高中数学专题研究数学核心素养的教学建议课件

高中数学高中数学专题专题研究数学核心素养的教学建研究数学核心素养的教学建议议PPT高中数学专题研究数学核心素养的教学建议PPT提纲提纲12003版高中数学课程实施现状调查2数学核心素养系统数学核心素养系统3数学核心素养的教学策略数学核心素养的教学策略4基于数学核心素养的教学案例分析基于数学核心素养的教学案例分析提纲2003版高中数学课程实施现状调查一、一、2003版高中数学课程版高中数学课程实施现状调查实施现状调查一、2003版高中数学课程实施现状调查调研框架调研框架课程课程设计设计课程课程内容内容课程课程实施实施课程课程评价评价定位定位(性质、需求、衔接性质、需求、衔接)目标目标(知识、素养、能力知识、素养、能力)结构结构(多样性、选择性多样性、选择性)难度难度(深度、广度、容量深度、广度、容量)体系体系(核心、顺序、关联核心、顺序、关联)教学教学(课时、教法、负担课时、教法、负担)教材教材(编排、例习题编排、例习题)师资师资(环境、培训环境、培训)区分区分(定性、定量、定位定性、定量、定位)考试考试(高考、会考高考、会考)科学性科学性可行性可行性一致性一致性存在存在问题问题修订修订建议建议调研框架课程设计课程内容课程实施课程评价定位(性质、需求、衔调研中初步发现的若干焦点问题调研中初步发现的若干焦点问题1.1.课程系列与模块的设置。课程系列与模块的设置。课程课程系列（必修、必选、任选）系列（必修、必选、任选）设置基本赞同，但模块设置意见较大；必修与必选模块设置基本赞同，但模块设置意见较大；必修与必选模块内容需要调整；选修系列内容需要调整；选修系列3和和4中的大部分模块形同虚设。中的大部分模块形同虚设。2.2.螺旋上升。螺旋上升。总体设想很好，但有些联系紧密的数学内容总体设想很好，但有些联系紧密的数学内容切割在不同系列或模块中（如函数分设在必修切割在不同系列或模块中（如函数分设在必修1和必修和必修4中，解析几何分散在必修、选修系列中，解析几何分散在必修、选修系列2和选修系列和选修系列4中）中）造成割裂和遗忘。造成割裂和遗忘。3.3.传统数学能力。传统数学能力。运算能力、逻辑推理能力与空间想象能运算能力、逻辑推理能力与空间想象能力有所弱化。力有所弱化。新的立体几何课程导致学生空间想象能力新的立体几何课程导致学生空间想象能力普遍普遍减弱减弱，其原因，其原因：一方面是由于向量作为研究立体几：一方面是由于向量作为研究立体几何的工具使立体几何变成了何的工具使立体几何变成了“算的几何算的几何”；另一方面立；另一方面立体几何内容被分为必修和选修两个部分后教学时间间隔体几何内容被分为必修和选修两个部分后教学时间间隔过长也可能是导致学生空间观念削弱的主要症结。过长也可能是导致学生空间观念削弱的主要症结。调研中初步发现的若干焦点问题课程系列与模块的设置。课程系列（调研中初步发现的若干焦点问题调研中初步发现的若干焦点问题4.存在重技能轻素养现象。教师普遍肯定建模、探究、研究性学习在培养学生数学素养过程中所起的作用及数学素养的重要性，但目前的评价方式还是停留在知识与技能上。5.学生负担。造成学生负担重的原因：一是高考与课标要求存在较大差距，特别提到递推数列的问题；二是初高中衔接问题：学生的知识技能储备不足，缺少良好的学习和思考习惯6.衔接。与义务教育、大学及其它学科的衔接需要加强，内部逻辑也要进一步理顺。7.课时。必修的五个模块属于拼盘式，必修1时间偏紧，练习巩固时间不够，实际上普遍超时。8.高考与会考。课标对考试要求不明确，制约性差；考纲在高中教学中起更大的作用。9.课标文本。表述太原则，在教学中用处不大，希望具体化和细化。调研中初步发现的若干焦点问题存在重技能轻素养现象。教师普遍肯二、数学核心素养系统二、数学核心素养系统二、数学核心素养系统1.