微分方程一ppt课件

高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学第六章第六章 微分方程微分方程高等数学第六章第一节第一节第一节第一节 基本概念基本概念基本概念基本概念一、实例一、实例 例例6-1、6-2例例1：一一曲曲线线通通过过点点（1，2），曲曲线线上上任任意意点的切线斜率为点的切线斜率为2x，求曲线方程。，求曲线方程。解：设所求曲线为解：设所求曲线为y=f(x),则则第一节基本概念一、实例例6-1、6-2第一节第一节第一节第一节 基本概念基本概念基本概念基本概念例例2：在理想环境中，某细菌的增殖速率与它的在理想环境中，某细菌的增殖速率与它的即时存在量成正比。试建立细菌在时刻的存在即时存在量成正比。试建立细菌在时刻的存在量满足的微分方程。量满足的微分方程。第一节基本概念例2：在理想环境中，某细菌的增殖速率与它的第一节第一节第一节第一节 基本概念基本概念基本概念基本概念例例3：自由落体问题自由落体问题第一节基本概念例3：自由落体问题第一节第一节第一节第一节 基本概念基本概念基本概念基本概念二、常微分方程二、常微分方程定定义义1：含含有有自自变变量量、未未知知函函数数和和未未知知函函数数的的导导数数（或或微微分分）的的方方程程称称为为微微分分方方程程。(Ordinarydifferentialequation)第一节基本概念二、常微分方程第一节第一节第一节第一节 基本概念基本概念基本概念基本概念常微分方程：常微分方程：未知函数为一元函数的微分未知函数为一元函数的微分 方程。（只有全导数，没有偏导数）方程。（只有全导数，没有偏导数）偏微分方程：偏微分方程：未知函数为多元函数，出现未知函数为多元函数，出现偏导数的方程。偏导数的方程。本章只讨论常微分方程本章只讨论常微分方程一般形式一般形式：第一节基本概念常微分方程：未知函数为一元函数的微分方第一节第一节第一节第一节 基本概念基本概念基本概念基本概念微微分分方方程程中中未未知知函函数数的的导导数数（或或微微分分）的的 最最 高高 阶阶 数数，叫叫 微微 分分 方方 程程 的的 阶阶。(order)三、常微分方程的解三、常微分方程的解定定义义2：满满足足微微分分方方程程的的函函数数，叫叫作作微微分分方程的方程的解解。(solution)第一节基本概念微分方程中未知函数的导数（或微分）的最高第一节第一节第一节第一节 基本概念基本概念基本概念基本概念(1)通通解解：含含有有独独立立的的任任意意常常数数、且且个个数数与与微微分分方方程程的的阶阶数数相相同同的的解解。(generalsolution)(2)特解：特解：在通解中，利用已知条件在通解中，利用已知条件（或或初初始始条条件件initialcondition）确确定任意常数后，定任意常数后，所得的解。所得的解。（particularsolution）第一节基本概念(1)通解：含有独立的任意常数、且个数第一节第一节第一节第一节 基本概念基本概念基本概念基本概念一般一阶微分方程初始条件：一般一阶微分方程初始条件：二阶初始条件：二阶初始条件：第一节基本概念一般一阶微分方程初始条件：二阶初始条件：第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一般形式一般形式第二节一阶微分方程第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程如果方程形式为：如果方程形式为：两边积分两边积分：一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程第二节一阶微分方程一、可分离变量的微分方程第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程例：例：p118例例6-4例例6-6例例1：求微分方程的通解求微分方程的通解两边积分两边积分：通解为：通解为：通解为：通解为：第二节一阶微分方程例：p118例6-4例6-6例1：求第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程例例2：求微分方程满足初始求微分方程满足初始求微分方程满足初始求微分方程满足初始x=2,y=4x=2,y=4条件的特解条件的特解条件的特解条件的特解分离变量：分离变量：分离变量：分离变量：ydy=-xdxydy=-xdx两边积分得：两边积分得：两边积分得：两边积分得：当当当当X=2X=2时时时时,y=4,y=4，得，得，得，得 C=10C=10特解：特解：特解：特解：第二节一阶微分方程例2：求微分方程满足初始x=2,y=4条第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程例例3：由物理学知道，放射性元素铀在某时刻的衰变速由物理学知道，放射性元素铀在某时刻的衰变速由物理学知道，放射性元素铀在某时刻的衰变速由物理学知道，放射性元素铀在某时刻的衰变速度与该时刻铀的质量度与该时刻铀的质量度与该时刻铀的质量度与该时刻铀的质量 MM成正比。已知成正比。已知成正比。已知成正比。