机构学和机器人学ppt课件

第二章第二章 运动学中的向量法运动学中的向量法 向量法是描述刚体运动的一种基本方法，可用直向量法是描述刚体运动的一种基本方法，可用直角坐标，也可用极坐标表示。角坐标，也可用极坐标表示。2-1 复数矢量法复数矢量法(复极向量法复极向量法)一、复数一、复数 用两个实数用两个实数x、y表示一个复数表示一个复数x、y 分别称为复数的实部和虚部，实部分别称为复数的实部和虚部，实部单位为单位为“1”，略去不写，虚部单位，略去不写，虚部单位“i”有求法规则：有求法规则：第二章 运动学中的向量法 向量法是描述刚体运动的1对实轴的对称点也对应一个复数：对实轴的对称点也对应一个复数：则称则称是是z的共轭复数，的共轭复数，定义为复数定义为复数z的模的模记为：记为：模等于模等于1的复数称为单位复数：的复数称为单位复数：称为幅角，由称为幅角，由Euler公式：公式：对实轴的对称点也对应一个复数：则称是z的共轭复数，定义2二、复数矢量的表示二、复数矢量的表示如图的自由矢量如图的自由矢量的表示为：的表示为：，则该矢量可表示为：，则该矢量可表示为：设在复平面上有一个单位矢量设在复平面上有一个单位矢量（2-1）于是矢量于是矢量的分量分别为：的分量分别为：二、复数矢量的表示如图的自由矢量的表示为：，则该矢量可表示为3相当于矢量相当于矢量转过转过90900 0。1 1）向量）向量与单位矢量与单位矢量相乘：相乘：（2-2）表示向量表示向量逆时针转过一个逆时针转过一个角。角。与虚数单位与虚数单位i的乘积：的乘积：2）向量）向量（2-3）同理：同理：转过转过1800。相当于矢量相当于矢量（2-4）相当于矢量转过900。1）向量与单位矢量相乘：（2-2）表示4是单位矢量是单位矢量的共轭矢量的共轭矢量3）4）两个有用公式）两个有用公式（2-5）（2-6）（2-7）（2-8）是单位矢量的共轭矢量3）4）两个有用公式（2-5）（2-6）55）复数矢量的微分）复数矢量的微分等式右边可看作二个复数矢量等式右边可看作二个复数矢量其中其中分别为它们的矢量大小（模），分别为它们的矢量大小（模），为单位方向矢。为单位方向矢。，表示某一点相对于固定参考系坐标，表示某一点相对于固定参考系坐标设矢量设矢量原点的位置，则一阶导数：原点的位置，则一阶导数：（2-9）二阶导数：二阶导数：继续求导可求出高阶导数。继续求导可求出高阶导数。（2-10）5）复数矢量的微分等式右边可看作二个复数矢量其中分别为它们的6JIRO可写成：可写成：则矢量则矢量为为式中式中为矢量为矢量在复平面（在复平面（ORI平面）上的投影平面）上的投影与与J 轴的夹角。轴的夹角。与实轴与实轴R间夹角，间夹角，三、空间矢量的复数表示三、空间矢量的复数表示R为实轴，为实轴，I、J为虚轴，为虚轴，取坐标系取坐标系ORIJ，矢量，矢量如图，如图，（2-11）可看成长度可看成长度a与单位向量与单位向量矢量矢量由式由式211的乘积。的乘积。则单位向量：则单位向量：（2-12）实实虚虚虚虚JIRO可写成：则矢量为式中为矢量在复平面（ORI平面）7，其一阶导数，二阶导数为，其一阶导数，二阶导数为:式中：式中：（2-13）（2-14）（2-15），其一阶导数，二阶导数为:式中：（2-13）（2-14）（282-2 利用复数向量进行机构的运动分析利用复数向量进行机构的运动分析 机构的运动分析是在已知机构的结构和几何尺寸机构的运动分析是在已知机构的结构和几何尺寸的条件下，在原动件的运动规律给定时，确定从动件的条件下，在原动件的运动规律给定时，确定从动件任一任一运动变量的变化规律运动变量的变化规律。