中级宏观经济学之无限期动态模型与动态规划课件

2024/6/15中级宏观经济学之无限中级宏观经济学之无限期动态模型与动态规划期动态模型与动态规划2023/8/9中级宏观经济学之无限期动态模型与动态规划1 第四讲第四讲 三期及无限期动态模型三期及无限期动态模型 6/15/20242第四讲 三期动态模型 第四讲 三期及无 第二节第二节 无限期动态模型与动态规划无限期动态模型与动态规划 6/15/20243第四讲 三期动态模型 第二节 无限期动态模型与动n在本节，我们将介绍一个简单的无限期模型，借助这个模型，我们一方面看看那些在两期、三期模型中被运用的宏观经济分析的基本思路是如何在无限期模型中被得到继续运用的；另一方面，我们也要简单介绍并展示一下离散时间的动态规划怎样被运用的，这种运用对于求解许多动态问题是非常有帮助的。6/15/20244第四讲 三期动态模型在本节，我们将介绍一个简单的无限期模型，借助这个模型，我们一 一、偏好，禀赋和技术一、偏好，禀赋和技术 6/15/20245第四讲 三期动态模型 一、偏好，禀赋和技术 8/9/20235第四讲 三6/15/20246第四讲 三期动态模型8/9/20236第四讲 三期动态模型6/15/20247第四讲 三期动态模型8/9/20237第四讲 三期动态模型6/15/20248第四讲 三期动态模型8/9/20238第四讲 三期动态模型6/15/20249第四讲 三期动态模型8/9/20239第四讲 三期动态模型n在介绍了基本决策环境以后，按照我们以前的分析思路，接下去我们应该分析行为人的最优化行为，然后进行均衡分析，最终得到每期均衡的数量解和价格解或者分析计划最优的情形，求出每期的均衡数量解。但是，现在，我们面临的是一个无限期模型，用传统的方法求解均衡解几近不可能，所以，在这里，我们首先插入一部分，介绍一下动态规划的基本知识，然后，直接利用动态规划的知识去处理无限期的问题。6/15/202410第四讲 三期动态模型在介绍了基本决策环境以后，按照我们以前的分析思路，接下去我们 二、动态规划简介二、动态规划简介 6/15/202411第四讲 三期动态模型 二、动态规划简介 8/9/202311第四讲2.1序列形式表述的社会计划者序列形式表述的社会计划者问题问题 n因为我们在前面已经证明了竞争均衡解也是帕雷托最优解。因此，我们可以通过求解社会计划者问题来获得竞争均衡的有关数量解，这样，上面这个无限期模型中的社会计划者最优化问题可以正规地描述如下：6/15/202412第四讲 三期动态模型2.1序列形式表述的社会计划者问题 因为我们在前面已经证明了6/15/202413第四讲 三期动态模型8/9/202313第四讲 三期动态模型6/15/202414第四讲 三期动态模型8/9/202314第四讲 三期动态模型6/15/202415第四讲 三期动态模型8/9/202315第四讲 三期动态模型6/15/202416第四讲 三期动态模型8/9/202316第四讲 三期动态模型6/15/202417第四讲 三期动态模型8/9/202317第四讲 三期动态模型n动态规划的基本思想是试图通过对决策环境的探讨而发现一种更简单的求解这一最大化问题的方法，但是这个最大化问题的解又是与我们原始的最大化问题的解是相同的。n为了使上面所讲的这一点更明白、更具体，我们可以再一次看看我们的原始的这个计划者的最优化问题：6/15/202418第四讲 三期动态模型动态规划的基本思想是试图通过对决策环境的探讨而发现一种更简单中级宏观经济学之无限期动态模型与动态规划课件196/15/202420第四讲 三期动态模型8/9/202320第四讲 三期动态模型6/15/202421第四讲 三期动态模型8/9/202321第四讲 三期动态模型6/15/202422第四讲 三期动态模型8/9/202322第四讲 三期动态模型2.2递归形式表述的社会计划者递归形式表述的社会计划者最优问题最优问题 n上面这种关于计划者最优化的表述形式，即有一个函数在左边，同时右边又有一个关于该函数的最优化问题的表述形式我们一般把它称为递归形式。现在，我们要开始研究具有递归表述形式的社会计划者的问题。因为我们在（4.46）式中，已经用函数w来表述序列形式下的社会计划者问题了，因此，这里我们还是用另外一个符号，比如函数v来表述递归形式下的社会计划者的最优问题。6/15/202423第四讲 三期动态模型2.2递归形式表述的社会计划者最优问题 上面这种关于计划者最6/15/202424第四讲 三期动态模型8/9/202324第四讲 三期动态模型6/15/202425第四讲 三期动态模型8/9/202325第四讲 三期动态模型中级宏观经济学之无限期动态模型与动态规划课件266/15/202427第四讲 三期动态模型8/9/202327第四讲 三期动态模型6/15/202428第四讲 三期动态模型8/9/202328第四讲 三期动态模型6/15/202429第四讲 三期动态模型8/9/202329第四讲 三期动态模型6/15/202430第四讲 三期动态模型8/9/202330第四讲 三期动态模型2.3猜测并证明法猜测并证明法 n我们首先猜测该解的具体的函数形式，然后证明这个解确实是这种形式的（需要注意，我们这么做时并不排该函数方程有其他解的可能性）。这种方法对于处理我们现在这个例子非常有效，但在一些我们也非常关心的其他例子里，这种方法就不怎么有效了。