切角所夹弧的度数等于弦切角的度数；在圆内接四边形ABCD中，ABCDmnpq，则有mpnq.其中错误的是()ABC D解析错误，若弧不一样，则圆心角与圆周角的关系不确定错误，只有同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等正确，可以推出等腰梯形的对角互补，所以有外接圆错误，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，所夹的弧的度数等于该弧所对圆心角的度数，所以弦切角所夹弧的度数等于弦切角度数的2倍正确，圆内接四边形ABCD的对角互补答案B2如图所示，点A、B、C是圆O上的点，且AB4，ACB30，则O的面积为()A4 B8C12 D16解析连接OA，OB，ACB30，AOB60.又OAOB，AOB为等边三角形，而AB4，OAOB4，故圆O的面积为S4216.答案D3圆内接四边形ABCD中，A60，B90，AD4，CD3，则BC等于()5(2013重庆高考)如图所示，在ABC中，ACB90，A60，AB20，过C作ABC的外接圆的切线CD，BDCD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为_.考向一圆周角、圆心角、弦切角和圆的切线问题例1(2013新课标高考全国卷)如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.【考向互动探究】思路点拨(1)根据角平分线的性质和弦切角定理得到BECE，结合已知DBBE，从而得到DE为直径，进而利用勾股定理证明两线段相等；(2)根据圆的切线AB及(1)的结论可以确定BCF的形状，从而确定其外接圆的直径，求其半径(1)证明：连接DE，交BC于点G.由弦切角定理得，ABEBCE.而ABECBE，故CBEBCE，BECE.又DBBE，所以DE为直径，则DCE90，由勾股定理可得DBDC.拓展提高 涉及圆的切线问题时常常利用弦切角定理实现弦切角与圆周角的相互转化，利用圆周角、圆心角定理及其推论实现圆周角、圆心角及所对弧的度数之间的相互转化活学活用1(2014辽宁高考)如图所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PGPD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若ACBD，求证：ABED.(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故BDAACB90.在RtBDA与RtACB中，ABBA，ACBD，从而RtBDARtACB，于是DABCBA.又因为DCBDAB，所以DCBCBA，故DCAB.由于ABEP，所以DCEP，DCE为直角，于是ED为直径由(1)得EDAB.考向二四点共圆问题例2(2013新课标高考全国卷)如图，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAEDCAF，B、E、F、C四点共圆(1)证明：CA是ABC外接圆的直径；(2)若DBBEEA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值思路点拨(1)先利用弦切角定理得DCBA，然后利用三角形相似证明DBCEFA，从而利用四点共圆的条件得出CBA90，证得结论(2)根据条件确定过B、E、F、C四点的圆的直径及CD与CE的关系，RtACD中利用射影定理用DB表示CA，再用切割线定理用DB表示DC2，从而得到两圆面积之比互动探究本题中已知条件不变，证明：DCEF.证明由例知，EFAC，且CA是ABC外接圆的直径，又DC是圆的切线，所以DCAC，所以DCEF.拓展提高圆内接四边形的性质定理是圆中探求角的相等或互补关系的常用定理，使用时要注意观察图形，要弄清四边形的外角和它的内对角的位置，其性质定理是沟通角的相等关系的重要依据，解题时要注意相关角的定理的灵活应用活学活用2(2014唐山模拟)如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD交于点F.(1)证明：A，E，F，M四点共圆(2)证明：AC2BFBMAB2.所以AMBAEF180，即A，E，F，M四点共圆.(2)连接CB.由A，E，F，M四点共圆，所以BFBMBEBA.在RtACB中，BC2BEBA，AC2BC2AB2，所以AC2BFBMAB2.考向三与圆有关的比例线段例3(2014太原模拟)如图，AB是圆O的直径，M为圆上一点，MEAB，垂足为E，点C为圆O上任一点，AC，EM交于点D，BC交DE于点F.求证：(1)AEEDFEEB.(2)EM2EDEF.思路点拨(1)利用相似三角形证明(2)利用相交弦定理证明证明(1)因为MEAB，所以B90BFED，所以AEDFEB，所以AEEDFEEB.(2)延长ME与O交于点N，由相交弦定理，得EMENEAEB，且EMEN，所以EM2EAEB，结合(1)知EM2EDEF.拓展提高证明与圆有关的比例线段，常用到三角形相似、相交弦定理、割线定理以及切割线定理等，同时要注意圆的有关性质，直角三角形中的射影定理、角平分线的性质的灵活运用活学活用3(2014新课标高考全国卷)如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明：(1)BEEC；(2)ADDE2PB2.