处理好四基、核心素养、情感态度价处理好四基、核心素养、情感态度价值观之间的关系值观之间的关系科学态度科学态度 创新精神创新精神 理理性思维性思维 应用意识应用意识基础知识基础知识 基本技能基本技能 基本思想基本思想 基基本活动经验本活动经验数学抽象数学抽象 逻辑推理逻辑推理 数学建模数学建模 数数学运算学运算 直观想象直观想象 数据分析数据分析问问题题解解决决树木森林生态1.处理好四基、核心素养、情感态度价值观之间的关系科学态度课程目标课程目标l通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（简称动经验（简称“四基四基”）；提高从数学角度发现和提出问题）；提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力（简称的能力、分析和解决问题的能力（简称“四能四能”）。）。l在学习数学和应用数学的过程中，学生能发展在学习数学和应用数学的过程中，学生能发展数学抽象数学抽象、逻逻辑推理辑推理、数学建模数学建模、直观想象直观想象、数学运算数学运算、数据分析数据分析等数学学科核心素养。等数学学科核心素养。l通过高中数学课程的学习，学生能提高学习数学的通过高中数学课程的学习，学生能提高学习数学的兴趣兴趣，增，增强学好数学的强学好数学的自信心自信心，养成良好的，养成良好的数学学习习惯数学学习习惯，发展，发展自自主学习的能力主学习的能力；树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的；树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科科学精神学精神；不断提高；不断提高实践能力实践能力，提升，提升创新意识创新意识；认识数学认识数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。课程目标通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来2.对对数学核心素养数学核心素养的解读与研究的解读与研究核心素养核心素养行为表现行为表现数学抽象数学抽象形成数学概念和规则形成数学概念和规则形成数学命题与模型形成数学命题与模型形成数学方法与思想形成数学方法与思想形成数学结构与体系形成数学结构与体系逻辑推理逻辑推理发现和提出命题发现和提出命题掌握推理的基本形式掌握推理的基本形式探探索索和和表表述述论论证证的的过过程程构建命题体系构建命题体系交流探索交流探索直观想象直观想象利用图形描述数学问题利用图形描述数学问题利用图形理解数学问题利用图形理解数学问题利用图形探索和解决数利用图形探索和解决数学问题学问题构建数学问题直观模型构建数学问题直观模型核心素养核心素养行为表现行为表现数学建模数学建模发现和提出问题发现和提出问题建立模型建立模型求解模型求解模型检检验验结结果果和和完完善善模模型型数学运算数学运算理解运算对象理解运算对象掌握运算法则掌握运算法则探索运算思路探索运算思路设计运算程式设计运算程式数据分析数据分析数据获取数据获取数据分析数据分析知识构建知识构建2.对数学核心素养的解读与研究核心素养行为表现数学抽象形成2.1 内涵内涵课标课标对数学抽象内涵的说明对数学抽象内涵的说明内涵（过程）内涵（过程）：数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到：数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的素养。主要包括：从数量与数量关系、图形与数学研究对象的素养。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，用数学语言予以表征。背景中抽象出一般规律和结构，用数学语言予以表征。