弹性力学问题求解-—-三维问题课件

三维问题的复杂性:变量和方程多,无系统性的一般有效解法,需根据问题具体分析.如柱体扭曲,壳体问题,球体问题等,很多采用数值方法求解其中球体问题在地学中应用广泛:研究地球的自由震荡,固体潮,以及地球内部应力分布等弹性力学问题求解三维问题三维问题的复杂性:其中球体问题在地学中应用广泛:弹性力学问题17.1柱坐标系下弹性问题的基本公式与极坐标系下的方程对比.7.1 柱坐标系下弹性问题的基本公式与极坐标系下的方程对比.2与直角坐标以及极坐标系下的方程一致.即胡克定律的形式与坐标系无关.与直角坐标以及极坐标系下的方程一致.3与极坐标系下的方程对比.与极坐标系下的方程对比.47.2球坐标系下弹性问题的基本公式7.2 球坐标系下弹性问题的基本公式5物理方程与坐标系无关物理方程与坐标系无关6弹性力学问题求解-三维问题课件77.3球谐函数的定义和物理意义球谐函数与三角函数的对比蓝色为正,黄色为负,离远点的距离代表函数的数值7.3 球谐函数的定义和物理意义球谐函数与三角函数的对比蓝色8球坐标系下的拉普拉斯方程(调和函数)为:分离变量,令:得到两个公式:对第二个公式，再次分离变量，令:球坐标系下的拉普拉斯方程(调和函数)为:分离变量,令:得到两9得到:方程的解给出:m为整数;l为非负整数，并且得到:方程的解给出:m 为整数;l 为非负整数，并且10最后得:其中为伴随勒让德多项式，满足勒让德方程表达式为最后得:其中 为伴随勒让11勒让德多项式的图形：勒让德多项式的图形：12的图形:的图形:13一度地幔对流与二度地幔对流Zhongetal.,2007一度地幔对流与二度地幔对流 Zhong et al.,14对于球面上的任一函数，可以展开为：其中：对于球面上的任一函数，可以展开为：其中：157.4球对称情况下问题的简化例1：密度均匀的地球，在本身万有引力作用下应力的分布。（忽略日月的引力和自转引起的离心力）当球体受球对称外力和体力作用时，问题得到大大简化位移，应力，应变都只是r的函数7.4 球对称情况下问题的简化例1：密度均匀的地球，在本身万16弹性力学问题求解-三维问题课件17弹性力学问题求解-三维问题课件18因为位移只是r的函数，得：即因为位移只是r的函数，得：即19并记：则对前式积分得：并记：则对前式积分得：20需要将位移表示为应力。需要将位移表示为应力。21再根据胡克定律：得：再根据胡克定律：得：22得到球体内的应力分布为：得到球体内的应力分布为：23例2：地壳在地球万有引力作用下其内部的应力分布由上面的例子，换一种表达形式，例2：地壳在地球万有引力作用下其内部的应力分布由上面的例子，24方程的解为，应变为，应力为，方程的解为，应变为，应力为，25代入得，解得，球壳内应力解为，（解的局限性)代入得，解得，球壳内应力解为，（解的局限性)26