运动分析包括：运动分析包括：位置分析，速度和加速度分析位置分析，速度和加速度分析。其中位置分析方程通常是非线性的，只有简单的二级其中位置分析方程通常是非线性的，只有简单的二级机构才能列出输出变量和输入变量的显函数表达式，机构才能列出输出变量和输入变量的显函数表达式，而其他情况下，方程的求解就需要利用各种数值解法。而其他情况下，方程的求解就需要利用各种数值解法。2-2 利用复数向量进行机构的运动分析 机构91、铰链四杆机构、铰链四杆机构 建立封闭矢量方程，可有两种形式：建立封闭矢量方程，可有两种形式：a、连续头尾相接的封闭链；、连续头尾相接的封闭链；b、到达同一研究点的两个不同途径的两个分支。、到达同一研究点的两个不同途径的两个分支。雷文（雷文（Raven）称为）称为“独立位置方程独立位置方程”法，这法，这 一方法对解决输入和输出构件都绕各自固定点一方法对解决输入和输出构件都绕各自固定点 中心转动的问题特别有效。中心转动的问题特别有效。一、平面机构的运动分析一、平面机构的运动分析1、铰链四杆机构一、平面机构的运动分析10 如图铰链四杆机构，假设各杆长度为如图铰链四杆机构，假设各杆长度为r1、r2、r3、r4输输入角入角2 已知，可列出独立位置方程：已知，可列出独立位置方程：位置分析的目的是求出位置分析的目的是求出3 3和和4 4的值。的值。（2-16）（1）位置分析）位置分析？解题思路：解题思路：1）利用已知）利用已知r1、r2和和2，求出对角线矢，求出对角线矢量量d。2）利用矢量）利用矢量d和和r4求出矢量求出矢量r3，解出，解出3和和4 。如图铰链四杆机构，假设各杆长度为r1、r2、11首先确定对角线首先确定对角线d 的长度：的长度：将式（将式（217）移项后，分别求上它们各自的共轭复数：）移项后，分别求上它们各自的共轭复数：（2-17）或：或：（2-18）首先确定对角线d 的长度：将式（217）移项后，分别求上12将式（将式（217）分解为实部和虚部，得：）分解为实部和虚部，得：由此解得：由此解得：所以：所以：（2-19）将式（217）分解为实部和虚部，得：由此解得：所以：（2-13 由式（由式（217）计算）计算d，很容易判别，很容易判别d的象限，的象限，当矢量当矢量 可确定后，由于：可确定后，由于：取（取（221）实部得：）实部得：（2-20）（2-21）移项，两边分别乘以各自的共轭复数：移项，两边分别乘以各自的共轭复数：消去消去4 由式（217）计算d，很容易判别d的象14有两个可能解，根据连续条件确定一个。有两个可能解，根据连续条件确定一个。同样，同样，4有可能有有可能有2个解，根据连续条件加以确定。个解，根据连续条件加以确定。取（取（220）的虚部得：）的虚部得：（2-22）有两个可能解，根据连续条件确定一个。同样，4有可能有2个解15（2）速度分析）速度分析由位置方程由位置方程 进行求导：进行求导：由于铰链四杆机构中均为刚体，因此利用上式）由于铰链四杆机构中均为刚体，因此利用上式）矢量微分，将不包含径向分量项，由此得：矢量微分，将不包含径向分量项，由此得：（2-23）（2）速度分析由位置方程 16该式由相对运动速度多边形图示说明为：该式由相对运动速度多边形图示说明为：分别表示分别表示的方向，它们是的方向，它们是的方向转过的方向转过所得，所得，是已知的。是已知的。