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21.2 21.2 解解一元二次方程一元二次方程21.2.1 21.2.1 配方法配方法第一课时第二课时人教版人教版 数学数学 九九年级年级 上册上册21.2 解一元二次方程第一课时第二课时人教版 数学 九年级1第一课时直接开平方法直接开平方法返回第一课时直接开平方法返回预备知识预备知识什么是平方根？一个数的平方根怎么样表示什么是平方根？一个数的平方根怎么样表示？一个数的平方等于一个数的平方等于a，这个数就叫做，这个数就叫做a的平方根的平方根.a(a0)的平方根记作：的平方根记作：x2=a(a0),则根据平方根的定义知，则根据平方根的定义知，x=导入新知导入新知预备知识一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根.导入新知如果方程转化为如果方程转化为x2=p,该如何解呢？该如何解呢？求出下列各式中求出下列各式中x的值，并说说你的理由的值，并说说你的理由.1.x2=92.x2=5x=3x=导入新知导入新知【思考思考】如果方程转化为x2=p,该如何解呢？求出下列各式中x的值，并素养目标素养目标1.会把一元二次方程会把一元二次方程降次降次转化为两个一转化为两个一元一次方程元一次方程.2.运用运用开平方法开平方法解形如解形如x2=p或或（x+n)2=p(p0)的方程的方程.素养目标1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.一一桶桶油油漆漆可可刷刷的的面面积积为为1500dm2，李李林林用用这这桶桶油油漆漆恰恰好好刷刷完完10个个同同样样的的正正方方体体形形状状的的盒盒子子的的全全部部外外表表面面，你你能能算出盒子的棱长吗？算出盒子的棱长吗？直接开平方法直接开平方法解：解：设正方体的棱长为设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为，则一个正方体的表面积为6x2dm2，可列出方程可列出方程:106x2=1500，由此可得由此可得 x2=25.开平方得开平方得x=5，即即x1=5，x2=5.因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm探究新知探究新知知识点1一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这【试一试试一试】解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.(1)x2=4(2)x2=0(3)x2+1=0解解:根据平方根的意义，得根据平方根的意义，得x1=2,x2=-2.解解:根据平方根的意义，得根据平方根的意义，得x1=x2=0.解解:根据平方根的意义，得根据平方根的意义，得x2=-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解因为负数没有平方根，所以原方程无解.探究新知探究新知【试一试】(1)x2=4(2)x2=0(3)x2+(2)当当p=0时，时，方程方程(I)有有两个相等的实数根两个相等的实数根x1=x2=0；(3)当当p0时，根据平方根的意义，时，根据平方根的意义，方程方程(I)有有两个两个不等的不等的实数根实数根，；利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫的根的方法叫直接开平方法直接开平方法.探究新知探究新知【归纳归纳】(2)当p=0时，方程(I)有两个相等的实数根x1=例例1 1 利用直接开平方法解下列方程利用直接开平方法解下列方程:(1)x2=6；(2)x2900=0.解解：（1）x2=6，直接开平方，得直接开平方，得（2）移项，得）移项，得 x2=900.直接开平方，得直接开平方，得x=30，x1=30,x2=30.利用直接开平方解形如利用直接开平方解形如x2=p方程方程素素养养考考点点1探究新知探究新知例1利用直接开平方法解下列方程:(1)x2=6；(巩固练习巩固练习1.解下列方程解下列方程（分析分析:把方程化为把方程化为x2=p的的形式形式）(1)(2)解解：移项移项，得，得系数化为系数化为1，得，得即即解解：移项移项，得，得系数化为系数化为1，得，得巩固练习1.解下列方程（分析:把方程化为x2=p的形式）解：解：把把x+3看做一个整体看做一个整体，两边开平方得两边开平方得对照前面对照前面方法，你认为怎样解方程方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5？于是，方程于是，方程（x+3）2=5的两个根为的两个根为巩固练习巩固练习由方程由方程得到得到，实质是实质是把一个一元把一个一元二次方程二次方程“降次降次”，转化为两个一元，转化为两个一元一次方程一次方程，这样就，这样就把把方程方程转化转化为我为我们会解的方程了们会解的方程了.解：把x+3看做一个整体，对照前面方法，你认为怎样解方程（x例例2 解下列解下列方程：方程：（1）（）（x1）2=2；解解析析：本本题中只要将（题中只要将（x1）看成是一个整体，看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解就可以运用直接开平方法求解.即即x1=-1+，x2=-1-解解：（1 1）x+1是是2的平方根，的平方根，x+1=利用直接开平方法解形如利用直接开平方法解形如(mx+n)2=p方程方程素素养养考考点点2探究新知探究新知例2解下列方程：（1）（x1）2=2；解析：本题中解析：解析：本题先将本题先将-4移到方程的右边，再同第移到方程的右边，再同第1小题小题一样地解一样地解.（2）（x1）24=0；即即x1=3，x2=-1.解：解：（2）移项，得（移项，得（x-1）2=4.x-1是是4的平方根，的平方根，x-1=2.探究新知探究新知解析：本题先将-4移到方程的右边，再同第1小题一样地解.（2x1=，x2=(3)12（32x）23=0.解析解析：本本题题先将先将3移到方程的右边，再两边都除以移到方程的右边，再两边都除以12，再同第，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以小题一样地去解，然后两边都除以-2即即可可.