弹性力学有限元第四章平面问题极坐标解答课件

河海大学河海大学 机电工程学院机电工程学院 力学教研室力学教研室第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答第四章平面问题的极坐标解答第四章平面问题的极坐标解答第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程直角坐标直角坐标(x,y)与极坐标与极坐标(r r,j j)的比较的比较相同：两者都是正交坐标系区别：直角坐标中,x 和 y 坐标线都是直线,有固定的方向,x 和 y的量纲均为L。极坐标中,坐标线（r、j=常数）在不同点有不同的方向;r 坐标线为直线,j坐标线为圆弧曲线;r的量纲为L,j 的量纲为1。这些区别将引起弹性力学基本方程的区别。对于圆形，弧形，扇形及由径向线和环向围成的物体，宜用极坐标求解。用极坐标表示边界简单，使边界条件简化。第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程在域内任意一点P(r,j)取微分体，考虑基本平衡条件微分体微分体：由夹角为 dj 的两径向线和距离为dr 的两环向线围成。注意：注意：两 j 面不平行，夹角为dj；两 r 面面积不等，分别为 r dj，(r+dr)dj;r从原点出发为正，j从 x 轴向 y 轴方向转向为正。第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程微分体上的作用力：体力体力：fr,fj 以坐标正向为正。应力：应力：r,j面分别表示应力及其增量。应力同样以正面正向，负面负向的应力为正，反之为负。第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程平衡条件的应用假定：连续性，小变形。平衡微分方程考虑微分体形心的r,j方向，列出三个平衡方程。第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程对前式取并注意到一阶微量相互抵消，略去三阶微量，保留到二阶微量，得式中第1、2、4项与直角坐标的方程相似。是由于+r面面积大于r 面面积引起的是由于j 面在形心点的r 向有投 影。第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程对前式取略去三阶微量，保留到二阶微量，式中第1、2、4项与直角坐标的方程相似。是由于+r面面积大于r 面面积引起的是由于j 面切应力在形心点的j 向有投 影。第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程考虑到二阶微量时，有切应力互等两个方程三个未知量，为了求解，还需要物理方程和几何方程。第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-2 极坐标中的几何方程和物理方程极坐标中的几何方程和物理方程极坐标中的几何方程极坐标中的几何方程径向正应变er,环向正应变ej,切应变grj,径向位移ur,环向位移uj.(1)只有径向位移ur的情况径向PAPA 环向PBPBP,A,B三点的位移第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-2 极坐标中的几何方程和物理方程极坐标中的几何方程和物理方程极坐标中的几何方程极坐标中的几何方程径向正应变er环向正应变ej此项表示：径向位移会引起环向线段的正应变第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-2 极坐标中的几何方程和物理方程极坐标中的几何方程和物理方程极坐标中的几何方程极坐标中的几何方程径向线段PA转角环向线段PB转角切应变：第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-2 极坐标中的几何方程和物理方程极坐标中的几何方程和物理方程极坐标中的几何方程极坐标中的几何方程(1)只有环向位移ur的情况径向PAP”A”环向PBP”B”径向PA的正应变环向PB的正应变第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-2 极坐标中的几何方程和物理方程极坐标中的几何方程和物理方程极坐标中的几何方程极坐标中的几何方程径向PA的转角环向PB的转角，负号表示原直角变大切应变第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-2 极坐标中的几何方程和物理方程极坐标中的几何方程和物理方程极坐标中的几何方程极坐标中的几何方程如果径向和环向均有位移，则可由前面各式叠加：第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-2 极坐标中的几何方程和物理方程极坐标中的几何方程和物理方程极坐标中的物理方程极坐标中的物理方程由于极坐标和直角坐标均为正交坐标，所以极坐标物理方程和直角坐标物理方程具有相同的形式，只是下标发生变化。平面应力情况下物理方程：平面应变下做替换第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程坐标变换式坐标变换式(1)坐标变量的变换(2)函数的变换(3)矢量的变换位移：第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程坐标变换式坐标变换式(4)导数的变换F(x,y)可以看成是F=F(r,j),而r,j又是x,y的函数,即F(x,y)是通过中间变量r,j为x,y的复合函数。可计算出：回代入上式第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程坐标变换式坐标变换式二阶导数的变换 通过一阶偏导数，进一步求导，并经过简化可得：根据上式，得到拉普拉斯算子：第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程坐标变换式坐标变换式(5)应力的变换1)已知sx,sy,txy,求sr,sj,trj。