6/15/202431第四讲 三期动态模型2.3猜测并证明法 我们首先猜测该解的具体的函数形式，然后证中级宏观经济学之无限期动态模型与动态规划课件326/15/202433第四讲 三期动态模型8/9/202333第四讲 三期动态模型6/15/202434第四讲 三期动态模型8/9/202334第四讲 三期动态模型6/15/202435第四讲 三期动态模型8/9/202335第四讲 三期动态模型6/15/202436第四讲 三期动态模型8/9/202336第四讲 三期动态模型6/15/202437第四讲 三期动态模型8/9/202337第四讲 三期动态模型6/15/202438第四讲 三期动态模型8/9/202338第四讲 三期动态模型6/15/202439第四讲 三期动态模型8/9/202339第四讲 三期动态模型6/15/202440第四讲 三期动态模型8/9/202340第四讲 三期动态模型2.4一个例子：无限期吃蛋糕问题一个例子：无限期吃蛋糕问题 6/15/202441第四讲 三期动态模型2.4一个例子：无限期吃蛋糕问题 8/9/202341第四讲6/15/202442第四讲 三期动态模型8/9/202342第四讲 三期动态模型6/15/202443第四讲 三期动态模型8/9/202343第四讲 三期动态模型6/15/202444第四讲 三期动态模型8/9/202344第四讲 三期动态模型6/15/202445第四讲 三期动态模型8/9/202345第四讲 三期动态模型6/15/202446第四讲 三期动态模型8/9/202346第四讲 三期动态模型6/15/202447第四讲 三期动态模型8/9/202347第四讲 三期动态模型 三、社会计划者问题三、社会计划者问题 6/15/202448第四讲 三期动态模型 三、社会计划者问题 8/9/202348第四讲 6/15/202449第四讲 三期动态模型8/9/202349第四讲 三期动态模型6/15/202450第四讲 三期动态模型8/9/202350第四讲 三期动态模型3.1当值函数可微时贝尔曼方程当值函数可微时贝尔曼方程解的特征解的特征 n如果在动态最优化问题中的值函数是可微的，Benveniste and Scheinkman（1979）确立了一些关于该最优解的基本特征。假如（4.74）式中的值函数是可微的、凹的，我们能用一阶条件来表述社会计划者的最优化问题。6/15/202451第四讲 三期动态模型3.1当值函数可微时贝尔曼方程解的特征 如果在动态最优化问题6/15/202452第四讲 三期动态模型8/9/202352第四讲 三期动态模型6/15/202453第四讲 三期动态模型8/9/202353第四讲 三期动态模型6/15/202454第四讲 三期动态模型8/9/202354第四讲 三期动态模型6/15/202455第四讲 三期动态模型8/9/202355第四讲 三期动态模型 四、竞争均衡四、竞争均衡 6/15/202456第四讲 三期动态模型 四、竞争均衡 8/9/202356第四讲 n虽然我们借助计划者最优问题可以求得最优的均衡资本数量，但是，为了决定竞争均衡的价格，我们还是需要通过分别分析消费者和企业的最优化问题，从而得到一些求解的有用信息。6/15/202457第四讲 三期动态模型虽然我们借助计划者最优问题可以求得最优的均衡资本数量，但是，4.1消费者的问题消费者的问题 n消费者储存资本并进行投资（也即，它们的财富是以资本的形式表示的），在每一时期里，消费者都会把资本租给企业并向企业出售自己的劳动。因为劳动并不会给消费者带来任何负效用，因此，不论工资率为多少，劳动供给始终是1单位。6/15/202458第四讲 三期动态模型4.1消费者的问题 消费者储存资本并进行投资（也即，它们的财6/15/202459第四讲 三期动态模型8/9/202359第四讲 三期动态模型6/15/202460第四讲 三期动态模型8/9/202360第四讲 三期动态模型6/15/202461第四讲 三期动态模型8/9/202361第四讲 三期动态模型6/15/202462第四讲 三期动态模型8/9/202362第四讲 三期动态模型6/15/202463第四讲 三期动态模型8/9/202363第四讲 三期动态模型4.2企业的问题企业的问题 6/15/202464第四讲 三期动态模型4.2企业的问题 8/9/202364第四讲 三期动态模型4.3竞争均衡价格竞争均衡价格 6/15/202465第四讲 三期动态模型4.3竞争均衡价格 8/9/202365第四讲 三期动态模型6/15/202466第四讲 三期动态模型8/9/202366第四讲 三期动态模型6/15/202467第四讲 三期动态模型8/9/202367第四讲 三期动态模型6/15/202468第四讲 三期动态模型8/9/202368第四讲 三期动态模型 数学附录：数学附录：包洛定理（包洛定理（The envelope theorem）6/15/202469第四讲 三期动态模型 数学附录：包洛定理（The envelope th6/15/202470第四讲 三期动态模型8/9/202370第四讲 三期动态模型n该定理意味着在计算值函数的导数时，我们只需要考虑参数a对原函数的直接影响就够了，而不用考虑它对原函数的间接影响，因为在最优时间接影响为零。6/15/202471第四讲 三期动态模型该定理意味着在计算值函数的导数时，我们只需要考虑参数a对原函习题习题6/15/202472第四讲 三期动态模型习题8/9/202372第四讲 三期动态模型