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第六节幂函数与二次函数【知识梳理】1.幂函数(1)定义:形如_(R)的函数叫幂函数,其中x是_,是常数.(2)幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的图象与性质:y=x自变量函数函数y=xy=xy=xy=x2 2y=xy=x3 3y=y=y=xy=x-1-1定定义义域域_ _ _值值域域_ _ _ _奇偶奇偶性性_ _单调单调性性_ _ _ _ _ _RRRx|x0 x|x0Ry|y0Ry|y0y|y0奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数在R上单调递增在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增在R上单调递增在(0,+)上单调递增在(-,0)和(0,+)上单调递减函数函数y=xy=xy=xy=x2 2y=xy=x3 3 y=y=y=xy=x-1-1图图象象公共点公共点_(1,1)2.二次函数(1)解析式:ax2+bx+c(h,k)(2)图象与性质:函函数数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)+bx+c(a0)y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)单调单调性性在在 上上递递减减,在在 上上递递增增在在 上上递递增增,在在 上上递递减减奇偶奇偶性性当当_时为时为偶函数偶函数对对称称轴轴函数的函数的图图象关于象关于 成成轴对轴对称称b=0【考点自测】1.(思考)给出下列命题:函数y=2x 是幂函数;如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点;当n0恒成立的充要条件是 其中正确的是()A.B.C.D.【解析】选B.错误,不符合幂函数的定义.正确,因若相交,则x=0得y=0,若y=0,则得x=0.错误,幂函数y=x-1在定义域上不单调.错误,当-m,n时,二次函数的最值,在区间端点达到,而非错误,由ax2+bx+c0恒成立不一定有因为a可以为0.2.函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在区间(-5,-3)上()A.先减后增B.先增后减C.单调递减D.单调递增【解析】选D.因为f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,所以2m=0,所以m=0.则f(x)=-x2+3在(-5,-3)上是增函数.3.(2014嘉兴模拟)已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,则a的取值范围是()【解析】选C.由已知得解得a 4.图中C1,C2,C3为三个幂函数y=xk在第一象限内的图象,则解析式中指数k的值依次可以是()A.-1,3B.-1,3,C.,-1,3 D.,3,-1【解析】选A.设C1,C2,C3对应的k值分别为k1,k2,k3,则k10,0k21,故选A.5.如果函数f(x)=x2+(a+2)x+b(xa,b)的图象关于直线x=1对称,则函数f(x)的最小值为.【解析】由已知得解得所以f(x)=x2-2x+6=(x-1)2+5,x-4,6.故f(x)min=f(1)=5.答案:5考点1 幂函数及其图象与性质【典例1】(1)若 则a,b,c的大小关系是()A.abcB.cabC.bcaD.bac(2)已知幂函数f(x)=(mN*)的图象关于y轴对称,且在(0,+)上是减函数,求满足(a+1)(3-2a)的实数a的取值范围.【解题视点】(1)利用幂函数与指数函数的单调性比较.(2)首先根据单调性求m的范围,其次由图象的对称性确定m的值,最后根据的大小,求解关于a的不等式.【规范解答】(1)选D.因为y=在第一象限内是增函数,所以因为y=是减函数,所以所以bac.(2)因为f(x)在(0,+)上是减函数,所以m2-2m-30,解之得-1m3.又mN*,所以m=1或m=2.由于f(x)的图象关于y轴对称.所以m2-2m-3为偶数,又当m=2时,m2-2m-3为奇数,所以m=2舍去,因此m=1.