证明(1)连结AB，AC.由题设知PAPD，故PADPDA，因为PDADACDCA，PADBADPAB，DCAPAB，所以DACBAD，规范答题13几何证明问题典例(本小题满分10分)如图，D，E分别为ABC边AB，AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于F，G两点若CFAB，证明：(1)CDBC；(2)BCDGBD.【考能感悟提升】思路点拨(1)连接AF，利用平行关系构造平行四边形可得结论；(2)先证BCD和GBD为等腰三角形，再证明两三角形顶角相等即可满分展示证明(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DEBC.又已知CFAB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CFBDAD.而CFAD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CDAF.5分因为CFAB，所以BCAF，故CDBC.6分(2)因为FGBC，故GBCF.由(1)可知BDCF，所以GBBD，所以BGDBDG.8分由BCCD知CBDCDB，又因为DGBEFCDBC，所以BCDGBD.10分【答题模板】处理与圆有关的比例线段的常见思路：(1)利用圆的有关定理；(2)利用相似三角形；(3)利用平行线分线段成比例定理及推论；(4)利用面积关系等提醒：(1)解决几何证明问题需用各种判定定理、性质定理、推理和现有的结论，要熟悉各种图形的特征，利用好平行、垂直、相似、全等的关系，适当添加辅助线和辅助图形，这些知识都有利于问题的解决(2)证明等积式时，通常转化为证明比例式，再证明四条线段所在的三角形相似另外也可利用平行线分线段成比例定理来证明(3)弦切角定理与圆周角定理是证明角相等的重要依据，解题时应根据需要添加辅助线构造所需要的角(4)圆内接四边形的性质也要熟练掌握，利用该性质可得到角相等，进而为三角形的相似创造了条件即时突破(2014新课标高考全国卷)如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CBCE.(1)证明：DE;(2)设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MBMC，证明：ADE为等边三角形证明(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以DCBE.由已知得CBEE，故DE.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MBMC知MNBC，故O在直线MN上又AD不是O的直径，M为AD的中点，故OMAD，即MNAD.所以ADBC，故ACBE.又CBEE，故AE.由(1)知，DE，所以ADE为等边三角形思维升华【方法与技巧】1圆是轴对称图形，利用这一点可研究垂径定理和圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理关系定理使我们在圆心角、弧、弦、弦心距的证明中得以相互转化；垂径定理又可与等腰三角形的性质定理相沟通2直线和圆的相切的位置关系，以及由它引伸出来的一系列知识，如切线长定理、弦切角定理和圆有关的比例线段定理是本节的重点，利用上述定理可很方便地证明角相等、线段相等以及线段的比例问题3处理与圆有关的比例线段的常见思路：(1)利用相似三角形；(2)利用圆的有关定理；(3)利用平行线分线段成比例定理及推论；(4)利用面积关系等4在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦，如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理，在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向【失误与防范】圆中的有关定理为圆中证明等积式和有关计算提供了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征，另一方面，在与定理相关的图形不完整时，要借助辅助线补齐相应部分在解题时要注意总结一些添加辅助线的技巧在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理；见到两条割线就要想到割线定理；见到切线和割线就要想到切割线定理p经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量pStudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe学习总结结束语当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。When You Do Your Best,Failure Is Great,So DonT Give Up,Stick To The End演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
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