高数第二章习题课一

主讲教师主讲教师:王升瑞王升瑞 高等数学 第十三讲1习题课一一、一、导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用二、二、导数和微分的求法导数和微分的求法 一元函数微分学 第二章 2一、导数和微分一、导数和微分导数和微分是微分学的两个重要的概念，导数反映了当自变量变化时函数变化的快慢程度；而微分是函数增量的线性主部。这两个是不同的概念，但它们之间有着密切的联系。3(一一)导数的概念及应用导数的概念及应用1、导数的定义、导数的定义:当时,为右导数特别导函数时,为左导数当43、函数连续与可导性的关系函数连续与可导性的关系4、导数的几何意义、导数的几何意义 在几何上表示曲线 y=f(x)在点 切线方程法线方程可导连续即:连续是可导的必要条件。切线的斜率，即5、高阶导数的定义、高阶导数的定义形式上和一阶导数类似，如5(二二)初等函数的导数初等函数的导数1、函数的和、差、积、商求导法则、函数的和、差、积、商求导法则若可导，则熟悉导数及微分的计算是本章的基本要求之一，除了掌握基本初等函数的求导公式、求导四则运算法则、反函数、复合函数的求导法则外，对一些特殊函数的求导方法，如：隐函数求导法则；参数方程所确定的函数的求导方法，及对数求导法也应熟悉。6或1、在具体求导时必须注意分析函数复合过程与2、复合函数求导法、复合函数求导法亦可导，中间变量。计算时应由外层逐一向内层计算。注：注：2、在需要时，可能要引入中间变量，求完导数后，最后的结果不应该保留中间变量。74、基本初等函数的导数公式（如书）、基本初等函数的导数公式（如书）3、反函数求导法、反函数求导法设 是单调连续函数，在点 y 处可导，且则其反函数 f(x)在对应点 x 处也可导，且有85 5、高阶导数常用公式、高阶导数常用公式9若对参变量 t 可导，则 y 对 x 的导数：(三三)由参数方程确定的函数的导数由参数方程确定的函数的导数10（四（四)隐函数的导数隐函数的导数（逐项求导）求隐函数的二阶导数的两种方法1、求出对 x 再求一次导数，应注意：的表达式中即 y 是 x 的函数。2、方程两边对 x 连续求两次导数，然后解出11称为幂指函数，（不是指数函数或幂函数）其求导方法1、用对数求导法，两边取对数，得：两边对 x 求导得：2、将其化为利用复合函数的求导法则求出（五）幂指函数的导数和对数求导法（五）幂指函数的导数和对数求导法12（六）利用导数定义解决的问题（六）利用导数定义解决的问题5)微分在近似计算与误差估计中的应用4)用导数定义求极限2)求分段函数在分界点处的导数（左、右导数存在并相等），及某些特殊 函数在特殊点处的导数;3)由导数定义证明一些命题.1)推出三个最基本的导数公式及求导法则其他求导公式都可由它们及求导法则推出;136、函数的微分函数的微分（1）微分的定义设在 x 的某领域内有定义，若（A是与无关的常数）则称的线性主部是在 x 处的微分。记为：微分的两个特点：1）是关于自变量增量的线性函数。2）（2）可导与可微的关系可导可微14（3）微分的运算法则设是可微函数（4）一阶微分形式的不变性设 u 是自变量设 u 是中间变量即：无论 u是中间变量还是自变量均有157、微分的应用微分的应用求近似值 1）当且2）当且16二、二、导数和微分的求法导数和微分的求法1.正确使用导数及微分公式和法则 2.熟练掌握求导方法和技巧(1)求分段函数的导数注意讨论界点界点处左右导数是否存在和相等(2)隐函数求导法对数微分法(3)参数方程求导法极坐标方程求导(4)复合函数求导法(可利用微分形式不变性)转化转化(5)高阶导数的求法逐次求导归纳;间接求导法;利用莱布尼兹公式.171 1、利用导数的定义求极限、利用导数的定义求极限例例1 求极限18例例2.2.设在处连续,且求解解:由题意可得19设解解:又例例3.所以 在处连续.即在处可导.处的连续性及可导性.20例例4 4 设在 可微，求的取值范围。解解 即导数存在即可微。21解解例例5 5222、复合函数求导、复合函数求导例例6 已知求解：解：23解解：（用隐函数求导）方程两边对y求导得,上式两边再对y求导得,例例7 73、反函数求导、反函数求导244、隐函数求导、隐函数求导例例8 设函数所确定，求解：解：方程两边同时对 x 求导得将 x=0 代入原方程，得代入(*)有（*）两边对x 求导 将代入上式得25设函数求提示：利用对数求导法，两边同时取对数两边同时对 求导例例9 9265 5、参数方程求导、参数方程求导确定函数求解解:方程组两边对 t 求导,得故例例10 10 设由方程27例例11 11 设试确定常数 a,b 使 f(x)处处可导,并求解解:得即28是否为连续函数?判别判别:29例例1212试分析各表示的意义？30例例13 已知求解解31是由方程 确定，求解：解：方程两边同时取对数取微分例例14 设函数32例例15 设函数是由方程所确定。求解：解：利用一阶微分形式的不变性，将 x=0 代入原方程，得 y 1 代入上式，得方程两边同时微分33例例16 16 设函数是由方程所确定，求利用一阶微分形式的不变性，方程两边同时微分：将 x=0 代入原方程，得 y 1 解解将 x=0 y 1 代入上式，整理得34作业作业 P166 自测题二1;2;3;4;5;6;935 自测题第二章一元函数微分学 361 1、求下列函数的导数解：解：解：解：371、求下列函数的导数解：解：解：方法一解：方法一 等式两边取对数得方程两边求导得则381、求下列函数的导数解：方法二解：方法二 等式为方程两边求导得则391、求下列函数的导数解：解：401、求下列函数的导数解：解：等式两边取对数得方程两边求导得则412、设函数解：解：方程两边对x求导得则由方程所决定，求因 x=0 代入原方程得 y=0,故直接将代入上式得 方程两边再对x求导得将代入上式得 42求解解：3、设434.求下列极限解法一解法一:原式令444.求下列极限解法一解法一:原式解法二：解法二：原式454.求下列极限解法一：解法一：原式46求由方程的微分解解：方程两边同时微分得整理得得5、所确定的函数则47求曲线解解：该曲线为：6、在对应处的切线方程和法线方程。方程组两边对 t 求导,得故所求切线方程为：所求法线方程为：即即489、确定常数使函数在处连续可导。解解于是由连续的充要条件得49