学科价值学科价值：数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。论一般、有序多级的系统。育人价值（素养）育人价值（素养）：通过高中数学课程的学习，学生能在情境通过高中数学课程的学习，学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系中抽象出数学概念、命题、方法和体系（能力能力），积累从具体，积累从具体到抽象的到抽象的活动经验活动经验；养成在日常生活和实践中一般性思考问题；养成在日常生活和实践中一般性思考问题的的习惯习惯，把握事物的本质，以简驭繁；运用数学抽象的，把握事物的本质，以简驭繁；运用数学抽象的思维方思维方式式思考并解决问题。思考并解决问题。2.1 内涵课标对数学抽象内涵的说明相关文献分析相关文献分析数学数学它的内容、方法与意义它的内容、方法与意义的解释：的解释：第一，在数学的抽象中只保留量的关系和空间形第一，在数学的抽象中只保留量的关系和空间形式而舍弃了其他一切；式而舍弃了其他一切；第二，数学的抽象是一级一级逐步提高的，它们第二，数学的抽象是一级一级逐步提高的，它们所达到的抽象程度大大超出了其他学科中的一般所达到的抽象程度大大超出了其他学科中的一般抽象；抽象；第三，数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们第三，数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们的相互关系的圈子之中。如果自然科学家为了证的相互关系的圈子之中。如果自然科学家为了证明自己的论断常常求助于实验，那么数学家证明明自己的论断常常求助于实验，那么数学家证明定理只需用推理和计算。定理只需用推理和计算。这样看来，不仅数学这样看来，不仅数学的概念是抽象的、思辨的，而且数学的方法也是的概念是抽象的、思辨的，而且数学的方法也是抽象的、思辨的抽象的、思辨的”（亚历山大洛夫，亚历山大洛夫，1988）相关文献分析数学它的内容、方法与意义的解释：数学抽象作为一种纵向的重组活动数学抽象作为一种纵向的重组活动数学抽象看作是一种纵向的重组活动，通过这种活动在原有数学抽象看作是一种纵向的重组活动，通过这种活动在原有数学知识的基础上构造新的数学结构。数学抽象是数学思维数学知识的基础上构造新的数学结构。数学抽象是数学思维的基本成分，其主要目的有三个：一是出于新结构的需要；的基本成分，其主要目的有三个：一是出于新结构的需要；二是构造一个新的抽象集合；三是通过确认新的结构而不断二是构造一个新的抽象集合；三是通过确认新的结构而不断重构已知的抽象集合，使其更便于使用。重构已知的抽象集合，使其更便于使用。Hershkowitz et al，2001从数学发展史我们可以看到，数学概念的产生离不开抽象，从数学发展史我们可以看到，数学概念的产生离不开抽象，正是希腊人对数学的抽象性和演绎法的坚持造就了今日我们正是希腊人对数学的抽象性和演绎法的坚持造就了今日我们所知的数学体系所知的数学体系。M.Kline，1976数学抽象作为一种纵向的重组活动数学抽象看作是一种纵向的重组活数学抽象与数学化数学抽象与数学化数学化可以分为水平与铅直两种过程：数学化可以分为水平与铅直两种过程：包含水平数学化的活动有包含水平数学化的活动有：l在一般情境脉络中辨识在一般情境脉络中辨识出特定的数学出特定的数学l组织化组织化l以不同的方法有系统表以不同的方法有系统表示或可视化一个问题示或可视化一个问题l发现关系发现关系l发现规则发现规则l在不同的问题中看到具在不同的问题中看到具有相同结构的观点有相同结构的观点l将现实世界的问题转换将现实世界的问题转换为数学问题为数学问题l将现实世界的问题转换将现实世界的问题转换为已知的数学模型为已知的数学模型包含铅直数学化的活动有：包含铅直数学化的活动有：l以公式表达一种关系以公式表达一种关系l证明规则证明规则l改善和修正模型改善和修正模型l使用不同的模型使用不同的模型l结合和统整模型结合和统整模型l形成一个新的数学概念形成一个新的数学概念l一般化一般化(De Lange,1987)数学抽象与数学化数学化可以分为水平与铅直两种过程：包含水平数2.2 行为表现行为表现1.