多元函数的极值及其求法课件

第八节第八节 多元函数的极值及其求多元函数的极值及其求法法 第七章第七章(Absolute maximum and minimum values)一、多元函数的极一、多元函数的极值二、条件极二、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法三、小三、小结与思考与思考练习6/16/20241第八节 多元函数的极值及其求法 第七章(Absolute一、一、多元函数的极多元函数的极值及最大及最大值、最小、最小值 定定义 若函数若函数则称函数在称函数在该点取得点取得极大极大值(极小极小值).例如例如:在点在点(0,0)有极小有极小值;在点在点(0,0)有极大有极大值;在点在点(0,0)无极无极值.极大极大值和极小和极小值统称称为极极值,使函数取得极使函数取得极值的点称的点称为极极值点点.的某的某邻域内有域内有6/16/20242一、多元函数的极值及最大值、最小值 定义 若函数则称函数说明明:使偏使偏导数都数都为 0 的点称的点称为驻点点.例如例如,函数函数偏偏导数数,证:据一元函数极据一元函数极值的必要条件可知定理的必要条件可知定理结论成立成立.取得极取得极值,取得极取得极值取得极取得极值 但但驻点不一定是极点不一定是极值点点.有有驻点点(0,0),但在但在该点不取极点不取极值.且在且在该点取得极点取得极值,则有有存在存在故故定理定理1(必要条件必要条件)6/16/20243说明:使偏导数都为 0 的点称为驻点.例如,函数偏导数时,具有极具有极值的某的某邻域内具有一域内具有一阶和二和二阶连续偏偏导数数,且且令令则:1)当当A0 时取极小取极小值.2)当当3)当当这个定理不加个定理不加证明明.时,没有极没有极值.时,不能确定不能确定,需另行需另行讨论.若函数若函数定理定理2(充分条件充分条件)6/16/20244时,具有极值的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:6/16/202458/9/20235例例1.1.求函数求函数解解:第一步第一步 求求驻点点.得得驻点点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).第二步第二步 判判别.在点在点(1,0)处为极小极小值;解方程解方程组的极的极值.求二求二阶偏偏导数数6/16/20246例1.求函数解:第一步 求驻点.得驻点:(1,0)在点在点(3,0)处不是极不是极值;在点在点(3,2)处为极大极大值.在点在点(1,2)处不是极不是极值;6/16/20247在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.例例2.讨论函数函数及是否取得极是否取得极值.解解:显然然(0,0)都是它都是它们的的驻点点,在在(0,0)点点邻域内的取域内的取值,因此因此 z(0,0)不是极不是极值.因此因此为极小极小值.正正负0在点在点(0,0)并且在并且在(0,0)都有都有 可能可能为6/16/20248例2.讨论函数及是否取得极值.解:显然(0,0)都是它二、最二、最值应用用问题函数函数f在在闭域上域上连续函数函数f 在闭域上可达到最值在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点点边界上的最界上的最值点点特特别,当区域内部最当区域内部最值存在存在,且且只有一个只有一个极极值点点P 时,为极小极小 值为最小最小 值(大大)(大大)依据依据6/16/20249二、最值应用问题函数f在闭域上连续函数f 在闭域上可达到最值提示提示:首先考察函数首先考察函数z在三角形区域在三角形区域D内的极内的极值其次，考察函数在三角形区域的其次，考察函数在三角形区域的边界上的最大界上的最大值和和最小最小值.6/16/202410提示:首先考察函数z在三角形区域D内的极值其次，考察函数在三首先考察函数首先考察函数Z在三角形区域在三角形区域D内的极内的极值.令令 解此方程解此方程组，得到，得到D内的内的驻点点为(2,1).解解:令令6/16/202411首先考察函数Z在三角形区域D内的极值.令 解此方程组，得到D其次，考察函数在区域其次，考察函数在区域D的的边界上的最大界上的最大值和最小和最小值.（1）在）在x=0上上,z=0;（2）在）在y=0上上,z=0;（3）在）在x+y=6上上,解得解得驻点点x=0和和x=4 比比较得最大得最大值为4，最小，最小值为64.6/16/202412其次，考察函数在区域D的边界上的最大值和最小值.（1）在x=把它折起来做成把它折起来做成解解:设折起来的折起来的边长为 x cm,则断面面断面面积x24一个断面一个断面为等腰梯形的水槽等腰梯形的水槽,倾角角为 ,积最大最大.