解：解：（3）移项）移项，得，得12（3-2x）2=3，两边都除以两边都除以12，得（，得（3-2x）=0.25.3-2x是是0.25的平方根，的平方根，3-2x=0.5.即即3-2x=0.5,3-2x=-0.5探究新知探究新知x1=，x2=(3)12解解：移项移项x6=3，x6=3,方程的两根为方程的两根为x1=3,x1=9.解：解：方程的两根为方程的两根为解方程解方程.巩固练习巩固练习2.2.（1）（2）解：移项x6=3，x6=3,方程的两根为x1=3,解：解：方程的两根为方程的两根为解：解：方程的两根为方程的两根为例例3 3 解下列方程：解下列方程：解需要利用完全平方公式转化的一元二次方程解需要利用完全平方公式转化的一元二次方程素素养养考考点点3探究新知探究新知（1）（2）解：方程的两根为解：方程的两根为例3解下列方程：解需要利用解方程解方程x2+6x+9=2.x1=x2=解：解：方程的左边是完全平方形式，这个方程方程的左边是完全平方形式，这个方程可以化为：可以化为：（x+3）2=2进行降次得：进行降次得：巩固练习巩固练习3.3.解方程x2+6x+9=2.x1=一元二次方程一元二次方程x29=0的的解是解是解解析析:x29=0，x2=9，解得：解得：x1=3，x2=3故答案为：故答案为：x1=3，x2=3连连 接接 中中 考考巩固练习巩固练习x1=3，x2=3一元二次方程x29=0的解是C.4(x-1)2=9,解方程，得解方程，得4(x-1)=3,x1=;x2=D.(2x+3)2=25,解方程，得解方程，得2x+3=5,x1=1;x2=-41.下列解方程的过程中，正确的是下列解方程的过程中，正确的是（）A.x2=-2,解方程，得解方程，得x=B.(x-2)2=4,解方程，得解方程，得x-2=2,x=4D课堂检测课堂检测基基 础础 巩巩 固固 题题C.4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)=3,(1)方程方程x2=0.25的根是的根是.(2)方程方程2x2=18的根是的根是.(3)方程方程(2x-1)2=9的根是的根是.x1=0.5,x2=-0.5x13,x2-3x12,x212.填空填空:课堂检测课堂检测基基 础础 巩巩 固固 题题(1)方程x2=0.25的根是3.下面下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正如果有错，指出具体位置并帮他改正.解：解：解：解：不对，从不对，从开始错，应改为开始错，应改为课堂检测课堂检测基基 础础 巩巩 固固 题题3.下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为解方程解方程解：解：方程的两根为方程的两根为课堂检测课堂检测能能 力力 提提 升升 题题解方程解：方程的两根为课堂检测能力提升题直直接接开开平平方方法法概概念念步步骤骤基本思路基本思路利用平方根的定义求方程的根的方法关键要把方程化成 x2=p(p 0)或(x+n)2=p(p 0).一 元 二次 方 程两个一元一次方程降次降次直接开平方法直接开平方法课堂小堂小结直接开平方法概念步骤基本思路利用平方根的定义求方程的根的方法第二课时配方法配方法返回第二课时配方法返回化为一般式，得化为一般式，得 x2+6x-16=0要要使一块矩形场地的长比宽多使一块矩形场地的长比宽多6米，并且面积米，并且面积为为16平方米，求场地的长和宽应各是多少？平方米，求场地的长和宽应各是多少？x(x+6)=16导入新知导入新知解：解：设场地宽为设场地宽为xm，则长为（，则长为（x 6）m，根据，根据长方形面积为长方形面积为16m2，列方程得，列方程得 怎样解这个方怎样解这个方程？能不能用程？能不能用直接开平方法直接开平方法？化为一般式，得要使一块矩形场地的长比宽多6米，并且面252.探索直接开平方法和探索直接开平方法和配方法配方法之间的之间的区别和联系区别和联系.素养目标素养目标1.了解配方的概念，掌握用了解配方的概念，掌握用配方法配方法解一元解一元二次方程及解决有关问题二次方程及解决有关问题.2.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.素养目标1(1)9x2=1；(2)(x-2)2=2.2.下列方程能用直接开平方法来解吗下列方程能用直接开平方法来解吗?1.用直接开平方法解下列方程用直接开平方法解下列方程:(1)x2+6x+9=5；(2)x2+6x+4=0.把两题转化成把两题转化成(x+n)2=p(p0)的形式，再利用的形式，再利用开平方来开平方来解解.配方法的定义配方法的定义探究新知探究新知知识点1(1)9x2=1；(2)(x-2)2=2.2.你你还记得吗？还记得吗？填一填下列完全平填一填下列完全平方公式方公式.(1)a2+2ab+b2=()2；(2)a2-2ab+b2=()2.a+ba-b探究新知探究新知你还记得吗？填一填下列完全平方公式.(1)a2+填一填填一填（根据（根据 ）配方时配方时,等式两边同等式两边同时加上的是时加上的是一次项系一次项系数一半的平方数一半的平方.56你发现了什你发现了什么规律？么规律？二次项系二次项系数都为数都为1.1.探究新知探究新知填一填（根据）配方【思考思考】怎样怎样解方程解方程:x2+6x+4=0（1）（1）方程）方程(1)怎样变成（怎样变成（x+n)2=p的形式呢？的形式呢？解解：x2+6x+4=0 x2+6x=-4移项移项x2+6x+9=-4+9两边都加上两边都加上9二次项系数为二次项系数为1的完的完全平方式：常数项全平方式：常数项等于等于一次项系数一一次项系数一半的平方半的平方.探究新知探究新知【思考】怎样解方程:x2+6x+4=0（1）（1）方程(（2）为什么在方程）为什么在方程x2+6x=-4的两边加上的两边加上9？加其？加其他数行吗？他数行吗？提示：提示：不行不行，只有在方程两边加上一次项系数，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式的形式.探究新知探究新知（2）为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9 像上面那样，通过配像上面那样，通过配成成完全完全平方平方形式形式来解来解一元二次方程的方法叫做一元二次方程的方法叫做配方法配方法.