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第十二讲函数与方程第十二讲函数与方程.回归课本回归课本.1.函数的零点函数的零点(1)对于函数对于函数y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0的实数的实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的的零点零点.(2)方程方程f(x)=0有解有解函数函数y=f(x)的图象的图象与与x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)有零点有零点.(3)如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲上的图象是连续不断的一条曲线线,并且有并且有f(a)f(b)0,那么函数那么函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内内有零点有零点,即存在即存在c(a,b),使得使得f(c)=0,这个这个c也就是方程也就是方程f(x)=0的根的根.2.二分法二分法(1)对于在区间对于在区间a,b上连续不断且上连续不断且f(a)f(b)0的函数的函数y=f(x),通通过不断地把函数过不断地把函数f(x)的零点所在的区间的零点所在的区间一分为二一分为二,使区间的使区间的两个端点逐步逼近两个端点逐步逼近零点零点,进而得到零点近似值的方法叫做进而得到零点近似值的方法叫做二二分法分法.(2)给定精确度给定精确度,用二分法求函数用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下零点近似值的步骤如下:1)确定区间确定区间a,b,验证验证f(a)f(b)0,给定精确度给定精确度.2)求区间求区间(a,b)的的中点中点x1.3)计算计算f(x1),a.若若f(x1)=0,则则x1就是函数的就是函数的零点零点;b.若若f(a)f(x1)0,则令则令b=x1,(此时零点此时零点x0(a,x1);c.若若f(x1)f(b)0,则令则令a=x1,(此时零点此时零点x0(x1,b).4)判断是否达到精确度判断是否达到精确度:即若即若|a-b|,则得到零点近似值则得到零点近似值a(或或b);否则重复否则重复2)4).考点陪练考点陪练.1.(2010天津天津)函数函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是的零点所在的一个区间是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)解析解析:由于由于f(0)=-10,根据函数的零点存在性定理根据函数的零点存在性定理,知函数知函数f(x)的零点在区间的零点在区间(0,1)内内,选选C.答案答案:C.2.(2010江苏盐城江苏盐城)方程方程log4x+x=7的解所在区间是的解所在区间是()A.(1,2)B.(3,4)C.(5,6)D.(6,7)解析解析:构造函数构造函数F(x)=log4x+x-7,F(5)=log45-20,F(x)在在(5,6)内有零点内有零点,即即log4x+x=7在在(5,6)内有解内有解,故选故选C.答案答案:C.解析解析:因为因为f(1)=-20,f(2)=ln2-10,所以在所以在(1,2)内内f(x)无零点无零点,A错误错误;又又f(3)=ln3-0,所以所以f(2)f(3)0,所以所以f(x)在在(2,3)内内至少有一个零点至少有一个零点.答案答案:B.4.若函数若函数f(x)=x2+2x+a没有零点没有零点,则实数则实数a的取值范围是的取值范围是()A.a1C.a1D.a1解析解析:由方程由方程x2+2x+a=0的判别式小于的判别式小于0可得可得a1.答案答案:B.5.三次方程三次方程x3+x2-2x-1=0在下列哪些连续整数之间没有根在下列哪些连续整数之间没有根()A.-2与与-1之间之间 B.-1与与0之间之间C.0与与1之间之间D.1与与2之间之间解析解析:f(-2)f(-1)0,f(-1)f(0)0,f(1)f(2)0,f(x)在在(-2,-1),(-1,0),(1,2)内均有根内均有根.故只有故只有C选项符合题意选项符合题意.答案答案:C.类型一类型一函数零点存在性的判断与方法函数零点存在性的判断与方法解题准备解题准备:函数零点个数的判定有下列几种方法函数零点个数的判定有下列几种方法:(1)直接求零点直接求零点:令令f(x)=0,如果能求出解如果能求出解,则有几个解就有几个则有几个解就有几个零点零点.(2)零点存在性定理零点存在性定理:利用该定理不仅要求函数在利用该定理不仅要求函数在a,b上是连上是连续的曲线续的曲线,且且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图象和性质还必须结合函数的图象和性质(如如单调性单调性)才能确定函数有多少个零点才能确定函数有多少个零点.(3)画两个函数图象画两个函数图象,看其交点的个数有几个看其交点的个数有几个,其中交点的横坐其中交点的横坐标有几个不同的值标有几个不同的值,就有几个不同的零点就有几个不同的零点.【典例【典例1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点】判断下列函数在给定区间上是否存在零点.