弯曲内力和应力课件

第第 九九 章章弯弯 曲曲 内内 力力 及及 强强 度度1起重机大梁起重机大梁2火车轮轴火车轮轴3车削工件车削工件4弯曲特点弯曲特点以弯曲变形为主的杆件通常称为梁以弯曲变形为主的杆件通常称为梁5常见弯曲构件截面常见弯曲构件截面6常见弯曲构件截面常见弯曲构件截面7平面弯曲平面弯曲具有纵向对称面具有纵向对称面外力都作用在此面内外力都作用在此面内弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线8梁的载荷与支座梁的载荷与支座集中载荷集中载荷分布载荷分布载荷集中力偶集中力偶9可动铰支座可动铰支座:固定铰支座固定铰支座:固定端固定端:10火车轮轴简化火车轮轴简化1112吊车大梁简化吊车大梁简化均匀分布载荷均匀分布载荷简称均布载荷简称均布载荷13非均匀分布载荷非均匀分布载荷14简支梁简支梁:外伸梁外伸梁:悬臂梁悬臂梁:FAxFAyFByFAxFAyFByFAxFAyMA静定梁的基本形式静定梁的基本形式159-1 9-1 剪力和弯矩及其方程剪力和弯矩及其方程+_ _+_ _左上右下为正；反之为负左上右下为正；反之为负左顺右逆为正；反之为负左顺右逆为正；反之为负 Fs剪力剪力，平行于，平行于横截面的内力合力。横截面的内力合力。M 弯矩弯矩，垂直于，垂直于横截面的内力系的横截面的内力系的合力偶矩。合力偶矩。16解：解：1.确定支反力确定支反力FAyFBy2.用截面法研究内力用截面法研究内力ME求图示简支梁求图示简支梁E E 截面的内力截面的内力FSEFAyFSE17FByFByFAyFSEMEO分析右段得到：分析右段得到：FSEMEO18FAyFBy 截面上的剪力等于截面截面上的剪力等于截面任一侧外力的代数和。任一侧外力的代数和。左上右下，剪力为正！左上右下，剪力为正！FAyFS2FFSFAy19FAyFBy 截面上的弯矩等于截面任一截面上的弯矩等于截面任一侧外力对截面形心力矩的代数和。侧外力对截面形心力矩的代数和。左顺右逆，弯矩为正！左顺右逆，弯矩为正！MEFAy2FMEFAy20悬悬臂臂梁梁受受均均布布载载荷荷作作用用。试试写写出出剪剪力力和和弯弯矩矩方方程程，并并画画出剪力图和弯矩图。出剪力图和弯矩图。解解：任任选选一一截截面面x ，写写出出剪剪力和弯矩方程力和弯矩方程qxl剪力图和弯矩图的绘制剪力图和弯矩图的绘制qx21FSxMx由剪力图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为由剪力图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为:依方程画出剪力图和弯矩图依方程画出剪力图和弯矩图弯矩方程弯矩方程:剪力方程剪力方程:22FS(x)简简支支梁梁受受均均布布载载荷荷作作用用。试试写写出出剪剪力力和和弯弯矩矩方方程程，并并画画出剪力图和弯矩图。出剪力图和弯矩图。FA FBy ql/2BAlFAqFByyxCx解：解：1 1确定约束力确定约束力2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程233.3.依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。FSxMx24FS(x)图图示示简简支支梁梁C点点受受集集中中力力作作用用。试试写写出出剪剪力力和和弯弯矩矩方方程程，并并画画出出剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力BAlFAFByx2x1CFabFAFb/l FByFa/l2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程AC:25BC:FxFS(x)BAlFAFByx2x1CFab263.3.依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。FSxMxCB:AC:27xFS(x)图示简支梁图示简支梁C点受集中力偶作用。点受集中力偶作用。试试写写出出剪剪力力和和弯弯矩矩方方程程，并并画画出出剪剪力图和弯矩图。