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第第4章章 根轨迹法根轨迹法自动控制原理1东北大学自动控制原理课程组第4章根轨迹法自动控制原理1东北大学自动控制原理课程第第4章章 根轨迹法根轨迹法 主要内容主要内容根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则用根轨迹法分析系统的性能用根轨迹法分析系统的性能小结小结2东北大学自动控制原理课程组第4章根轨迹法主要内容2东北第第4章章 根轨迹法根轨迹法 学习重点学习重点v了解根轨迹的基本特性和相关概念；了解根轨迹的基本特性和相关概念；v了解根轨迹的类型划分，熟练掌握根了解根轨迹的类型划分，熟练掌握根轨迹的分类原则；轨迹的分类原则；v掌握根轨迹的绘制法则，并能够熟练掌握根轨迹的绘制法则，并能够熟练地应用到根轨迹的绘制过程中；地应用到根轨迹的绘制过程中；v学会应用主导极点、偶极子等概念近学会应用主导极点、偶极子等概念近似分析系统的性能；似分析系统的性能；v了解根轨迹形状与系统性能指标之间了解根轨迹形状与系统性能指标之间的关系的关系。3东北大学自动控制原理课程组第4章根轨迹法学习重点3东北大学自动控制原理课程组第第4章章 根轨迹法根轨迹法根轨迹法根轨迹法 一种由一种由开环开环开环开环传递函数求传递函数求闭环闭环闭环闭环特征根的简便方法。特征根的简便方法。它是一种用图解方法表示特征根与系统参数的全部它是一种用图解方法表示特征根与系统参数的全部数值关系的方法。数值关系的方法。1948年，由伊文思（年，由伊文思（W.R.Evans）提出。）提出。根轨迹法的任务根轨迹法的任务 由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法确定闭环极点。法确定闭环极点。4东北大学自动控制原理课程组第4章根轨迹法根轨迹法4东北大学自动控制原理课程组4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念根轨迹根轨迹 系统开环传递函数的每一个参数从零系统开环传递函数的每一个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根在在 S 平面上的变化轨迹。平面上的变化轨迹。5东北大学自动控制原理课程组4.1根轨迹法的基本概念根轨迹5东北大学自动控制原理例例4.1二阶系统的根轨迹二阶系统的根轨迹闭环传递函数闭环传递函数特征方程特征方程闭环极点闭环极点4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念6东北大学自动控制原理课程组例4.1二阶系统的根轨迹4.1根轨迹法的基本概念6 研究开环放大系数研究开环放大系数K与闭环特征根的关系。当取不同与闭环特征根的关系。当取不同K值值时，算得闭环特征根如下：时，算得闭环特征根如下：K00-20.5-1-11-1+j-1-j2-1+j-1-j-1+j-1-j4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念7东北大学自动控制原理课程组研究开环放大系数K与闭环特征根的关系。当取不4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念K K由由00变化时，闭环特征根在变化时，闭环特征根在S S平面上移动的平面上移动的轨迹如下图所示。这就是该系统的根轨迹。轨迹如下图所示。这就是该系统的根轨迹。根轨迹直观地表示了参数根轨迹直观地表示了参数K变化时，闭环特征根的变化时，闭环特征根的变化，并且还给出了参数变化，并且还给出了参数K对闭环特征根在对闭环特征根在S平面平面上分布的影响。上分布的影响。8东北大学自动控制原理课程组4.1根轨迹法的基本概念K由0变化时，闭环特征根在S根轨迹方程根轨迹方程控制系统结构图控制系统结构图开环传递函数开环传递函数4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念9东北大学自动控制原理课程组根轨迹方程控制系统结构图4.1根轨迹法的基本概念9东北大式中：式中：开环零点；开环零点；开环极点。开环极点。闭环系统特征方程式为闭环系统特征方程式为或可写作或可写作4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念10东北大学自动控制原理课程组式中：开环零点；4.1根轨迹法的基本概这这个个方方程程式式表表达达了了开开环环传传递递函函数数与与闭闭环环特特征征方方程程式式的的关关系系，该该方方程程的的解解即即为为闭闭环环特特征征根根，因因此此该该式式又又称为称为根轨迹方程根轨迹方程。令令s=+j代入可得代入可得4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念11东北大学自动控制原理课程组这个方程式表达了开环传递函数与闭环特征方程上式是一个复数，可表示成幅值和辐角的形式，则根轨上式是一个复数，可表示成幅值和辐角的形式，则根轨迹方程又可分别表示成迹方程又可分别表示成幅值条件幅值条件：4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念12东北大学自动控制原理课程组上式是一个复数，可表示成幅值和辐角的形式，则根轨4.1根辐角条件辐角条件：（充分必要条件）：（充分必要条件）4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念式中：式中：开环有限零点到开环有限零点到s点的矢量辐角；点的矢量辐角；开环极点到开环极点到s点的矢量辐角；点的矢量辐角；满足幅值条件和辐角条件的满足幅值条件和辐角条件的s值，就是特征方程式值，就是特征方程式的根，也就是闭环极点。