大学普通物理学经典教学课件——刚体的转动

大学普通物理学经典课件大学普通物理学经典课件刚体的刚体的转动转动11、不为五斗米折腰。12、芳菊开林耀，青松冠岩列。怀此贞秀姿，卓为霜下杰。13、归去来兮，田蜀将芜胡不归。14、酒能祛百虑，菊为制颓龄。15、春蚕收长丝，秋熟靡王税。2）转动转动：刚体中所有的点都绕同一直线做：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动圆周运动.转动又分定轴转动和非定轴转动转动又分定轴转动和非定轴转动.刚体的平面运动刚体的平面运动.3)刚体的一般运动刚体的一般运动质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+二二 刚体转动的角速度和角加速度刚体转动的角速度和角加速度参考平面参考平面角位移角位移 角坐标角坐标q约定约定沿逆时针方向转动沿逆时针方向转动 沿顺时针方向转动沿顺时针方向转动 角速度角速度矢量矢量 方向方向:右手右手螺旋方向螺旋方向参考轴参考轴角加速度角加速度1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；2）任一质点运动任一质点运动 均相同，但均相同，但 不同；不同；3）运动描述仅需一个坐标运动描述仅需一个坐标.定轴转动的定轴转动的特点特点 刚体刚体定轴定轴转动（一转动（一维转动）的转动方向可维转动）的转动方向可以用角速度的正负来表以用角速度的正负来表示示.三三 匀变速转动公式匀变速转动公式 刚体刚体绕绕定轴作匀变速转动定轴作匀变速转动质点质点匀变速直线运动匀变速直线运动 当刚体绕定轴转动的当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量角加速度为恒量时，刚体做时，刚体做匀变速转动匀变速转动.刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比四四 角量与线量的关系角量与线量的关系飞轮飞轮 30 s 内转过的角度内转过的角度 例例1 一飞轮半径为一飞轮半径为 0.2m、转速为转速为150rmin-1，因因受制动而均匀减速，经受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动停止转动.试求：试求：（1）角）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始）制动开始后后 t=6 s 时飞轮的角速度；（时飞轮的角速度；（3）t=6 s 时飞轮边缘上时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度一点的线速度、切向加速度和法向加速度.解解（1）t=30 s 时，时，设设.飞轮做匀减速运动飞轮做匀减速运动时，时，t=0 s（2）时，飞轮的角速度时，飞轮的角速度（3）时，飞轮边缘上一点的线速度大小时，飞轮边缘上一点的线速度大小该点的切向加速度和法向加速度该点的切向加速度和法向加速度转过的圈数转过的圈数 刚体绕刚体绕 O z 轴旋转轴旋转,力力 作用在刚体上点作用在刚体上点 P,且在转动且在转动平面内平面内,为由点为由点O 到力的到力的作用点作用点 P 的径矢的径矢.一一 力矩力矩 P*O2 2 转动定律转动定律力臂力臂：从：从O点到点到 作用线的作用线的垂直距离垂直距离d叫力臂。叫力臂。力矩为：力矩为：力的大小和力臂的力的大小和力臂的乘积，叫做力乘积，叫做力 对对转轴转轴Z的的力矩。力矩。是一矢量。是一矢量。大小大小：方向方向：右手螺旋。：右手螺旋。思考：思考：与与Z轴平行的力在轴平行的力在Z轴上的力矩等于多少？轴上的力矩等于多少？作用线过作用线过Z轴的力在轴的力在Z轴上的力矩等于多少？轴上的力矩等于多少？判断：判断：平行于平行于Z轴的力对轴的力对Z轴的力矩一定是轴的力矩一定是0，垂，垂直于直于Z轴的力对轴的力对Z轴的力矩一定不为轴的力矩一定不为0.O讨论讨论 1）若力若力 不在转动平面内，把力分解为平行和垂不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量直于转轴方向的两个分量 2）合）合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和 其中其中 对转轴的力对转轴的力矩为零，故矩为零，故 对转轴的对转轴的力矩力矩结论：刚体所受的合结论：刚体所受的合力为力为0是，刚体的合力是，刚体的合力矩可以为矩可以为0，也可以不，也可以不为为0.