配方是为了配方是为了降次降次，把一个一元二次方程转，把一个一元二次方程转化成两个化成两个一元一次方程一元一次方程来解来解.配方法的定义配方法的定义探究新知探究新知像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方32例例1解方程解方程：解：解：（1）移项，得）移项，得x28x=1,配方，得配方，得 x28x+42=1+42,(x4)2=15由此可得由此可得素素养养考考点点 1探究新知探究新知解二次项解二次项系数是系数是1的一元二次方程的一元二次方程例1解方程：解：（1）移项，得x28x=1,配方，得1.解方程解方程x2+8x-4=0解：解：移移项项，得，得x2+8x4配方配方，得，得x2+8x+4=4+4，整理，得整理，得(x+4)2=20，由此可得由此可得x+4=，x1，x2.巩固练习巩固练习1.解方程x2+8x-4=0解：移项，得x2+34解二次项系数不是解二次项系数不是1的一元二次方程的一元二次方程配方，得配方，得由此可得由此可得二次项系数化为二次项系数化为1，得，得解：解：移项，得移项，得2x23x=1,例例2解解方程方程素素养养考考点点2探究新知探究新知（1）移项和二次项系数移项和二次项系数化为化为1这两个步骤能这两个步骤能不能交换一下呢不能交换一下呢?解二次项系数不是1的一元二次方程配方，得由此可得二次项系数化配方，得配方，得 因为实数的因为实数的平方不会是负数平方不会是负数，所以，所以x x取任何实数时，上式都取任何实数时，上式都不成立，所以原方程不成立，所以原方程无实数根无实数根解：解：移项，得移项，得二次项系数化为二次项系数化为1 1，得，得为什么方程两边都加12？即即探究新知探究新知（2）配方，得因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时思考思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时用配方法解一元二次方程时，移项时要注意要注意些什么些什么？思考思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤用配方法解一元二次方程的一般步骤.移项移项时需注意时需注意改变符号改变符号.移项移项，二次项系数化为，二次项系数化为1；左边配成完全平方式左边配成完全平方式；左边写成左边写成完全平方形式完全平方形式；降次降次；解一次方程解一次方程.探究新知探究新知思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？思考237一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p.当当p0时时,则则,方程的两个根为方程的两个根为当当p=0时时,则则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为开平方得方程的两个根为 x1=x2=-n.当当p0时,382.解下列方程：解下列方程：巩固练习巩固练习解解:移项移项，得，得配方，得配方，得由此可得由此可得二次项系数化为二次项系数化为1，得，得整理，得整理，得3x2+6x=4x2+2x=x2+2x+12=+12(x+1)2=即即 x+1=x1=，x2=（1）2.解下列方程：巩固练习解:移项，得配方，得由此可得巩固练习巩固练习解解:移项移项，得，得配方，得配方，得由此可得由此可得二次项系数化为二次项系数化为1，得，得整理，得整理，得x1=，x2=4x2-6x=3x2-x=（2）巩固练习解:移项，得配方，得由此可得二次项系数化为1，得整巩固练习巩固练习解解：移项移项，得，得x取任何实数，上式都不成立取任何实数，上式都不成立，即即原方程无实数根原方程无实数根对任何实数对任何实数x都有都有(x+1)20配方，得配方，得x2+2x+1=-2+1整理，得整理，得x2+2x=-2(x+1)2=-1（3）巩固练习解：移项，得x取任何实数，上式都不成立，巩固练习巩固练习解：解：去括号，得去括号，得x2+4x=8x+12移项，得移项，得配方，得配方，得由此可得由此可得x-2=4整理，得整理，得x2-4x=12(x-2)2=16x1=6,x2=-2x2-4x+2=12+2因此因此（4）巩固练习解：去括号，得x2+4x=8x+12由此例例3试用配方法说明：不论试用配方法说明：不论k取何实数，多项式取何实数，多项式k24k5的值必定大于零的值必定大于零.解解：k24k5=k24k41=（k2）21因为（因为（k2）20，所以（，所以（k2）211.所以所以k24k5的值必定大于零的值必定大于零.利用配方法确定多项式或字母的利用配方法确定多项式或字母的值值（或取值范围）或取值范围）素素养养考考点点 3探究新知探究新知方法点拨：方法点拨：证明证明代数式代数式的值恒为正数的值恒为正数,需要利用配方法将代数式化需要利用配方法将代数式化成几个成几个非负数非负数的和的和,利用利用非非负负数数的的性质说明性质说明代数式代数式的的值恒为值恒为正数正数.例3试用配方法说明：不论k取何实数，多项式解：k24k例例例例4若若a,b,c为为ABC的三边长，且的三边长，且试判断试判断ABC的形状的形状.解解：对原式配方，得对原式配方，得根据非负数根据非负数的性质的性质得得 根据勾股定理的逆定理可知，根据勾股定理的逆定理可知，ABC为为直角三角形直角三角形.探究新知探究新知由此可得由此可得 即即 例例4若a,b,c为ABC的三边长，且44巩固练习巩固练习1.方程方程2x2-3m-x+m2+2=0有一个根为有一个根为x=0，则，则m的值为（的值为（）A.1B.1C.1或或2D.1或或-22.应用配方法求最大值或最小值应用配方法求最大值或最小值.(1)求求2x2-4x+5的最小值的最小值(2)-3x2+12x-16的的最大值最大值.C解：解：原式原式=2(x-1)2+3因为因为2(x-1)20，所以所以2(x-1)2+33因此当因此当x=1时，原式有最小值时，原式有最小值3.解：解：原式原式=-3(x-2)2-4因为因为(x-2)20，即，即-3(x-2)20，所以所以-3(x-2)2-4-4因此当因此当x=2时，原式有最大值时，原式有最大值-4.巩固练习1.方程2x2-3m-x+m2+2=45类类别别解解题题策策略略1.