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变化率与导数问题问题1 气球膨胀率气球膨胀率 在吹气球的过程中在吹气球的过程中,可发现可发现,随着气球内空气容量的随着气球内空气容量的增加增加,气球的半径增加得越来越慢气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度从数学的角度,如何如何描述这种现象呢描述这种现象呢?结论：随着气球体积逐渐变大结论：随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小它的平均膨胀率逐渐变小.（一）平均变化率（一）平均变化率 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题1 气球膨胀率 在吹气球的过程中,可发现问题问题2 高台跳水高台跳水 在高台跳水运动中在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度运动员相对于水面的高度 h(单单位位:m)与起跳后的时间与起跳后的时间 t(单位单位:s)存在函数关系存在函数关系 如果用运动员在某段时间内的平均速度如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运描述其运动状态动状态,那么那么:在在0 t 0.5这段时间里这段时间里,在在1 t 2这段时间里这段时间里,思考：求思考：求t1到到t2时的平均速度时的平均速度 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相平均变化率平均变化率令令x=x2 x1,f=f(x2)f(x1),则则平均变化率令x=x2 x1,f=f(xo ox xy y容易看出点容易看出点B,CB,C之间的曲线较之间的曲线较点点A,BA,B之间的曲线更加之间的曲线更加“陡峭陡峭”.如何如何量化量化陡峭程度呢？陡峭程度呢？该比值近似量化该比值近似量化B,CB,C之间之间这一段曲线的陡峭程度这一段曲线的陡峭程度.称该比值为曲线在称该比值为曲线在B,CB,C之之间这一段间这一段平均变化率平均变化率.B BA AC C说明说明:(1)平均变化率就是平均变化率就是:两点两点(x1,f(x1),(x2,f(x2)连线的斜连线的斜率率.（以直代曲思想）（以直代曲思想）（数形结合思想）（数形结合思想）“数离形时难直观，形离数时难入微数离形时难直观，形离数时难入微”华罗庚华罗庚oxy容易看出点B,C之间的曲线较点A,B之间的曲线更加“陡平均变化率平均变化率 一般的，函数在区间上一般的，函数在区间上 的的平均变化率平均变化率为为 其几何意义是表示曲线上两点连线其几何意义是表示曲线上两点连线(即曲线割线即曲线割线)的斜率的斜率结论：结论：例例1、已知函数、已知函数f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分别计算分别计算在区间在区间-3,-1,0,5上上 f(x)及及g(x)的平均变化率的平均变化率.平均变化率 一般的，函数在区间上 例例2、已知函数、已知函数 f(x)=x2,分别计算分别计算f(x)在下列在下列区间上的平均变化率：区间上的平均变化率：（1）1,3；（2）1,2；（3）1,1.1；（4）1,1.001.432.12.001（5）0.9,1；（6）0.99,1；（7）0.999,1.变题变题:1.991.91.999思考思考:为何趋近于为何趋近于2 2呢？呢？2 2的几何意义是什么？的几何意义是什么？数学应用数学应用xyp p13例2、已知函数 f(x)=x2,分别计算f(x)在下列区间上（二）、（二）、导数的概念导数的概念在高台跳水运动中，平均速度不能反映他在高台跳水运动中，平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态描述运动状态.我们把物体在某一时刻的我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度速度称为瞬时速度.又如何求又如何求瞬时速度呢瞬时速度呢?（二）、导数的概念在高台跳水运动中，平均速度不能反映他在这 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势变化趋势.l如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?求：从求：从2s到到(2+t)s这段时间内平均速度这段时间内平均速度 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋t 0时时,在在2,2+t 这段这段时间内时间内当t=0.01时,当t=0.01时,当t=0.001时,当t=0.001时,当t=0.0001时,当t=0.0001时,t=0.00001,t=0.00001,t=0.000001,t=0.000001,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势变化趋势.l如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?t 0时 当当t趋近于趋近于0时时,即无论即无论 t 从小于从小于2的一边的一边,还是从大于还是从大于2的一边趋近于的一边趋近于2时时,平均速度都趋近于一个确定的值平均速度都趋近于一个确定的值 13.1.从物理的角度看从物理的角度看,时间间隔时间间隔|t|无限变小时无限变小时,平均速度平均速度 就无限趋近于就无限趋近于 t=2时的瞬时速度时的瞬时速度.因此因此,运动员在运动员在 t=2 时的时的瞬时速度是瞬时速度是 13.1.表示表示“当当t=2,t趋近于趋近于0时时,平均速度平均速度 趋近于确定值趋近于确定值 13.1”.从从2s到到(2+t)s这段时间内平均速度这段时间内平均速度 当t趋近于0时,即无论 t 从小于2的一探探 究究:1.运动员在某一时刻运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示的瞬时速度怎样表示?2.函数函数f(x)在在 x=x0 处的瞬时变化率怎样表示处的瞬时变化率怎样表示?探1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?