平面与空间直线教学课件

一、一、一、一、平面的点位式和参数式方程平面的点位式和参数式方程平面的点位式和参数式方程平面的点位式和参数式方程二、二、二、二、平面的点法式方程平面的点法式方程平面的点法式方程平面的点法式方程三、三、三、三、平面的一般方程平面的一般方程平面的一般方程平面的一般方程一、平面的一、平面的一、平面的一、平面的点位式和参数式点位式和参数式点位式和参数式点位式和参数式方程方程方程方程定义定义0 0把平行于平面的两不共线矢量把平行于平面的两不共线矢量，叫做平面的一组，叫做平面的一组方位矢量方位矢量方位矢量方位矢量.显然过定点且以为平面的一组方位矢量的平面是唯一的，下面求该平面的方程.在空间建立标架后，设的坐标为，的坐标分别为，为平面上任点，记，则，由于与共面，所以有=，即=或=+，（3.1-1）定义定义1 1方程（方程（3.1-1）叫平面的）叫平面的矢量式参数方程矢量式参数方程矢量式参数方程矢量式参数方程，其中，其中为参数为参数.图图图图从（3.1-1）可得（3.1-2）定义定义2 2方程（方程（3.1-1）叫平面的）叫平面的坐标式参数方程坐标式参数方程坐标式参数方程坐标式参数方程，其中，其中为参数为参数.从（3.1-2）消去参数得（3.1-3）定义定义3 3方程（方程（3.1-1）（）（3.1-2），（），（3.1-3）叫平面的）叫平面的点位式方程点位式方程点位式方程点位式方程.定义定义4 4平面的平面的三点式方程三点式方程三点式方程三点式方程.上一页如果n 个向量平行于同一直线，则称它们共线共线.向量 ,共线记为 /.我们规定,零向量与任何向量共线.如果n 个向量平行于同一直平面，则称它们共面共面.显然,任意两个向量一定共面.与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的负向量负向量，记为，显然AB=BA.AB-AB上一页例1已知不共线三点，求通过三点的平面的方程。解解解解因此平面的矢量式参数方程为：取平面的方位矢量并设点M(x,y,z)为平面上的任意一点,那么如果n 个向量平行于同一直线，则称它们共线共线.向量 ,共线记为 /.我们规定,零向量与任何向量共线.如果n 个向量平行于同一直平面，则称它们共面共面.显然,任意两个向量一定共面.与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的负向量负向量，记为，显然AB=BA.AB-AB上一页(3.14)方程(3.14)(3.16)都叫做平面的三点式方程。三点式方程。三点式方程。三点式方程。坐标式参数方程为：(3.15)从(3.14)与(3.15)分别消去参数u,v得(3.16)上一页例2设一平面与x轴，y轴，z轴分别交于三点P(a,0,0)，Q(0,b,0)，R(0,0,c)求此平面的方程(其中：).解解解解如果n 个向量平行于同一直线，则称它们共线共线.向量 ,共线记为 /.我们规定,零向量与任何向量共线.如果n 个向量平行于同一直平面，则称它们共面共面.显然,任意两个向量一定共面.与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的负向量负向量，记为，显然AB=BA.AB-AB上一页平面的截距式方程平面的截距式方程如果n 个向量平行于同一直线，则称它们共线共线.向量 ,共线记为 /.我们规定,零向量与任何向量共线.如果n 个向量平行于同一直平面，则称它们共面共面.显然,任意两个向量一定共面.与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的负向量负向量，记为，显然AB=BA.AB-AB上一页二、二、二、二、平面的点法式方程平面的点法式方程平面的点法式方程平面的点法式方程定义定义1 1如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的该平面的法线向量法线向量法线向量法线向量已知法线向量的特征特征：垂直于平面内的任一向量设平面上的任一点为必有 平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形方程的图形方程的图形方程的图形其中法向量已知点平面的点法式方程平面的点法式方程平面的点法式方程平面的点法式方程如果n 个向量平行于同一直线，则称它们共线共线.向量 ,共线记为 /.我们规定,零向量与任何向量共线.如果n 个向量平行于同一直平面，则称它们共面共面.显然,任意两个向量一定共面.与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的负向量负向量，记为，显然AB=BA.AB-AB上一页如果记D（AxBy+Cz），那么上式即成为Ax+By+Cz+D=0.