平面向量的数量积2课件

2.4.1 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义平面向量数量积的物理背景及其含义如图一个力F作用于一个物体上，使该物体位移S，如何计算这个力所做的功？W=|S|F|cos.思思 考考思思 考考如何从数学的角度来理解这个公式呢？(1)的意义是什么？(2)|F|cos的意义是什么？(3)|S|cos 的意义是什么？向量的数量积向量的数量积已知两个非零向量a与b，我们把数列|a|b|cos 叫做a与b的数量积（或内积），记作ab=|a|b|cos，其中是a与b的夹角，|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影.向量的数量积向量的数量积规定，零向量与任一向量的数量积为0.数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积.数量积的性质数量积的性质向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正？什么时候为负？思思 考考数量积的性质数量积的性质ab ab=0；当a与b同向时，ab=|a|b|；当a与b反向时，ab=-|a|b|，特别地，aa=|a|2；|ab|a|b|.已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角=120，求ab.解：ab=|a|b|cos=54cos120=-10.例例 题题数量积的运算律数量积的运算律（1）ab=ba；（2）(a)b=(ab)=a(b)；（3）(a+b)c=ac+bc对于任意向量a，b，证明：（1）(a+b)2=a2+2 ab+b2；（2）(a+b)(a-b)=a2-b2.例例 题题证明：（1）(a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb =a2+2ab+b2；（2）(a+b)(a-b)=aa-ab+ba-bb=a2-b2.判断下列说法是否正确：若a=0，则对于任一向量b，有ab=0.若a0，则对任一非零向量b，有ab0.例例 题题（）（）若a0，ab=0，则b=0.若ab=0，则a，b至少有一个为零.若a0，ab=ac，则b=c.（）（）（）若ab=ac，则b=c，当且仅当a0时成立.对任意向量a、b、c，有(ab)ca(bc).对任意向量a，有a2=|a|2.（）（）（）已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为60，求(a+2b)(a-3b).解：(a+2b)(a-3b)=aa-ab-6bb =|a|2-ab-6|b|2 =|a|2-|a|b|cos-6|b|2 =-72.例例 题题已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直？解：a+kb与a-kb互相垂直的条件是(a+kb)(a-kb)=0,即a2-k2b2=0，a2=32=9，b2=42=16,9-16k2=9，k=例例 题题向量|a|=6，a与b的夹角为120，求a在b方向上的投影.答案：-3已知|a|=8，|b|=6，a和b的夹角是60，求ab.答案：24练一练练一练已知|a|=2，|b|=4，ka+b与ka-b垂直，求实数k的值.解：(ka+b)(ka-b)=0 k2a2-b2=0 k2|a|2-|b|2=0 4k2-16=0 k=2.练一练练一练1 平面向量的数量积的物理背景及几何意义；2 平面向量数量积的运算律.小小 结结 习题2.4 A组 1、2、3、6、7.回家作业回家作业2.4.2 平面向量数量积平面向量数量积 的坐标表示、模、夹角的坐标表示、模、夹角 1 平面向量的数量积的物理背景及几何意义 ab=|a|b|cos，其中是a与b的夹角；数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积.复复 习习 2 平面向量数量积的运算律.（1）ab=ba；（2）(a)b=(ab)=a(b)；（3）(a+b)c=ac+bc复复 习习平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，怎样用a与b的坐标表示ab？平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示 a=x1i+y1j，b=x2i+y2j，ab=(x1i+y1j)(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2ij+x2y1ij+y1y2j2又 ii=1，jj=1，ij=ji=0 ab=x1x2+y1y2即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.向量的模向量的模如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，那么向量的夹角向量的夹角设a、b都是非零向量，a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，是a与b的夹角，则已知a=(3,-1)，b=(1,-2)，求ab，|a|，|b|，a与b的夹角.例例 题题解：例例 题题已知a=(-3,5)，b=(2,-3)，若a+kb与2a+3b垂直，求k的值.例例 题题例例 题题已知a=(1,2)，b=(2,-2)，求|a|，|b|以及a与b的夹角.已知a=(2,-3)，b=(3,1)，且b-a与b垂直，求实数的值.练一练练一练解：练一练练一练练一练练一练1 平面向量数量积的坐标表示2 能利用平面向量数量积解决有关长度、角度的问题.小小 结结习题2.4 A组5、9、10、11回家作业回家作业谢谢你的阅读v知识就是财富v丰富你的人生