资源描述
2.4 可逆矩阵的逆矩阵矩阵运算中定义了加法和负矩阵,就可以定义矩阵的减法.那么定义了矩阵的乘法,是否可以定义矩阵的除法呢?由于矩阵乘法不满足交换律,因此我们不能一般地定义矩阵的除法.在数的运算中,当数a0时,aa-1=a-1a=1,这里a-1=1/a称为a的倒数,(或称a的逆);在矩阵乘法运算中,单位矩阵I相当于数的乘法中的1,则对于一个矩阵A,是否存在一个矩阵A-1,使得AA-1=A-1A=I呢?如果存在这样的矩阵A-1,就称A是可逆矩阵,并称A-1是A的逆矩阵.定义1 对于矩阵A,如果存在一个矩阵B,使得AB=BA=I,(2.22)就称A为可逆矩阵,(简称A可逆),并称B是A的逆矩阵,记作A-1,即A-1=B.由定义可知,可逆矩阵及其逆矩阵是同阶方阵.由于(2.22)式中,A与B的地位是平等的,所以也可称A是B的逆矩阵.定理1 若A是可逆矩阵,则A的逆矩阵是唯一的.证 设B和C都是A的逆矩阵,则由AB=BA=I,AC=CA=I,可得B=IB=(CA)B=C(AB)=CI=C,故A的逆矩阵是唯一的.下面讨论矩阵A可逆的充分必要条件.如果A可逆,其逆为B,则|A|B|=|AB|=|I|=1,必有|A|0,因此,|A|0是A可逆的必要条件.下面要证明|A|0也是A可逆的充分条件.为此要引入伴随矩阵(adjoint matrix)的概念.定义2 设A是一个n阶矩阵,Aij是行列式|A|中元素aij的代数余子式.称是A的代数余子式矩阵.称cof A的转置矩阵是A的伴随矩阵,记作adj A或A*在2.2节的例6中已经证明了同理可证,A*A=|A|I,于是AA*=A*A=|A|I,(2.23)当|A|0时,可得故当|A|0时,A可逆,且定理2 矩阵A可逆的充分必要条件是:|A|0,且推论 若A,B都是n阶矩阵,且AB=I,则BA=I,即A,B皆可逆,且A,B互为逆矩阵.证 由AB=I,得|A|B|=1,|A|0,B0,A,B皆可逆,于是,BA=IBA=A-1ABA=A-1IA=A-1A=I因此,判断B是否为A的逆,只需验证AB=I或BA=I的一个等式成立即可.例1 下列矩阵A,B是否可逆?若可逆,求其逆矩阵解 如b1b2b30,B可逆,且求逆运算容易出错,在求得A-1后,应验证AA-1=I,保证结果是正确的.例2 设的行列式det A=a11a12-a12a21=d0,则其逆矩阵例3 设方阵满足方程A2-3A-10I=O,证明A,A+4I都可逆,并求它们的逆矩阵.例4 已知非齐次线性方程组AX=b的系数矩阵A如例1所给,b=5,1,1T,问方程组是否有解?如有解,求其解.解 由于A是可逆矩阵,且逆矩阵是唯一的,因此等式AX=b两端都左乘A-1,即A-1(AX)=A-1b,即X=A-1b 便得此方程组的唯一解:可逆矩阵A有以下性质:例5 证明:若A是可逆的反对称矩阵,则A-1也是反对称矩阵.证 因为AT=-A,则(A-1)T=(AT)-1=(-A)-1=-A-1,所以A-1也是反对称矩阵.同理,可逆对称矩阵的逆矩阵仍是对称矩阵.矩阵的初等变换和初等矩阵用高斯消元法解线性方程组,其消元步骤是对增广矩阵做三类行变换:(i)以非零常数c乘矩阵的某一行;(ii)将矩阵的某一行乘以常数c并加到另一行;(iii)将矩阵的某两行对换位置.这三类行变换统称为矩阵的初等行变换,(i)称为倍乘变换,(ii)称为倍加变换,(iii)称为对换变换.在矩阵的其他一些问题里(如展开方阵的行列式),也要对矩阵作上述三类初等列变换,初等行,列变换统称为初等变换.初等变换在矩阵的理论中具有十分重要的作用.矩阵的初等变换不只是可用语言表达,而且可用矩阵的乘法运算来表示,为此要引入初等矩阵的概念.定义 将单位矩阵作一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵.对应于三类初等行,列变换,有三种类型的初等矩阵:(i)初等倍乘矩阵Ei(c)是由单位矩阵第i行(或列)乘c(c0)得到.(ii)初等倍加矩阵Eij(c)是由单位矩阵第i行乘c加到第j行而得到的,或由第j列乘c加到第i列而得到.(iii)初等对换矩阵Eij是由单位矩阵第i,j行(或列)对换而得到的.例1 计算下列初等矩阵与矩阵A=aij3n,A=aij32,B=bij33的乘积:由例1可见,初等矩阵左乘A(右乘B)的结果是对A(B)作初等行(列)变换,而且,如果初等矩阵是由单位矩阵作某种行(列)变换所得,那末它在左乘A(右乘B)也是对A(B)作该种行(列)初等变换.不难证明下面的一般结论:Ei(c)A表示A的第i行乘c;Eij(c)A表示A的第i行乘c加至第j行;EijA表示A的第i行与第j行对换位置;BEi(c)表示B的第i列乘c;BEij(c)表示B的第j列乘c加至第i列;BEij表示B的第i列与第j列对换位置.初等矩阵的行列式都不等于零,因此初等矩阵都是可逆矩阵.由于对初等矩阵再作一次初等变换就化为单位矩阵,即所以,初等矩阵的逆矩阵是同类初等矩阵,即例2 设初等矩阵试求P1P2P3及P1P2P3-1.解定理 可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵.证 n阶可逆矩阵的行列式|A|0,所以它的第一列元素不全为零.不妨假设a110(如a11=0,必存在ai10,此时先把第1行与第i行交换),先将第一行乘1/a11,再将变换后的第一行乘(-ai1)加至第i行(i=2,3,.,n)得其中P11,P12,.,P1m是对A所作初等行变换所对应的初等矩阵.由于|A1|=|P1m.P12P11A|0,故对B中A1继续作如对A所作的初等变换,直至把B化为主对角元为1的上三角矩阵,即再将C中第n,n-1,.,2行依次分别乘某些常数加到前面的第n-1,n-2,.,1行,就可使C化为单位矩阵,即 P3k.P32P31C=I.综上就有 (P3k.P32P31)(P2l.P22P21)(P1m.P12P11)A=I其中A左边的矩阵都是初等矩阵,定理得证.推论1 可逆矩阵A可以表示为若干个初等矩阵的乘积.证 根据定理,存在初等矩阵P1,P2,.,Ps,使得Ps.P2P1A=I(2.26)所以 A=(Ps.P2P1)-1=P1-1P2-1.Ps-1,(2.27)其中P1-1,P2-1,.,Ps-1仍是初等矩阵,推论得证由(2.26)知A-1=Ps.P2P1=Ps.P2P1I.(2.28)由(2.26)和(2.28)式,即得推论2 如果对可逆矩阵A和同阶单位矩阵I作同样的初等行变换,则当A变为单位矩阵时,I就变为A-1,即A,II,A-1初等行变换例4 用初等行变换求的逆矩阵解故例5 假设矩阵A,B满足如下关系解 由AB=A+2B,得AB-2B=(A-2I)B=A,其中I是单位矩阵,因A-2I可逆,且B=(A-2I)-1A,今天作业:第95页开始40题,50题请提问
展开阅读全文