求最值或证明代求最值或证明代数式的值恒为正数式的值恒为正（或负）（或负）对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2n的形式后，由于x无论取任何实数都有(x+m)20，n为常数，为常数，当当a0时，可知其有最小值；当a0时，可知其有最大值.2.完全平方完全平方式中的配方式中的配方如：已知x22mx16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=4.3.利用配方构成利用配方构成非负数和的形式非负数和的形式对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是通过配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2b24b4=0,则a2(b2)2=0,即a=0，b=2.配方法的应用配方法的应用探究新知探究新知类别解题策略对于一个关于x的巩固练习巩固练习1.一元二次方程一元二次方程y2y=0配方后可化为（）配方后可化为（）A.(y+)2=1B.(y-)2=1C.(y+)2=D.(y-)2=连连 接接 中中 考考B巩固练习1.一元二次方程y2y=0配方后可化为（课堂检测课堂检测1.解方程解方程：4x2-8x-4=0.解解：移项，得移项，得4x2-8x=4，基基 础础 巩巩 固固 题题二次项系数化为二次项系数化为1，得，得x2-2x=1，配方，得配方，得x2-2x+1=1+1整理，得整理，得（x-1）2=2课堂检测1.解方程：4x2-8x-4=0.解：移项，得4课堂检测课堂检测2.利用配方法证明：不论利用配方法证明：不论x取何值，代数式取何值，代数式x2x1的的值总是负数，并求出它的最大值值总是负数，并求出它的最大值.基基 础础 巩巩 固固 题题课堂检测2.利用配方法证明：不论x取何值，代数式x2x课堂检测课堂检测3.若若，求，求(xy)z的值的值.解解：对原式配方，得对原式配方，得 由由非负数非负数的性质可知的性质可知 基基 础础 巩巩 固固 题题课堂检测3.若504.如图，在一块长如图，在一块长35m、宽、宽26m的矩形地面上，修建同样的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？，道路的宽应为多少？解：解：设道路的宽为设道路的宽为xm,根据题意得根据题意得（35-x)(26-x)=850，整理得整理得x2-61x+60=0.解得解得x1=60（不合题意，舍去不合题意，舍去）,x2=1.答：答：道路的宽为道路的宽为1m.课堂检测课堂检测基基 础础 巩巩 固固 题题4.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的已知已知a,b,c为为ABC的三边长，且的三边长，且试判断试判断ABC的形状的形状.解：解：对原式配方，得对原式配方，得 由代数式的性质可知由代数式的性质可知 所以，所以，ABC为为等边三角形等边三角形.课堂检测课堂检测能能 力力 提提 升升 题题已知a,b,c为ABC的三边长，且52配方法配方法定定义义通过配成完全平方形式解一元通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法二次方程的方法.步步骤骤一移常数项；一移常数项；二配方二配方 配上配上 ；三写成三写成（x+n)2=p(p0);四直接开平方法解方程四直接开平方法解方程.特别提醒：特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式的形式.应应用用求代数式的最值或证明求代数式的最值或证明.课堂小结课堂小结配方法定义通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法.步骤一移课后作后作业作业内容教材作业从课后习题中选取从课后习题中选取自主安排配套练习册练习配套练习册练习课后作业作业教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习21.2 21.2 解一元二次方程21.2.2 21.2.2 公式法人教版人教版 数学数学 九九年级年级 上册上册21.2解一元二次方程人教版数学九年级上册解：解：移项，得移项，得 配方配方由此可得由此可得利用配方法解一元二次方程利用配方法解一元二次方程导入新知导入新知解：移项，得配方由此可得利用配方法解一元二次方程导入新知 化化：把原方程化成把原方程化成x2pxq=0的形式的形式.移项移项：把常数项移到方程的右边，如把常数项移到方程的右边，如x2px=q.配方：配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方方程两边都加上一次项系数一半的平方.开方开方：根据平方根的意义，方程两边开平方根据平方根的意义，方程两边开平方.求解求解：解一元一次方程解一元一次方程.定解：定解：写出原方程的解写出原方程的解.用配方法解一元二次方程的步骤用配方法解一元二次方程的步骤方程右边是非方程右边是非负数负数x2px()2=q()2(x+)2=q()2【思考】【思考】如何用配方法解方程如何用配方法解方程ax2bxc0(a0)呢呢？导入新知导入新知化：把原方程化成x2pxq=0的形式.用配方法3.会熟练应用会熟练应用公式法公式法解一元二次解一元二次方程方程.1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解了解公式法公式法的概念的概念.2.灵活应用灵活应用=b4ac 的值识别一元二的值识别一元二次方程根的情况次方程根的情况.素养目标素养目标3.会熟练应用公式法解一元二次方程.1.理解一元二次方程求根ax2bxc=0(a0)公式法的概念公式法的概念公式法的概念公式法的概念探究新知探究新知知识点1一元二次方程的一般形式是什么一元二次方程的一般形式是什么？【思考】【思考】如果使用配方法解出一元二次方程一般形式的如果使用配方法解出一元二次方程一般形式的根，那么这个根是不是可以普遍适用呢？根，那么这个根是不是可以普遍适用呢？