力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力BAlFAyFByx2x1CMabFAyM/l FBy-M/l2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程28xFS(x)BAlFAyFByx2x1CMab293.3.依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。MxFSxCB:AC:309-2 9-2 剪力图和弯矩图的进一步研究剪力图和弯矩图的进一步研究FS(x)FS(x)+dFS(x)31载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系：FS(x)FS(x)+dFS(x)32 也可也可通过积分方法确定剪力、通过积分方法确定剪力、弯矩图上各点处的弯矩图上各点处的数值。数值。从左到右，向上（下）集中力作用处，剪力图向上（下）从左到右，向上（下）集中力作用处，剪力图向上（下）突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，弯矩图向上从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，弯矩图向上（下）突变，突变幅度为集中力偶的大小。剪力图在该点没（下）突变，突变幅度为集中力偶的大小。剪力图在该点没有变化。有变化。33 例题 一简支梁在其中间部分受集度为 q=100 kN/m的向下的均布荷载作用，如图a所示。试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系校核图b及图c所示的剪力图和弯矩图。x+-100 kN100 kNFSxFS 图+100150100 xMM图（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq-34而根据 可知，AC段内的剪力图应当是水平直线。该段内梁的横截面上剪力的值显然为1.校核剪力图 解：解：此梁的荷载及约束力均与跨中对称，故知约束力FA，FB为+-100 kN100 kNFSxFS 图yFAFBABCDE2 m1 m4 mq 该梁的AC段内无荷载，35 对于该梁的CD段，分布荷载的集度q为常量，且因荷载系向下而在微分关系中应为负值，即q=-100 kN/m。+-100 kN100 kNFSxFS 图yFAFBABCDE2 m1 m4 mq 根据 可知CD段内的剪力图确应为向右下方倾斜的斜直线。由于C点处无集中力作用，剪力图在该处无突变，故斜直线左端的纵坐标确为100 kN。根据斜直线的斜率为 ，可证实D截面处的剪力确应为36 对于该梁的DB段，梁上无荷载，故剪力图应该是水平直线；且由于D点处无集中力作用，剪力图在该处无突变，故该水平直线的纵坐标确为-100 kN。作为复核，显然支座B偏左横截面上的剪力就是+-100 kN100 kNFSxFS 图yFAFBABCDE2 m1 m4 mq372.校核弯矩图这与图中所示相符。该梁的AC段内，剪力为常量，因而根据 常量可知此段梁的弯矩图应为斜率为 的正值的斜直线。据此，由支座A处横截面上的弯矩为零可知C截面处的弯矩为+-100 kN100 kNFSxFS 图+100150100 xMM图（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq38 事实上，这个弯矩值也可根据 此式中的 从几何意义上来说，它就是AC段内剪力图的面积。+-100 kN100 kNFSxFS 图+100150100 xMM图（kNm）通过积分来复核：39 对于该梁的CD段，根据 可知：弯矩图是如图(c)中所示曲率为负(即向下凸)的二次曲线。因为梁上C点处无集中力偶作用，故弯矩图在C截面处应该没有突变；+-100 kN100 kNFSxFS 图+100150100 xMM图（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq40 由于C截面处剪力无突变，故CD段的弯矩图在C处的切线的斜率应该与AC段梁弯矩图在C处的斜率相等，即两段梁的弯矩图在C处应光滑连接。