当合力矩为当合力矩为0时，时，合力不一定为合力不一定为0.T1T13）刚体内作用力和刚体内作用力和反反作用力的力矩互相作用力的力矩互相抵消抵消OO二二 转动定律转动定律2）刚体刚体质量元受质量元受外外力力 ，内内力力 1）单个质点单个质点 与转与转轴刚性连接轴刚性连接外外力矩力矩内内力矩力矩O刚体所受的对于某一固定轴的合力矩等于刚体对此转轴刚体所受的对于某一固定轴的合力矩等于刚体对此转轴的的转动惯量与转动惯量与刚体在此合力矩作用下所获得的刚体在此合力矩作用下所获得的角加速度角加速度的乘积。的乘积。转动定律转动定律定义转动惯量定义转动惯量ONote：1）转动定律中的各量均对同一转轴。）转动定律中的各量均对同一转轴。2）此方程式类似于）此方程式类似于 。说明力矩是使刚体状态发生改变而产生角加速度说明力矩是使刚体状态发生改变而产生角加速度的原因。的原因。三三 转动惯量转动惯量 物理物理意义意义：转动惯性的量度：转动惯性的量度.质量质量离散分布离散分布刚体的转动惯量刚体的转动惯量转动惯性的计算方法转动惯性的计算方法 质量质量连续分布连续分布刚体的转动惯量刚体的转动惯量：质量元：质量元2 对质量线分布的刚体：对质量线分布的刚体：质量线密度：质量线密度2 对质量面分布的刚体：对质量面分布的刚体：质量面密度：质量面密度2 对质量体分布的刚体：对质量体分布的刚体：质量体密度：质量体密度：质量元：质量元 质量质量连续分布连续分布刚体的转动惯量刚体的转动惯量OO 解解 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，取一距离转轴，取一距离转轴 OO 为为 处的质量元处的质量元 例例1 一一质量为质量为 、长为、长为 的均匀细长棒，求的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量.OO如转轴过端点垂直于棒如转轴过端点垂直于棒ORO 例例2 一质量为一质量为 、半径为、半径为 的均匀圆盘，求通的均匀圆盘，求通过盘中心过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量并与盘面垂直的轴的转动惯量.解解 设圆盘面密度为设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为在盘上取半径为 ，宽为，宽为 的圆环的圆环而而圆环质量圆环质量所以所以圆环对轴的转动惯量圆环对轴的转动惯量四四 平行轴定理平行轴定理P 转动惯量的大小取决于刚体的转动惯量的大小取决于刚体的质量质量、形形状及转轴的位置状及转轴的位置.质量为质量为 的刚体的刚体，如果对如果对其质心轴的转动惯量为其质心轴的转动惯量为 ，则则对任一与该轴平行对任一与该轴平行，相距为相距为 的转轴的转动惯量的转轴的转动惯量CO注意注意圆盘对圆盘对P 轴轴的转动惯量的转动惯量O例例4 一半径为一半径为R，质量密度为，质量密度为 的薄圆盘，有两个半径的薄圆盘，有两个半径均为均为 的圆孔，两圆孔中心距离圆盘中心距离均为的圆孔，两圆孔中心距离圆盘中心距离均为 ，如图所示。求此薄圆盘对于通过圆盘中心而与盘面，如图所示。求此薄圆盘对于通过圆盘中心而与盘面垂直的轴的转动惯量。垂直的轴的转动惯量。O解：解：补偿法补偿法设想在带孔圆盘的每个小孔处填充质量为+m和-m 且相等的小圆盘，这样并不会改变原来的质量分布，但形成了正质量的大圆盘和负质量的小圆盘的组合体，它们的转动惯量都可以按公式计算，而带孔的圆盘的转动惯量可以由叠加法求出！正质量的大圆盘对盘心O的转动惯量 为：两个负质量的小圆盘对O轴的转动惯量为：于是带孔圆盘对O轴的转动惯量为：练习练习1：一可忽略质量的轻质平面的正方形框架，边长为一可忽略质量的轻质平面的正方形框架，边长为a，其四个顶点上分别有一个质量为其四个顶点上分别有一个质量为m的质点的质点(平行轴定理平行轴定理)。求：求：1）此质点系垂直于正方形平面且过中心轴）此质点系垂直于正方形平面且过中心轴OZ的转动惯量。的转动惯量。2）若转轴平移至其中一个顶点，转动惯量为多少？）若转轴平移至其中一个顶点，转动惯量为多少？3）若转轴平移至正方形一边的中点，转动惯量为多少？）