又y=x 在0,+)上为增函数,所以(a+1)(3-2a)等价于0a+13-2a,解之得-1a ,故实数a的取值范围是a|-1a11010100图象图象特殊点特殊点 过过(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)过过(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)过过(1,1)(1,1)凹凸性凹凸性下凸下凸上凸上凸下凸下凸单调性单调性递增递增递增递增递减递减举例举例y=xy=x2 2y=y=y=xy=x-1-1,y=,y=【变式训练】(1)(2014丽水模拟)函数y=的图象大致是 ()【解析】选C.y=,其定义域为xR,排除A,B,又0 1,图象在第一象限为上凸的,排除D,故选C.(2)若a0,则下列不等式成立的是()【解析】选B.因为af(1),则()A.a0,4a+b=0B.a0,2a+b=0D.af(1),所以函数图象应开口向上,即a0,且其对称轴为x=2,即=2,所以4a+b=0.(2)由已知C(0,1),A(2,0),B(1,1),当点P位于线段BC上,即0 x1时,点P(x,1),于是=(x,1),=(2-x,-1),y=x(2-x)-1=-x2+2x-1,当点P位于BA上,即1x2时,点P(x,2-x),于是=(x,2-x),=(2-x,x-2),y=x(2-x)+(2-x)(x-2)=-2x2+6x-4.于是函数f(x)=f(x)=的图象如图所示:由图象知,f(x)的单调增区间为0,.由图象知,f(0)=-1,f()=,若函数y=f(x)-c有零点,即方程f(x)=c有解,故c的取值范围为-1，.【互动探究】若本例(2)条件不变,求函数y=f(x)的最大值.【解析】由本例(2)的函数图象知【规律方法】1.求二次函数在闭区间上的最值(值域)的类型及解法二次函数求最值问题,一般先用配方法化为y=a(x-m)2+n(a0)的形式,得顶点(m,n)和对称轴方程x=m,结合二次函数的图象求解,常见有三种类型:(1)顶点固定,区间也固定.(2)顶点含参数(即顶点为动点),区间固定,这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内,何时在区间之外.(3)顶点固定,区间变动,这时要讨论区间中的参数.提醒:讨论的目的是确定对称轴和区间的关系,明确函数的单调性,从而确定函数的最值.2.与二次函数单调性有关的问题的解法根据二次函数的单调性,结合二次函数图象的开口方向及升、降情况对对称轴进行分析、讨论,进而求解.【变式训练】已知函数f(x)=x2+2ax+3,x-4,6.(1)当a=-2时,求f(x)的最值.(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间-4,6上是单调函数.(3)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.【解析】(1)当a=-2时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,则函数在-4,2)上为减函数,在(2,6上为增函数,所以f(x)min=f(2)=-1,f(x)max=f(-4)=(-4)2-4(-4)+3=35.(2)函数f(x)=x2+2ax+3的对称轴为x=-=-a,所以要使f(x)在-4,6上为单调函数,只需-a-4或-a6,解得a4或a-6.(3)当a=-1时,f(|x|)=x2-2|x|+3其图象如图所示:又因为x-4,6,所以f(|x|)在区间-4,-1和0,1上为减函数,在区间-1,0和1,6上为增函数.【加固训练】已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3.(1)当a=2,x-2,3时,求函数f(x)的值域.(2)若函数f(x)在-1,3上的最大值为1,求实数a的值.【解析】(1)当a=2时,f(x)=x2+3x-3 又x-2,3,所以 f(x)max=f(3)=15,所以值域为(2)对称轴为当1,即a-时,f(x)max=f(3)=6a+3,所以6a+3=1,即a=-满足题意;当,即a-时,f(x)max=f(-1)=-2a-1,所以-2a-1=1,即a=-1满足题意.综上可知a=-或-1.考点3 利用二次函数的图象与性质求解 一元二次方程、不等式问题【考情】二次函数的图象与性质在高考中常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题,以选择题、填空题的形式出现,考查求解一元二次不等式、一元二次不等式恒成立及一元二次方程根的分布等问题,同时考查函数与方程、数形结合、转化与化归思想.高频考点通关【典例3】(1)(2014珠海模拟)若当x(1,2)时,不等式x2+mx+40恒成立,则m的取值范围为.(2)(2014合肥模拟)已知二次函数f(x)=x2+2bx+c(b,cR).若f(x)0的解集为x|-1x1,求实数b,c的值;若f(x)满足f(1)=0,且关于x的方程f(x)+x+b=0的两个实数根分别在区间(-3,-2),(0,1)内,求实数b的取值范围.