形成数学概念和规则形成数学概念和规则2.形成数学命题与模型形成数学命题与模型3.形成数学方法与思想形成数学方法与思想4.形成数学结构与体系形成数学结构与体系数学抽象数学抽象2.2 行为表现形成数学概念和规则形成数学命题与模型形成数学概念形成心理过程概念形成心理过程检验检验概括概括形式化形式化形成形成概念概念确认确认本质本质属性属性共同共同属性属性各种各种属性属性刺激刺激模式模式符号符号表示表示类化类化抽象抽象分化分化辨别辨别概念形成心理过程检验概括形式化形成概念确认本质属性共同属性各概念形成的逻辑过程概念形成的逻辑过程在自然数的基础上构造一个笛卡尔集：在自然数的基础上构造一个笛卡尔集：在新集合中定义等价关系：在新集合中定义等价关系：在新集合中用上述等价关系划分为等价类，每个等价类取一个代表元在新集合中用上述等价关系划分为等价类，每个等价类取一个代表元素构成一个新的集合素构成一个新的集合(商集商集)：在商集上定义四则运算：在商集上定义四则运算：我们把定义了上述运算的集合我们把定义了上述运算的集合 称为整数集，可以证明整数集的一称为整数集，可以证明整数集的一个子集与个子集与N同构。同构。1.扩大外延（等势抽象），例如数系的扩张：扩大外延（等势抽象），例如数系的扩张：uNZ Q R C2.增加内涵（属加种差），例如正方形的定义：增加内涵（属加种差），例如正方形的定义：四边形四边形 平行四边形平行四边形 矩形矩形 正方形正方形概念形成的逻辑过程在自然数的基础上构造一个笛卡尔集：在新集合2.3 样例样例2.3 样例样例：样例：函数单调性函数单调性l为什么要讨论函数单调性？为什么要讨论函数单调性？l学生已经具备了什么样的相关经验？学生已经具备了什么样的相关经验？l如何刻画函数的单调性？如何刻画函数的单调性？l为什么数学中常用符号语言取表示一个为什么数学中常用符号语言取表示一个概念概念/性质性质/原理？原理？样例：函数单调性为什么要讨论函数单调性？函数单调性的抽象过程函数单调性的抽象过程问题问题1（从具体函数出发）（从具体函数出发）函数单调性的抽象过程问题1（从具体函数出发）函数的单调性函数的单调性问题问题2思路思路1：利用两点连线与：利用两点连线与x轴所成的倾斜角轴所成的倾斜角思路思路2：利用两点连线的斜率（导数的几何意义）：利用两点连线的斜率（导数的几何意义）思路思路3：自变量与函数值增量的符号（导数的符号意义）：自变量与函数值增量的符号（导数的符号意义）思路思路4：自变量与函数值增量的保号性（单调性的定义）：自变量与函数值增量的保号性（单调性的定义）函数的单调性问题2思路1：利用两点连线与x轴所成的倾斜角2.4 数学核心素养系统与原有数学核心素养系统与原有课标的联系课标的联系2.4 数学核心素养系统与原有课标的联系原有体系：原有体系：11版课标版课标三维三维目标目标知识技能知识技能（四基）（四基）数感数感符号意识符号意识空间观念空间观念几何直观几何直观数据分析观念数据分析观念运算能力运算能力推理能力推理能力模型思想模型思想应用意识应用意识创新意识创新意识数学思考数学思考问题解决问题解决（四能）（四能）情感态度情感态度原有体系：11版课标三维目标知识技能数感数学思考情感态度原有体系：原有体系：03版高中版高中三维三维目标目标知识与知识与技能技能过程与过程与方法方法情感、情感、态度、态度、价值观价值观四基四基空间想像空间想像抽象概括抽象概括推理论证推理论证运算求解运算求解数据处理数据处理基本能力基本能力问题解决问题解决应用创新应用创新兴趣、信兴趣、信心等心等四能四能三用三用原有体系：03版高中三维目标知识与技能过程与方法情感、态度、三、数学核心素养的教学策略三、数学核心素养的教学策略三、数学核心素养的教学策略1.