若转轴平移至正方形一边的中点，转动惯量为多少？OZ练习练习2：求：求如图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯如图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量。量。LRm0mLZ五五 转动定律的应用转动定律的应用定轴转动刚体与可视为质点的物体组成的系统力学问定轴转动刚体与可视为质点的物体组成的系统力学问题。处理这类问题的方法与处理质点力学问题相同：题。处理这类问题的方法与处理质点力学问题相同：1）选取研究对象选取研究对象 2）分析各隔离体所受的力或者力分析各隔离体所受的力或者力矩，判断各隔离体的运动情况矩，判断各隔离体的运动情况 3）应用牛顿定律（质应用牛顿定律（质点）或转动定律（刚体）分别列出方程点）或转动定律（刚体）分别列出方程 4）建立角量建立角量与线量之间的关系（质点与刚体之间的联系）与线量之间的关系（质点与刚体之间的联系）5）连连列方程求解列方程求解简单刚体定轴转动，直接应用转动定简单刚体定轴转动，直接应用转动定律律求解。求解。例例5 一长为一长为 质量为质量为 匀质细杆竖直放置，其匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动相接，并可绕其转动.由于此竖由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动转动.试计算细杆转动到与竖直线成试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角角时的角加速度和角速度速度.解解 细杆受重力和细杆受重力和铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得作用，由转动定律得式中式中得得由角加速度的定义由角加速度的定义代入初始条件积分代入初始条件积分 得得 例例6 质量为质量为 的物体的物体 A 静止在光滑水平面上，静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质、质量为量为 的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为，并系在另一质量为 的物的物体体 B 上上.滑轮与绳索间没有滑动，滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间的摩且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计擦力可略去不计.问：（问：（1）两物体的线加速度为多少？两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2）物体物体 B 从从静止落下距离静止落下距离 时，其速率是多少？时，其速率是多少？ABCABCOO解解 （1）隔离物体分别对物体）隔离物体分别对物体A、B 及滑轮作受及滑轮作受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律 、转动、转动定律列方程定律列方程.如令如令 ，可得，可得（2）B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率ABC 力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 冲量矩、角动量、冲量矩、角动量、角动量定理角动量定理.一一 质点的角动量定理和角动量守恒定律质点的角动量定理和角动量守恒定律 力的时间累积效应力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理冲量、动量、动量定理.3 3 角动量角动量 角动量守恒角动量守恒1 质点的角动量质点的角动量 质量为质量为 的质点以速度的质点以速度 在空间运动，某时刻相对原点在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为的位矢为 ，质点，质点相对于原相对于原点的角动量点的角动量大小大小 的方向符合右手法则的方向符合右手法则.1）质点以角速度）质点以角速度 作半径为作半径为 的圆运动，相对圆心的角动量的圆运动，相对圆心的角动量2）角动量与位矢）角动量与位矢 和动量和动量 有关，即与参考点有关，即与参考点O的选的选择有关。