已知 t=0t=0时，铀的时，铀的时，铀的时，铀的质量为质量为质量为质量为 MM，求在衰变过程中铀的质量随时间变化，求在衰变过程中铀的质量随时间变化，求在衰变过程中铀的质量随时间变化，求在衰变过程中铀的质量随时间变化的规律。的规律。的规律。的规律。解：设在时刻解：设在时刻解：设在时刻解：设在时刻 t t的质量是的质量是的质量是的质量是 M=M(t)M=M(t)，衰变速度是，衰变速度是，衰变速度是，衰变速度是d M/dtd M/dt则则则则第二节一阶微分方程例3：由物理学知道，放射性元素铀在某时刻第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程例例4：一容器内有一容器内有一容器内有一容器内有100100升葡萄糖水，其中含葡萄糖升葡萄糖水，其中含葡萄糖升葡萄糖水，其中含葡萄糖升葡萄糖水，其中含葡萄糖1010千克，今千克，今千克，今千克，今以以以以2 2升升升升/分的速度将净水注入，并以同样速度使葡萄糖水分的速度将净水注入，并以同样速度使葡萄糖水分的速度将净水注入，并以同样速度使葡萄糖水分的速度将净水注入，并以同样速度使葡萄糖水流出。有一搅拌器不停的工作，可以认为溶液的浓度流出。有一搅拌器不停的工作，可以认为溶液的浓度流出。有一搅拌器不停的工作，可以认为溶液的浓度流出。有一搅拌器不停的工作，可以认为溶液的浓度是均匀的。求是均匀的。求是均匀的。求是均匀的。求（1 1）t t时刻的葡萄糖含量（时刻的葡萄糖含量（时刻的葡萄糖含量（时刻的葡萄糖含量（2 2）5050分钟后分钟后分钟后分钟后的葡萄糖的含量。的葡萄糖的含量。的葡萄糖的含量。的葡萄糖的含量。第二节一阶微分方程例4：一容器内有100升葡萄糖水，其中含第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程解：解：设设t 时刻溶液中的葡萄糖含量为时刻溶液中的葡萄糖含量为x，则，则在在t,t+dt内溶液中葡萄糖含量的变化为内溶液中葡萄糖含量的变化为 葡萄糖含量的增量葡萄糖含量的增量=流进的葡萄糖量流进的葡萄糖量-流流出的葡萄糖量出的葡萄糖量 葡萄糖的增量为葡萄糖的增量为dx，流，流进的葡萄糖量为零。进的葡萄糖量为零。t 时刻的浓度时刻的浓度x/100为为dt 内的浓度，则流出的葡萄糖量为内的浓度，则流出的葡萄糖量为x/1002dt,微分方程为微分方程为第二节一阶微分方程解：设t时刻溶液中的葡萄糖含量为x，则第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程初始条件：初始条件：t=0,x=10 得得 C=0则：则：当当当当 t=50t=50时，得时，得时，得时，得第二节一阶微分方程初始条件：t=0,x=10得第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程二、一阶齐次方程二、一阶齐次方程定义定义 如果一阶微分方程，可化为如果一阶微分方程，可化为称这微分方程为称这微分方程为齐次微分方程。齐次微分方程。例：例：考察方程考察方程 p119两边积分，用两边积分，用u=y/x代入。代入。例：例：例例6-7、6-8、6-9第二节一阶微分方程二、一阶齐次方程定义如果一阶微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程定义：定义：一阶微分方程中的未知函数一阶微分方程中的未知函数y以及以及它的导数它的导数y都是一次幂，称为都是一次幂，称为一阶线性微分一阶线性微分方程。方程。(linearfirst-orderdifferentialequation)一般形式：一般形式：三、一阶线性微分方程定义：一阶微分方程中的未知函数y以及三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程线性齐次线性齐次(homogeneous)方程方程:Q(x)=0线性非齐次线性非齐次(inhomogeneous)方程：方程：齐次方程的解：齐次方程的解：分离变量得分离变量得三、一阶线性微分方程线性齐次(homogeneous)方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程非非齐齐次次方方程程的的解解：常常数数变变易易法法(methodofvariationofconstants),将齐次通解中的将齐次通解中的C=C(x).方程变为方程变为三、一阶线性微分方程非齐次方程的解：常数变易法(me三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程设想方程的解有形式：设想方程的解有形式：三、一阶线性微分方程设想方程的解有形式：三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程非齐次方程的通解由两部分组成：非齐次方程的通解由两部分组成：第第一一部部分分是是对对应应齐齐次次方方程程的的通通解解；第第二二部分是原来非齐次方程的一个特解。部分是原来非齐次方程的一个特解。