该式由相对运动速度多边形图示说明为：分别表示的方向，它们是的17将上述矢量方程分解为实部分量和虚部分量：将上述矢量方程分解为实部分量和虚部分量：未知量未知量左移：左移：（2-24）最后，用最后，用Cramer（克莱姆）法则解（克莱姆）法则解（224）将上述矢量方程分解为实部分量和虚部分量：未知量左移：（2-218于是可得：于是可得：类似可求得：类似可求得：（2-25）（2-26）于是可得：类似可求得：（2-25）（2-26）19（3）加速度分析）加速度分析 同样方法对（同样方法对（216）进行二次微分得：）进行二次微分得：（2-27）将（将（2-27）分解为实数分量和虚数分量，便可）分解为实数分量和虚数分量，便可得含有未知数得含有未知数 和和 的两个方程：的两个方程：（3）加速度分析（2-27）将（2-27）分解为实数分量和虚20由此得：由此得：由此得：212、偏置曲柄滑块机构、偏置曲柄滑块机构 列出列出B点的独立位置方程，再由位置方程一次、二次微点的独立位置方程，再由位置方程一次、二次微分得速度。加速度方程。通过分离实数分量和虚数分量的方分得速度。加速度方程。通过分离实数分量和虚数分量的方法最终求出未知量：法最终求出未知量：？2、偏置曲柄滑块机构 列出B点的独立位置方程，再由223、摆动导杆机构、摆动导杆机构，求不同位置的，求不同位置的已知：构件已知：构件1和构件和构件2 长度为长度为 r1、r2，构件构件2（曲柄）（曲柄）的角速度和角加速度为的角速度和角加速度为（1）位置分析）位置分析 独立位置方程为：独立位置方程为：（2-27）？3、摆动导杆机构，求不同位置的已知：构件1和构件2 长度为 23分成实数分量和虚数分量：分成实数分量和虚数分量：两式相除得：两式相除得：代入（代入（228）：）：（2-28）（2-29）（2-30）分成实数分量和虚数分量：两式相除得：代入（228）：（2-24（2）速度分析）速度分析两边乘以两边乘以则：则：对（对（227）求导杆的速度方程：）求导杆的速度方程：（2-31）将上式分成实数分量和虚数分量得：将上式分成实数分量和虚数分量得：（2）速度分析两边乘以则：对（227）求导杆的速度方程：（25（3）对位置方程二次微分得加速度方程：）对位置方程二次微分得加速度方程：两边同乘两边同乘得：得：取虚数分量：取虚数分量：（2-32）（2-33）（2-34）（3）对位置方程二次微分得加速度方程：两边同乘得：取虚数分量26因此：因此：取（取（223）实数分量：）实数分量：因此得：因此得：（2-35）（2-36）因此：取（223）实数分量：因此得：（2-35）（2-3627如图所示如图所示RSSR机构，机构，杆杆2在在IJ平面旋转，杆平面旋转，杆4在平衡在平衡RJ平面旋转，平面旋转，已知：已知：时杆时杆3的位置角的位置角二、空间机构的运动分析二、空间机构的运动分析求当：求当：？如图所示RSSR机构，杆2在IJ平面旋转，杆4在平衡RJ28由于杆由于杆2在在IJ平面内运动，所以矢量平面内运动，所以矢量与与R轴夹角轴夹角2=900，又由于杆，又由于杆4在平行于在平行于RJ平面内旋转，因平面内旋转，因 此向量此向量r4在在IR平面内的投影与平面内的投影与R轴夹角轴夹角4=0。