的根，也就是闭环极点。13东北大学自动控制原理课程组辐角条件：（充分必要条件）4.1根轨迹法的基本概念式中：4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念因因为为在在0范范围围内内连连续续变变化化，总总有有一一个个值值能能满满足足幅幅值值条条件件。所所以以，绘绘制制根根轨轨迹迹的的依据是辐角条件。依据是辐角条件。利用幅值条件计算利用幅值条件计算 值比较方便，它可值比较方便，它可以作为计算以作为计算 值的依据。值的依据。14东北大学自动控制原理课程组4.1根轨迹法的基本概念因为在0绘制根轨迹的一般步骤绘制根轨迹的一般步骤（1）出）出 =0 和和 =时的特征根时的特征根（2）根根据据绘绘制制法法则则大大致致画画出出0 m时时，则则有有（n-m)条条根根轨轨迹迹分分支支终终止止于于无无限限零零点点。这这些些趋趋向向无无穷穷远远的的根根轨轨迹迹分分支支的的渐渐近近线由与实轴的线由与实轴的夹角夹角和和交点交点来确定。来确定。30东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则6根轨迹的渐近线30东北大4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 无无穷穷远远处处的的特特征征根根，到到S平平面面上上所所有有开开环环有有限限零零点点和和极极点点的矢量辐角都相等，均为的矢量辐角都相等，均为，即，即独立的渐近线只有（独立的渐近线只有（n-m）条）条（1）渐近线的倾角）渐近线的倾角代入辐角条件得代入辐角条件得即渐近线的倾角为即渐近线的倾角为31东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则无穷远处的特征根，到S平面上所有4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 当当 时，时，即得，即得（2）渐近线的交点）渐近线的交点由幅值条件由幅值条件32东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则当时，4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 令令上上式式中中等等式式两两边边的的项项系系数数相相等等，即即得得渐渐近近线线的的交点交点由于由于 和和 是实数或共轭复数，故是实数或共轭复数，故 必为实数，必为实数，因此因此渐近线交点总在实轴上渐近线交点总在实轴上。33东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则令上式中等式两边的项系数相等，即4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 例例4-3 4-3 设开环传递函数为设开环传递函数为试确定其根轨迹渐近线。试确定其根轨迹渐近线。解解 （1 1）计算渐近线倾角。）计算渐近线倾角。因为因为m=0,n=3,所以所以可得渐近线倾角为可得渐近线倾角为34东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则例4-3设开环传递函数为试确定4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 因为因为 n=3,m=0；所以渐近线交点为所以渐近线交点为（2）计算渐近线交点。）计算渐近线交点。35东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则因为4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 7根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角出出射射角角：根根轨轨迹迹离离开开S平平面面上上开开环环极极点点处处的的切切线与实轴的夹角。线与实轴的夹角。入入射射角角：根根轨轨迹迹进进入入S平平面面上上开开环环零零点点处处的的切切线与实轴的夹角。线与实轴的夹角。36东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则7根轨迹的出射角和入射角34.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 例例4-4已知开环传递函数为已知开环传递函数为试计算起点（试计算起点（-1+j1）的斜率。）的斜率。37东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则例4-4已知开环传递函数为试把以上诸值代入辐角条件，把以上诸值代入辐角条件，即得起点（即得起点（-1+j1）的出射角）的出射角为为4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 解解令令稍稍为为增增大大，在在（-1+j1）附附近近的的特特征征根根应应满满足足辐辐角条件，即角条件，即解得解得38东北大学自动控制原理课程组把以上诸值代入辐角条件，4.2根轨迹的绘制法则解令4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 同理可得同理可得入射角入射角的计算公式为的计算公式为通过这个例子，可以得到计算通过这个例子，可以得到计算出射角出射角的公式为的公式为39东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则同理可得入射角的计算公式为通过这4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 8根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴相相交交时时，特特征征方方程程式式的的根根，此此时时系系统统处处于于临临界界稳稳定定状状态态，令令此此时时的的。