例：例：p122 例例6-10、6-11三、一阶线性微分方程非齐次方程的通解由两部分组成：三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程例例1：求方程的通解求方程的通解先求齐次方程的通解先求齐次方程的通解分离变量，得分离变量，得积分得积分得三、一阶线性微分方程例1：求方程的通解先求齐次方程的通解分离三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程再用常数变易法解。设再用常数变易法解。设方程通解：方程通解：用公式解：用公式解：结果相同结果相同三、一阶线性微分方程再用常数变易法解。设方程通解：用公式解：三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程例例2：求方程通解求方程通解解：齐次解：齐次齐次通解：齐次通解：非齐次非齐次非齐次非齐次 设设设设三、一阶线性微分方程例2：求方程通解解：齐次齐次通解：非齐次三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程方程通解：方程通解：例例3：求方程通解求方程通解解：齐次解：齐次非齐次非齐次三、一阶线性微分方程方程通解：例3：求方程通解解：齐次非齐次三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程例例4：通解：通解：求方程满足初始条件的特解求方程满足初始条件的特解三、一阶线性微分方程例4：通解：求方程满足初始条件的特解三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程标准形式：标准形式：齐次方程：齐次方程：通解：通解：常数变易，设原方程的解为：常数变易，设原方程的解为：代入原方程，有代入原方程，有三、一阶线性微分方程标准形式：齐次方程：通解：常数变易，设原三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程则通解为：则通解为：由由特解：特解：三、一阶线性微分方程则通解为：由特解：三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程四、伯努利方程四、伯努利方程定义定义 称伯努利称伯努利（Bernoulli）方程。方程。线性微分方程；线性微分方程；非线性微分方程非线性微分方程三、一阶线性微分方程四、伯努利方程定义三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程例：例：p123 例例6-12三、一阶线性微分方程例：p123例6-12三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程例：例：求微分方程的通解求微分方程的通解例：例：通解为通解为 的微分方程为：的微分方程为：三、一阶线性微分方程例：求微分方程的通解例：通解为三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程例：例：曲线曲线y=f(x)过点过点(0,-1/2)，其上任一点，其上任一点(x,y)的切线斜率为的切线斜率为xln(1+x2),求求f(x).三、一阶线性微分方程例：曲线y=f(x)过点(0,-1/2)三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程例：例：求微分方程的通解求微分方程的通解例：例：三、一阶线性微分方程例：求微分方程的通解例：三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程第三节第三节第三节第三节 二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程一、可降阶微分方程一、可降阶微分方程第三节二阶微分方程一、可降阶微分方程第三节第三节第三节第三节 二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程1 型的微分方程型的微分方程（不显含函数和导数，两次积分）（不显含函数和导数，两次积分）2代换：设代换：设第三节二阶微分方程1型第三节第三节第三节第三节 二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程方程变为：方程变为：即即：例：例：p123 例例6-13 第三节二阶微分方程方程变为：即：例：第三节第三节第三节第三节 二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程例：例：求方程的通解：求方程的通解：解：设解：设 y=p(x)有有,y=dp/dx两边积分得：两边积分得：再积分一次：再积分一次：第三节二阶微分方程例：求方程的通解：解：设y=p(x第三节第三节第三节第三节 二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程3设设第三节二阶微分方程3设第三节第三节第三节第三节 二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程方程变为：方程变为：通解：通解：分离变量后再积分，分离变量后再积分，通解：通解：例：例：p124 例例6-14、6-15第三节二阶微分方程方程变为：第三节第三节第三节第三节 二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程六、二阶常系数线性微分方程六、二阶常系数线性微分方程第三节二阶微分方程六、二阶常系数线性微分方程第三节第三节第三节第三节 二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程二阶线性微分方程一般形式二阶线性微分方程一般形式(scondorderlineardifferentialequstion)若若f(x)=0,方程是齐次的；否则是非齐次方程是齐次的；否则是非齐次的。