因此，在讲述质点的角动量时，必须指明是择有关。因此，在讲述质点的角动量时，必须指明是针对哪一点的角动量。针对哪一点的角动量。3）角动量的定义并没有对质点的运动做任何限制，）角动量的定义并没有对质点的运动做任何限制，做直线运动的质点对选定的参考点同样具有角动量。做直线运动的质点对选定的参考点同样具有角动量。作用于质点的合力对作用于质点的合力对参考点参考点 O 的力矩的力矩，等于质点对该点，等于质点对该点 O 的的角角动量动量随时间的随时间的变化率变化率.2 质点的角动量定理质点的角动量定理 质点所受对参考点质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该的合力矩为零时，质点对该参考点参考点 O 的角动量为一恒矢量的角动量为一恒矢量.恒矢量恒矢量 冲量矩冲量矩 质点（系）的角动量定理质点（系）的角动量定理：对同一参考点：对同一参考点 O，质，质点（系）所受的冲量矩等于质点（系）角动量的增量点（系）所受的冲量矩等于质点（系）角动量的增量.3 质点（系）的角动量守恒定律质点（系）的角动量守恒定律 例例7 一半径为一半径为 R 的的光滑光滑圆环置于竖直平面内圆环置于竖直平面内.一质一质量为量为 m 的小球穿在圆环上的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动并可在圆环上滑动.小球开始小球开始时静止于圆环上的点时静止于圆环上的点 A(该点在通过环心该点在通过环心 O 的水平面上的水平面上),然后从然后从 A 点开始下滑点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计设小球与圆环间的摩擦略去不计.求求小球滑到点小球滑到点 B 时对环心时对环心 O 的角动量和角速度的角动量和角速度.解解 小球受重力和支持小球受重力和支持力作用力作用,支持力的力矩为零支持力的力矩为零,重力矩垂直纸面向里重力矩垂直纸面向里由质点的角动量定理由质点的角动量定理考虑到考虑到得得由初始条件积分上式由初始条件积分上式二二 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律1 刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量2 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理非刚体定轴转动的角动量定理非刚体定轴转动的角动量定理O 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.内力矩不改变系统的角动量内力矩不改变系统的角动量.守守 恒条件恒条件若若 不变，不变，不变；若不变；若 变，变，也变，但也变，但 不变不变.刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理3 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律，则，则若若讨论讨论 在在冲击冲击等问题中等问题中常量常量 有许多现象都可以有许多现象都可以用角动量守恒来说明用角动量守恒来说明.自然界中存在多种守恒定律自然界中存在多种守恒定律2 动量守恒定律动量守恒定律2能量守恒定律能量守恒定律2角动量守恒定律角动量守恒定律2电荷守恒定律电荷守恒定律2质量守恒定律质量守恒定律2宇称守恒定律等宇称守恒定律等花样滑冰花样滑冰跳水运动员跳水跳水运动员跳水 被被 中中 香香 炉炉惯性导航仪（陀螺）惯性导航仪（陀螺）角动量守恒定律在技术中的应用角动量守恒定律在技术中的应用 角动量定理和角动量守恒定律的应用例8质量为，半径为的转台，可绕过中心的竖直轴无摩擦的转动。质量为的一个人，站在距离中心处（R），开始时，人和台处于静止状态。如果这个人沿着半径为的圆周匀速走一圈，设它相对于转台的运动速度为，求转台的旋转角速度和相对地面的转过的角度。分析：分析：以人和转台为一系统，设系统以人和转台为一系统，设系统没有受到外力没有受到外力矩的作用矩的作用，所以系统的角动量守恒。应用角动量定，所以系统的角动量守恒。应用角动量定律时，其中角速度和速度都是相对于惯性系而言。律时，其中角速度和速度都是相对于惯性系而言。