由由此此可可计计算算对对应应的的临界放大系数临界放大系数值。值。确定交点的方法：确定交点的方法：（1 1）把）把 代入特征方程式；代入特征方程式；（2 2）利用劳斯判据）利用劳斯判据。40东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则8根轨迹与虚轴的交点40东北4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 例例4-5设有开环传递函数为设有开环传递函数为 试确定根轨迹与虚轴的交点，并计算临界放大系数。试确定根轨迹与虚轴的交点，并计算临界放大系数。假设假设 时根轨迹与虚轴相交，于是令上式中时根轨迹与虚轴相交，于是令上式中解解 方法（方法（1 1）根据给定的开环传递函数，可得特征方程式为根据给定的开环传递函数，可得特征方程式为41东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则例4-5设有开环传递函数为假4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 则得则得 亦即亦即解得：解得：，对应根轨迹的起点；，对应根轨迹的起点；，对应根轨迹与虚轴相交。，对应根轨迹与虚轴相交。交点处的（临界放大系数）为交点处的（临界放大系数）为 42东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则则得42东北大学自动4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 方法（方法（2 2）用劳斯判据计算交点和临界放大系数用劳斯判据计算交点和临界放大系数劳斯表劳斯表特征方程特征方程43东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则方法（2）用劳斯判据计算交点和4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 在第一列中，令在第一列中，令行等于零，则得临界放大系数行等于零，则得临界放大系数根轨迹与虚轴的交点可根据根轨迹与虚轴的交点可根据行的辅助方程求得，即行的辅助方程求得，即令上式中令上式中，即得根轨迹与虚轴的交点为，即得根轨迹与虚轴的交点为44东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则在第一列中，令行等于零4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 9根轨迹的走向根轨迹的走向 如如果果特特征征方方程程的的阶阶次次 ，则则一一些些根根轨轨迹迹右右行行时时，另一些根轨迹必左行另一些根轨迹必左行。说明：把特征方程式改为说明：把特征方程式改为式式中中：是是一一个个常常数数，它它是是各各特特征征根根之之和和。这这表表明明，随着随着值改变，一些特征根增大时，另一些特征根必减小。值改变，一些特征根增大时，另一些特征根必减小。45东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则9根轨迹的走向45东北4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 根轨迹绘制法则归纳如下：根轨迹绘制法则归纳如下：（1 1）起点（）起点（）。开环传递函数的极点即根轨迹的起点。）。开环传递函数的极点即根轨迹的起点。（2 2）终终点点（）。根根轨轨迹迹的的终终点点即即开开环环传传递递函函数数的的零零点点（包括（包括m个有限零点和（个有限零点和（n-m）个无限零点）。）个无限零点）。（3 3）根根轨轨迹迹数数目目及及对对称称性性。根根轨轨迹迹数数目目为为，根根轨轨迹对称于实轴。迹对称于实轴。（4 4）实实轴轴上上的的根根轨轨迹迹。实实轴轴上上根根轨轨迹迹右右侧侧的的零零点点、极极点点之之和和应是奇数。应是奇数。46东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则根轨迹绘制法则归纳如下：46东北4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则（5 5）分离点与会合点。分离点与会合点满足方程）分离点与会合点。分离点与会合点满足方程 （6）根轨迹的渐近线。）根轨迹的渐近线。渐近线的倾角渐近线的倾角 渐近线交点渐近线交点 47东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则（5）分离点与会合点。分离点与会4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则（9）根轨迹走向。）根轨迹走向。