ax2bxc=0(a0)公式法的概念探究新知知识点用配方法解一般形式的一元二次方程用配方法解一般形式的一元二次方程 方程两边都除方程两边都除以以a，得得 解解:移项，得移项，得配方，得配方，得即即探究新知探究新知用配方法解一般形式的一元二次方程方程两边都除以a，得一元二次方程的求根公式一元二次方程的求根公式当当探究新知探究新知一元二次方程的求根公式当探究新知由由上可知，一元二次方程上可知，一元二次方程的根由方程的系数的根由方程的系数a，b，c确定因此，解一元二次方程时，可以先将方程确定因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式化为一般形式，当当时时，将，将a，b，c 代入代入式子式子，就就得到方程的根，这个式子叫做一元得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的二次方程的求根公式求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法公式法，由求根公，由求根公式可知，一元二次方程式可知，一元二次方程最多最多有两个实数根有两个实数根.当当b-4ac0时，方程有实数时，方程有实数根根吗吗？探究新知探究新知公式法的概念公式法的概念由上可知，一元二次方程当b-4ac062解：解：a=1，b=-4，c=-7,b2-4ac=(-4)2-41(-7)=440.例例1用用公式法公式法解方程解方程：公式法解方程公式法解方程素素养养考考点点 1（1 1）x2-4x-7=0；探究新知探究新知解：a=1，b=-4，c=-7,例1用公式法解方程：公解：解：则方程有两个则方程有两个相等相等的实数根的实数根：（2 2）2x2-2x+1=0；【思考【思考】这里的这里的a、b、c的值分别是什么？的值分别是什么？探究新知探究新知解：则方程有两个相等的实数根：（2）2x2-2x+则方程有两个则方程有两个不相等不相等的实数根的实数根（3）5x2-3x=x+1解解：原方程可原方程可化为化为探究新知探究新知则方程有两个不相等的实数根（3）5x2-3x=x+1解：原方方程无实数根方程无实数根.（4）x2+17=8x探究新知探究新知解：解：原方程可原方程可化为化为方程无实数根.（4）x2+17=8x探究新知解：原方程可化为 方法点拨探究新知探究新知（1 1）当）当时，一元二次方程有时，一元二次方程有两个不两个不相等相等的实数根的实数根.（2 2）当）当时，一元二次方程有时，一元二次方程有两个相两个相等等的实数根的实数根.（3 3）当）当时，一元二次方程时，一元二次方程没有没有实实数根数根.方法点拨探究新知（1）当时，一元二次方程有两个不相等的实数用公式法解一元二次方程的一般步骤用公式法解一元二次方程的一般步骤1.将方程化成一般形式，并写出将方程化成一般形式，并写出a，b，c 的值的值.2.求出求出的值的值.3.(1)当当 0时，代入求根公式时，代入求根公式:写出一元二次方程的根写出一元二次方程的根.(2)当当=0时，代入求根公式：时，代入求根公式：写出一元二次方程的根写出一元二次方程的根.（3）当当0时，方程无实数根时，方程无实数根.探究新知探究新知用公式法解一元二次方程的一般步骤1.将方程化成一般形式，并1.用用公式法解方程：公式法解方程：解：解：a=3,b=-6,c=-2 =b2-4ac=(-6)2-43(-2)=60 巩固练习巩固练习1.用公式法解方程：解：a=3,b=-6,c=-2巩固练69用公式法解下列方程：用公式法解下列方程：（1）x2x1=0（2）x22（3）2x22x1=0 x3=0 观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？况呢？一元二次方程的根的情况一元二次方程的根的情况知识点2探究新知探究新知用公式法解下列方程：（3）2x22x1=0 x3【思考【思考】不解方程，你能判断下列方程根的情况吗不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？x22x8=0 x2=4x4x23x=3（3）没有实数）没有实数根根.答案答案：（1）有两个不相等的实数根；）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；）有两个相等的实数根；【发现【发现】b24ac的符号的符号决定着方程的解决定着方程的解.探究新知探究新知【思考】不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？x22x（2）当当b2-4ac=0时，有两个时，有两个相等相等的实数根：的实数根：（1）当当b2-4ac0时，有两个时，有两个不等不等的实数根：的实数根：（3）当当b2-4ac-1 B.k-1 且k 0C.k1 D.k1 且k0B课堂检测课堂检测基基 础础 巩巩 固固 题题2.关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等的823.已知已知x22xm1没有实数根，求证：没有实数根，求证：x2mx12m必有两个不相等的实数根必有两个不相等的实数根.证明：证明：没有实数根没有实数根4-4(1-m)0,m0 x2mx12m必有两个不相等的实数根必有两个不相等的实数根.课堂检测课堂检测基基 础础 巩巩 固固 题题3.已知x22xm1没有实数根，求证：x2mx83公式法公式法定定义义把各系数直接带入求根公式的解一元把各系数直接带入求根公式的解一元二次方程的方法二次方程的方法.步步骤骤应应用用用判别式用判别式=b2-4ac判定一元二次方程判定一元二次方程根的情况根的情况.课堂小结课堂小结公式法定义把各系数直接带入求根公式的解一元二次方程的方法.步课后作后作业作业内容教材作业从课后习题中选取从课后习题中选取自主安排配套练习册练习配套练习册练习课后作业作业教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习21.2 21.2 解解一元二次方程一元二次方程21.2.3 21.2.3 因式分解法因式分解法人教版人教版 数学数学 九九年级年级 上册上册21.2解一元二次方程人教版数学九年级上册861.解一元二次方程的解一元二次方程的方法有哪些？方法有哪些？2.什么什么叫因式分解叫因式分解?把把一个多项式分解成几个一个多项式分解成几个整式乘积整式乘积的形式叫做因式的形式叫做因式分解，也叫把这个多项式分解因式分解，也叫把这个多项式分解因式.