为问怎怎样折法才能使断面面折法才能使断面面例例4 有一有一宽为 24cm 的的长方形方形铁板板,6/16/202413把它折起来做成解:设折起来的边长为 x cm,则断面面积令令解得解得:由由题意知意知,最大最大值在定在定义域域D 内达到内达到,而在域而在域D 内只有内只有一个一个驻点点,故此点即故此点即为所求所求.6/16/202414令解得:由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有二、条件极二、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法极极值问题无条件极无条件极值:条条 件件 极极 值:条件极条件极值的求法的求法:方法方法1 代入法代入法.求一元函数求一元函数的无条件极的无条件极值问题对自自变量只有定量只有定义域限制域限制对自自变量除定量除定义域限制外域限制外,还有其它条件限制有其它条件限制例如例如,转化化6/16/202415二、条件极值 拉格朗日乘数法极值问题无条件极值:条 件 极例例解解6/16/202416例解8/9/202316如方法如方法 1 所述所述,则问题等价于一元函数等价于一元函数可确定可确定隐函数函数的极的极值问题,极极值点必点必满足足设 记例如例如,故故 故有故有方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.6/16/202417如方法 1 所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问引入引入辅助函数助函数辅助函数助函数F 称称为拉格朗日拉格朗日(Lagrange)函数函数.利用拉格利用拉格极极值点必点必满足足则极极值点点满足足:朗日函数求极朗日函数求极值的方法称的方法称为拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.6/16/202418引入辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日(Lagrange)拉格朗日乘数法可推广到多个自拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多量和多个个约束条件的情形束条件的情形.设解方程解方程组可得到条件极可得到条件极值的可疑点的可疑点.例如例如,求函数求函数下的极下的极值.在条件在条件推广推广6/16/202419拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解例例5 要设计一个容积为要设计一个容积为 V 的长方形无盖水箱的长方形无盖水箱,试试 问长、宽、高各等于多少时问长、宽、高各等于多少时,可使得表面积达到可使得表面积达到 最小最小?若设长、宽、高各等于若设长、宽、高各等于 x,y,z,则则 目标函数目标函数:约束条件约束条件:6/16/202420例5 要设计一个容积为 V 的长方形无盖水箱,试 例例5 解解 此例以往的解法是从条件式解出显函数此例以往的解法是从条件式解出显函数,例如例如 代入目标函数后代入目标函数后,转而求解转而求解 的普通极值问题的普通极值问题.可是这样做并不总是方便的可是这样做并不总是方便的,而而 且往往无法将条件式作显化处理且往往无法将条件式作显化处理,更不用说多个条更不用说多个条 件式的情形了件式的情形了.现在的新办法是设辅助函数现在的新办法是设辅助函数并求解以下方程组并求解以下方程组:6/16/202421例5 解 此例以往的解法是从条件式解出显函数,例如两两相减后立即得出两两相减后立即得出 再代入第四式再代入第四式,便求得便求得 为消去为消去 ,将前三式分别乘以将前三式分别乘以 x,y,z,则得则得 6/16/202422两两相减后立即得出 得唯一得唯一稳定点定点由由题意可知合理的意可知合理的设计是存在的是存在的,长、宽为高的高的 2 倍倍时，所用材料最省，所用材料最省.因此因此,当高当高为思考思考:1)当水箱封当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何、高的尺寸如何?提示提示:利用利用对称性可知称性可知,2)当开口水箱底部的造价当开口水箱底部的造价为侧面的二倍面的二倍时,欲使造价欲使造价最省最省,应如何如何设拉格朗日函数拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何、高尺寸如何?提示提示:长、宽、高尺寸相等、高尺寸相等.6/16/202423得唯一稳定点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 解解则则由由(1)，(2)得得由由(1)，(3)得得6/16/202424解则由(1)，(2)得由(1)，(3)得8/9/20将将(5)，(6)代入代入(4)：于是，得于是，得这是唯一可能的极值点。