如果平面上的点M0特殊地取自原点O向平面所引垂线的垂足P,而的法矢量取单位法矢量n，当平面不过原点时，n的正向取做与矢量OP相同；当平面通过原点时，n的正向在垂直于平面的两个方向中任意取定一个，设|OP|=p,那么点P的径矢OP=pn，因此由点P和法矢量n决定的平面的方程为：n(r-pn)=0,r是平面上任意点M的径矢。因为nn1，所以上式可写成nrp=0，（3.1-7）(3.1-7)叫做平面的矢量式法式方程矢量式法式方程矢量式法式方程矢量式法式方程 如果n 个向量平行于同一直线，则称它们共线共线.向量 ,共线记为 /.我们规定,零向量与任何向量共线.如果n 个向量平行于同一直平面，则称它们共面共面.显然,任意两个向量一定共面.与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的负向量负向量，记为，显然AB=BA.AB-AB上一页如果设rx,y,z,n=cos,cos,cos,那么由（3.1-8）得xcos+ycos+zcosp=0.（3.1-9）(3.1-9)叫做平面的坐标式法式方程坐标式法式方程坐标式法式方程坐标式法式方程或简称法式方程法式方程法式方程法式方程.平面的法式方程（3.1-9）是具有下列两个特征的一种一般方程：1.一次项的系数是单位法矢量的分量，它们的平方和等于1；2.因为p是原点O到平面的距离，所以常数项p0.根据平面的法式方程的两个特征，我们不难把平面的一般方程,即Ax+By+Cz+D=0化成平面的法式方程。事实上，n=A,B,C是平面的法矢量，而r=OM=x,y,z，所以可写成：nr+D=0，（3.1-15）三、三、三、三、平面的平面的平面的平面的一般方程一般方程一般方程一般方程如果n 个向量平行于同一直线，则称它们共线共线.向量 ,共线记为 /.我们规定,零向量与任何向量共线.如果n 个向量平行于同一直平面，则称它们共面共面.显然,任意两个向量一定共面.与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的负向量负向量，记为，显然AB=BA.AB-AB上一页其中的正负号选取一个，使它满足D=p0,或者说当D0时，取的符号与D异好；当D=0时，的符号可以任意选取（正的或负的）。（在取定符号后）就叫做法式化法式化法式化法式化因子因子因子因子.把（3.1-15）与（3.1-13）比较可知，只要以=1/(|n|)=1/()乘（3.1-10）就可得法式方程：如果n 个向量平行于同一直线，则称它们共线共线.向量 ,共线记为 /.我们规定,零向量与任何向量共线.如果n 个向量平行于同一直平面，则称它们共面共面.显然,任意两个向量一定共面.与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的负向量负向量，记为，显然AB=BA.AB-AB上一页例1已知两点(1,2,3)与(3,0,1),求线段的垂直平分面的方程。例2把平面的方程3x2y+6z+14=0化为法式方程，求自原点指向平面的单位法矢量及其方向余弦，并求原点到平面的距离。解解解解例3解解解解如果n 个向量平行于同一直线，则称它们共线共线.向量 ,共线记为 /.我们规定,零向量与任何向量共线.如果n 个向量平行于同一直平面，则称它们共面共面.显然,任意两个向量一定共面.与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的负向量负向量，记为，显然AB=BA.AB-AB上一页因为矢量MM=2,2,4=21,1,2垂直于平面，所以平面的一个法矢量为n=1,1,2,所求平面又通过MM的中点M(2,1,1),因此平面的法式方程为(x2)+(y+1)2(z1)=0,化简整理的所求平面的方程为x+y+2z+1=0.取法向量所求平面方程为化简得解解解解解解解解如果n 个向量平行于同一直线，则称它们共线共线.向量 ,共线记为 /.我们规定,零向量与任何向量共线.如果n 个向量平行于同一直平面，则称它们共面共面.显然,任意两个向量一定共面.与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的负向量负向量，记为，显然AB=BA.AB-AB上一页三、三、三、三、平面的一般方程平面的一般方程平面的一般方程平面的一般方程由平面的点法式方程？即任一平面表示（A,B,C不同时为零）不妨设，则，为一平面.平面的一般方程平面的一般方程法向量如果n 个向量平行于同一直线，则称它们共线共线.向量 ,共线记为 /.