当的。当P(x),Q(x)都是常数时，称为都是常数时，称为二阶常系数二阶常系数(constantcoefficient)线性微分方程线性微分方程。即：。即：若若若若f(x)=0,f(x)=0,方程是齐次的，否则是非齐次的。方程是齐次的，否则是非齐次的。方程是齐次的，否则是非齐次的。方程是齐次的，否则是非齐次的。第三节二阶微分方程二阶线性微分方程一般形式(scond 第三节第三节第三节第三节 二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程二、二阶线性微分方程解的结构二、二阶线性微分方程解的结构 定理定理若函数若函数 是方程是方程 的两个解，则的两个解，则也是方程的解，其中也是方程的解，其中C1C2是任意常数。（线性是任意常数。（线性方程特有的，称为方程特有的，称为线性迭加原理线性迭加原理principleofsuperposition）第三节二阶微分方程二、二阶线性微分方程解的结构定 第三节第三节第三节第三节 二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程Y=C1y1+C2y2是否是方程的通解呢？是否是方程的通解呢？这个问题要看这个问题要看C1和和C2是不是互相独立，是不是互相独立，即即C1和和C2能否合并。这又和能否合并。这又和y1、y2有关。有关。如果如果y2=ky1即即那么那么表明表明 y实际上只有一个任意常数，实际上只有一个任意常数，Y=C1y1+C2y2就不是方程的通解。就不是方程的通解。第三节二阶微分方程Y=C1y1+C2y2是否是方程的 第三节第三节第三节第三节 二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程只有当只有当才彼此独立才彼此独立才是方程的通解才是方程的通解定义：定义：设函数设函数 y1(x),y2(x)在区间在区间 I上有定义，上有定义，若存在两个不全为零的常数若存在两个不全为零的常数 k1,k2使对一切使对一切X I 都有都有则称则称 y1(x),y2(x)在区间在区间 I上上线性相关线性相关，否则称否则称为为线性无关线性无关。第三节二阶微分方程只有当才彼此独立才是方程的通解定义：第三节第三节第三节第三节 二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程例如：例如：第三节二阶微分方程例如：第三节第三节第三节第三节 二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程定理定理1：设设是二阶线性微分方程的两个是二阶线性微分方程的两个 线性无关的特解，则齐次方程的通解是：线性无关的特解，则齐次方程的通解是：其中其中 是两个任意常数。是两个任意常数。通解结构通解结构定理定理.第三节二阶微分方程定理1：设是二阶线性微分方程的两个第三节第三节第三节第三节 二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程定理定理2（通解结构定理）若（通解结构定理）若是二阶非线性是二阶非线性齐次方程的一个特解，齐次方程的一个特解，是对应齐次方程的通解，则是对应齐次方程的通解，则是非齐次方程的通解。是非齐次方程的通解。第三节二阶微分方程定理2（通解结构定理）若第三节第三节第三节第三节 二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程例例1求方程的通解。求方程的通解。直观可知：直观可知：是方程的两个特解，且线性无关。所以方程的通解为：是方程的两个特解，且线性无关。所以方程的通解为：是方程的两个特解，且线性无关。所以方程的通解为：是方程的两个特解，且线性无关。所以方程的通解为：例例2求方程的通解。求方程的通解。第三节二阶微分方程例1求方程的通解。直观可知：是方程的两第三节第三节第三节第三节 二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程有例有例1知，对应齐次方程的通解是：知，对应齐次方程的通解是：由直观知它的一个特解是：由直观知它的一个特解是：因此非齐次通解为：因此非齐次通解为：第三节二阶微分方程有例1知，对应齐次方程的通解是：由直观第三节第三节第三节第三节 二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程三、二阶常系数线性齐次微分方程三、二阶常系数线性齐次微分方程寻找两个线性无关的特解，假设方程具有的寻找两个线性无关的特解，假设方程具有的形式形式为为，代入方程有：，代入方程有：特征方程特征方程:(characteristicequation)其根是其根是特征根特征根(characteristicroot)第三节二阶微分方程三、二阶常系数线性齐次微分方程第三节第三节第三节第三节 二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程（1），方程有两个不同的实数根，方程有两个不同的实数根 r1r2。