bc边的长度取为ds平衡方程：整理后得：第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程坐标变换式坐标变换式(5)应力的变换采用与前面类似的方法：2)已知sr,sj,trj,求sx,sy,txy。采用相似的方法，直接给出结果：第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程应力函数和相容方程应力函数和相容方程(1)极坐标中的相容方程其中：(2)极坐标中应力用应力函数 F(r,j)表示a.从平衡微分方程直接导出（类似于直角坐标系中方法）。b.应用特殊关系式，即当x轴移动到与r轴重合时，有:类似的，可以得到此种情况下的应力分量的表达式：第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程应力函数和相容方程应力函数和相容方程b.应用特殊关系式，即当x轴移动到与r轴重合时，有:第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程应力函数和相容方程应力函数和相容方程c.引用应力变换公式将结果(x,y)用坐标变换公式表示为(r,j)，得到sr的表达式d.引用应力变换公式而比较上两式，得出各应力分量sr,sj,trj的表达式第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-4 轴对称应力与相应的位移轴对称应力与相应的位移轴对称，即绕轴对称，凡通过此轴的任何面均为对称面。轴对称应力问题 应力数值轴对称仅为r的函数，应力方向轴对称trj=0应力函数只和r有关 F=F(r)应力公式可简化为：相容方程可简化为：其中，拉普拉斯算子：注意：第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-4 轴对称应力与相应的位移轴对称应力与相应的位移相容方程展开 相容方程成为常微分方程，积分四次得F 的通解通过应力函数求应力分量表达式为：第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-4 轴对称应力与相应的位移轴对称应力与相应的位移形变的通解：(将应力分量代入物理方程，平面应力)将形变代入几何方程并进行积分，以获得位移分量第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-4 轴对称应力与相应的位移轴对称应力与相应的位移代入几何方程的第三式：整理后分离变量：方程左边只是 r 的函数，右边只是 j的函数，因此只可能两边都等于同一常数第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-4 轴对称应力与相应的位移轴对称应力与相应的位移由前可得到两个常微分方程：将结果代入ur,uj：得轴对称应力对应的位移通解I，K:x、y 向的刚体平移H ：为绕O点的刚体转动角度第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-4 轴对称应力与相应的位移轴对称应力与相应的位移说明说明(1)在轴对称应力条件下，本章的应力函数、应力和位移的通解，适用于任何轴对称应力问题。(2)在轴对称应力条件下，应变也是轴对称的，但位移不一定是轴对称的。(位移边界条件轴对称，则位移也轴对称)(3)实现轴对称应力的条件是，物体形状、体力和面力均为轴对称。(4)轴对称应力及对应的位移的通解已满足相容方程和平衡方程，它们还必须满足边界条件及多连体中的位移单值条件，并由此求出其系数A、B及C。(5)轴对称应力及位移的通解可以用于求解应力或位移边界条件下的任何轴对称问题。(6)平面应变问题，将弹性常数进行相应替换即可。第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-4 轴对称应力与相应的位移轴对称应力与相应的位移轴对称问题的一个简例轴对称问题的一个简例设图中半径为 r 的圆盘受法向均布压力作用q，试求其解答。引用轴对称问题的解答:显然，当r (r)0，sr,sj的第一项和第二项趋于无穷大，这是不可能的。有限值条件：即除了应力集中点外，弹性体上的应力应为有限值A,B=0第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-5 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力轴对称问题：边界条件可描述为：引用轴对称问题的解答：两个方程不能解决A,B,C三个常数，需要应用多连体的位移单值条件。第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-5 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力位移单值条件考察环向位移uj的表达式其中：是多值的。对于同一个r=r1值，在 j=j1和j=j1+2p时，环向位移相差8pBr1。这是不可能的，因为(r1,j1)(r1,j1+2p)是同一点。因此，由位移单值条件，必须有 B=0第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-5 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力将 B=0 回代将A,B回代入应力表达式，稍加整理，得到拉梅解：第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-5 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力考察内压力单独作用的情况,即qb=0解答化简为：sr 总是压应力，sj 总是拉应力当圆环的外半径趋于无穷大时(b)，得到具有圆孔的无限大薄板，或具有圆形孔道的无限大弹性体，上述解答成为：当 r 远大与 a 之处，应力很小，可以不计(证实了圣维南原理)第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-5 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力考察外压力单独作用的情况,即qa=0解答化简为：第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-6 压力隧洞压力隧洞圆筒埋在无限大弹性体中，受有均布内压力。