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河海大学河海大学 机电工程学院机电工程学院 力学教研室力学教研室第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-1 线性单元线性单元散热片 一维热传导问题温度沿单元的线性近似第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-1 线性单元线性单元典型单元的线性温度分布：按照单元节点的温度：计算出c1 c2并回代入温度方程前一章中的典型柱体单元位移用形函数表示第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-1 线性单元线性单元形函数固有的性质之一是在相应节点上的值为1，相邻节点上为0。第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-1 线性单元线性单元形函数固有的性质之二是形函数的和为1。线性形函数对于X的导数之和为0。第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-2 二次单元二次单元通过增加分析中使用的线性单元的数量，或者使用高阶的插值函数，能够增加有限元计算的精度。二次函数要求至少使用3个节点来定义一个单元。第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-2 二次单元二次单元一般而言，二次单元由节点值表示的任何可变参数可以写为二次形函数的性质 相应节点值为1，相邻节点值为0；形函数之和为1；二次形函数关于X的导数之和一般不为0。第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-3 三次及以上单元三次及以上单元三次函数需要用4个节点来定义一个单元。当插值函数的阶数增加时，用Lagrange插值函数代替以上方法得到形函数。设节点i的整体坐标为Xi则对应的形函数Si满足从而求出参数a1第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-3 三次及以上单元三次及以上单元 三次以上的单元，可以从Lagrange插值多项式得到N-1阶多项式的形函数：形函数的性质就是Lagrange插值基函数的性质第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-4 整体坐标，局部坐标和自然坐标整体坐标，局部坐标和自然坐标整体坐标整体坐标：表示节点的位置和单元的方向；施加边界条件和荷载；表示计算的结果；比如节点的位移。局部坐标和自然坐标局部坐标和自然坐标：构造几何关系，计算积分。第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-4 整体坐标，局部坐标和自然坐标整体坐标，局部坐标和自然坐标自然坐标是局部坐标的无量纲形式无量纲形式。在计算单元刚度矩阵或者热传导矩阵时，需要用到从上限1到下限1之间的积分(典型的 Gauss-Legendre积分)。第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-4 整体坐标，局部坐标和自然坐标整体坐标，局部坐标和自然坐标自然坐标和局部坐标的关系x是局部坐标局部坐标下的形函数：自然坐标下的形函数：一维散热片单元的温度分布：第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-5 等参单元等参单元用自然形函数表示位移位移：用同样同样的自然形函数表示几何关系几何关系(局部坐标和全局坐标)：所谓等参，就是对单元几何形状和单元内的参变量函数采用相同数目的节点参数和相同的形函数进行变换。用这种方式表示的单元称为等参单元等参单元。第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-5 等参单元等参单元求 X=8cm 处的温度X=8cm 处位于单元注意到，X=8cm在单元的局部坐标单元 l=5第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-5 等参单元等参单元自然坐标下二次形函数：自然坐标下三次形函数：第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-6 Gauss-Legendre 积分积分自然坐标是局部坐标的无量纲形式自然坐标是局部坐标的无量纲形式有限元需要对单元进行数值积分数值积分的方法主要有：梯形法，Simpson法 计算离散数据的积分Gauss-Legendre 积分 计算离散数据的积分 计算不等间距点上已知函数的积分Gauss-Legender积分的主要目标是用特定权系数的乘积之和，以及一些选定点上的函数值来计算积分。第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-6 Gauss-Legendre 积分积分数值积分的形式Guass-Legendre积分的形式注意到Guass-Legendre积分的上下限为1到1(自然坐标自然坐标)Guass-Legendre积分的权因子和样本点点数点数权因子因子wi样本点本点l l i21.000 000 001.000 000 00-0.577 350 269 0.577 350 26930.555 555 560.888 888 890.555 555 56-0.774 596 669 0 0.774 596 669第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-7 矩形单元矩形单元一维问题用线段近似描述，而二维问题用平面近似描述。一维问题用线段近似描述，而二维问题用平面近似描述。第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-7 矩形单元矩形单元温度沿单元的分布是关于坐标X和Y的函数。任意单元在局部坐标下的温度分布上式描述的单元具有在单元边缘上线性变化；在单元内部非线性变化；双线性单元：Bilinear Element考虑节点的温度，必须满足条件：应用这些条件，可求出各参数，并得到各形函数。