施图姆-刘维尔本征值问题课件

施图姆-刘维尔本征值问题课件1 构成构成施施图姆姆-刘刘维尔尔（Sturm-LiouvilleSturm-Liouville）本征本征值问题（本征（本征值的全体称的全体称为给定定问题的的“谱”）。）。9.4 施图姆施图姆-刘维尔本征值问题刘维尔本征值问题一、一、为本征值；为本征值；为为权重因子（权函数）权重因子（权函数）构成施图姆-刘维尔（Sturm-Liouville）本2例：例：例：3施图姆-刘维尔本征值问题课件4施图姆-刘维尔本征值问题课件5 贝塞塞尔尔方程（本征方程（本征值问题参参阅P328P328）贝塞尔方程（本征值问题参阅P328）6（即厄米特方程（即厄米特方程（见P487P487）（即厄米特方程（见P487）7（即拉盖（即拉盖尔尔方程方程）（见（见P490P490）（即拉盖尔方程）（见P490）8以上各例中，以上各例中，在区在区间上都取正上都取正值；注意：注意：关于自然关于自然边界条件是否存在：界条件是否存在：如端点如端点a a或或b b是是k(x)k(x)的一阶零点，在该端点就的一阶零点，在该端点就存在存在自然边界条件自然边界条件.以上各例中，在区间上都取正值；注意：关于自然边界条件是否9共同条件：共同条件：则存在存在无限多个本征无限多个本征值且且相相应有有无限多个本征函数无限多个本征函数二、施图姆二、施图姆-刘维尔本征值问题的性质：刘维尔本征值问题的性质：定理定理1 1：若若在在且且最多最多以以上连续，上连续，为为一阶极点一阶极点，共同条件：则存在无限多个本征值且相应有无限多个本征函数二、施10证明明对应的本征函数为对应的本征函数为 ，是方程的根，是方程的根.本征值本征值设:则则证明对应的本征函数为 ，是方程的根.本征值设:则11施图姆-刘维尔本征值问题课件12讨论：对第一、第二第一、第二类边界条件：界条件：对第三第三类边界条件：界条件：讨论：对第一、第二类边界条件：对第三类边界条件：13上式大于零，因上式大于零，因为第一第一项同理第二同理第二项得得上式大于零，因为第一项同理第二项得14证明：明：定理定理2 2：相相应于不同本征于不同本征值的本征函数的本征函数在区在区间即即上带权重正交，上带权重正交，两式分两式分别乘以乘以，相减，相减证明：定理2：相应于不同本征值的本征函数在区间即上带权重正交15逐逐项积分分逐项积分16讨论(证明同上明同上):又又讨论(证明同上):又17则必可展必可展为绝对且且一致收一致收敛的广的广义傅立叶傅立叶级数数称称为广广义傅立叶系数；傅立叶系数；完完备的，即若函数的，即若函数 满足足广广义的狄利克雷的狄利克雷条件条件：定理定理3 3：所有的本征函数族所有的本征函数族是是(1)(1)具有连续一阶导数和逐段连续二阶导数具有连续一阶导数和逐段连续二阶导数 ；所满足的边界条件，所满足的边界条件，(2)(2)满足本征函数族满足本征函数族则必可展为绝对且一致收敛的广义傅立叶级数称为广义傅立叶系数；18其中其中模方模方证明：明：当当正交关系和模是今后研究特殊函数的两个重要课题正交关系和模是今后研究特殊函数的两个重要课题其中模方证明：当正交关系和模是今后研究特殊函数的两个重要课题19关于归一化问题：关于归一化问题：正交关系正交关系即即归一化本征函数族。一化本征函数族。，当，当，对对本征函数族，本征函数族，可用可用作为新的作为新的关于归一化问题：正交关系即归一化本征函数族。，当，对本征函数20一般定一般定义：正交关系：正交关系：复数本征函数族复数本征函数族模：模：广广义傅里叶傅里叶级数及系数公式：数及系数公式：一般定义：正交关系：复数本征函数族模：广义傅里叶级数及系数公21例：例：对考考虑，正交关系：正交关系：时，上式，上式=0=0当当时，上式，上式=当当例：对考虑，正交关系：时，上式=0当时，上式=当22