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一、推导：一、推导：一、推导：一、推导：13-7 13-7 单位载荷法单位载荷法-莫尔积分莫尔积分方式一：方式一：方式一：方式一：先加先加先加先加再加再加再加再加方式二：方式二：方式二：方式二：同时加同时加同时加同时加同理：同理：同理：同理：二、莫尔积分的应用：二、莫尔积分的应用：二、莫尔积分的应用：二、莫尔积分的应用：1 1 1 1、计算梁发生弯曲变形的位移：计算梁发生弯曲变形的位移：2 2 2 2、计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移：3 3 3 3、计算圆轴发生扭转变形的位移计算圆轴发生扭转变形的位移：4 4 4 4、计算杆发生轴向拉压变形的位移计算杆发生轴向拉压变形的位移：5 5 5 5、计算计算桁桁架节点位移架节点位移：6 6 6 6、计算结构组合变形的位移计算结构组合变形的位移：三、莫尔积分的应用范围：三、莫尔积分的应用范围：三、莫尔积分的应用范围：三、莫尔积分的应用范围：线弹性结构线弹性结构线弹性结构线弹性结构四、四、四、四、的符号的含义：的符号的含义：的符号的含义：的符号的含义：1 1 1 1、+：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同2 2 2 2、-：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反所以：所以：所以：所以：其中其中其中其中:为原载荷引起为原载荷引起为原载荷引起为原载荷引起 的弯矩，的弯矩，的弯矩，的弯矩，为单位载荷引起的弯矩，为单位载荷引起的弯矩，为单位载荷引起的弯矩，为单位载荷引起的弯矩，在种类和位置上对应，在种类和位置上对应，在种类和位置上对应，在种类和位置上对应，注意单位载荷一定要与所求位移：注意单位载荷一定要与所求位移：注意单位载荷一定要与所求位移：注意单位载荷一定要与所求位移：六、莫尔积分的例题六、莫尔积分的例题六、莫尔积分的例题六、莫尔积分的例题1 1、计算梁发生弯曲变形的位移：、计算梁发生弯曲变形的位移：、计算梁发生弯曲变形的位移：、计算梁发生弯曲变形的位移：求求求求:C:C点铅垂方向的位移点铅垂方向的位移点铅垂方向的位移点铅垂方向的位移 和和和和B B点转角点转角点转角点转角莫尔积分的应用范围：莫尔积分的应用范围：莫尔积分的应用范围：莫尔积分的应用范围：线弹性结构线弹性结构线弹性结构线弹性结构例例例例1:1:已知已知已知已知2)2)列原载荷引起的内力方程列原载荷引起的内力方程列原载荷引起的内力方程列原载荷引起的内力方程:3)3)施加单位载荷施加单位载荷施加单位载荷施加单位载荷:4)4)列单位载荷引起的内力方程列单位载荷引起的内力方程列单位载荷引起的内力方程列单位载荷引起的内力方程:5)5)同一段的同一种内力相乘积分同一段的同一种内力相乘积分同一段的同一种内力相乘积分同一段的同一种内力相乘积分解解:求求1)1)求约束反力求约束反力:为此取为此取AB AB 为研究对象为研究对象 的正、负号的含义：的正、负号的含义：的正、负号的含义：的正、负号的含义：1 1、+：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同2 2、：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反求求例例例例2 2：试求：试求：试求：试求P P力作用下，力作用下，力作用下，力作用下，A A点的竖直位移点的竖直位移点的竖直位移点的竖直位移分析：分析：分析：分析：因为力与轴线位于同一平面因为力与轴线位于同一平面因为力与轴线位于同一平面因为力与轴线位于同一平面所以在所以在所以在所以在P P力作用下，只考虑弯力作用下，只考虑弯力作用下，只考虑弯力作用下，只考虑弯曲变形，即只考虑弯矩曲变形，即只考虑弯矩曲变形，即只考虑弯矩曲变形，即只考虑弯矩解：解：解：解：2 2、计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移：、计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移：、计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移：、计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移：R