(1)f(x)=x2-3x-18,x 1,8;(2)f(x)=x3-x-1,x-1,2;(3)f(x)=log2(x+2)-x,x 1,3;(4)f(x)=-x,x(0,1).解解(1)f(1)=-200,f(1)f(8)0,故故f(x)=x2-3x-18在区间在区间1,8上存在零点上存在零点.(2)f(-1)=-10,f(-1)f(2)log22-1=0,f(3)=log2(3+2)-3log28-3=0,f(1)f(3)0,故故f(x)=log2(x+2)-x在区间在区间1,3上存在零点上存在零点.(4)画出画出f(x)=-x的图象如图所示的图象如图所示.由图象可知由图象可知,f(x)=-x在在(0,1)内的图象与内的图象与x轴没有交轴没有交点点,故故f(x)=-x在区间在区间(0,1)上不存在零点上不存在零点.反思感悟反思感悟判断函数在某个区间上是否存在零点判断函数在某个区间上是否存在零点,要根据具体要根据具体题目灵活处理题目灵活处理.当能直接求出零点时当能直接求出零点时,就直接求出进行判断就直接求出进行判断;当不能直接求出时当不能直接求出时,可根据零点存在性定理可根据零点存在性定理;当用零点存在当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断性定理也无法判断时可画出图象判断.类型二类型二二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解解题准备解题准备:1.用二分法求函数的零点时用二分法求函数的零点时,最好是利用表格最好是利用表格,将计将计算过程所得到各个区间算过程所得到各个区间 中点坐标中点坐标 区间中点的函数值等置区间中点的函数值等置于表格中于表格中,可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程,有时也可利用数轴来表示这一过程有时也可利用数轴来表示这一过程;2.在确定方程近似解所在的区间时在确定方程近似解所在的区间时,转化为求方程对应函数的转化为求方程对应函数的零点所在的区间零点所在的区间,找出的区间找出的区间a,b长度尽可能小长度尽可能小,且满足且满足f(a)f(b)0.【典例【典例2】求函数】求函数f(x)=x3+2x2-3x-6的一个为正数的零点的一个为正数的零点(误差误差不超过不超过0.1).分析分析由于要求的是函数的一个正数零点由于要求的是函数的一个正数零点,因此可以考虑确定因此可以考虑确定一个包含正数的闭区间一个包含正数的闭区间m,n,且且f(m)f(n)0,如计算出如计算出f(0)=-60,f(1)=-60,所以可取区间所以可取区间1,2作为计算作为计算的初始区间的初始区间(当然选取当然选取(0,2)也是可以的也是可以的).解解 f(1)=-60,存在存在x(1,2),使使f(x)=0.用二分法逐次计算用二分法逐次计算,列表如下列表如下:.最后一个区间端点精确到最后一个区间端点精确到0.1的近似值都是的近似值都是1.7,所求的正数零点是所求的正数零点是1.7.反思感悟反思感悟用二分法求函数零点的近似值用二分法求函数零点的近似值,首先要选好计算的首先要选好计算的初始区间初始区间,这个区间既要包含所求的根这个区间既要包含所求的根,又要使其长度尽量又要使其长度尽量小小;其次要依据给定的精确度其次要依据给定的精确度,及时检验所得区间的端点的及时检验所得区间的端点的近似值近似值(精确到给定的精确度精确到给定的精确度)是否相等是否相等,以决定是停止计算以决定是停止计算还是继续计算还是继续计算.类型三类型三函数零点的应用函数零点的应用解题准备解题准备:由于函数的零点与函数的图象以及相应方程的根都由于函数的零点与函数的图象以及相应方程的根都有密切的关系有密切的关系,因此我们通过研究函数的零点问题因此我们通过研究函数的零点问题,可讨论可讨论方程根的分布问题方程根的分布问题,解不等式解不等式,也可以作出相应的函数的图也可以作出相应的函数的图象象,讨论函数的性质讨论函数的性质.我们在解决有关问题时我们在解决有关问题时,一定要充分利一定要充分利用这三者的关系用这三者的关系,观察观察 分析函数的图象分析函数的图象,找函数的零点找函数的零点,判判断各区间上函数值的符号断各区间上函数值的符号,使问题得以解决使问题得以解决.【典例【典例3】已知函数】已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x0).(1)若若g(x)=m有零点有零点,求求m的取值范围的取值范围;(2)确定确定m的取值范围的取值范围,使得使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根有两个相异实根.分析分析(1)g(x)=m有零点有零点,可以分离参数转化为求函数最值可以分离参数转化为求函数最值.(2)利用图象求解利用图象求解.f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2.其对称轴其对称轴x=e,f(x)max=m-1+e2.若函数若函数f(x)与与g(x)的图象有两个交点的图象有两个交点.必须有必须有m-1+e22e,即即m-e2+2e+1.即即g(x)-f(x)=0有两个相异实根有两个相异实根.m的取值范围是的取值范围是(-e2+2e+1,+).