则。则 通解为：通解为：第三节二阶微分方程（1），方程有两个不同的实数根r1第三节第三节第三节第三节 二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程（2 2），方程有两相同的实根，方程有两相同的实根，一个特解一个特解：求另一个与线性无关的特解。求另一个与线性无关的特解。设设 将将 代入原方程，有代入原方程，有通解为：通解为：第三节二阶微分方程（2），方程有两相同的实根，一个特第三节第三节第三节第三节 二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程（3），方程有一对共轭复根，方程有一对共轭复根，两个线性无关的复数形式特解为：两个线性无关的复数形式特解为：不便于应用，为了得到实数解，利用不便于应用，为了得到实数解，利用欧拉欧拉公式：公式：第三节二阶微分方程（3），方程有一对共轭复根，第三节第三节第三节第三节 二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程将将y1y2写成写成:根据线性迭加原理根据线性迭加原理也是方程的解，且线性无关。也是方程的解，且线性无关。通解为通解为：第三节二阶微分方程将y1y2写成:根据线性迭加原理也是第三节第三节第三节第三节 二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程解题步序：解题步序：(1)写出特征方程写出特征方程(2)求出两个特征根求出两个特征根(3)根据特征根的情况，按表写出方程的通解根据特征根的情况，按表写出方程的通解第三节二阶微分方程解题步序：(1)写出特征方程(2第三节第三节第三节第三节 二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程例：例：p128例例6-17、6-18、6-19第三节二阶微分方程例：p128例6-17、6-18、第三节第三节第三节第三节 二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程例例1：求方程的通解。求方程的通解。解：两个不相等的实数根解：两个不相等的实数根r1=-1,r2=5,通解为通解为例例2：求方程满足初始条件的特解。求方程满足初始条件的特解。第三节二阶微分方程例1：求方程的通解。解：两个不相等的实第三节第三节第三节第三节 二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程特征方程：特征方程：r2+2r+1=0,两根相同两根相同 r1=r2=-1 通解为通解为由初始条件得：由初始条件得：由初始条件得：由初始条件得：C C1 1=4,C=4,C2 2=2.=2.特解为特解为特解为特解为例例3：求方程的通解。求方程的通解。特征根：特征根：通解：通解：第三节二阶微分方程特征方程：r2+2r+1=0,两根相同第三节第三节第三节第三节 二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程方程方程 y+9y=0 的一条积分曲线通过点的一条积分曲线通过点(,-1)，且在该点和直线，且在该点和直线y+1=x-相切，相切，求此曲线。求此曲线。例例4：解：特征方程解：特征方程通解：通解：初始条件，通过点初始条件，通过点(,-1)得，得，C1=1y=-3sin3x+3Cy=-3sin3x+3C2 2cosxcosx得得得得C C2 2=-1/3=-1/3第三节二阶微分方程方程y+9y=0的一条积分曲线第三节第三节第三节第三节 二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程四、二阶常系数线性四、二阶常系数线性非齐次微分方程非齐次微分方程一般形式一般形式：通解通解：Y Y是齐次方程的通解，关键是特解。是齐次方程的通解，关键是特解。是齐次方程的通解，关键是特解。是齐次方程的通解，关键是特解。例：例：求方程的通解。求方程的通解。解：齐次方程通解：解：齐次方程通解：第三节二阶微分方程四、二阶常系数线性非齐次微分方程一般形第三节第三节第三节第三节 二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程第三节二阶微分方程第三节第三节第三节第三节 二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程非齐次通解：非齐次通解：第三节二阶微分方程非齐次通解：第三节第三节第三节第三节 二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程特解形式：特解形式：代入方程代入方程 第三节二阶微分方程特解形式：第三节第三节第三节第三节 二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程1、如果、如果r不是特征根不是特征根因为因为Pm(x)是是m,次多项式次多项式Q(x)必须是必须是m次多项式次多项式.2、如果、如果r是特征方程的单根是特征方程的单根Q(x)必须是必须是m次多项式，即次多项式，即Q(x)必须是必须是m+1次次多项式。