第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-7 矩形单元矩形单元解出：代入：并对参数分组，满足矩阵形式：得到局部坐标下的各形函数：第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-7 矩形单元矩形单元描述平面应力问题的矩形单元：第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-7 矩形单元矩形单元第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-7 矩形单元矩形单元第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-7 矩形单元矩形单元设板上的节点应力如图所示，分别用局部坐标和自然坐标求板中心的应力值。第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-7 矩形单元矩形单元单元应力表示局部坐标下的形函数局部坐标下中心点的坐标第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-7 矩形单元矩形单元应用自然坐标局部坐标下中心点的坐标第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-8 二次四边形单元二次四边形单元8节点二次四边形单元是二维四边形单元的高阶单元，适合于曲线边界问题的建模，对于同样数目的单元，二次单元提供的结果更为精确。一般形式第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-8 二次四边形单元二次四边形单元设与每个节点有关的形函数可以表示为：使得F1在给定节点无关的单元边上的值为0F2与F1在给定的节点上乘积为1，其他相邻节点上乘积为0。考虑 m 节点，其坐标 x=1,h=1取m节点，乘积为1o节点(0,1)，乘积为0l节点(1,0)，乘积为0由上述方程组解出c1,c2,c3第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-8 二次四边形单元二次四边形单元解出c1,c2,c3则与m节点关联的形函数为用同样的方法可以确定其他三个角点：i,j,n 的形函数第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-8 二次四边形单元二次四边形单元考虑中间节点的形函数考虑o节点：满足 m-j，n-i，i-j侧为0为了满足因此F2必须是常数c1o节点(0,1)，乘积为0解得于是与o节点关联的形函数第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-8 二次四边形单元二次四边形单元同样方法，可以求出其他中间节点的形函数第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-9 线性三角形单元线性三角形单元第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-9 线性三角形单元线性三角形单元需满足A是三角形面积第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-9 线性三角形单元线性三角形单元将 a1,a2,a3代入，并对Ti,Tj,Tk分组同样满足形函数之和为1(单位分解单位分解)第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-10 二维等参单元二维等参单元若用一组形函数定义u,v,T等未知变量，并使用同一组形函数表示几何关系时，这种方式表示的单元就是等参单元等参单元。取单元内任意一点A(x,h)其物理坐标可用关于自然坐标的形函数表示其位移亦可用关于自然坐标的形函数表示第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-10 二维等参单元二维等参单元平面应力问题，通常在用有限元方法求出单元节点的位移后，需要进行应变和应力计算。因此有必要建立一种关系，使得函数u(x,y)关于x和y的偏导数用u(x,h)关于x,h的偏导数来表示。按照求导的链式规则第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-10 二维等参单元二维等参单元Jacobian matrix J第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-10 二维等参单元二维等参单元STARTEND第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-11 二维二维Guass-Legendre积分积分一维Guass-Legendre积分推广到二维权因子和样本点和一维问题相同。点数点数权因子因子wi样本点本点l l i21.000 000 001.000 000 00-0.577 350 269 0.577 350 26930.555 555 560.888 888 890.555 555 56-0.774 596 669 0 0.774 596 669第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-12 ANSYS中的典型二维单元中的典型二维单元6节点三角形结构单元，每个节点两个自由度(x,y方向平移)；如果选择了KEYOPTION 3(平面应力问题中的厚度)，则输入数据包括单元的厚度。这类单元，可在单元表面上施加面载荷，输出包括节点位移和单元数据，例如应力和主应力。4节点四边形单元，每个节点两个自由度(x,y方向平移)；同PLANE28节点四边形单元，是PLANE42的高阶形式，可用于对含曲面边界的问题建模，且计算精度更高。其他同PLANE42。使用高阶单元可以获得更好的结果和更高的精度，其代价是计算时间会更长，因为它涉及到的单元矩阵数值积分更多。
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