我们规定,零向量与任何向量共线.如果n 个向量平行于同一直平面，则称它们共面共面.显然,任意两个向量一定共面.与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的负向量负向量，记为，显然AB=BA.AB-AB上一页由此可见，在直角坐标系下，平面的一般方程（3.1-10）中一次项系数A,B,C有简明的几何意义，它们是平面的一个法矢量n的分量。平面一般式方程的几种特殊情况：平面一般式方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过轴；平面平行于轴；类似地可讨论情形.平面平行于坐标面；设平面为设平面为由平面过原点知由平面过原点知所求平面方程为所求平面方程为解解设平面为设平面为由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件）解解化简得化简得令令代入体积式代入体积式所求平面方程为所求平面方程为或或如果n 个向量平行于同一直线，则称它们共线共线.向量 ,共线记为 /.我们规定,零向量与任何向量共线.如果n 个向量平行于同一直平面，则称它们共面共面.显然,任意两个向量一定共面.与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的负向量负向量，记为，显然AB=BA.AB-AB上一页目标：目标：目标：目标：通过本节的学习，认识平面方程的几种形式：（1）点法式方程，（2）一般式方程，（3）参数式方程，（4）法式化方程；熟练掌握平面方程几种形式的法；了解法式化方程和参数方程.重点：重点：重点：重点：平面点法式方程与一般式方程的求法.难点：难点：难点：难点：平面方程不同形式之间的互相转化.如果n 个向量平行于同一直线，则称它们共线共线.向量 ,共线记为 /.我们规定,零向量与任何向量共线.如果n 个向量平行于同一直平面，则称它们共面共面.显然,任意两个向量一定共面.与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的负向量负向量，记为，显然AB=BA.AB-AB上一页目标：目标：目标：目标：通过本节的学习，熟练掌握点到平面的距离公式，了解点与平面的离差概念和计算，了解平面划分空间的方法.重点：重点：重点：重点：点到平面的距离公式.难点：难点：难点：难点：平面对空间的划分.如果n 个向量平行于同一直线，则称它们共线共线.向量 ,共线记为 /.我们规定,零向量与任何向量共线.如果n 个向量平行于同一直平面，则称它们共面共面.显然,任意两个向量一定共面.与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的负向量负向量，记为，显然AB=BA.AB-AB上一页一、点与平面间的距离一、点与平面间的距离一、点与平面间的距离一、点与平面间的距离空间中平面与点的相关位置，有且只有两种情况，就是点在平面上，或点不在平面上.点在平面上就是点的坐标满足平面的方程.下面就来讨论点不在平面上的情况.容易看出，空间的点与平面间的离差，当且仅当点M0位于平面的单位法矢量n0所指向的一侧，离差0；在平面的另一侧，离差0；当且仅当M0在平面上时，离差0.显然，离差的绝对值|，就是点M0与平面之间的距离d.定义定义0 0如果自点M0到平面引垂线，其垂足为Q，那么矢量在平面的单位法矢量上的射影叫做点M0与平面间的离差，记做.（3.2-1）.如果n 个向量平行于同一直线，则称它们共线共线.向量 ,共线记为 /.我们规定,零向量与任何向量共线.如果n 个向量平行于同一直平面，则称它们共面共面.显然,任意两个向量一定共面.与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的负向量负向量，记为，显然AB=BA.AB-AB上一页定理定理 1 1点点M0与平面与平面间的离差为间的离差为（3.2-2）xyzOPRQM0根据定义3.2.1（图3-3）得=而Q在平面上，因此，所以.证证证证如果n 个向量平行于同一直线，则称它们共线共线.向量 ,共线记为 /.我们规定,零向量与任何向量共线.如果n 个向量平行于同一直平面，则称它们共面共面.显然,任意两个向量一定共面.与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的负向量负向量，记为，显然AB=BA.AB-AB上一页点点与平面与平面间的离差是间的离差是.（3.2-3）推论推论推论推论1 1 1 1点点与平面与平面间的距离是间的距离是.（3.2-3）推论推论推论推论2 2 2 2如果n 个向量平行于同一直线，则称它们共线共线.