反思感悟反思感悟在解答有关函数零点的综合问题时在解答有关函数零点的综合问题时,常利用方程思常利用方程思想或利用函数构造法想或利用函数构造法,并结合数形结合的思想来解决此类问并结合数形结合的思想来解决此类问题题.错源一错源一函数零点定理使用不当致误函数零点定理使用不当致误【典例【典例1】函数】函数f(x)=mx2-2x+1有且仅有一个正实数的零点有且仅有一个正实数的零点,则则实数实数m的取值范围是的取值范围是()A.(-,1B.(-,0 1C.(-,0)1D.(-,1)剖析剖析解本题易出现的错误是分类讨论片面解本题易出现的错误是分类讨论片面 函数零点定理使函数零点定理使用不当用不当.如忽视了对如忽视了对m=0的讨论的讨论,这样就会出现误选这样就会出现误选C的错的错误误.正解正解当当m=0时时,x=为函数的零点为函数的零点;当当m0时时,若若=0,即即m=1时时,x=1是函数唯一的零点是函数唯一的零点,若若0,显然显然x=0不是函数的零点不是函数的零点,这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f(x)=mx2-2x+1=0有一个正根一个负根有一个正根一个负根,即即mf(0)0,即即m0.故选故选B.答案答案B.评析评析函数的零点定理函数的零点定理如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是一条连续的曲线上的图象是一条连续的曲线,并且并且有有f(a)f(b)0,那么那么,函数函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内有零点内有零点,即存在即存在c(a,b),使得使得f(c)=0,这个这个c也是方程也是方程f(x)=0的根的根,我们称这个我们称这个结论为函数的零点定理结论为函数的零点定理.函数的零点有函数的零点有“变号零点变号零点”和和“不不变号零点变号零点”,如本题中的如本题中的x=1就是函数的就是函数的“不变号零点不变号零点”,对于对于“不变号零点不变号零点”,函数的零点定理是函数的零点定理是“无能为力无能为力”的的,在解决函数的零点问题时要注意这个问题在解决函数的零点问题时要注意这个问题.错源二错源二“极值点极值点”与与“零点零点”关联不清关联不清【典例【典例2】若函数】若函数f(x)=x3-3x+a有有3个不同的零点个不同的零点,则实数则实数a的的取值范围是取值范围是()A.(-2,2)B.-2,2C.(-,-1)D.(1,+)错解错解由题意知方程由题意知方程x3-3x+a=0有有3个根个根,a的取值范围为的取值范围为(1,+),故选故选D.剖析剖析本题的错误在于不能将函数零点问题与导数的应用联本题的错误在于不能将函数零点问题与导数的应用联系起来求解系起来求解,不能从极值的角度分析函数的图象不能从极值的角度分析函数的图象,因此找不因此找不到解题的突破口到解题的突破口.正解正解函数函数f(x)有有3个不同的零点个不同的零点,即其图象与即其图象与x轴有轴有3个不同个不同的交点的交点,因此只需因此只需f(x)的极大值与极小值异号即可的极大值与极小值异号即可.f(x)=3x2-3,令令3x2-3=0,则则x=1,故极值为故极值为f(-1)和和f(1),f(-1)=a+2,f(1)=a-2,所以应有所以应有(a+2)(a-2)0,故故a(-2,2),选选A.答案答案A.技法技法确定方程根的个数的三种方法确定方程根的个数的三种方法一一 利用函数的周期性利用函数的周期性【典例【典例1】设函数】设函数f(x)在在(-,+)上满足上满足f(2-x)=f(x+2),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间且在闭区间0,7上只有上只有f(1)=f(3)=0,(1)试判断函数试判断函数y=f(x)的奇偶性的奇偶性;(2)试求方程试求方程f(x)=0在闭区间在闭区间-2005,2005上的根的个数上的根的个数,并证并证明你的结论明你的结论.解题切入点解题切入点对于对于(1)可用特殊化策略求解可用特殊化策略求解,对于对于(2)可据条件可据条件首先求出函数的周期首先求出函数的周期,利用其周期适当分段结合题设条件确利用其周期适当分段结合题设条件确定定.故故f(x)在在0,10和和-10,0上均有两根上均有两根,从而可知从而可知y=f(x)在在0,2000上有上有400个根个根,在在2000,2005上有两根上有两根,在在-2000,0上有上有400个根个根,在在-2005,-2000上没有根上没有根,所以函数所以函数y=f(x)在在-2005,2005上有上有802个根个根.答案答案C.方法与技巧方法与技巧如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象不间断上的图象不间断,并并且有且有f(a)f(b)bc,a+b+c=0,试确定试确定f(x)-g(x)=0的根的个数的根的个数.解解因为因为a+b+c=0,abc,所以所以a0,c0.所以所以f(x)-g(x)=0,即即ax2+bx+c-(-bx)=0,ax2+2bx+c=0.因为因为=4(b2-ac),而而ac0,所以所以f(x)-g(x)有两个不同的实根有两个不同的实根.
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