定义定义:函数函数 y=f(x)在在 x=x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是称为函数称为函数 y=f(x)在在 x=x0 处的处的导数导数,记作记作或或 ,即即求导数一般方法：求导数一般方法：一差、二比、三极限一差、二比、三极限定义:函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变 题题1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热需要对原油进行冷却和加热.如果第如果第 x h时时,原油的温度原油的温度(单位单位:)为为 f(x)=x2 7x+15(0 x8).计算第计算第2h和第和第6h,原油原油温度的瞬时变化率温度的瞬时变化率,并说明它们的意义并说明它们的意义.解解:在第在第2h和第和第6h时时,原油温度的瞬时变化率就是原油温度的瞬时变化率就是和和根据导数的定义根据导数的定义,所以所以,同理可得同理可得 在第在第2h和第和第6h时时,原油温度的瞬时变化率分别为原油温度的瞬时变化率分别为3和和5.它说它说明在第明在第2h附近附近,原油温度大约以原油温度大约以3 /h的速率下降的速率下降;在第在第6h附近附近,原油温度大约以原油温度大约以5 /h的速率上升的速率上升.题1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同例例1.(1)求函数求函数y=3x2在在x=1处的导数处的导数.(2)求函数求函数f(x)=-x2+x在在x=-1附近的平均附近的平均变化率，并求出在该点处的导数变化率，并求出在该点处的导数(3)质点运动规律为质点运动规律为s=t2+3，求质点在，求质点在t=3的的瞬时速度瞬时速度.典例分析典例分析例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.(2)求函数练练1:求求y=f(x)=x2+1在在x=1处的导数处的导数.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx练1:求y=f(x)=x2+1在x=1处的导数.QPy=x2 1.曲线的切线曲线的切线y=f(x)PQMxyOxyPy=f(x)QMxyOxy如图如图,曲线曲线C是函数是函数y=f(x)的图象的图象,P(x0,y0)是曲线是曲线C上的上的任意一点任意一点,Q(x0+x,y0+y)为为P邻近一点邻近一点,PQ为为C的割线的割线,PM/x轴轴,QM/y轴轴,为为PQ的的倾斜角倾斜角.1.曲线的切线y=f(x)PQMxyOxyPy=PQoxyy=f(x)割割线线切线切线T 请看请看当点当点Q沿沿着曲线逐着曲线逐渐向点渐向点P接近时接近时,割割线线PQ绕绕着点着点P逐逐渐转动的渐转动的情况情况.PQoxyy=f(x)割线切线T 请看当点Q沿着 我们发现我们发现,当点当点Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PQ有一个极限位置有一个极限位置PT.则我们把直线则我们把直线PT称为曲称为曲线在点线在点P处的处的切线切线.设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那么当那么当x0时时,割线割线PQ的的斜率斜率,称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线的斜率切线的斜率.即即:这个概念这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法种方法;切线斜率的本质切线斜率的本质函数平均变化率的极限函数平均变化率的极限.注意注意,曲线在某点处的切线曲线在某点处的切线:(1)与该点的位置有关；与该点的位置有关；(2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解切线。要根据割线是否有极限位置来判断与求解切线。我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即x例例1:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此因此,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲线在某点处的切线方程求曲线在某点处的切线方程的基本步骤的基本步骤:(1)先利用切线斜率的定义求出切先利用切线斜率的定义求出切线的斜率线的斜率(2)利用点斜式求切线方程利用点斜式求切线方程.例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方例例2:已知曲线已知曲线 上一点上一点P(1,2),用斜率的定义求用斜率的定义求 过点过点P的切线的倾斜角和切线方程的切线的倾斜角和切线方程.故过点故过点P的切线方程为的切线方程为:y-2=1(x-1),即即y=x+1.练习练习:求曲线求曲线 上一点上一点P(1,-1)处的切线方程处的切线方程.答案答案:y=3x-4.例2:已知曲线 上一点P(1,yx-2-112-2-11234OP即点即点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4.(2)点点P处切线方程是处切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.练习：如图已知曲线练习：如图已知曲线 上一点上一点求求(1)点点 处的切线斜率；处的切线斜率；(2)点点 处的切线方程处的切线方程.yx-2-112-2-11234OP即点P处的切线的斜率等小结：小结：1 1求物体运动的瞬时速度：求物体运动的瞬时速度：（1 1）求位移增量）求位移增量s=s(t+t)-s(t)s=s(t+t)-s(t)(2)(2)求平均速度求平均速度（3 3）求极限）求极限2由导数的定义可得求导数的一般步骤：由导数的定义可得求导数的一般步骤：（1）求函数的增量）求函数的增量y=f(x0+t)-f(x0)(2)求平均变化率求平均变化率（3）求极限）求极限教材教材 例题例题23小结：1求物体运动的瞬时速度：2由导数的定义可得求导数的一
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