多项式。第三节二阶微分方程1、如果r不是特征根因为Pm(x)是m第三节第三节第三节第三节 二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程3 3、如果、如果、如果、如果r r是特征方程的重根是特征方程的重根是特征方程的重根是特征方程的重根Q(x)必须是必须是m次多项式，即次多项式，即Q(x)必须是必须是m+2次多项式。次多项式。特解形式：特解形式：r不是特征根不是特征根k0；单根单根k1；重根重根k2例：例：p130 例例6-20、6-21、6-22第三节二阶微分方程3、如果r是特征方程的重根Q(x)第三节第三节第三节第三节 二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程例：例：设二阶常系数微分方程设二阶常系数微分方程 的一个特解为的一个特解为确定确定 。第三节二阶微分方程例：设二阶常系数微分方程 第三节第三节第三节第三节 二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程例：例：解：解：这里这里r=0,m=2，r不是特征根不是特征根k=0，设设例：例：第三节二阶微分方程例：解：这里r=0,m=2，r不是第五节第五节第五节第五节 微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用一、化学反应速率模型一、化学反应速率模型 对化学反应、生物生长、药物在体内分对化学反应、生物生长、药物在体内分布、吸收、代谢、排泄（布、吸收、代谢、排泄（SBNE）等研究中，）等研究中，常常会遇到复杂的速率过程。最基本的是常常会遇到复杂的速率过程。最基本的是一级和二级速率。它们是化学反应中一级一级和二级速率。它们是化学反应中一级反应和二级反应概念的推广。反应和二级反应概念的推广。零级速率过程零级速率过程 设时刻设时刻t未起反应的量为未起反应的量为C=C(t),起反应量起反应量（生成物的量）（生成物的量）x=x(t),则则 x(t)=C0-C(t)第五节微分方程的应用一、化学反应速率模型第五节第五节第五节第五节 微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用生成物浓度的速率：生成物浓度的速率：反应物反应物浓度的速率：浓度的速率：反应速度反应速度：零级反应：零级反应：化学反应速度与反应物浓度无关。化学反应速度与反应物浓度无关。零级零级速率过程：速率过程：一个量在某个过程中的变化速一个量在某个过程中的变化速率始终保持常数。率始终保持常数。第五节微分方程的应用生成物浓度的速率：反应物浓度的速率：第五节第五节第五节第五节 微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用例题：例题：一定剂量的药物（丹参、青霉素注射液）一定剂量的药物（丹参、青霉素注射液）做恒速静脉滴注的过程是零级速率过程。做恒速静脉滴注的过程是零级速率过程。设时刻设时刻t，瓶内药量为，瓶内药量为x，滴注速率为，滴注速率为k。则。则初始：初始：t=0,x=x0c=x0有有药量与时间呈线性关系。药量与时间呈线性关系。第五节微分方程的应用例题：一定剂量的药物（丹第五节第五节第五节第五节 微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用1、一级反应、一级反应 单分子反应，若化学反应速率与反应物的单分子反应，若化学反应速率与反应物的量成正比，称为量成正比，称为一级反应一级反应（一级速率过程）。（一级速率过程）。一级速率过程：一级速率过程：某个变化过程中一个量的变某个变化过程中一个量的变化率与当时的量成正比，这种动力学过程称化率与当时的量成正比，这种动力学过程称为一级速率过程，如镭的衰变过程。为一级速率过程，如镭的衰变过程。例题例题：镭的初始量镭的初始量x0，求残存量，求残存量x与时间的关系。与时间的关系。据题意据题意：第五节微分方程的应用1、一级反应例题：镭的初始量x0，求第五节第五节第五节第五节 微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用tox0 x第五节微分方程的应用tox0 x第五节第五节第五节第五节 微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用2、二级反应、二级反应 称二级反应。一定温度时等称二级反应。