向量 ,共线记为 /.我们规定,零向量与任何向量共线.如果n 个向量平行于同一直平面，则称它们共面共面.显然,任意两个向量一定共面.与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的负向量负向量，记为，显然AB=BA.AB-AB上一页二、平面划分空间问题与三元一次不等式的几何意义二、平面划分空间问题与三元一次不等式的几何意义二、平面划分空间问题与三元一次不等式的几何意义二、平面划分空间问题与三元一次不等式的几何意义设平面的一般方程为，那么空间任何一点M(x,y,z)对平面的离差为，从而有.对于平面同侧的点，的符号相同；对于平面异侧的点，的符号不同.故平面：把空间划分为两部分，对于某一部分的点0；而对于另一部分的点0；在平面上的点.看看书看看书 想一想想一想如果n 个向量平行于同一直线，则称它们共线共线.向量 ,共线记为 /.我们规定,零向量与任何向量共线.如果n 个向量平行于同一直平面，则称它们共面共面.显然,任意两个向量一定共面.与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的负向量负向量，记为，显然AB=BA.AB-AB上一页在第一个平面内任取一点，比如（在第一个平面内任取一点，比如（0，0，1），），目标：目标：目标：目标：通过本节的学习，熟练掌握平面与平面的夹角公式，了解平面与平面的三种位置通过本节的学习，熟练掌握平面与平面的夹角公式，了解平面与平面的三种位置关系并能根据平面的方程判断其关系关系并能根据平面的方程判断其关系.重点：重点：重点：重点：平面与平面的夹角公式平面与平面的夹角公式.难点：难点：难点：难点：平面与平面的夹角公式的推导平面与平面的夹角公式的推导.下面，我们导出计算两平面夹角下面，我们导出计算两平面夹角的公式的公式.设平面设平面与与的方程分别是的方程分别是：，（1）：，（2）则则与与的法线向量分别为的法线向量分别为，因两向量间夹角的余弦为因两向量间夹角的余弦为，所以两平面的夹角的余弦为所以两平面的夹角的余弦为=.(3.3-1)由由(3.3-1)式，立刻可给出如下结论：式，立刻可给出如下结论：.（3.3.2）另一方面，平面与是相交还是平行或重合，就决定由方程（1）与（2）构成的方程组是有解还是无解或无数个解，从而我们可得下面的定理.定理定理 1 1两平面（两平面（1）与（）与（2）相交的充要条件是）相交的充要条件是，（3.3-3）平行的充要条件是平行的充要条件是，（3.3-4）重合的充要条件是重合的充要条件是.（3.3-5）例1一平面过两点一平面过两点和和且垂直于平面且垂直于平面，求它的方程，求它的方程.解解解解设所求平面的法线向量为设所求平面的法线向量为，显然显然，在所求平面上，在所求平面上，故故，即即.又又垂垂直于平面直于平面的法线向量，的法线向量，故有故有解方程组得据点法式方程有，约去非零因子得，故所求方程为.哇！哇！例例研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：解解两平面相交，夹角两平面相交，夹角两平面平行两平面平行两平面平行但不重合两平面平行但不重合两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.目标：目标：目标：目标：通过本节的学习，了解直线方程的各种类型的形式，能熟练掌握直线标准方程和一般方程的求法.重点：重点：重点：重点：直线标准方程和一般方程的求法.难点：难点：难点：难点：直线方程不同形式之间的互换.一、一、一、一、空间直线的一般方程空间直线的一般方程空间直线的一般方程空间直线的一般方程定义定义0 0空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线空间直线的一般方程空间直线的一般方程空间直线的一般方程空间直线的一般方程（注：两平面不平行）二、二、二、二、空间直线的对称式方程（标准方程）空间直线的对称式方程（标准方程）空间直线的对称式方程（标准方程）空间直线的对称式方程（标准方程）定义定义0 0如果一非零向量平行于一条已知直线，如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的这个向量称为这条直线的方向向量方向向量方向向量方向向量/直线的对称式方程（点向式方程）直线的对称式方程（点向式方程）直线的对称式方程（点向式方程）直线的对称式方程（点向式方程）例1求过点求过点(1,0,-2)且与平面且与平面3x+4y-z+6=0平行平行,又与直线又与直线垂直的直线方程垂直的直线方程.