二重积分的计算方法课件

返回返回上页上页下页下页目录目录第二节第二节 二重积分的计算方二重积分的计算方法法 第八章第八章 一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分三、小结与思考练习三、小结与思考练习5/24/20241第二节 二重积分的计算方法 第八章 一、利用直角坐标计算返回返回上页上页下页下页目录目录设所给立体垂直于设所给立体垂直于x 轴的截面面积为轴的截面面积为A(x),则对应于小区间则对应于小区间的体积元素为的体积元素为因此所求立体体积为因此所求立体体积为上连续上连续,复习复习:平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算也可用定积分来计算.5/24/20242设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),则对应于小区间返回返回上页上页下页下页目录目录牛顿牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式(牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式)证证:根据定理根据定理 2,故故因此因此得得记作记作定理定理 函数函数,则则5/24/20243牛顿 莱布尼兹公式(牛顿-莱布尼兹公式)证:根据返回返回上页上页下页下页目录目录定积分的换元法定积分的换元法 定理定理1 设函数设函数函数函数满足满足:1)2)则则5/24/20244定积分的换元法 定理1 设函数函数满足:1)2)则8/3返回返回上页上页下页下页目录目录定积分的分部积分法定积分的分部积分法 定理定理2 则证证:5/24/20245定积分的分部积分法 定理2 则证:8/3/20235返回返回上页上页下页下页目录目录一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分曲顶柱体的底底为任取平面故曲顶柱体体积曲顶柱体体积为截面积截面积为截柱体的设曲顶柱体的顶顶为X型区域型区域5/24/20246一、利用直角坐标计算二重积分曲顶柱体的底为任取平面故曲顶柱体返回返回上页上页下页下页目录目录同样,若曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算Y型区域型区域5/24/20247同样,若曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算Y型区域8返回返回上页上页下页下页目录目录为计算方便,可选择积分序选择积分序,必要时还可以交换积分序交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则 说明说明:(1)若积分区域既是X型区域又是Y 型区域,5/24/20248为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2返回返回上页上页下页下页目录目录均非负均非负在D上变号变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.由于当被积函数补充说明补充说明5/24/20249均非负在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.由于返回返回上页上页下页下页目录目录5/24/2024108/3/202310返回返回上页上页下页下页目录目录解法解法1D 是是 X-型区域，型区域，例例3.计算计算其中其中D 是抛物线是抛物线所围成的闭区域所围成的闭区域.及直线及直线5/24/202411解法1D 是 X-型区域，例3.计算其中D 是抛物返回返回上页上页下页下页目录目录解法解法2例例3.计算计算其中其中D 是抛物线是抛物线所围成的闭区域所围成的闭区域.及直线及直线这是这是 Y-区域，区域，画出积分区域的图形画出积分区域的图形先对先对 x 后对后对 y 积分积分,显然解法显然解法2比解法比解法1好好！5/24/202412解法2例3.计算其中D 是抛物线所围成的闭区域.及返回返回上页上页下页下页目录目录例例4.计算计算 其中其中D 是直线是直线 所围成的闭区域所围成的闭区域.解解 画积分区域图形，画积分区域图形，因为因为则则若先对若先对 x 积分，积分，的原函数不能用初等函数表示，因此的原函数不能用初等函数表示，因此改用另一种顺序的累次积分，于是有改用另一种顺序的累次积分，于是有说明说明:有些二次积分为了积分方便有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺还需交换积分顺序序.5/24/202413例4.计算 其中D 是直线 所围成的闭区域.解 画积返回返回上页上页下页下页目录目录例例5.设设 D 是由直线是由直线 及及围成的区域围成的区域(图图21-6),试计算试计算:的值的值.解解 若用先对若用先对 y、后对后对 x 的积分的积分,则有则有 由于由于 的原函数无法求得的原函数无法求得,因此改用另一种顺序因此改用另一种顺序 的累次积分来计算的累次积分来计算:5/24/202414例5.设 D 是由直线 及围成的区域(图21-6),返回返回上页上页下页下页目录目录5/24/2024158/3/202315返回返回上页上页下页下页目录目录解解:积分域由两部分组成积分域由两部分组成:视为视为Y型区域型区域,则则例例6.6.