如果特征方程的阶次如果特征方程的阶次 ，则一些根轨迹，则一些根轨迹右行时，另一些根轨迹必左行右行时，另一些根轨迹必左行。（8）根轨迹与虚轴交点。把）根轨迹与虚轴交点。把 代入特征方程式代入特征方程式，即，即可解出交点处的临界可解出交点处的临界值和交点坐标。值和交点坐标。入射角入射角出射角出射角（7）根轨迹的出射角与入射角。）根轨迹的出射角与入射角。48东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则（9）根轨迹走向。（8）根轨迹与4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 4.2.2 4.2.2 自动控制系统的根轨迹自动控制系统的根轨迹1.1.二阶系统二阶系统设二阶系统的结构图如下图所示。它的开环传递函数为设二阶系统的结构图如下图所示。它的开环传递函数为49东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则4.2.2自动控制4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 二阶系统的根轨迹图如右图所示。二阶系统的根轨迹图如右图所示。如果要使得系统的阻尼比为如果要使得系统的阻尼比为 则从原点作阻尼线则从原点作阻尼线0R,交根轨迹于交根轨迹于R（见右图）。（见右图）。开环放大系数开环放大系数 应为应为 上式和第三章第三节用分析法所得的二阶工程最佳参数相同上式和第三章第三节用分析法所得的二阶工程最佳参数相同 50东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则二阶系统的根轨迹图如右图所示。如4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 2 2开环具有零点的二阶系统开环具有零点的二阶系统 二二阶阶系系统统增增加加一一个个零零点点时时，系系统统结结构构图图如如下下图图所所示示。它的开环传递函数为它的开环传递函数为51东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则2开环具有零点的二阶4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 由由下下图图知知，复复平平面面上上的的根根轨轨迹迹是是一一个个圆圆（证证明明详详见见教教材材）。这个圆与实轴的交点即为这个圆与实轴的交点即为分离点和会合点：分离点和会合点：本本例例说说明明：正正向向通通道道内内适适当当引引进进零零点点，将将使使根根轨轨迹迹向向左左偏偏移移，能改善系统动态品质。能改善系统动态品质。时的根轨迹图时的根轨迹图 52东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则由下图知，复平面上的根轨迹是一个4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 3.三阶系统三阶系统二二阶阶系系统统附附加加一一个个极极点点的的系系统统的的结结构构图图如如下下图图所所示。它的开环传递函数为示。它的开环传递函数为在在时，分离点为时，分离点为和和。因为在。因为在-1-4之间不可能有根轨迹，故分离点应为之间不可能有根轨迹，故分离点应为。53东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则3.三阶系统在4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 当当时，根轨迹与虚轴交点为时，根轨迹与虚轴交点为对应的根轨迹放大系数为对应的根轨迹放大系数为考虑到考虑到，于是得临界开，于是得临界开环放大系数为环放大系数为根轨迹绘于右图。根轨迹绘于右图。本例说明：在二阶系统中附加一个极点，随着本例说明：在二阶系统中附加一个极点，随着 增大，增大，根轨迹会向右变化，并穿过虚轴，使系统趋于不稳定。根轨迹会向右变化，并穿过虚轴，使系统趋于不稳定。54东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则当时，根轨迹4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 4 4具有时滞环节的系统具有时滞环节的系统假设假设,时滞系统的结构如图所示时滞系统的结构如图所示,其开环传递函数为其开环传递函数为闭环系统的特征方程式为闭环系统的特征方程式为55东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则4具有时滞环节的系4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 假假设设特特征征根根，则则满满足足特特征征根根的的幅幅值值和和辐辐角角条条件为件为与前面介绍的根轨迹绘制法则相对比可知，时滞系统的根轨迹绘制与前面介绍的根轨迹绘制法则相对比可知，时滞系统的根轨迹绘制法则法则要有所变化。要有所变化。56东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则假设特征根4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 4.2.3 4.2.3 零度根轨迹零度根轨迹 零零度度根根轨轨迹迹：根根轨轨迹迹的的辐辐角角条条件件不不是是 ，而而是是 的情况。的情况。