这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知，最大值一定存在，因为由问题本身可知，最大值一定存在，所以，所以，最大值就在这个可能的极值点处取得。最大值就在这个可能的极值点处取得。故，最大值故，最大值6/16/202425将(5)，(6)代入(4)：于是，得这是唯一可能的极例例6 解解 这里有两个条件式这里有两个条件式,需要引入两个拉格朗需要引入两个拉格朗 日常数日常数;而且为了方便计算而且为了方便计算,把目标函数改取距离把目标函数改取距离 目标函数目标函数:约束条件约束条件:的平方的平方(这是等价的这是等价的),即设即设 6/16/202426例6 解 这里有两个条件式,需要引入两个拉格朗 日求解以下方程组求解以下方程组:由此又得由此又得 再代入条件再代入条件 式式,继而求得继而求得:(这里这里 否则将无解否则将无解)6/16/202427求解以下方程组:故原点至已知曲线上点的最小距离与最大距离分故原点至已知曲线上点的最小距离与最大距离分 别为别为 最后得到最后得到 6/16/202428故原点至已知曲线上点的最小距离与最大距离分 别为 注意注意:应用应用拉格朗日乘数法求解条件极值问题，拉格朗日乘数法求解条件极值问题，产生的方程组变量个数可能比较多，似乎解这产生的方程组变量个数可能比较多，似乎解这个方程组往往是很困难，但注意我们可以利用个方程组往往是很困难，但注意我们可以利用变量之间的关系变量之间的关系(也就是问题给出的条件也就是问题给出的条件)，找，找到解方程组的简便方法，而不是要用死板的方到解方程组的简便方法，而不是要用死板的方法去解方程组法去解方程组.6/16/202429注意:应用拉格朗日乘数法求解条件极值问题，8/9/20232内容小内容小结1.函数的极函数的极值问题第一步第一步 利用必要条件在定利用必要条件在定义域内找域内找驻点点.即解方程即解方程组第二步第二步 利用充分条件利用充分条件 判判别驻点是否点是否为极极值点点.2.函数的条件极函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法用代入法如如对二元函数二元函数(2)一般一般问题用拉格朗日乘数法用拉格朗日乘数法6/16/202430内容小结1.函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内设拉格朗日函数拉格朗日函数如求二元函数如求二元函数下的极下的极值,解方程解方程组在条件在条件求求驻点点.3.函数的最函数的最值问题第二步第二步 判判别 比比较驻点及点及边界点上函数界点上函数值的大小的大小 根据根据问题的的实际意意义确定最确定最值第一步第一步 找目找目标函数函数,确定定确定定义域域(及及约束条件束条件)6/16/202431设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组在条件求驻点.作作业习 题 7-8 P116 2;86/16/202432作业习 题 7-8 P116 已知平面上两定点已知平面上两定点 A(1,3),B(4,2),试在在椭圆圆周上求一点周上求一点 C,使使ABC 面面积 S最大最大.思考思考练习解答提示解答提示:设 C 点坐点坐标为(x,y),则 6/16/202433已知平面上两定点 A(1,3),B(4,2 设拉格朗日函数拉格朗日函数解方程解方程组得得驻点点对应面面积而而比比较可知可知,点点 C 与与 E 重合重合时,三角三角形形面面积最大最大.点点击图中任意点中任意点动画开始或画开始或暂停停6/16/202434设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知,点 C 与备用用题 1.求半径求半径为R 的的圆的内接三角形中面的内接三角形中面积最大者最大者.解解:设内接三角形各内接三角形各边所所对的的圆心角心角为 x,y,z,则它它们所所对应的三个三角形面的三个三角形面积分分别为设拉格朗日拉格朗日函数函数解方程解方程组,得得故故圆内接正三角形面内接正三角形面积最大最大,最大面最大面积为 6/16/202435备用题 1.求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.解为边的面的面积最大的四最大的四边形形,试列出其目列出其目标函数和函数和约束条件束条件?提示提示:目目标函数函数:约束条件束条件:答案答案:即四即四边形内接于形内接于圆时面面积最大最大.2.求平面上以求平面上以6/16/202436为边的面积最大的四边形,试列出其目标函数和约束条件?提示