直接开平方法直接开平方法配方法配方法x2=a(a0)(x+m)2=n(n0)公式法公式法x=（b2-4ac0）导导入新知入新知1.解一元二次方程的方法有哪些？3.分解分解因式的方法有那些因式的方法有那些?（1）提取公因式法提取公因式法:（2）公式法公式法:【思考【思考】下面的下面的方程如何使解答简单呢方程如何使解答简单呢？am+bm+cm=m(a+b+c).a-b=(a+b)(a-b),a2ab+b=(ab).x2+25x=0导入新知导入新知（3）十字相乘法十字相乘法:3.分解因式的方法有那些?（1）提取公因式法:（2）公式法2.2.会应用会应用因式分解法因式分解法解一元二次方程并解一元二次方程并解决有关问题解决有关问题.3.3.会会灵活选择灵活选择合适的方法解一元二次方合适的方法解一元二次方程，并能解决相关问题程，并能解决相关问题.素养目标素养目标1.1.理解一元二次方程理解一元二次方程因式分解法因式分解法的概念的概念.2.会应用因式分解法解一元二次方程并解决有关问题.3.会灵活根据根据物理学规律，如果把一个物体物理学规律，如果把一个物体从地面从地面10m/s的速度竖直上抛，那么经的速度竖直上抛，那么经过过xs物体离地面的高度（单位：物体离地面的高度（单位：m）为）为提示：提示：设设物体经过物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度落回地面，这时它离地面的高度为为0，即，即【思考【思考】根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？（精根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？（精确到确到0.01s）因式分解法的概念因式分解法的概念探究新知探究新知知识点1根据物理学规律，如果把一个物体从地面10m/解：解：配方法配方法公式法公式法解：解：a=4.9，b=10，c=0 b24ac=(10)20=100探究新知探究新知解：配方法公式法解：a=4.9，b=10，c=0因式分解因式分解如果如果a b=0，那么那么a=0或或b=0.或或降次，化为两个一次方程降次，化为两个一次方程解两个一次方程，得出原方程的根解两个一次方程，得出原方程的根探究新知探究新知这种解法是不是很简单？这种解法是不是很简单？因式分解如果ab=0，那么a=可以发现，上述解法中，由可以发现，上述解法中，由到到的过程，不是用开平方的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于等于0的的形式，再使这两个一次式分别等于形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，从而实现降次.这种这种解法解法叫做叫做因式分解法因式分解法【思考【思考】以上解方程以上解方程10 x-4.9x2=0的方法是如何使二次方程的方法是如何使二次方程降为一次的？降为一次的？x(10-4.9x)=0 x=0或或10-4.9x=0探究新知探究新知可以发现，上述解法中，由到的过程，不是用开平方降1.用用因式分解法因式分解法的的条件条件是是:方程左边易于分解方程左边易于分解,而右边而右边等于零等于零;2.关键关键是熟练掌握因式分解的方法是熟练掌握因式分解的方法;3.理论理论依据是依据是“ab=0,则则a=0或或b=0”.探究新知探究新知【提示【提示】1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;探探究新知探究新知 归纳总结归纳总结分解因式法解一元二次方程的步骤是分解因式法解一元二次方程的步骤是:2.将方程将方程左边左边因式分解为因式分解为AB；3.根据根据“ab=0,则则a=0或或b=0”,转化为两个一元一次方程；转化为两个一元一次方程；4.分别解这分别解这两个两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根一元一次方程，它们的根就是原方程的根.1.将方程将方程右边化为等于右边化为等于0的形式；的形式；探究新知归纳总结分解因式法解一元二次方程的步骤解解：（1）因式分解，得因式分解，得于是得于是得x20或或x1=0,x1=2，x2=1.(2)移项、合并同类项，得移项、合并同类项，得因式分解，得因式分解，得 (2x1)(2x1)=0.于是得于是得2x1=0或或2x1=0,(x2)(x1)=0.4x2-1=0 x1=，x2=-.探究新知探究新知例例1解下列方程解下列方程：（1）x(x-2)+x-2=0（2）5x2-2x-=x2-2x+素素养养考考点点1因式分解法解一元二次方程因式分解法解一元二次方程解：（1）因式分解，得于是得x20或x1=0,方法点拨右化零右化零 左分解左分解 两因式两因式 各求解各求解一一.因式分解法简记歌诀：因式分解法简记歌诀：二二.选择解一元二次方程的技巧：选择解一元二次方程的技巧：1.开平方法、配方法开平方法、配方法适用于能化为完全平方形式的适用于能化为完全平方形式的方程方程.2.因式分解法因式分解法适用于能化为两个因式之和等于适用于能化为两个因式之和等于0的的形式的方程形式的方程.3.配方法、公式法配方法、公式法适用于所有一元二次方程适用于所有一元二次方程.探究新知探究新知方法点拨右化零左分解解下列方程：解下列方程：解解：因式分解，得因式分解，得（1）x2+x=0 x(x+1)=0.于是得于是得x=0或或x+1=0，x1=0,x2=1.解解：因式分解，得因式分解，得（2）x2-2x=0 x（x-2）=0于是得于是得x=0或或x-2=0 x1=0，x2=2巩固练习巩固练习1.解下列方程：解：因式分解，得（1）x2+x=0解解：将方程化为将方程化为因式分解，得因式分解，得x22x+1=0.(x1)(x1)=0.于是得于是得 x 1=0或或x1=0，x1=x2=1.解解：因式分解，得因式分解，得(2x+11)(2x11)=0.于是得于是得2x+11=0或或2x11=0，x1=-5.5，x2=5.5.巩固练习巩固练习（3）（4）解：将方程化为因式分解，得x22x+1=0.(x1解解：将方程化为将方程化为因式分解，得因式分解，得6x2x2=0.(3x2)(2x+1)=0.有有3x2=0或或2x+1=0，解解：将方程化为将方程化为因式分解，得因式分解，得(x4)2(52x)2=0.