关于数学核心素养的基本假设关于数学核心素养的基本假设数学教学是数学活动的教学；数学教学是数学活动的教学；数学素养在特定的、情境化的、综合性的数学数学素养在特定的、情境化的、综合性的数学活动中形成与发展、表现与评价；活动中形成与发展、表现与评价；数学素养离不开数学数学素养离不开数学“四基四基”的教学；的教学；数学素养是一个阶段性教学目标（单元设计）数学素养是一个阶段性教学目标（单元设计）数学素养之间有较高的相关性，设计综合性、数学素养之间有较高的相关性，设计综合性、开放性的数学任务是培养和测量数学素养的有开放性的数学任务是培养和测量数学素养的有效途径；效途径；数学素养是按照水平逐步提高的，不同的人在数学素养是按照水平逐步提高的，不同的人在数学素养上也有不同的特点；数学素养上也有不同的特点；对数学素养的评价需要改进评价工具和方式。对数学素养的评价需要改进评价工具和方式。1.关于数学核心素养的基本假设数学教学是数学活动的教学；2.数学活动的设计数学活动的设计数学活数学活动设计动设计课堂互动合作学习工具使用交流反思活动活动教学教学数学数学过程过程专项综合情境意义2.数学活动的设计数学活动设计课堂互动合作学习工具使用交流数学活动过程（数学活动过程（PISA）过程过程1 1对问题情境对问题情境的数学化的数学化过程过程2 2运用数学概运用数学概念、事实、念、事实、程序和推理程序和推理过程过程3 3解释、应用解释、应用和评价所得和评价所得的数学结论的数学结论数学活动过程（PISA）过程1过程2过程3过程过程1：对问题情境的数学化：对问题情境的数学化1.确定现实情境中一个问题的数学特征及关键变量确定现实情境中一个问题的数学特征及关键变量;2.确认问题或情境中的数学结构（包括规律、关系和模确认问题或情境中的数学结构（包括规律、关系和模式）式）;3.简化一个情境或问题，使其更有利于数学分析简化一个情境或问题，使其更有利于数学分析;4.在建模过程中弄清各种限制和假设，并逐步简化背景在建模过程中弄清各种限制和假设，并逐步简化背景;5.利用恰当的变量、符号、图表和标准模型对问题情境利用恰当的变量、符号、图表和标准模型对问题情境进行数学表征进行数学表征;6.用不同的途径描述问题，包括数学概念和数学假设的用不同的途径描述问题，包括数学概念和数学假设的利用利用;7.理解和解释用于描述同一问题的现实情境语言和数学理解和解释用于描述同一问题的现实情境语言和数学形式语言之间的关系形式语言之间的关系;8.把问题转译为数学语言或数学表征把问题转译为数学语言或数学表征;9.把问题化归为已知的问题或者数学概念、事实、程序把问题化归为已知的问题或者数学概念、事实、程序;10.利用技术去凸显隐含在问题情境中的数学关系利用技术去凸显隐含在问题情境中的数学关系.过程1：对问题情境的数学化确定现实情境中一个问题的数学特征及过程过程2：运用数学概念、事实、程序和推理：运用数学概念、事实、程序和推理1.设计和实施各种解题策略去发现数学结论设计和实施各种解题策略去发现数学结论;2.利用各种数学工具利用各种数学工具/技术去获得精确的或近似的技术去获得精确的或近似的结果结果;3.运用数学事实、规则、算法和结构去发现数学运用数学事实、规则、算法和结构去发现数学结果结果;4.能够在解题过程中操作数字、图形、统计数据能够在解题过程中操作数字、图形、统计数据和信息、代数式和方程、几何表征和信息、代数式和方程、几何表征;5.能够制作数学图表、构造数学对象，并从中提能够制作数学图表、构造数学对象，并从中提取数学信息；取数学信息；6.在解题过程中利用不同的表征并进行相互转化在解题过程中利用不同的表征并进行相互转化;7.