圆筒和无限大弹性体的弹性常数分别为E,m,E,m。本题是两个圆筒的接触问题接触问题，两个均为轴对称问题（平面应变问题）。圆筒的应力表达式：注：上两式中根据单值条件，B=0，B=0已略去。无限大弹性体的应力表达式：第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-6 压力隧洞压力隧洞圆筒内部边界：在远离圆筒处，根据圣维南原理，应力为0圆筒和无限大弹性体的接触面上，应力相等：上述条件不足以确定四个常数，需要考虑位移关系。即：第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-6 压力隧洞压力隧洞由圆筒和无限大弹性体的径向位移表达式(平面应变)：(B,B=0)对上两式略加整理在接触面上，有注意到第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-6 压力隧洞压力隧洞续前，代入经简化后，可得其中：结合之前的关系式，先解出A,A,C,C,并代入应力表达式，得教材式4-16的解答第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-6 压力隧洞压力隧洞一般的接触问题一般的接触问题当两个弹性体I，II，变形前在s上互相接触，变形后的接触条件可分为几种情况：(1)完全接触：变形后两弹性体在s上仍然保持连续。这时的接触条件为：在s上(2)有摩阻力的滑动接触：变形后在s上法向保持连续，而切向产生有摩阻力的相对滑移，则在s上的接触条件为 c-凝聚力第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-6 压力隧洞压力隧洞一般的接触问题一般的接触问题(3)光滑接触：变形后法向保持连续，但切向产生无摩阻力的光滑移动，则在s上的接触条件为(4)局部脱离：变形后某一部分边界上两弹性体脱开，则原接触面成了自由面。在此部分脱开的边界上，有 在工程上，有许多接触问题的实际例子。如机械中轴与轴承的接触，基础结构与地基的接触，坝体分缝处的接触等等。一般在接触边界的各部分，常常有不同的接触条件，难以用理论解表示。我们可以应用有限单元法进行仔细和深入的分析。第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-7 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中工程结构中常开设孔口，最简单的是圆孔。由于开孔，孔口附近的应力远大于无孔时的应力，也远大于距孔口较远处的应力，这种现象称之为 孔口应力集中孔口应力集中。(1)孔口尺寸r)圆形边界。有：内边界条件：因此，可以引用圆环的轴对称解答，取qr=0 qR=q 且Rr得应力解答：所以，最大应力先发生在孔边，r=r：sj=2q 应力集中系数为2。第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-7 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中带小圆孔的矩形板带小圆孔的矩形板，x,y向分别受拉压向分别受拉压力力(q)作 r=R(Rr)圆，求出外边界条件：内边界条件为：由于是非轴对称问题，应用半逆求解方法由边界条件，假设：由应力函数和应力分量的关系：假设应力函数：第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-7 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中代入相容方程，得删去 cos 2j 求解该常微分方程，得到：假设应力函数：由式子(d),(e),求出应力函数F,并由应力函数求出应力分量。校核边界条件(b),(c),求出系数A,B,C,D将系数A,B,C,D回代应力分量表达式，得到解答：(详细过程请参考教材)第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-7 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中在孔边，r=r sj=4qcos2j;最大最小应力4q;应力集中系数为4 第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-7 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中带小圆孔的矩形板带小圆孔的矩形板，两边受不等的均布拉力，两边受不等的均布拉力可应用叠加原理。利用前面的两种情况下的解答叠加即可。第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-7 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中带小圆孔的矩形板，只受带小圆孔的矩形板，只受 x 向均布拉力向均布拉力利用上述叠加原理方法得到基尔斯解答。第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-7 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中讨论讨论(1)孔边应力。r=rj030456090sjq0q2q3q(2)y轴上应力。j=90ra2a3a4a远处sx3q1.22q1.07q1.05qq可见，距孔边1.5D处(r=4r)，由于孔口引起的应力扰动远处的应力；孔口附近应力无孔时的应力(2)局部性应力集中区域很小，约在距边1.5孔径范围内。此区域外的应力扰动，一般r),积分时将s作为常量，则有其中：第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-9 半平面体在边界上受分布力半平面体在边界上受分布力如果K点是均布力的中点，则沉陷有积分的结果仍然可以写成其中：当x/c积为整数时，可查表 4-1平面应变问题注意弹性常数的替换