交换下列积分顺序交换下列积分顺序5/24/202416解:积分域由两部分组成:视为Y型区域,则例6.交换返回返回上页上页下页下页目录目录练习练习.交换下列积分顺序交换下列积分顺序(2)5/24/202417练习.交换下列积分顺序(2)8/3/202317返回返回上页上页下页下页目录目录例例7 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.解解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为5/24/202418例7 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.解:设返回返回上页上页下页下页目录目录二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分对应有在极坐标系下,用同心圆 r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线 =常数,分划区域D 为5/24/202419二、利用极坐标计算二重积分对应有在极坐标系下,用同心圆 r返回返回上页上页下页下页目录目录即5/24/202420即8/3/202320返回返回上页上页下页下页目录目录二重积分化为二次积分的公式（二重积分化为二次积分的公式（1）则设设区域特征如图区域特征如图5/24/202421二重积分化为二次积分的公式（1）则设区域特征如图8/3/20返回返回上页上页下页下页目录目录特别地特别地,对若 f 1 则可求得D 的面积二重积分化为二次积分的公式（二重积分化为二次积分的公式（2）区域特征如图区域特征如图5/24/202422特别地,对若 f 1 则可求得D 的面积二重积分化为二次返回返回上页上页下页下页目录目录二重积分化为二次积分的公式（二重积分化为二次积分的公式（3）区域特征如图区域特征如图5/24/202423二重积分化为二次积分的公式（3）区域特征如图8/3/2023返回返回上页上页下页下页目录目录思考思考:下列各图中域 D 分别与 x,y 轴相切于原点,试答答:问 的变化范围是什么?(1)(2)5/24/202424思考:下列各图中域 D 分别与 x,y 轴相切于原点,返回返回上页上页下页下页目录目录5/24/2024258/3/202325返回返回上页上页下页下页目录目录5/24/2024268/3/202326返回返回上页上页下页下页目录目录其中解解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.例例10 计算5/24/202427其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法返回返回上页上页下页下页目录目录注注:利用例利用例10可得到一个在概率论与数理统计及工程上可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的广义积分公式非常有用的广义积分公式5/24/202428注:利用例10可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的返回返回上页上页下页下页目录目录5/24/2024298/3/202329返回返回上页上页下页下页目录目录5/24/2024308/3/202330返回返回上页上页下页下页目录目录被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解解:设由对称性可知例例11 求球体5/24/202431被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称返回返回上页上页下页下页目录目录内容小结内容小结直角坐标系情形直角坐标系情形:若积分区域为则 若积分区域为则5/24/202432内容小结直角坐标系情形:若积分区域为则 若积分区域为则8返回返回上页上页下页下页目录目录则极坐标系情形极坐标系情形:若积分区域为5/24/202433则极坐标系情形:若积分区域为8/3/202333返回返回上页上页下页下页目录目录课外练习课外练习P146-147 习题习题82 2(1)(3);4(2)(4);5;6;8(4);10(2);11(3).5/24/202434课外练习P146-147 习题82 返回返回上页上页下页下页目录目录其中D 由所围成.解解:令(如图所示)显然,1.计算思考与练习思考与练习5/24/202435其中D 由所围成.解:令(如图所示)显然,1.计算思考与返回返回上页上页下页下页目录目录提示提示:积分域如图2.交换积分顺序5/24/202436提示:积分域如图2.交换积分顺序8/3/202336返回返回上页上页下页下页目录目录解：解：原式3.给定的次序.改变积分5/24/202437解：原式3.给定的次序.改变积分8/3/202337返回返回上页上页下页下页目录目录其中D 为由圆所围成的及直线解：解：平面闭区域.4.计算5/24/202438其中D 为由圆所围成的及直线解：平面闭区域.4.计算8/3返回返回上页上页下页下页目录目录5.设且求提示提示:交换积分顺序后,x,y互换5/24/2024395.设且求提示:交换积分顺序后,x,y互换8/3/2