【解题视点】(1)构建函数f(x)=x2+mx+4数形结合求解.(2)根据解集,构建b,c的方程组求解.构建函数g(x)=f(x)+x+b,结合g(x)的图象数形结合求解.【规范解答】(1)令f(x)=x2+mx+4,结合f(x)的图象知,要使f(x)0在(1,2)上恒成立,则有即解得:m-5.答案:(-,-5(2)设x1,x2是方程f(x)=0的两个根.由根与系数的关系,得即所以b=0,c=-1.由题知,f(1)=1+2b+c=0,所以c=-1-2b.记g(x)=f(x)+x+b=x2+(2b+1)x+b+c=x2+(2b+1)x-b-1,则即b的取值范围为【通关锦囊】重点重点题题型型破解策略破解策略求解一元二求解一元二次不等式次不等式首先确定相首先确定相应应的二次函数的二次函数,其次其次结结合合二次函数的二次函数的图图象与性象与性质质求解求解求解一元二求解一元二次不等式恒次不等式恒成立成立问题问题方法一方法一:首先构建相首先构建相应应的二次函数的二次函数,其其次次结结合二次函数的合二次函数的图图象与性象与性质质构建不构建不等式等式(组组)求解求解;方法二方法二:分离参数分离参数转转化化为为不含参数的不含参数的函数最函数最值问题值问题求解求解重点重点题题型型破解策略破解策略求解一元二求解一元二次方程根的次方程根的分布分布问题问题首先构建二次函数首先构建二次函数,其次其次转转化化为为二次二次函数函数图图象与象与x x轴轴的交点落在某区的交点落在某区间间上上的的问题问题,进进而数形而数形结结合求解合求解,一般从四一般从四个方面分析个方面分析:开口方向开口方向;对对称称轴轴位位置置;判判别别式式;端点端点值值符号符号求解与一元求解与一元二次方程有二次方程有关方程的根关方程的根的个数的个数问题问题首先构建二次函数首先构建二次函数,转转化化为为二次函数二次函数的的图图象与其他函数象与其他函数图图象的交点个数象的交点个数问问题题求解求解【特别提醒】当所研究的方程、不等式二次项系数a与0的关系不明确时,要分类讨论.【通关题组】1.(2014宁波模拟)已知函数f(x)=的图象与直线y=k(x+2)-2恰有三个公共点,则实数k的取值范围是()A.(0,2)B.(0,2C.(-,2)D.(2,+)【解析】选A.因为直线y=k(x+2)-2过定点C(-2,-2).作出函数f(x)的图象如图,要使函数f(x)与直线y=k(x+2)-2恰有三个公共点,则0kkCD,因为kCD=2,所以实数k的取值范围是0k0,即m2时,需满足当m-20,即m2时,需满足综上可知m .3.(2013温州模拟)方程(x-2)|x|-k=0有三个不相等的实根,则k的取值范围是()A.(-1,0)B.(0,1)C.(-1,+)D.(-,1)【解析】选A.原方程可变形为(x-2)|x|=k,在同一坐标系中分别作出函数f(x)=(x-2)|x|=与y=k的图象数形结合得-1k0.4.(2014武汉模拟)已知函数f(x)=ax-的最大值不大于 ,又当x 时,f(x),则a=.【解析】得-1a1,对称轴为x=.当-1a 时,是f(x)的递减区间,而f(x),即f(x)min=与-1a0在R上恒成立,则实数a的取值范围是.【解析】由题意知,=(-a)2-8a0,解得0a1时,若f(x)=1,得x2-1=1,即x2=2,此时x=.若f(x)=2,得x2-1=2,即x2=3,此时x=.所以关于x的方程f2(x)-3f(x)+2=0的实根的个数共有5个.答案:5【易错误区5】求解含参数的二次函数、方程、不等式问题的易错点【典例】(2014金华模拟)设函数f(x)=ax2-2x+2,对于满足1x0,则实数a的取值范围为.【解析】当a0时，f(x)=由x(1,4)，f(x)0得：所以所以a1或a1或,即当a答案：a【误区警示】1.处未考虑a的取值,未对a进行讨论,而认为a0直接代入求解.2.处未考虑与区间(1,4)的关系,忽略分类讨论,误认为1 4,而致误.3.处忘记验证该种情况是否符合要求.【规避策略】1.对于二次项系数含参数的二次函数、方程、不等式问题,应对参数分类讨论,分类讨论的标准就是二次项系数与0的关系.2.当二次函数的对称轴不确定时,应分类讨论,分类讨论的标准就是对称轴在区间的左、中、右三种情况.3.求解过程中,求出的参数的值或范围并不一定符合题意,因此要检验结果是否符合要求.【类题试解】(2014岳阳模拟)若函数f(x)=-x2+2ax+1-a在x0,1时有最大值2,则a的值为.【解析】f(x)=-(x-a)2+a2-a+1,当a1时,ymax=a;当0a1时,ymax=a2-a+1;当a0时,ymax=1-a.根据已知条件得或或解得a=2或a=-1.答案:2或-1
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