+-100 kN100 kNFSxFS 图+100150100 xMM图（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq41 在剪力为零的跨中截面E处，弯矩图切线的斜率为零，而弯矩有极限值，其值为同样，根据 可知，这些均与图(c)中所示相符。+-100 kN100 kNFSxFS 图+100150100 xMM图（kNm）42 对于该梁的DB段，由于剪力为负值的常量，故弯矩图应该是斜率为负的斜直线。因为梁上D点处无集中力偶作用，故弯矩图在D截面处不应有突变，再考虑B支座处弯矩为零，即可证实图(c)中此段梁的弯矩图也无误。+-100 kN100 kNFSxFS 图+100150100 xMM图（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq43简简支支梁梁受受力力的的大大小小和和方方向向如如图图示示。试试画画出出其其剪剪力力图图和弯矩图。和弯矩图。解：解：1 1确定约束力根据力矩平衡方程确定约束力根据力矩平衡方程 求得求得：FAy0.89 kN,FBy1.11 kN 2 2确定控制面确定控制面 在在集集中中力力和和集集中中力力偶偶作作用用处处的的两两侧侧截截面面以以及及支支座座反反力力内内侧侧截截面面均均为为控控制制面面。即即A、C、D、E、F、B截面。截面。BA1.5m1.5m1.5mFAyFBy1kN.m2kNE ED DC CF F443.3.建建立立坐坐标标系系建建立立 FSx 和和 Mx 坐坐标系标系 4.应应用用截截面面法法确确定定控控制制面面上上的的剪剪力力和和弯弯矩矩值值，并并将将其其标标在在 FS x和和 Mx 坐坐标标系中。系中。5.根根据据微微分分关关系系连连图图线线0.335(+)(-)0.891.11M(kN.m)xO1.3351.67(-)(-)xFS(kN)OBA1.5m1.5m1.5mFAyFBy1kN.m2kNE ED DC CF F45解法解法2 2：1 1确定约束力确定约束力FAy0.89 kN FBy1.11 kN 2 2确确定定控控制制面面为为A、C、D、E、F、B。3 3从从A A截截面面左左侧侧开开始画剪力图。始画剪力图。(+)(-)0.891.11xFS(kN)OBA1.5m1.5m1.5mFAyFBy1kN.m2kNE ED DC CF F464 4从从A A截截面面左左测测开开始始画弯矩图。画弯矩图。从从A A左到左到A A右右从从C C左到左到C C右右从从D D左到左到D D右右从从A A右到右到C C左左从从C C右到右到D D左左从从D D右到右到B B左左从从B B左到左到B B右右0.335M(kN.m)xO1.3351.67(-)(-)(+)(-)0.891.11xFS(kN)OBA1.5m1.5m1.5mFAyFBy1kN.m2kNE ED DC CF F47试试画画出出梁梁剪剪力力图图和和弯弯矩图。矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力根据梁的整体平衡，由根据梁的整体平衡，由 求得求得A、B 二处的约束力二处的约束力2 2确定控制面确定控制面 由由于于AB段段上上作作用用有有连连续续分分布布载载荷荷，故故A、B两两个个截截面面为为控控制制面面，约约束束力力FBy右右侧侧的的截截面面，以以及及集集中力中力qa左侧的截面，也都是控制面。左侧的截面，也都是控制面。qBAD Da a4 4a aFAyFByqaC48 3.3.建建立立坐坐标标系系建建立立FSx和和Mx坐标系坐标系 4.确确定定控控制制面面上上的的剪剪力力值值，并并将将其其标标在在FSx中。中。5.确确定定控控制制面面上上的的弯弯矩矩值值，并并将将其其标标在在Mx中。中。qBAD Da a4 4a aFAyFByqaC（+）OMx（+）（-）OFSx49解法解法2 2：1 1确定约束力确定约束力 2.2.确定控制面，即确定控制面，即A、B、D两侧截面。两侧截面。3.3.