图图示示系系统统有有一一个个零零点点在在S右半平面，它的传递函数为右半平面，它的传递函数为57东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则4.2.3零度根轨迹4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 它的闭环特征方程式为它的闭环特征方程式为 亦即亦即 幅值条件幅值条件辐角条件辐角条件由于辐角条件是偶数个由于辐角条件是偶数个 ，故名为零度根轨迹。，故名为零度根轨迹。58东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则它的闭环特征方程式为4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 零度根轨迹的绘制，改变了与幅角有关的规则：零度根轨迹的绘制，改变了与幅角有关的规则：（1 1）实实轴轴上上的的根根轨轨迹迹。实实轴轴上上根根轨轨迹迹右右侧侧的的零零点点、极极点点之之和和应是偶数。应是偶数。（2 2）根轨迹的渐近线。倾角根轨迹的渐近线。倾角（3 3）根轨迹的出射角与入射角。根轨迹的出射角与入射角。入射角入射角出射角出射角59东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则零度根轨迹的绘制，改变了与幅角有4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 例例4-7 4-7 试绘制下图示系统的根轨迹。试绘制下图示系统的根轨迹。解解（1）二个开环极点：）二个开环极点：，；一个有限零点：一个有限零点：和一个无限零点。和一个无限零点。60东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则例4-7试绘制下图4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则（2）实实轴轴上上根根轨轨迹迹。确确定定这这一一系系统统实实轴轴上上轨轨迹迹的的原原则则是是，它它右右侧侧的的零零、极极点点数数目目之之和和应应是是偶偶数数。因因为为只只有有这这样样，才能满足辐角条件。才能满足辐角条件。因此在实轴的因此在实轴的0 和和区间存在根轨迹。区间存在根轨迹。（3）分离点与会合点）分离点与会合点 分离点与会合点分别为分离点与会合点分别为 61东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则（2）实轴上根轨迹。确4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 根轨迹如下图所示。根轨迹如下图所示。不难证明，复平面上的轨迹是一个圆，圆心为有限零不难证明，复平面上的轨迹是一个圆，圆心为有限零点点 ，半径为，半径为 。62东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则根轨迹如下图所示4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 4.2.4 4.2.4 参数根轨迹参数根轨迹参参数数根根轨轨迹迹（或或广广义义根根轨轨迹迹）：以以以以外外的的参参数数作作为为变变量的根轨迹，称为参数根轨迹。量的根轨迹，称为参数根轨迹。1.1.一个参数变化的根轨迹一个参数变化的根轨迹假假设设系系统统的的可可变变参参数数是是某某一一时时间间常常数数T T，原原特特征征方方程程式式变变为为式式中中，、分分别别为为等等效效的的开开环环传传递递函函数数分分子子、分分母母多多项项式，式，T的位置与原根轨迹放大系数的位置与原根轨迹放大系数完全相同。完全相同。63东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则4.2.4参数根轨4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 例例4-9 4-9 给定控制系统的开环传递函数为给定控制系统的开环传递函数为 试试作作出出以以为为参参变变量量的的根根轨轨迹迹，并并利利用用根根轨轨迹迹分分析析取取何何值值时时闭环系统稳定。闭环系统稳定。解解 闭环特征方程闭环特征方程改写为改写为 等效的开环传递函数为等效的开环传递函数为 该系统在绘制以为该系统在绘制以为参变量的根轨迹时，应遵循零度根轨迹的绘制规则。参变量的根轨迹时，应遵循零度根轨迹的绘制规则。64东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则例4-9给定控制系相应的根轨迹绘于右图。相应的根轨迹绘于右图。由图可知，当由图可知，当 时系统处于临界稳定状时系统处于临界稳定状态。态。闭环系统稳定的范围：闭环系统稳定的范围：例例4-9系统的根轨迹系统的根轨迹本本例例说说明明，尽尽管管在在许许多多情情况况下下，都都是是绘绘制制常常义义根根轨轨迹迹，但但是是在在绘绘制制参参数数根根轨轨迹迹、研研究究正正反反馈馈系系统统、处处理理非非最最小小相相位位系系统统时时，都都有有可可能能遇遇到到绘绘制制零零度度根轨迹的情形。根轨迹的情形。4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 65东北大学自动控制原理课程组相应的根轨迹绘于右图。4.2根轨迹的绘制法则4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 例例4-9 4-9 控制系统框图如图所示控制系统框图如图所示，试绘制以试绘制以为变量的根轨迹。