R1 1R RP PAB1)1)列原载荷引起的内力方程列原载荷引起的内力方程列原载荷引起的内力方程列原载荷引起的内力方程:2)2)施加单位载荷施加单位载荷施加单位载荷施加单位载荷,列单位载荷引起的内力方程列单位载荷引起的内力方程列单位载荷引起的内力方程列单位载荷引起的内力方程:3)3)由莫尔积分求由莫尔积分求由莫尔积分求由莫尔积分求 :3 3、计算桁架节点位移：、计算桁架节点位移：、计算桁架节点位移：、计算桁架节点位移：P PP PA AB BC CD D解：解：解：解：1 11 1A AB BC CD D1 12 23 34 45 51 12 23 34 45 51)1)列原载荷引起的内力方程列原载荷引起的内力方程列原载荷引起的内力方程列原载荷引起的内力方程:P PA AB B例例例例3 3：图示简单桁架，各杆：图示简单桁架，各杆：图示简单桁架，各杆：图示简单桁架，各杆长度均为长度均为长度均为长度均为 ，且，且，且，且EAEA相同，相同，相同，相同，试求试求试求试求B B、D D两节点的相对位两节点的相对位两节点的相对位两节点的相对位移。移。移。移。2)2)施加单位载荷施加单位载荷施加单位载荷施加单位载荷:3)3)列单位载荷引起的内力方程列单位载荷引起的内力方程:B B1 1A A1 11 1A AB BC CD D1 12 23 34 45 5杆号杆号杆号杆号4)4)由莫尔积分求由莫尔积分求 :杆号杆号杆号杆号P PP PA AB BC CD D4 4、计算结构组合变形的位移：、计算结构组合变形的位移：、计算结构组合变形的位移：、计算结构组合变形的位移：P PA AB BC C1 1A AB BC C例例例例4 4：图示刚架，各段刚度已标出，试：图示刚架，各段刚度已标出，试：图示刚架，各段刚度已标出，试：图示刚架，各段刚度已标出，试A A点的铅垂位移与点的铅垂位移与点的铅垂位移与点的铅垂位移与B B点的转角点的转角点的转角点的转角解：解：解：解：1)1)列原载荷引起的内力方程列原载荷引起的内力方程列原载荷引起的内力方程列原载荷引起的内力方程:2)2)列单位载荷引起的内力方程列单位载荷引起的内力方程列单位载荷引起的内力方程列单位载荷引起的内力方程:设设设设3)3)同一段的同一种内力相乘积分同一段的同一种内力相乘积分同一段的同一种内力相乘积分同一段的同一种内力相乘积分P PA AB BC C1 1A AB BC C若横截面是边长为若横截面是边长为若横截面是边长为若横截面是边长为b b的正方形，的正方形，的正方形，的正方形，时，上述比值为：时，上述比值为：时，上述比值为：时，上述比值为：P PA AB BC CA AB BC C1 1例例例例5:5:轴线为半圆形平面曲杆如图轴线为半圆形平面曲杆如图轴线为半圆形平面曲杆如图轴线为半圆形平面曲杆如图(a)(a)所示所示所示所示,作用于作用于作用于作用于A A点点点点的集中力的集中力的集中力的集中力P P垂直于轴线所在平面垂直于轴线所在平面垂直于轴线所在平面垂直于轴线所在平面,求求求求P P力作用点的垂直力作用点的垂直力作用点的垂直力作用点的垂直位移位移位移位移.1)1)列原载荷引起的内力方程列原载荷引起的内力方程列原载荷引起的内力方程列原载荷引起的内力方程:2)2)施加单位载荷施加单位载荷施加单位载荷施加单位载荷:4)4)积分计算位移积分计算位移积分计算位移积分计算位移3)3)列单位载荷引起的内力方程列单位载荷引起的内力方程列单位载荷引起的内力方程列单位载荷引起的内力方程:P P1 1用莫尔积分计算的步骤：用莫尔积分计算的步骤：用莫尔积分计算的步骤：用莫尔积分计算的步骤：1 1、写出结构在原载荷作用下引起的各段的各种内力方程、写出结构在原载荷作用下引起的各段的各种内力方程、写出结构在原载荷作用下引起的各段的各种内力方程、写出结构在原载荷作用下引起的各段的各种内力方程2 2、将结构单独取出，在结构上施加一与所求位移对应的单位载荷、将结构单独取出，在结构上施加一与所求位移对应的单位载荷、将结构单独取出，在结构上施加一与所求位移对应的单位载荷、将结构单独取出，在结构上施加一与所求位移对应的单位载荷3 3、写出结构在单位载荷单独作用下引起的各段的各种内力方程、写出结构在单位载荷单独作用下引起的各段的各种内力方程、写出结构在单位载荷单独作用下引起的各段的各种内力方程、写出结构在单位载荷单独作用下引起的各段的各种内力方程4 