从从A截截面面左左侧侧开开始画剪力图。始画剪力图。（+）（-）OFSxqBAD Da a4 4a aFAyFByqaC50 4 4求求出出剪剪力力为为零零的的点到点到A的距离。的距离。5 5从从A截截面面左左测测开开始始画弯矩图画弯矩图 B点的弯矩为点的弯矩为:-1/27qa/47a/4 +81qa2/32=qa2 AB段段为为上上凸凸抛抛物物线线。且且有有极极大大值值。该该点点的的弯弯矩为矩为:1/29qa/49a/4 =81qa2/32qBAD Da a4 4a aFAyFByqaC（+）OMx（+）（-）OFSx51试试画画出出图图示示有有中中间间铰铰梁梁的的剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力从铰处将梁截开从铰处将梁截开qFDyF FByByFDyqaF FAyAyMMA AF FAyAyF FByByBAaqaCaaDqMMA A（-）（-）qa2/2qa2/2Mx（+）（+）（-）qa/2qa/2qaFSx52一、叠加原理一、叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。适用条件适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图53二、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理二、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理 叠加方法叠加方法步骤：步骤：分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。54按叠加原理作弯矩图 (AB=2a，力P作用在梁AB的中点处）。qPABP=AB+qABxM+xM1+=xM2+55 三、对称性与反对称性的应用：三、对称性与反对称性的应用：对称结构在对称载荷作用下，对称结构在对称载荷作用下，Fs 图反对称，图反对称，M 图对称；对称结构在反对称载荷作用下，图对称；对称结构在反对称载荷作用下，FS 图对图对称，称，M 图反对称。图反对称。56作下列图示梁的内力图。作下列图示梁的内力图。PPLLLP0Fs2x0.5PFsxPFs1x0.5P0.5P+=PLL0.5P0.5P=PLLL0.5P0.5P+57PLL0.5P0.5PMxPL+M2x0.5PL0.5PL+M1x+0.5PL=PPLLLP0=PLLL0.5P0.5P+581 1、熟练求解各种形式静定梁的支座反力、熟练求解各种形式静定梁的支座反力2 2、明确剪力和弯矩的概念，理解剪力和弯矩、明确剪力和弯矩的概念，理解剪力和弯矩的正负号规定的正负号规定3 3、熟练计算任意截面上的剪力和弯矩的数值、熟练计算任意截面上的剪力和弯矩的数值4 4、熟练建立剪力方程、弯矩方程，正确绘制剪、熟练建立剪力方程、弯矩方程，正确绘制剪力图和弯矩图力图和弯矩图59回顾与比较回顾与比较内力内力应力应力FAyFSMT60纯弯曲纯弯曲:梁段梁段CD上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲梁段梁段AC和和BD上，既有弯矩，又有剪力横力弯曲上，既有弯矩，又有剪力横力弯曲9-3 9-3 纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力61一、变形几何关系一、变形几何关系621.梁的纯弯曲实验 横向线(a b、c d）保持为直线，高度不变，相互倾斜，仍垂直于纵向线；纵向线变为弧线，凸边伸长，凹边缩短，中间有一纵向线长度不变。abcd中性层中性层（一）变形几何规律：（一）变形几何规律：63 平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。各纵向纤维之间无挤压 横截面上只有正应力。3:推论2:两个概念 中性层：长度不变的纵向纤维层；中性轴：中性层与横截面的交线；64 A4.几何方程：65（二）、物理关系：假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态。