为变量的根轨迹。66东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则例4-9控制系统框图4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 闭环特征方程：闭环特征方程：等效开环传递函数为：等效开环传递函数为：开环零、极点：开环零、极点：分离点：分离点：取取 1 出射角：出射角：210、150度度67东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则闭环特征方程：67东北大学自动4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 2.几个参数变化的根轨迹（根轨迹簇）几个参数变化的根轨迹（根轨迹簇）在某些场合，需要研究几个参数同时变化对系统性能的影在某些场合，需要研究几个参数同时变化对系统性能的影响。例如在设计一个校正装置传递函数的零、极点时，就响。例如在设计一个校正装置传递函数的零、极点时，就需研究这些零、极点取不同值时对系统性能的影响。为此，需研究这些零、极点取不同值时对系统性能的影响。为此，需要绘制几个参数同时变化时的根轨迹，所作出的根轨迹将需要绘制几个参数同时变化时的根轨迹，所作出的根轨迹将是一组曲线，称为根轨迹簇。是一组曲线，称为根轨迹簇。68东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则2.4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则例例4-10 一一单单位位反反馈馈控控制制系系统统如如图图所所示示，试试绘绘制制以以K和和为为参数的根轨迹。参数的根轨迹。解解 系统闭环特征方程为系统闭环特征方程为先令先令，则上式变为，则上式变为或写作或写作69东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则例4-10一单位反馈控制系统如4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则令令据此作出据此作出对应的根轨迹，如下图对应的根轨迹，如下图a所示。这是所示。这是时，以时，以K为参变量的根轨迹。为参变量的根轨迹。其次考虑其次考虑，把闭环特征方程改写为，把闭环特征方程改写为 令令70东北大学自动控制原理课程组4.2根轨迹的绘制法则令70东北大学自动控制原理课程它它的的极极点点为为，零零点点为为0。不不难难证证明明，对对应应特特征征方方程程的的根根轨迹为一圆弧，其方程为轨迹为一圆弧，其方程为4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则例如令例如令K=9，则，则下图下图b为为K取不同值时所作的根轨迹簇。取不同值时所作的根轨迹簇。71东北大学自动控制原理课程组它的极点为，零点为0。不难证明，对应特征方程的4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性 根根轨轨迹迹绘绘出出以以后后，对对于于一一定定的的值值，即即可可利利用用幅幅值值条条件件，确确定定相相应应的的特特征征根根（闭闭环环极极点点）。如如果果闭闭环环系系统统的的零零点点是是已已知知的的，则则可可以以根根据据闭闭环环系系统统零零、极极点点的的位位置置以以及及已已知的输入信号，分析系统的暂态特性。知的输入信号，分析系统的暂态特性。用根轨迹法分析控制系统的步骤用根轨迹法分析控制系统的步骤用根轨迹法分析控制系统的步骤用根轨迹法分析控制系统的步骤:1.1.画出系统的根轨迹图画出系统的根轨迹图画出系统的根轨迹图画出系统的根轨迹图2.2.在根轨迹上确定闭环零、极点的位置在根轨迹上确定闭环零、极点的位置在根轨迹上确定闭环零、极点的位置在根轨迹上确定闭环零、极点的位置3.3.根据系统闭环零极点的分布分析系统的性能根据系统闭环零极点的分布分析系统的性能根据系统闭环零极点的分布分析系统的性能根据系统闭环零极点的分布分析系统的性能72东北大学自动控制原理课程组4.3用根轨迹法分析系统的暂态特性根轨迹绘出4.3.1 在根轨迹上确定特征根在根轨迹上确定特征根 根据已知的根据已知的 值，在根轨迹上确定特征根的位置时，可值，在根轨迹上确定特征根的位置时，可以采用试探法。以采用试探法。4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性 1.取试验点取试验点 2.连接连接 与开环零极点与开环零极点73东北大学自动控制原理课程组4.3.1在根轨迹上确定特征根4.3用根轨对于对于 的系统，可先在实轴上选实验点，的系统，可先在实轴上选实验点，找出闭环实极点后再确定闭环复极点。找出闭环实极点后再确定闭环复极点。例例4-11 系统开环传函为系统开环传函为试确定试确定 的闭环极点。的闭环极点。解解 闭环特征方程为闭环特征方程为4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性 74东北大学自动控制原理课程组对于的系统，可先在由图可知：在由图可知：在 有一实根，设其为有一实根，设其为:4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性 实根求法：实根求法：1.试探法试探法 2.