4、将同一段的同一种内力方程相乘积分、将同一段的同一种内力方程相乘积分、将同一段的同一种内力方程相乘积分、将同一段的同一种内力方程相乘积分注意：在列原载荷和单位载荷引起的内力方程时，必须注意：在列原载荷和单位载荷引起的内力方程时，必须注意：在列原载荷和单位载荷引起的内力方程时，必须注意：在列原载荷和单位载荷引起的内力方程时，必须保证分段相同，并且每段自变量的基准点相同保证分段相同，并且每段自变量的基准点相同保证分段相同，并且每段自变量的基准点相同保证分段相同，并且每段自变量的基准点相同A AB BD D求求求求C C点铅垂位移点铅垂位移点铅垂位移点铅垂位移C C思考思考思考思考:在分别写原载荷和单位载荷引起的弯矩方程时在分别写原载荷和单位载荷引起的弯矩方程时在分别写原载荷和单位载荷引起的弯矩方程时在分别写原载荷和单位载荷引起的弯矩方程时,应分几段应分几段应分几段应分几段?A AB BD DC C一、推导：一、推导：一、推导：一、推导：，假设，假设，假设，假设EIEI为常量，那么公式可变形为常量，那么公式可变形为常量，那么公式可变形为常量，那么公式可变形为：为：为：为：CA AB BA AB Bx xy y13-813-8 计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法C CC C顶点顶点顶点顶点(1)(1)二次抛物线：二次抛物线：(2)(2)二次抛物线：二次抛物线：为了计算方便，列出了比较常见图形的面积和形心坐标为了计算方便，列出了比较常见图形的面积和形心坐标三、应用图乘法的本卷须知：三、应用图乘法的本卷须知：1 1、有正负号：有正负号：有正负号：有正负号：原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的同侧，为正原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的同侧，为正原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的同侧，为正原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的同侧，为正原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的异侧，为负原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的异侧，为负原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的异侧，为负原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的异侧，为负2 2、当、当、当、当为一条光滑的的曲线，为一条光滑的的曲线，为一条光滑的的曲线，为一条光滑的的曲线，为一条折线时，为一条折线时，为一条折线时，为一条折线时，必须以折点为界必须以折点为界必须以折点为界必须以折点为界,分段分段分段分段图乘图乘图乘图乘,即即即即:可将可将可将可将4 4、当、当、当、当图很复杂时，图很复杂时，图很复杂时，图很复杂时，分成若干个简单图形分成若干个简单图形分成若干个简单图形分成若干个简单图形,分部分图乘分部分图乘分部分图乘分部分图乘3 3、假设梁的抗弯刚度、假设梁的抗弯刚度、假设梁的抗弯刚度、假设梁的抗弯刚度EIEI在整个梁上呈阶梯变化，那么图乘时也要分段在整个梁上呈阶梯变化，那么图乘时也要分段在整个梁上呈阶梯变化，那么图乘时也要分段在整个梁上呈阶梯变化，那么图乘时也要分段5 5、图乘时，只有对同一段梁上的同一种内力才能互乘，、图乘时，只有对同一段梁上的同一种内力才能互乘，、图乘时，只有对同一段梁上的同一种内力才能互乘，、图乘时，只有对同一段梁上的同一种内力才能互乘，注：综合来讲，决定图乘分段的因素有三个：注：综合来讲，决定图乘分段的因素有三个：的折点；的折点；的折点；的折点；图是否需要划分为若干简单图形；图是否需要划分为若干简单图形；图是否需要划分为若干简单图形；图是否需要划分为若干简单图形；(2)EI(2)EI(2)EI(2)EI是否阶梯变化；是否阶梯变化；是否阶梯变化；是否阶梯变化；B BC CD DA A2a2aa aa aP P例例例例5 5：求：求：求：求解：解：解：解：1 