这表明，直梁的横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化。66（三）、静力学关系：67 由于 不可能等于零，因而该两式要求：1.横截面对于中性轴 z 的静矩 Sz 等于零；显然这是要求中性轴 z 通过横截面的形心；2.横截面对于 y 轴和 z 轴的惯性积 Iyz 等于零；在对称弯曲情况下，y 轴为横截面的对称轴，因而这一条件自动满足。68杆的抗弯刚度。杆的抗弯刚度。zEIz )3(1LLZZEIM=rdAyz(中性轴中性轴)xzyOs s dAM69（四）最大正应力：Ms smins smax70正应力公式正应力公式:变形几何关系:物理关系:静力学关系:为梁弯曲变形后的曲率为曲率半径,71正应力分布正应力分布:5.横截面上正应力的画法：横截面上正应力的画法：Ms smins smaxMs smins smax72 线弹性范围线弹性范围正应力小于比例极限正应力小于比例极限s sp；精确适用于纯弯曲梁；精确适用于纯弯曲梁；对对于于横横力力弯弯曲曲的的细细长长梁梁(跨跨度度与与截截面面高高度度比比L/h5)，上上述述公公式式的的误误差差不不大大，但但公公式式中中的的M应应为为所所研究截面上的弯矩，即为截面位置的函数。研究截面上的弯矩，即为截面位置的函数。6.公式适用范围：公式适用范围：73常见截面的常见截面的 IZ 和和 WZ圆截面圆截面:矩形截面矩形截面:74常见截面的常见截面的 IZ 和和 WZ空心矩形截面空心矩形截面:空心圆截面空心圆截面:75F FAyAyF FByByBAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120K1.1.C 截面上截面上K点正应力点正应力2.2.C 截面上最大正应力截面上最大正应力3.3.全梁上最大正应力全梁上最大正应力4.4.已知已知E=200GPa，C 截面的曲率半径截面的曲率半径MxFSx90kN90kN（压应力）（压应力）解：解：1.1.求支反力求支反力762.C 截面最大正应力 C 截面弯矩C 截面惯性矩F FAyAyF FByByBAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120KFSx90kN90kNMx773.3.全梁最大正应力全梁最大正应力最大弯矩最大弯矩截面惯性矩截面惯性矩F FAyAyF FByByBAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120KFSx90kN90kNMx784.4.C 截面曲率半径截面曲率半径C 截面弯矩截面弯矩C 截面惯性矩截面惯性矩F FAyAyF FByByBAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120KFSx90kN90kNMx79.梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力(1)矩形截面梁矩形截面梁从发生横力弯曲的梁中取出长为dx的微段，如图所示。hbzyO9-5 9-5 弯曲切应力弯曲切应力Fs(x)+d Fs(x)M(x)yM(x)+d M(x)Fs(x)dx图图b80 由于mm和nn上的弯矩不相等，故两截面上对应点处的弯曲正应力s1和s2不相等。因此，从微段中用距离中性层为y且平行于它的纵截面AA1B1B假想地截出的体积元素mB1(图a及图b)，其两个端面mmA1A上与nnB1B上正应力对应的法向内力F*N1和F*N2也不相等。81它们分别为式中，为面积A*(图b)对中性轴z的静矩；A*为横截面上距中性轴 z 为 y 的横线AA1和BB1以外部分的面积(图b中的阴影线部分)。82即由于 ，故纵截面AA1B1B上有切向内力dFS(图b)：83 为确定离中性轴 z 为 y 的这个纵截面上与切向内力dFS对应的切应力t，先分析横截面与该纵截面的交线AA1处横截面上切应力t 的情况：84 1.由于梁的侧面为自由表面(图a和图b中的面mABn为梁的侧表面的一部分)，其上无切应力，故根据切应力互等定理可知，横截面上侧边处的切应力必与侧边平行；2.