因此，人在转台走动时，必须考虑人相对地面的速因此，人在转台走动时，必须考虑人相对地面的速度。度。解解：对于人和转台形成的系统，角动量守恒（思考？）设：对于人和转台形成的系统，角动量守恒（思考？）设人对地面的速度为人对地面的速度为 ，转台对地面的转速为，转台对地面的转速为，则有：，则有：而：而：代入得：代入得：其中，其中，“-”表示转台转动方向与人在转台走动的方向表示转台转动方向与人在转台走动的方向相反。由于相反。由于u为恒量，则为恒量，则 也为恒量，即匀速转动。也为恒量，即匀速转动。设在时间设在时间 t内转台相对地面转过的角度为内转台相对地面转过的角度为，则有，则有？力矩的功力矩的功一一 力矩作功力矩作功 力的空间累积效应力的空间累积效应 力的功力的功,动能动能,动能定理动能定理.力矩的空间累积效应力矩的空间累积效应 力矩的功力矩的功,转动动能转动动能,动能定理动能定理.二二 力矩的力矩的功率功率4 4 转动中的功和能转动中的功和能三三 转动动能转动动能四四 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量转动动能的增量.五五 含有转动刚体的机械能守恒定律含有转动刚体的机械能守恒定律由定轴转动刚体与另外物体组成的系统，只有保由定轴转动刚体与另外物体组成的系统，只有保守内力做功时，系统的总机械能保持不变。守内力做功时，系统的总机械能保持不变。恒量恒量质心到势能零点质心到势能零点的高度的高度质点运动钢体定轴转动速度角速度加速度角加速度力力矩质量转动惯量动量角动量 质点运动与钢体定轴转动对照表质点运动与钢体定轴转动对照表牛二律转动定律动量定理角动量定理动量守恒定律恒矢量角动量守恒恒矢量动能 转动动能功力矩的功动能定理转动动能定理角动量守恒定律和机械能守恒定律的综合应用例9质量为的小圆环，套在一长为，质量为的光滑均匀杆上，杆可以绕过其端的固定轴在水平面上自由旋转。开始时，杆的角速度为0，两小环位于点，当小环受到一微小的扰动后，即沿杆向外滑动。试求当小环脱离杆时的速度。NoteNote：小球脱离杆时的速度是由环沿杆的速度和杆旋小球脱离杆时的速度是由环沿杆的速度和杆旋转时环沿圆周运动的切向速度合成的结果，所以环脱转时环沿圆周运动的切向速度合成的结果，所以环脱离杆的速度与杆间有一角度。离杆的速度与杆间有一角度。解：设小环脱离杆时的角速度为解：设小环脱离杆时的角速度为，由角动量守恒有：，由角动量守恒有：其中其中设小环脱离杆时的速度为设小环脱离杆时的速度为，由机械能守恒有：，由机械能守恒有：的方向与杆的夹角的方向与杆的夹角：练习题：1刚体的转动惯量仅决定于：刚体的质量刚体质量的空间分布刚体的质量对定轴的分布转轴的位置2关于力矩有以下几种说法，其中正确的是：内力矩会改变刚体对某个定轴的角动量作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为角速度的方向一定与外力矩的相同质量相等、形状、大小不同的两个刚体，在相同力矩的作用下，它们的角加速度一定相等。3 如图，水平转台上距轴为处，有一质量为的物体随转台作匀速圆周运动，已知物体与台面的静摩擦系数为，若物体与组合体无相对滑动，则物体的转动动能为：k gR/4 Bk gR/2 Ck gR Dk 2gR R4 对一个绕固定水平轴上一点o匀速转动转盘，如图，沿同一水平直线从相反方向射入两颗相同质量速率相等的子弹，并留在盘中，则子弹射入后转盘的角速度 A 变大 B 变小 C 不变 D 不确定O5 一长为 的细杆，两端分别固定质量为m和2m的小球，此系统可在竖直平面内绕中心O自由转动，如图。开始时杆与水平方向成60，处于静止状态，无初速度的释放，杆球系统绕O轴转动，则该系统绕O轴的转动惯量（），当杆转到水平位置时，系统所受的合力矩（），角加速度（）END16、业余生活要有意义，不要越轨。华盛顿17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。罗素贝克18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。马云19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。雷锋20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。布尔沃