在在IR平面内的投影平面内的投影对对B点可列两个独立位置方程：点可列两个独立位置方程：(1)(1)位置分析位置分析（2-37）矢量矢量A0B0可表达为：可表达为：A0B0a+i b+j c由于杆2在IJ平面内运动，所以矢量与R轴夹角2=900，29展开：展开：分别取分别取R、I、J分量得：分量得：由（由（2）移项：）移项：（1）（2）（3）（4）代入得：代入得：展开：分别取R、I、J分量得：由（2）移项：（1）（230由（由（3）式移项得：）式移项得：（5）由（3）式移项得：（5）31 可对（可对（237）式一次微分后，分别取）式一次微分后，分别取R、I、J分量，分量，也可直接（也可直接（1）、（）、（2）、（）、（3）一次微分得速度分量。求）一次微分得速度分量。求导时各长度尺寸为常数，导时各长度尺寸为常数，角不变的。由此得：角不变的。由此得：（2）速度分析）速度分析由（由（6）式移项得：）式移项得：（6）（7）（8）由（由（7）式移项得：）式移项得：（9）（10）可对（237）式一次微分后，分别取R、I、J分32（11）（11）代入（）代入（8）得：）得：由此得：由此得：（3）加速度分析）加速度分析 （略）（略）（11）（11）代入（8）得：由此得：（3）加速度分析 （33三、复数矢量法进行机构的综合三、复数矢量法进行机构的综合 复数矢量法能够方便的应用于杆机构的综合，特复数矢量法能够方便的应用于杆机构的综合，特别是平面机构的综合。如要综合一平面铰链四杆机构，别是平面机构的综合。如要综合一平面铰链四杆机构，而该机构在某一位置时各构件必须满足规定的角速度、而该机构在某一位置时各构件必须满足规定的角速度、角加速度，可用复数矢量法。角加速度，可用复数矢量法。三、复数矢量法进行机构的综合 复数矢量342-3 利用直角坐标向量的机构运动分析利用直角坐标向量的机构运动分析一、直角坐标向量标记法一、直角坐标向量标记法、空间任意一点空间任意一点A A的位置在直角坐标系中可用向量的位置在直角坐标系中可用向量来表示，来表示，直角坐标系直角坐标系，若，若x x、y y、z z方向上的单位向量为：方向上的单位向量为：，则我们可以将向量表示为：，则我们可以将向量表示为：分别是向量分别是向量在三个方向上的分量。在三个方向上的分量。2-3 利用直角坐标向量的机构运动分析一、直角坐标向35机构学和机器人学ppt课件36机构学和机器人学ppt课件37机构学和机器人学ppt课件38机构学和机器人学ppt课件39机构学和机器人学ppt课件40二、杆组分类法（阿苏尔运动链）二、杆组分类法（阿苏尔运动链）1、杆组的定义、杆组的定义 机构可以认为是由机架、主动件和从动件系统三部分组成。机构可以认为是由机架、主动件和从动件系统三部分组成。从动件系统的自由度为零。因此，从动件系统一定可以分解从动件系统的自由度为零。因此，从动件系统一定可以分解成一个或若干个不可再分解的自由度为零的运动链，这种运成一个或若干个不可再分解的自由度为零的运动链，这种运动链称为杆组。动链称为杆组。机构是由一个或若干个自由度为零的运动链依次联接到机机构是由一个或若干个自由度为零的运动链依次联接到机架和主动件上而形成的。架和主动件上而形成的。二、杆组分类法（阿苏尔运动链）1、杆组的定义412、杆组的分类、杆组的分类 杆组的构件数杆组的构件数n与低副数与低副数p满足：满足：3n-2p=0 运动副运动副A、C为杆组的外为杆组的外副，副，B为内副，外副若为转为内副，外副若为转动副画为实心圆，三个运动动副画为实心圆，三个运动副为移动副则失去杆组性质。副为移动副则失去杆组性质。2、杆组的分类 运动副A、C为杆组的外副，B为内副，42n=4，p=6n=6，p=9杆组按其包含的封闭形是几边形进行分级。杆组按其包含的封闭形是几边形进行分级。