对称弯曲时，对称轴 y 处的切应力必沿 y 轴方向，亦即与侧边平行。85从而对于狭长矩形截面可以假设：1.横截面上各点处的切应力均与侧边平行；2.横截面上距中性轴等远处的切应力大小相等。zyys s2 2xyzs s1 1t t1 1t tb86 于是根据切应力互等定理可知，距中性层为 y 的纵截面AA1B1B上在与横截面的交线AA1处各点的切应力 t 均与横截面正交，且大小相等。至于t 在 dx 长度内可以认为没有变化。这也就是认为，纵截面AA1B1B上的切应力 t 在该纵截面范围内是没有变化的。于是有87 以上式代入前已得出的式子得 根据切应力互等定理可知，梁的横截面上距中性轴z的距离为y处的切应力t 必与t 互等，从而亦有88矩形截面梁横力弯曲时切应力计算公式矩形截面梁横力弯曲时切应力计算公式zyyy1式中，FS为横截面上的剪力；Iz 为整个横截面对于中性轴的惯性矩；b为矩形截面的宽度(与剪力FS垂直的截面尺寸)；Sz*为横截面上求切应力t 的点处横线以外部分面积对中性轴的静矩，。上式就是矩形截面等直梁在对称弯曲时横截面上任一点处切应力的计算公式。89横截面上切应力的变化规律横截面上切应力的变化规律 前已讲到，等直的矩形截面梁横力弯曲时，在对称弯曲情况下距中性轴等远处各点处的切应力大小相等。现在分析横截面上切应力t 在与中性轴垂直方向的变化规律。上述切应力计算公式中，FS 在一定的横截面上为一定的量，Iz 和 b 也是一定的，可见t 沿截面高度(即随坐标y)的变化情况系由部分面积的静矩 Sz*与坐标 y 之间的关系确定。90bhdy1yyzOy191可见矩形截面：1.t 沿截面高度系按二次抛物线规律变化；2.同一横截面上的最大切应力tmax在中性轴处(y=0):92剪剪剪剪应变变应变变应变变应变变化化化化规规规规律律律律梁横截面不再保持平面，而引起翘梁横截面不再保持平面，而引起翘曲，如图曲，如图b。因此而会产生附加正。因此而会产生附加正应力，当：应力，当：附加正应力不超过按平面假设所得到的正应力的附加正应力不超过按平面假设所得到的正应力的1.67。93讨论讨论弯曲正应力和剪应力弯曲正应力和剪应力任意截面上任意截面上危危险险截面上截面上边缘边缘中性层中性层abcdzybhabcd94 例题例题 某空心矩形截面梁，分别按图a及图b两种方式由四块木板胶合而成。试求在横力弯曲时每一胶合方式下胶合缝上的切应力。梁的横截面上剪力FS已知。95解：解：图a所示胶合方式下，由图可知：bdx(c)96图b所示胶合方式下，由图可知：b-2dx(d)97(2)工字形截面梁工字形截面梁1.腹板上的切应力其中98 可见腹板上的切应力在与中性轴z垂直的方向按二次抛物线规律变化。992.在腹板与翼缘交界处：在中性轴处：对于轧制的工字钢，上式中的 就是型钢表中给出的比值 ，此值已把工字钢截面的翼缘厚度变化和圆角等考虑在内。1003.翼缘上的切应力 翼缘横截面上平行于剪力FS的切应力在其上、下边缘处为零(因为翼缘的上、下表面无切应力)，可见翼缘横截面上其它各处平行于FS的切应力不可能大，故不予考虑。分析表明，工字形截面梁的腹板承担了整个横截面上剪力FS的90%以上。101 但是，如果从长为dx的梁段中用铅垂的纵截面在翼缘上截取如图所示包含翼缘自由边在内的分离体就会发现，由于横力弯曲情况下梁的相邻横截面上的弯矩不相等，故所示分离体前后两个同样大小的部分横截面上弯曲正应力构成的合力 和 不相等，因而铅垂的纵截面上必有由切应力t1构成的合力。hdxA*自由边102根据 可得出 从而由切应力互等定理可知，翼缘横截面上距自由边为h处有平行于翼缘横截面边长的切应力t1，而且它是随h按线性规律变化的。hdxA*自由边103FS104思考题思考题:试通过分析说明，图a中所示上、下翼缘左半部分和右半部分横截面上与腹板横截面上的切应力指向是正确的，即它们构成了“切应力流”。105 例题例题 对于由56a号工字钢制成的如图a所示简支梁，试求梁的横截面上的最大切应力tmax和同一横截面上腹板上a点处(图b)的切应力t a。梁的自重不计。