一定温度时等容反应的速率与各反应物浓度的乘积成正比容反应的速率与各反应物浓度的乘积成正比 第五节微分方程的应用2、二级反应第五节第五节第五节第五节 微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用第五节微分方程的应用第五节第五节第五节第五节 微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用二、医学模型二、医学模型 （肿瘤生长模型）（肿瘤生长模型）设设V表示在时刻表示在时刻 t 肿瘤的大小（体积、重量、肿瘤的大小（体积、重量、细胞数等）。由实践得知：肿瘤在时刻细胞数等）。由实践得知：肿瘤在时刻t增长增长的速率与当时的速率与当时V的大小成正比，比例系数为的大小成正比，比例系数为k（不是常数），它随时间（不是常数），它随时间t减小，其减小的减小，其减小的速率与当时速率与当时k的大小成正比，此比例系数的大小成正比，此比例系数为为常数。得如下数学模型：常数。得如下数学模型：第五节微分方程的应用二、医学模型（肿瘤生长模型）第五节第五节第五节第五节 微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用（1）如果）如果由此可见，肿瘤按指数生长，生长速率为由此可见，肿瘤按指数生长，生长速率为A第五节微分方程的应用（1）如果由此可见，肿瘤按指数生长，第五节第五节第五节第五节 微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用(2)如果如果将上式代入将上式代入dV/dt=kV方程，得方程，得这是描述肿瘤生长的数学关系，称为高帕茨这是描述肿瘤生长的数学关系，称为高帕茨Gompertz（德国数学家）（德国数学家）函数。函数。第五节微分方程的应用(2)如果将上式代入dV/dt=kV第五节第五节第五节第五节 微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用研究几种肿瘤生长情况：研究几种肿瘤生长情况：第五节微分方程的应用研究几种肿瘤生长情况：第五节第五节第五节第五节 微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用这是肿瘤生长的理论上限。当这是肿瘤生长的理论上限。当dV/dt0,则则V单调递增，当单调递增，当t+时，时，VVmax第五节微分方程的应用这是肿瘤生长的理论上限。当dV/dt第五节第五节第五节第五节 微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用（3）通常将肿瘤体积增大一倍所需的时间称为）通常将肿瘤体积增大一倍所需的时间称为肿瘤的倍增时间，记为肿瘤的倍增时间，记为td.由情况由情况(1)可得，可得，显然，显然，td不是常数，它随不是常数，它随t的增大而增大。的增大而增大。第五节微分方程的应用（3）通常将肿瘤体积增大一倍所需的时第五节第五节第五节第五节 微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用三、药学模型三、药学模型快速静脉注射快速静脉注射消除消除D0-kxVx(t)一室模型近似将机体看成是一个动力学单元，给一室模型近似将机体看成是一个动力学单元，给药后瞬时分布到血液和器官。药后瞬时分布到血液和器官。例例1 快速静脉注射模型快速静脉注射模型设体内为一个室（动力学一室模型），设体内为一个室（动力学一室模型），V表观容积。表观容积。第五节微分方程的应用三、药学模型快速静脉注射消除D0-k第五节第五节第五节第五节 微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用设药物消除是一级速率，一次设药物消除是一级速率，一次快速静脉注射剂量为快速静脉注射剂量为D0 ,求血药浓度变化。求血药浓度变化。设设设设t时刻药量为时刻药量为x，则则第五节微分方程的应用设药物消除是一级速率，一次快速静脉注第五节第五节第五节第五节 微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用血药浓度血药浓度血药浓度消除率血药浓度消除率第五节微分方程的应用血药浓度血药浓度消除率第五节第五节第五节第五节 微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用例例2 恒速静脉注射一室模型恒速静脉注射一室模型 K0-kxVX(t)K0 恒速注射，体内变化速恒速注射，体内变化速率为输入药量速率与消除率为输入药量速率与消除药量速率之差。药量速率之差。齐次方程解齐次方程解常数变易常数变易 代入原方程代入原方程第五节微分方程的应用例2恒速静脉注射一室模型K0-第五节第五节第五节第五节 微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用血药浓度血药浓度剂量剂量D0在时间在时间T内恒速内恒速k0=D0/T滴注滴注第五节微分方程的应用血药浓度剂量D0在时间T内恒速k0=第五节第五节第五节第五节 微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用微分方程的应用第五节微分方程的应用微分方程一ppt课件