1、画原载荷引起的内力图、画原载荷引起的内力图、画原载荷引起的内力图、画原载荷引起的内力图B BC CD DA A3Pa3PaPaPa2 2、求、求、求、求施加单位力偶施加单位力偶施加单位力偶施加单位力偶B BC CD DA A3 3、画单位载荷引起的内力图、画单位载荷引起的内力图、画单位载荷引起的内力图、画单位载荷引起的内力图B BC CD DA A1 11 11 14 4、图乘方法、图乘方法、图乘方法、图乘方法1 15 5、图乘方法、图乘方法、图乘方法、图乘方法2 2MM图图图图图图图图注：当原载荷和单位载荷引起的内力图都是直线时，注：当原载荷和单位载荷引起的内力图都是直线时，可以是单位载荷引起内力图的面积可以是单位载荷引起内力图的面积可以是单位载荷引起内力图的形心对应到原载荷引起的内力图的纵坐标可以是单位载荷引起内力图的形心对应到原载荷引起的内力图的纵坐标二、图乘法的应用：二、图乘法的应用：1 1、计算梁发生弯曲变形的位移：、计算梁发生弯曲变形的位移：、计算梁发生弯曲变形的位移：、计算梁发生弯曲变形的位移：2 2、计算圆轴发生扭转变形的位移：、计算圆轴发生扭转变形的位移：、计算圆轴发生扭转变形的位移：、计算圆轴发生扭转变形的位移：3 3、计算杆发生轴向拉压变形的位移：、计算杆发生轴向拉压变形的位移：、计算杆发生轴向拉压变形的位移：、计算杆发生轴向拉压变形的位移：4 4、计算结构组合变形的位移：、计算结构组合变形的位移：、计算结构组合变形的位移：、计算结构组合变形的位移：例例1:已知已知求求:C点铅垂方向的位移点铅垂方向的位移 和和B点转角点转角解：解：1、画原载荷引起的内力图：、画原载荷引起的内力图：2、求、求施加单位载荷施加单位载荷3、画单位载荷引起的内力图、画单位载荷引起的内力图4、图乘：、图乘：1 1例例例例2 2：用图乘法求：用图乘法求：用图乘法求：用图乘法求解：解：解：解：1 1、画原载荷引起的内力图：、画原载荷引起的内力图：、画原载荷引起的内力图：、画原载荷引起的内力图：2 2、求、求、求、求施加单位载荷施加单位载荷施加单位载荷施加单位载荷1 13 3、画单位载荷引起的内力图、画单位载荷引起的内力图、画单位载荷引起的内力图、画单位载荷引起的内力图4 4、图乘：、图乘：、图乘：、图乘：图图图图1 1图图图图2 2aaA AB BC C5 5、求、求、求、求施加单位载荷：施加单位载荷：施加单位载荷：施加单位载荷：6 6、画单位载荷引起的内力图、画单位载荷引起的内力图、画单位载荷引起的内力图、画单位载荷引起的内力图（图（图（图（图3 3）7 7、图乘：、图乘：、图乘：、图乘：（图（图（图（图1 1）1 1aaA AB BC C例例3:已知已知求求:B点铅垂方向的位移点铅垂方向的位移 。解：解：1、画原载荷引起的内力图：、画原载荷引起的内力图：2、求、求施加单位载荷施加单位载荷12343、画单位载荷引起的内力图、画单位载荷引起的内力图4、图乘：、图乘：例例4：平面结构空间受力，：平面结构空间受力，AB和和BC两杆具有相同两杆具有相同的刚度，的刚度，求：求：1.A 端的铅垂位移；端的铅垂位移；2.A端绕端绕BC 轴线轴线X轴的转角。轴的转角。X3、画单位载荷引起的内力图、画单位载荷引起的内力图2、求、求A 端的铅垂位移端的铅垂位移施加单位载荷施加单位载荷 解求解求 ：1、画原载荷引起的内力图、画原载荷引起的内力图 4、图乘：、图乘：2、求、求A点绕点绕BC轴转角轴转角施加单位载荷施加单位载荷 3、画单位载荷引起的内力图、画单位载荷引起的内力图4、图乘：、图乘：1解解 求求 ：1、画原载荷引起的内力图、画原载荷引起的内力图 例例3:3:轴线为半圆形平面曲杆如下图轴线为半圆形平面曲杆如下图,作用于作用于A A点的集中点的集中力力P P垂直于轴线所在平面垂直于轴线所在平面,求求P P力作用点的垂直位移力作用点的垂直位移.1)列原载荷引起的内力方程:2)2)施加单位载荷施加单位载荷:4)积分计算位移3)3)列单位载荷引起的内力方程列单位载荷引起的内力方程:例例4 4：试求：试求P P力作用下，力作用下，A A点的竖直位移点的竖直位移分析：分析：因为力与轴线位于同一平面因为力与轴线位于同一平面所以在所以在P P力作用下，只有弯曲变力作用下，只有弯曲变形，即只考虑形，即只考虑弯矩弯矩弯矩弯矩作业作业13-14图乘13-15 图乘13-17 积分13-25 积分13-30 积分
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