106 图d为该梁的剪力图，最大剪力为FS,max，存在于除两个端截面A，B和集中荷载F 的作用点处C 以外的所有横截面上。(d)解：解：由型钢表查得56a号工字钢截面的尺寸如图b所示，且根据型钢表有Ix=65 586 cm4和 。前者就是前面一些公式中Iz，而后者就是我们以前在求tmax公式所 。107(d)108其中：于是有：109腹板上切应力沿高度的变化规律如图所示。tmax110一.梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件 等直梁横截面上的最大正应力发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的边缘处，而且在这些边缘处，即使是横力弯曲情况，由剪力引起的切应力也等于零或其值很小(详见下节)，至于由横向力引起的挤压应力可以忽略不计。因此可以认为梁的危险截面上最大正应力所在各点系处于单轴应力状态。于是可按单向应力状态下的强度条件形式来建立梁的正应力强度条件：式中，s为材料的许用弯曲正应力。9-6 9-6 梁的强度条件梁的强度条件111对于中性轴为横截面对称轴的梁，上述强度条件可写作 由拉、压许用应力st和sc不相等的铸铁等脆性材料制成的梁，为充分发挥材料的强度，其横截面上的中性轴往往不是对称轴，以尽量使梁的最大工作拉应力st,max和最大工作压应力sc,max分别达到(或接近)材料的许用拉应力st和许用压应力sc。112弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件1.1.弯矩最大的截面上弯矩最大的截面上2.2.离中性轴最远处离中性轴最远处4.4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑3.3.变截面梁要综合考虑变截面梁要综合考虑 与与113 根据强度条件可进行：根据强度条件可进行：1、强度校核:2、截面设计:3、确定梁的许可荷载:114分析：分析：非对称截面，要寻找中性轴位置 作弯矩图，寻找需要校核的截面 要同时满足 T型截面铸铁梁，型截面铸铁梁，截面截面尺寸如图示。试校核梁的强度。尺寸如图示。试校核梁的强度。115（2）求截面对中性轴z的惯性矩z1yz52解：解：（1）求截面形心116（5 5）C截面要不要校核？截面要不要校核？（3 3）作弯矩图）作弯矩图（4 4）B截面校核截面校核117(a)(b)例题例题 图a所示工字钢制成的梁，其计算简图可取为如图b所示的简支梁。钢的许用弯曲正应力s=152 MPa。试选择工字钢的号码。118解：在不计梁的自重的情况下，弯矩图如图所示119强度条件 要求：此值虽略小于要求的Wz但相差不到1%，故可以选用56b工字钢。由型钢规格表查得56b号工字钢的Wz为120此时危险截面上的最大工作应力为 其值超过许用弯曲应力约4.6%。工程实践中，如果最大工作应力超过许用应力不到5%，则通常还是允许的。如果计入梁的自重 ，危险截面仍在跨中，相应的最大弯矩则为121 例题例题 图a所示为横截面如图b所示的槽形截面铸铁梁，该截面对于中性轴z 的惯性矩Iz=5493104 mm4。已知图a中，b=2 m。铸铁的许用拉应力st=30 MPa，许用压应力sc=90 MPa。试求梁的许可荷载F。(a)(b)122 解：最大负弯矩所在B截面处，若截面的上边缘处最大拉应力st,max达到st，则下边缘处最大压应力sc,max为 根据 可知此sc,max并未达到许用压应力sc，也就是说，就B截面而言，梁的强度由最大拉应力控制。123 最大正弯矩在C截面处，若截面的下边缘处最大拉应力st,max达到st，则上边缘处的最大压应力sc,max为 ，它远小于sc故就C截面而言，梁的强度也由最大拉应力控制。124 由以上分析可知，该梁的强度条件系受最大拉应力控制。至于究竟是B截面上还是C 截面上的最大拉应力控制了梁的强度，可进一步分析如下：显然，B截面上的最大拉应力控制了梁的强度。B截面：C截面：125 当然，这个许可荷载是在未考虑梁的自重的情况下得出的，但即使考虑自重，许可荷载也不会减少很多。于是由B截面上最大拉应力不得超过铸铁的许用拉应力st的条件来求该梁的许可荷载F：由此得F19200 N，亦即该梁的许可荷载为F=19.2 kN。