(x45+2x)(x4+52x)=0.(3x9)(1x)=0.有有3x9=0或或1 x=0，x1=3,x2=1.x1=，x2=-巩固练习巩固练习（5）（6）解：将方程化为因式分解，得6x2x2=0.(灵活选择方法解一元二次方程灵活选择方法解一元二次方程例例2用适当方法解下列方程：用适当方法解下列方程：(2)x26x190；(3)3x24x1;(4)y2152y；(5)5x(x3)(x3)(x1)0；(6)4(3x1)225(x2)2.素素养养考考点点2思路点拨：思路点拨：四种方法的选四种方法的选择顺序是：直接开平方法择顺序是：直接开平方法因式分解法因式分解法公式法公式法配方法配方法探究新知探究新知灵活选择方法解一元二次方程例2用适当方法解下列方程：素养(2)x26x190；探究新知探究新知(2)x26x190；探究新知(3)移项，得移项，得 3x24x10.a3，b4，c1，(4)移项，得移项，得 y22y150.把方程左边因式分解，把方程左边因式分解，得得(y5)(y3)0.y50或或 y30.y15，y23.(3)3x24x1;(4)y2152y；探究新知探究新知(3)移项，得3x24x10.(4)移项，得y2(5)将方程左边因式分解，得将方程左边因式分解，得(x3)5x(x1)0.(x3)(4x1)0.(6)移项，得移项，得 4(3x1)225(x2)20.2(3x1)25(x2)20.2(3x1)5(x2)2(3x1)5(x2)0.(11x8)(x12)0.(5)5x(x3)(x3)(x1)0；(6)4(3x1)225(x2)2.探究新知探究新知(5)将方程左边因式分解，得(x3)5x(x1)(1)x20；用适当的方法解下列方程：用适当的方法解下列方程：巩固练习巩固练习2.(1)x20；用适当的方法解下列方程：巩固练习2解：解：原方程可变形为原方程可变形为 5(3x2)23x(3x2)0，(3x2)(15x103x)0.巩固练习巩固练习(2)5(3x2)23x(3x2)巩固练习(2)5(3x2)23x(3x2)1.已知已知x=2是关于是关于x的一元二次方程的一元二次方程kx+（k2）x+2k+4=0的一个根，则的一个根，则k的值为的值为连接中考连接中考巩固练习巩固练习连连 接接 中中 考考31.已知x=2是关于x的一元二次方程kx+（k2）x+2.解方程：解方程：2（x3）=3x（x3）连接中考连接中考巩固练习巩固练习连连 接接 中中 考考2.解方程：2（x3）=3x（x3）连接中考巩固练1.解下列方程：解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12.解：解：x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程此方程无解无解.解：解：x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2.课堂检测课堂检测基基 础础 巩巩 固固 题题1.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；2.小华在解一元二次方程小华在解一元二次方程 x2x0 0 时，只得出时，只得出一个根一个根 x1，则被漏掉的一个根是（则被漏掉的一个根是（）Ax4Bx3Cx2Dx0D课堂检测课堂检测基基 础础 巩巩 固固 题题2.小华在解一元二次方程x2x0时，只得出一个根x 我们我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法请从接开平方法、配方法、公式法和因式分解法请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程的方法解这个方程x23x10；(x1)23；x23x0；x22x4.我选择我选择_ _课堂检测课堂检测能能 力力 提提 升升 题题我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、解：解：答案不唯一答案不唯一若选择若选择，适合公式法，适合公式法，x23x10，a1，b3，c1，课堂检测课堂检测x23x10；(x1)23；x23x0；x22x4.能能 力力 提提 升升 题题解：答案不唯一若选择，课堂检测x23x10；适合直接开平方法，适合直接开平方法，(x1)23，课堂检测课堂检测若选择若选择，x23x10；(x1)23；x23x0；x22x4.能能 力力 提提 升升 题题适合直接开平方法，课堂检测若选择，x23x10；适合因式分解法，适合因式分解法，x23x0，因式分解，得因式分解，得 x(x3)0.解得解得 x10，x23.若选择若选择，课堂检测课堂检测x23x10；(x1)23；x23x0；x22x4.能能 力力 提提 升升 题题适合因式分解法，因式分解，得x(x3)0.若选择适合配方法，适合配方法，x22x4，x22x1415，即即(x1)25.课堂检测课堂检测x23x10；(x1)23；x23x0；x22x4.若选择若选择，能能 力力 提提 升升 题题适合配方法，x22x1415，课堂检测x23解解方程：方程：(x23)24(x23)0.【点拨【点拨】把把(x23)看作一个整体来提公因式，再利看作一个整体来提公因式，再利用平方差公式，用平方差公式，因式分解因式分解.解：解：设设 x23y，则原方程化为，则原方程化为 y24y0.分解因式，得分解因式，得 y(y4)0，解得，解得 y0，或，或 y4.当当 y0时，时，x230，原方程原方程无解无解；当当 y4时，时，x234，即，即 x21.解得解得 x1.所以原方程的解为所以原方程的解为 x11，x21.课堂检测课堂检测拓拓 广广 探探 索索 题题解方程：(x23)24(x23)0.【点拨】把(x2ax2+c=0=ax2+bx=0=ax2+bx+c=0=因式分解法因式分解法公式法（配方法）公式法（配方法）2.2.公式法虽然是万能的，公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用对任何一元二次方程都适用，但不一定，但不一定 是是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法直接开平方法”、“因式分解法因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）配方法）3.