作图法作图法由由求得求得 的一个特征根为的一个特征根为75东北大学自动控制原理课程组由图可知：在4设另外两个复根为：设另外两个复根为：由特征方程得由特征方程得:根据代数方程根与系数的关系有：根据代数方程根与系数的关系有：可求得二共轭复根可求得二共轭复根:4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性 76东北大学自动控制原理课程组设另外两个复根为：根据代数方程根与系数的关系有：44.3.2 用根轨迹法分析系统的性能用根轨迹法分析系统的性能4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性 用根轨迹法分析控制系统：用根轨迹法分析控制系统：定性分析稳定性分析。定性分析稳定性分析。定量分析暂态响应分析，定量计算性能指标。定量分析暂态响应分析，定量计算性能指标。控制系统的性能是由闭环零、极点的位置决定的。根轨迹控制系统的性能是由闭环零、极点的位置决定的。根轨迹是闭环特征根随参数变化的轨迹，根轨迹法分析系统性能的是闭环特征根随参数变化的轨迹，根轨迹法分析系统性能的最最大优点大优点就是可以就是可以直观直观地看出系统参数变化时，闭环极点的变化。地看出系统参数变化时，闭环极点的变化。选择适当的参数，使闭环极点位于恰当的位置，获得理想的系选择适当的参数，使闭环极点位于恰当的位置，获得理想的系统性能。统性能。77东北大学自动控制原理课程组4.3.2用根轨迹法分析系统的性能4.3(1)(1)闭环系统有两个负实极点闭环系统有两个负实极点暂暂态态过过程程主主要要决决定定于于离离虚虚轴轴近近的的极点。极点。一般当时一般当时 ，可忽略极点，可忽略极点的影响。的影响。4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性 由根轨迹求出闭环系统极点和零点的位置后，就可以按由根轨迹求出闭环系统极点和零点的位置后，就可以按第三章所介绍的方法来分析系统的暂态品质。第三章所介绍的方法来分析系统的暂态品质。78东北大学自动控制原理课程组(1)闭环系统有两个负实极点4.3用根轨迹法分析系统的暂4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性 假设假设 不变不变随着阻尼角随着阻尼角 的改变，极点将沿着以的改变，极点将沿着以 为半径的圆弧移动。为半径的圆弧移动。(2)(2)闭环极点为一对复极点闭环极点为一对复极点由由 （或阻尼角（或阻尼角 ）和）和 决定系统的暂态特性。决定系统的暂态特性。79东北大学自动控制原理课程组4.3用根轨迹法分析系统的暂态特性假设不变(24.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性 假设假设 不变不变则随着则随着 增大，极点将沿矢量方向延伸。增大，极点将沿矢量方向延伸。等阻尼线等阻尼线80东北大学自动控制原理课程组4.3用根轨迹法分析系统的暂态特性假设4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性 是表征系统指数衰减的系数，它决定系统的调节时间。是表征系统指数衰减的系数，它决定系统的调节时间。有有相相同同的的系系统统，将将有有相相同同的的衰衰减减速速度度和和大大致致相相同同的的调调节节时间。时间。等衰减系数线等衰减系数线81东北大学自动控制原理课程组4.3用根轨迹法分析系统的暂态特性是表征系统指4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性 (3)(3)闭环系统有一对复极点外加一个实极点闭环系统有一对复极点外加一个实极点系统超调量减小，调节时间增长系统超调量减小，调节时间增长一对复极点和一个实极点一对复极点和一个实极点 当当实实极极点点与与虚虚轴轴的的距距离离比比复复极极点点实实部部与与虚虚轴轴的的距距离离大大5倍倍以以上上时时，可可以以不不考考虑虑这这一一负负极极点点的的影影响响，直直接接用用二二阶阶系系统统的的指指标标来来分分析系统的暂态品质。析系统的暂态品质。82东北大学自动控制原理课程组4.3用根轨迹法分析系统的暂态特性4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性 （4）闭环系统有一对复极点外加一个零点）闭环系统有一对复极点外加一个零点将增大系统超调量将增大系统超调量但但是是，如如果果，,则则可可以以不不计计零零点点的的影影响响，直直接接用用二二阶阶系系统统的的指指标标来来分分析析系系统统的的暂暂态品质。态品质。一对复极点和一个零点一对复极点和一个零点 83东北大学自动控制原理课程组4.3用根轨迹法分析系统的暂态特性4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性 （5）闭环系统中一对相距很近的实极点和零点称为）闭环系统中一对相距很近的实极点和零点称为偶子。偶子。偶子对系统暂态响应的影响很小，可以忽略不计。偶子对系统暂态响应的影响很小，可以忽略不计。用根轨迹法分析系统暂态品质的最大优点是可以用根轨迹法分析系统暂态品质的最大优点是可以看出开环系统放大系数（或其它参数）变化时，系统看出开环系统放大系数（或其它参数）变化时，系统暂态品质怎样变化。暂态品质怎样变化。84东北大学自动控制原理课程组4.3用根轨迹法分析系统的暂态特性（5）闭环4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性 4.3.3 开环零点对系统根轨迹的影响开环零点对系统根轨迹的影响 增加开环零点将引起系统根轨迹形状的变化，因而影响增加开环零点将引起系统根轨迹形状的变化，因而影响了闭环系统的稳定性及其暂态响应性能。