126.梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件 图a所示受满布均布荷载的简支梁，其最大弯矩所在跨中截面上、下边缘上的C点和D点处于单轴应力状态(state of uniaxial stress)(图d及图e)，故根据这些点对该梁进行强度计算时其强度条件就是按单轴应力状态建立的正应力强度条件 127 该梁最大剪力所在两个支座截面的中性轴上E和F点，通常略去约束力产生的挤压应力而认为其处于纯剪切应力状态(shearing state of stress)(图f及图g)，从而其切应力强度条件是按纯剪切应力状态建立的，即梁的切应力强度条件为亦即式中，t 为材料在横力弯曲时的许用切应力。128 梁在荷载作用下，必须同时满足正应力强度条件和切应力强度条件。在选择梁的截面尺寸时，通常先按正应力强度条件定出截面尺寸，再按切应力强度条件校核。129 图a所示梁，其既有剪力又有弯矩的横截面m-m上任意点G和H处于如图h及图i所示的平面应力状态(state of plane stress)。130 需要指出，对于工字钢梁如果同一横截面上的弯矩和剪力都是最大的(图a,b,c)(或分别接近各自的最大值)则该截面上腹板与翼缘交界点处由于正应力和切应力均相当大(图d)，因此处于平面应力状态(图e)。这样的点必须进行强度校核。131 但要注意，这时不能分别按正应力和切应力进行强度校核，而必须考虑两种应力的共同作用。132 此外，在最大弯矩所在横截面上还有剪力的情况，工字钢翼缘上存在平行于翼缘横截面边长的切应力，因此最大弯曲正应力所在点处也还有切应力，这些点事实上处于平面应力状态，只是在工程计算中对于它们通常仍应用按单轴应力状态建立的强度条件。ss133讨论讨论 细长梁的强度控制因素通常是弯曲正应力。细长梁的强度控制因素通常是弯曲正应力。需要校核梁的剪应力强度条件几种情况需要校核梁的剪应力强度条件几种情况 根据正应力强度条件设计的梁截面，一般都满足根据正应力强度条件设计的梁截面，一般都满足 剪应力强度条件。剪应力强度条件。1）梁的跨度较小，或有较大的集中载荷靠近支座作用。）梁的跨度较小，或有较大的集中载荷靠近支座作用。此时梁内最大弯矩较小而剪力却相对较大；此时梁内最大弯矩较小而剪力却相对较大；2）薄壁截面梁的腹板部分通常可能出现较大的剪应力；）薄壁截面梁的腹板部分通常可能出现较大的剪应力；3）木梁顺纹方向抗剪能力很差，可能沿中性层发生剪切破坏；）木梁顺纹方向抗剪能力很差，可能沿中性层发生剪切破坏；4）组合梁，在焊接或胶合的纵向截面处要校核其剪力流；）组合梁，在焊接或胶合的纵向截面处要校核其剪力流；在铆接或螺栓连接的纵向截面处，须对铆钉、螺栓等连在铆接或螺栓连接的纵向截面处，须对铆钉、螺栓等连 接零件进行剪切强度校核。接零件进行剪切强度校核。134 例题例题 一简易吊车的示意图如图a所示，起重量P=30 kN，跨长 l=5 m。吊车大梁由20a号工字钢制成，许用弯曲正应力s=170 MPa，许用切应力t=100 MPa。试校核梁的强度。P135解：解：吊车梁可简化为简支梁(图b)。(c)(b)P(b)P校核正应力强度 荷载移至跨中处(图b)时梁的横截面上的最大弯矩比荷载在任何其它位置都要大。荷载在此最不利荷载位置时的弯矩图如图c所示，136 由型钢规格表查得20a号工字钢的弯曲截面系数为 。荷载在对应于弯矩的最不利荷载位置时的最大弯曲正应力为其值小于许用弯曲正应力s=170 MPa。(c)137 如果把吊车梁的自重 考虑在内，则而smax=162 MPa，即仍满足正应力强度条件。138校核切应力强度。荷载移至紧靠支座A处(如图)时梁的横截面上的最大剪力比荷载在任何其它位置时都要大。此时的约束力FAP，相应的剪力图如图。P对于20a号钢，由型钢规格表查得：139于是有其值小于许用切应力t=100 MPa。P140如果把吊车梁的自重考虑在内，则 以上强度校核中未计及荷载在跨中C处时，跨中偏左和偏右截面上同时存在最大弯矩和最大剪力而需对工字钢腹板与翼缘交界处进行的计算。从而tmax=25.5 MPa，仍满足切应力强度条件。141