方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式去括号并整理为一般形式再选取合理的再选取合理的方法方法.1.直接开平方法直接开平方法因式分解法因式分解法课堂小结课堂小结ax2+c=0=ax2+bx=0课后作后作业作业内容教材作业从课后习题中选取从课后习题中选取自主安排配套练习册练习配套练习册练习课后作业作业教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习21.2 21.2 解解一元二次方程一元二次方程21.2.4 21.2.4 一元二次方程的根与系数一元二次方程的根与系数的的关系关系人教版人教版 数学数学 九九年级年级 上册上册21.2解一元二次方程人教版数学九年级上册1191.一元二次方程一元二次方程的求根公式是什么？的求根公式是什么？【想一想想一想】方程的两根方程的两根x1和和x2与系数与系数a、b、c还有还有其他关系其他关系吗？吗？2.如何如何用判别式用判别式b2-4ac 来判断一元二次方程根的情况？来判断一元二次方程根的情况？对一元二次方程对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a0)b2-4ac 0时时,方程有方程有两个不相等两个不相等的实数根的实数根.b2-4ac=0时时,方程有方程有两个相等的两个相等的实数根实数根.b2-4ac 0.方程有两个实数根方程有两个实数根.设方程的两个实数根是设方程的两个实数根是x1,x2,那么那么 x1+x2=-7,x1x2=6.素素养养考考点点 1探究新知探究新知一元二次方程的根与系数的关系的应用例1利用根与系数的关127（2）2x2-3x-2=0.解：解：这里这里a=2,b=-3,c=-2.=b2-4ac=（-3）242(-2)=250,方程有两个实数根方程有两个实数根.设方程的两个实数根是设方程的两个实数根是x1,x2,那么那么 x1+x2=,x1x2=-1.探究新知探究新知（2）2x2-3x-2=0.解：这里a=2不解不解方程，求方程两根的和与两根的积：方程，求方程两根的和与两根的积：x2+3x-1=02x2-4x+1=0解：解：原方程可化为：原方程可化为：二次项不是二次项不是1，可以，可以先把它化为先把它化为11.巩固练习巩固练习不解方程，求方程两根的和与两根的积：解：原方程可化为：二例例2 已知方程已知方程5x2+kx-6=0的一个根是的一个根是2，求它的求它的另一个根及另一个根及k的值的值.解：解：设方程的两个根分别是设方程的两个根分别是x1、x2，其中其中x1=2.所以所以：x1x2=2x2=即即：x2=由于由于x1+x2=2+=得得：k=7.答：答：方程的另一个根是方程的另一个根是 ，k=7.利用根与系数的关系求字母的值或取值范围利用根与系数的关系求字母的值或取值范围素素养养考考点点 2探究新知探究新知想一想，还想一想，还有没有别的有没有别的做法？做法？例2已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个2.已知已知方程方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是的一个根是2,求求它它的另一个根及的另一个根及k的值的值.解：解：设方程的另一个根为设方程的另一个根为x1.把把x=2代入方程，得代入方程，得4-2(k+1)+3k=0解这方程，得解这方程，得k=-2由根与系数关系，得由根与系数关系，得x123k即即2x16x13答：答：方程的另一个根是方程的另一个根是3,k的值是的值是2.巩固练习巩固练习2.已知方程x2-(k+1)x+3k=0 的一个根是2,求例例3 不解方程不解方程，求方程求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、的两根的平方和、倒数和倒数和.解：解：根据根与系数的关系可知：根据根与系数的关系可知：利用根与系数的关系求两根的平方和、倒数和利用根与系数的关系求两根的平方和、倒数和素素养养考考点点 3探究新知探究新知例3不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、（1）x1+x2=,(2)x1x2=,(3),(4)(4).411214巩固练习巩固练习3.设设x1,x2为方程为方程x2-4x+1=0的两个根，则的两个根，则:（1）x1+x2=,(2)x1例例4设设x1，x2是方程是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，的两个实数根，且且x12+x22=4，求，求k的值的值.解：解：由方程有两个实数根，得由方程有两个实数根，得=4（k-1）2-4k20即即-8k+40.由根与系数的关系得由根与系数的关系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k 2.x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4.由由x12+x22=4，得得2k2-8k+4=4,解得解得k1=0,k2=4.经检验，经检验，k2=4不合题意，舍去不合题意，舍去.根与系数关系的综合题目根与系数关系的综合题目素素养养考考点点4探究新知探究新知例4设x1，x2是方程x2-2(k-1)x134 归纳总结归纳总结探究新知探究新知 求与方程的根有关的代数式的值时求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的一般先将所求的代数式化成含两根之和代数式化成含两根之和,两根之积的形式两根之积的形式,再整体代入再整体代入.归纳总结探究新知求与方程的根有关的代数135解解：设方程两根分别为设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则，则x1-x2=1(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由根与系数的关系得由根与系数的关系得x1 1
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