杆组运动确定性：外副若与运动已知的构件相联，则杆组中杆组运动确定性：外副若与运动已知的构件相联，则杆组中每一构件的运动都是确定的。每一构件的运动都是确定的。杆组静力确定性：如杆组上作用的外力系已知，则杆组的各杆组静力确定性：如杆组上作用的外力系已知，则杆组的各运动副中的约束反力未知数可由杆组本身各构件的平衡方程运动副中的约束反力未知数可由杆组本身各构件的平衡方程式解出。式解出。n=4，p=6n=6，p=9杆组按其包含的封闭形是几边形进行43三、三、级机构的运动分析级机构的运动分析 平面连杆机构利用拆组分析的方法，可以分为平面连杆机构利用拆组分析的方法，可以分为级机级机构、构、级机构、级机构、级机构等。其中级机构等。其中级机构有五种基本杆级机构有五种基本杆组：组：RRRRRR、RRPRRP、RPRRPR、PRPPRP、RPPRPP。1 1RRRRRR级组的分析级组的分析平面铰链四杆机构可以拆出如平面铰链四杆机构可以拆出如图所示的图所示的RRRRRR级组，它是由三级组，它是由三个转动副个转动副A A、B B、C C和两个构件和两个构件1 1、2 2组合而成。在研究机构运动时，组合而成。在研究机构运动时，往往把运动副看成一个点，运动往往把运动副看成一个点，运动副副A A、C C即为外点，外点分别与其即为外点，外点分别与其它杆组的构件它杆组的构件i i和和j j相连接，或其相连接，或其中之一与机架相铰接。中之一与机架相铰接。？三、级机构的运动分析 平面连杆机构利用拆组分析的方法44机构学和机器人学ppt课件45机构学和机器人学ppt课件46机构学和机器人学ppt课件47机构学和机器人学ppt课件48机构学和机器人学ppt课件49机构学和机器人学ppt课件50机构学和机器人学ppt课件51机构学和机器人学ppt课件522内副为移动副的内副为移动副的RPR级组的分析级组的分析 P1、P2为运动已知点，其坐标为为运动已知点，其坐标为P1(P1x、P1y)、P2(P2x、P2y)。矢量位置方程：矢量位置方程：向两坐标轴投影得：向两坐标轴投影得：解得：解得：？2内副为移动副的RPR级组的分析向两坐标轴投影得：解得：53速度和加速度分析同前，得到：速度和加速度分析同前，得到：速度和加速度分析同前，得到：543外副之一为移动副的外副之一为移动副的RRP级组的分析级组的分析 P4为运动已知点，待求运动点为为运动已知点，待求运动点为P2。滑块在其上滑动的构件。滑块在其上滑动的构件上的两点上的两点P1 和和P3的运动为已知。的运动为已知。？3外副之一为移动副的RRP级组的分析？55例：以飞剪机构为例，构件例：以飞剪机构为例，构件1、6为原动件，当原动件的运动为原动件，当原动件的运动给定后，构件给定后，构件3、5组成的是三转动副的二级组，故可以调用组成的是三转动副的二级组，故可以调用RRR公式求解，构件公式求解，构件2、4组成的是一外副为移动副的二级组，组成的是一外副为移动副的二级组，故可调用故可调用RRP公式求解。公式求解。例：以飞剪机构为例，构件1、6为原动件，当原动件的运动给定后56四、复杂平面连杆机构的位置分析四、复杂平面连杆机构的位置分析 构成机构的最高级杆组为二级以上杆组的机构称为高级机构成机构的最高级杆组为二级以上杆组的机构称为高级机构或复杂机构。构或复杂机构。n杆的基本组可以与相关构件（图中虚线，一般由机架和杆的基本组可以与相关构件（图中虚线，一般由机架和原动件确定）组成原动件确定）组成n/2个独立封闭形（个独立封闭形（图中图中、表示封表示封闭形的序号闭形的序号）。