解:设所求线的方向向量为已知平面的法向量因此,所求直线方程为已知直线的方向向量取三、空间直线的参数式方程直线的一组直线的一组方向数方向数令令方向向量的余弦称为直方向向量的余弦称为直线的线的方向余弦方向余弦.直线的参数方程直线的参数方程由由直线的对称式方程直线的对称式方程四、四、四、四、空间直线方程的关系空间直线方程的关系空间直线方程的关系空间直线方程的关系直线的坐标方程（直线的坐标方程（3.43）是一般方程的特殊情形。）是一般方程的特殊情形。在中m,n,p不全为零，不妨设p0,那么上式可以改写成反过来，直线的一般方程（3.411）也总可以化为标准方程（3.43）的形式，这是因为（3.411）中三个系数行列式不全为零，不失一般性，设那么由中的两式分别消去y与x得直线的射影式方程为：从而得直线的标准方程为：例例2 2用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线解解在直线上任取一点在直线上任取一点取取解得解得点坐标点坐标因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取对称式方程对称式方程得参数方程得参数方程令令解解所以交点为所以交点为取取所求直线方程所求直线方程定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角目标：目标：目标：目标：通过本节的学习，掌握能根据直线的方程和平面的方程判断二者之间的关系，了解直线与平面之间夹角的概念及计算公式.重点：重点：重点：重点：直线和平面二者之间关系的判断.难点：难点：难点：难点：直线与平面之间夹角的概念及计算公式.直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系：/解解为所求夹角为所求夹角直线与平面的交点分析分析:关键是求得直线上另外关键是求得直线上另外一个点一个点 M M1 1.M.M1 1在过在过M M且平行且平行于于 平面平面 P P 的一个平面的一个平面P P1 1上上,待求直线又与已知直线相交待求直线又与已知直线相交,交点既在交点既在P P1 1上上,又在又在 L L上上,因此是因此是L L与与P P1 1的交点的交点.例例2 2求过点求过点M(-1,2,-3),且平行于平面且平行于平面又与直线又与直线相交的直线方程相交的直线方程.解解过过M作平行于作平行于平面平面P的一个平的一个平P1PMLP1M1求平面求平面P1与已知直线与已知直线L的交点的交点P1:即即P1:3.7空间直线与点的相关位置LdP1是是L外一点外一点,设直线设直线L,求求P0到到L的距离的距离d.设设为为L上上任一点，如图任一点，如图SS又又于是于是点到直线的距离公式点到直线的距离公式例例1010求点求点(5,4,2)到直线到直线的距离的距离d.解解3.8平面束通过定直线通过定直线L的所有平面的集合称为该的所有平面的集合称为该直线直线 L的的平面束平面束.解解:构造平面族构造平面族:（t为任意实数）为任意实数）A1 x+B1 y+C1 z+D1+t(A2 x+B2 y+C2 z+D2)=0即即(A1+t A2)x+(B1+t B2)y+(C1+t C2)z+(D1+t D2)=0(*)L设直线设直线L的一般方程为的一般方程为:A1 x+B1 y+C1 z+D1=0A2 x+B2 y+C2 z+D2=0求求L的平面束方程的平面束方程.注注:在求过已知直线且垂直于已知平面的平面在求过已知直线且垂直于已知平面的平面方程时方程时,用平面束方程比较方便用平面束方程比较方便.事实上事实上设设为为L外任一点，可取外任一点，可取则则M0满足满足(*).因此因此,(*)是是L的平面束方程的平面束方程.(除外除外)则则1.(*)式为过直线式为过直线L的平面方程的平面方程.2.过过L的任何平面的任何平面(2除外除外)都包含在都包含在(*)所所表示的平面族内表示的平面族内.解解:显然显然,L是过是过L1且垂直于且垂直于的平面的平面1与与的交线的交线.故先求故先求1.设过直线设过直线L1的平面束方程为的平面束方程为:例例1求直线求直线在平面在平面内的投影直线内的投影直线L的方程的方程.则则1的的法向量法向量又又的的法向量法向量L1L1即即:解得解得于是投影平面于是投影平面1：投影直线投影直线L的方程为的方程为:解法二解法二：先求先求1的方程的方程则则1：在在L1上任取一点上任取一点(3,0,-6),例例2 2求直线求直线在平面在平面内的投影直线内的投影直线L的方程的方程.例例3 3求过直线求过直线L和点和点M0(1,2,3)的平面的平面方程方程.解解设设的方程为：的方程为：(*)END