了闭环系统的稳定性及其暂态响应性能。如果在系统中增加一个开环零点，系统的开环传递函数变为如果在系统中增加一个开环零点，系统的开环传递函数变为例例4-12设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为85东北大学自动控制原理课程组4.3用根轨迹法分析系统的暂态特性4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性 开开环环零零点点在在不不同同取取值值情情况况下下的的根根轨轨迹迹 86东北大学自动控制原理课程组4.3用根轨迹法分析系统的暂态特性开环零点在4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性 从从以以上上四四种种情情况况来来看看，一一般般第第三三种种情情况况比比较较理理想想，这这时时系系统统具具有有一一对对共共轭轭复复数数主主导导极极点点，其其暂暂态态响响应应性性能能指指标标也也比较令人满意。比较令人满意。可可见见，增增加加开开环环零零点点将将使使系系统统的的根根轨轨迹迹向向左左弯弯曲曲，并并在在趋趋向向于于附附加加零零点点的的方方向向发发生生变变形形。如如果果设设计计得得当当，控控制制系系统的稳定性和暂态响应性能指标均可得到显著改善。统的稳定性和暂态响应性能指标均可得到显著改善。87东北大学自动控制原理课程组4.3用根轨迹法分析系统的暂态特性4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性 4.3.4 开环极点对系统根轨迹的影响开环极点对系统根轨迹的影响例例4-13设系统的开环传递函数设系统的开环传递函数其对应的系统根轨迹如下图其对应的系统根轨迹如下图a a所示。所示。若系统增加开环极点，开环传递函数变为若系统增加开环极点，开环传递函数变为其相应的根轨迹如下图其相应的根轨迹如下图b b所示。所示。88东北大学自动控制原理课程组4.3用根轨迹法分析系统的暂态特性4.3.4开环极4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性 开环极点对系统根轨迹的影响开环极点对系统根轨迹的影响 根轨迹将向右弯曲根轨迹将向右弯曲89东北大学自动控制原理课程组4.3用根轨迹法分析系统的暂态特性开环极点对4.3.5 偶极子对系统性能的影响偶极子对系统性能的影响 在系统的综合中，常在系统中附加一对非常接近坐标原在系统的综合中，常在系统中附加一对非常接近坐标原点的零、极点对来改善系统的稳态性能。这对点的零、极点对来改善系统的稳态性能。这对零、极点彼此零、极点彼此零、极点彼此零、极点彼此相距很近，又非常靠近原点，且极点位于零点右边，相距很近，又非常靠近原点，且极点位于零点右边，相距很近，又非常靠近原点，且极点位于零点右边，相距很近，又非常靠近原点，且极点位于零点右边，通常称通常称这样的零、极点对为这样的零、极点对为偶极点对偶极点对或或偶极子偶极子。在系统中附加下述网络在系统中附加下述网络 若上述网络的极点和零点彼此靠得很近，即为偶极子。若上述网络的极点和零点彼此靠得很近，即为偶极子。4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性90东北大学自动控制原理课程组4.3.5偶极子对系统性能的影响4.3用根轨迹法分析4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性例例4-14系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为在系统中附加偶极点对，相应的新开环传递函数为在系统中附加偶极点对，相应的新开环传递函数为91东北大学自动控制原理课程组4.3用根轨迹法分析系统的暂态特性例4-14系统的4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性系统附加偶极子对根轨迹的影响系统附加偶极子对根轨迹的影响 新系统的根轨迹新系统的根轨迹除除S平面原点附近外平面原点附近外，与原系统根轨迹相比，与原系统根轨迹相比无无明显变化。明显变化。92东北大学自动控制原理课程组4.3用根轨迹法分析系统的暂态特性系统附加偶极子对根轨迹1.根根轨轨迹迹是是以以开开环环传传递递函函数数中中的的某某个个参参数数（一一般般是是根根轨轨迹迹增增益益）为为参参变变量量而而画画出出的的闭闭环环特特征征方方程程式式的的根根轨轨迹迹图图。根根据据系系统统开开环环零零、极极点点在在S平平面面上上的的分分布布，按按照照规规则则，就就能能方方便便地地画画出出根根轨轨迹迹的大致形状。的大致形状。2.根根轨轨迹迹图图不不仅仅使使我我们们能能直直观观的的看看到到参参数数的的变变化化对对系系统统性性能能的的影影响响，而而且且还还可可以以用用它它求求出出指指定定参参变变量量或或指指定定阻阻尼尼比比相相对对应应的的闭闭环极点。环极点。3.根根据据确确定定的的闭闭环环极极点点和和已已知知的的闭闭环环零零点点，就就能能计计算算出出系系统统的的输输出响应及其性能指标，从而避免了求解高阶微分方程的麻烦。出响应及其性能指标，从而避免了求解高阶微分方程的麻烦。小小 结结93东北大学自动控制原理课程组1.根轨迹是以开环传递函数中的某个参数（一般是根轨迹增益）END94东北大学自动控制原理课程组94东北大学自动控制原理课程组
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