每个封闭形可建立一个矢量环方程或两个标量）。每个封闭形可建立一个矢量环方程或两个标量方程。因而，方程。因而，n杆的基本组在运动分析中引入杆的基本组在运动分析中引入n个变量，可以建个变量，可以建立立n个独立方程，在一般情况下可以得到确定解。个独立方程，在一般情况下可以得到确定解。封闭环矢量方程：封闭环矢量方程：标量方程：标量方程：四、复杂平面连杆机构的位置分析 构成机构的最高级杆组为57如图一六杆机构，原动件为如图一六杆机构，原动件为l1，转角，转角1，该机构可以拆分，该机构可以拆分为一个四杆组，可以列出两个独立的位置方程：为一个四杆组，可以列出两个独立的位置方程：？解位置方程得到关于解位置方程得到关于4的的一维非线性方程，可用数值一维非线性方程，可用数值法迭代求解。速度和加速度法迭代求解。速度和加速度求解需把位置方程对时间求求解需把位置方程对时间求一、二阶导数。一、二阶导数。如图一六杆机构，原动件为l1，转角1，该机构可以拆分为一个58型转换法数值迭代求解型转换法数值迭代求解 上述方法对不同的机构都必须首先进行公式推导，因此上述方法对不同的机构都必须首先进行公式推导，因此不具有通用性。型转换法是把一个复杂的杆组通过转化变成不具有通用性。型转换法是把一个复杂的杆组通过转化变成多个简单的构件或二杆组，然后直接调用求解二杆组的标准多个简单的构件或二杆组，然后直接调用求解二杆组的标准程序求解，适用于计算机求解，具有通用性。程序求解，适用于计算机求解，具有通用性。在阿苏尔组中把部分外约束解除而在内部运动链中输入在阿苏尔组中把部分外约束解除而在内部运动链中输入同样数目的外约束，这样阿苏尔组内部运动链分解，变成简同样数目的外约束，这样阿苏尔组内部运动链分解，变成简单的构件和二杆组。整个求解过程是一个连续迭代求解过程。单的构件和二杆组。整个求解过程是一个连续迭代求解过程。型转换法数值迭代求解 上述方法对不同的机构都必59 上述型转换法最终把复杂的杆组都转化成能够直接求解上述型转换法最终把复杂的杆组都转化成能够直接求解的二级杆组，若将前面给出的平面机构中二级杆组的求解公的二级杆组，若将前面给出的平面机构中二级杆组的求解公式编成子程序，则作各种机构的运动分析时就可以直接调用式编成子程序，则作各种机构的运动分析时就可以直接调用这些子程序而不必对每种机构推导方程。这些子程序而不必对每种机构推导方程。上述型转换法最终把复杂的杆组都转化成能够直接602-5 其他方法简介其他方法简介1、杆长逼近法、杆长逼近法 解解决决用用直直角角坐坐标标向向量量法法分分析析基基本本杆杆组组迭迭代代次次数数多多、费费时的问题。时的问题。平平面面机机构构简简图图都都可可以以看看作作是是封封闭闭多多边边形形，而而多多边边形形总总可可以以分分解解成成若若干干个个单单纯纯形形-三三角角形形，若若对对各各种种三三角角形形编编成成子子程序，就可适应各种平面机构的求解。程序，就可适应各种平面机构的求解。2、矢量单纯形法、矢量单纯形法3、约束法、约束法 机机构构是是由由若若干干个个点点组组成成的的点点系系，这这些些点点受受到到一一定定的的约约束束从从而而沿沿着着一一定定的的轨轨迹迹运运动动。可可以以将将各各类类约约束束方方程程编编成成通通用子程序调用用子程序调用。4、单矢法、单矢法 把把机机构构简简图图分分解解成成最最小小的的单单元元矢矢量量，并并将将其其编编成成子子程序，对多干多环路机构很方便。程序，对多干多环路机构很方便。2-5 其他方法简介1、杆长逼近法 解决用直角61