能够依据数学程序获得结果并将结果一般化能够依据数学程序获得结果并将结果一般化;8.能够反思数学的论证过程并解释和判断所得的能够反思数学的论证过程并解释和判断所得的结果结果.过程2：运用数学概念、事实、程序和推理设计和实施各种解题策略过程过程3：解释、应用和评价所得的数学结论：解释、应用和评价所得的数学结论1.回到原来的现实背景解释数学结果回到原来的现实背景解释数学结果;2.依据现实背景评价数学结果的合理性依据现实背景评价数学结果的合理性;3.理解现实情境是如何影响数学结果和过程，以及理解现实情境是如何影响数学结果和过程，以及如何依据实际情况进行调整和运用如何依据实际情况进行调整和运用;4.解释为什么所得的数学结果对于一个实际情境中解释为什么所得的数学结果对于一个实际情境中的问题来说是有意义的或者无意义的的问题来说是有意义的或者无意义的;5.理解数学概念和结果的适用范围和局限性；理解数学概念和结果的适用范围和局限性；6.在利用数学模型解决问题时能够评价和确定限制在利用数学模型解决问题时能够评价和确定限制条件条件.过程3：解释、应用和评价所得的数学结论回到原来的现实背景解释3.强调单元教学强调单元教学1.在逻辑过程、心理过程、历史过程的基础上梳在逻辑过程、心理过程、历史过程的基础上梳理本单元的课程发展主线（学习进阶）；理本单元的课程发展主线（学习进阶）；2.通过本原性问题的探讨，聚焦本单元的大观念通过本原性问题的探讨，聚焦本单元的大观念（big ideas）；）；3.在夯实数学双基的基础上凸显数学核心素养的在夯实数学双基的基础上凸显数学核心素养的专项设计；专项设计；4.优化单元的训练系统。优化单元的训练系统。3.强调单元教学在逻辑过程、心理过程、历史过程的基础上梳理四、基于数学核心素养的教学四、基于数学核心素养的教学案例分析案例分析四、基于数学核心素养的教学案例分析初中课例初中课例01：反比例函数：反比例函数反比例反比例函数函数正比例正比例函数函数比比,比例比例与比率与比率函函数数分数与分数与分式分式常量与常量与变量变量数数与量与量解析式解析式与图像与图像函数性函数性质质奇函数奇函数对称性对称性互为反互为反函数函数单调性单调性单调单调区间区间分段分段函数函数双曲线双曲线有理线有理线性函数性函数渐近线渐近线圆锥曲圆锥曲线线坐标变坐标变换换幂函数幂函数多项式多项式函数函数曲线与曲线与方程方程最值与最值与极值极值不等式不等式微积分微积分初中课例01：反比例函数反比例函数正比例函数比,比例与比率函反比例函数的图像：从反比例函数的图像：从“数数”到到“形形”反比例：反比例：x 0图像与图像与y轴没有交点轴没有交点y 0图像与图像与x轴没有交点轴没有交点k 0,xy 0图像在图像在I、III象限象限k 0,xy 0图像在图像在II、IV象限象限x 越大，越大，y 越小越小图像越接近图像越接近x轴轴x 越接近越接近0，y 越大越大图像越接近图像越接近y轴轴x 取相反数，取相反数，y 也取相反数也取相反数图像关图像关于原点对称于原点对称x 与与 y 可以交换位置可以交换位置图像关于象限图像关于象限的对角线（的对角线（y=x）对称）对称反比例函数的图像：从“数”到“形”x 0图像与y轴没有反比例函数的引入反比例函数的引入基于问题的概念导入基于问题的概念导入问题：有一块面积为问题：有一块面积为64的正方形纸片，把它剪拼的正方形纸片，把它剪拼成一个长和宽分别是成一个长和宽分别是y和和x的面积相同的矩形，有的面积相同的矩形，有多少种不同的方法？多少种不同的方法？把把64换成换成k，在上述操作过程中，矩形的长和宽，在上述操作过程中，矩形的长和宽（y和和x）保持什么样的关系？）保持什么样的关系？反比例函数的引入基于问题的概念导入反比例函数的其它模型反比例函数的其它模型1.任意一个自然数p都可以分解为两个自然数m,n的乘积，问如何分解才能使得m+n最小？举例p=64.2.在下面的图形中（P，Q分别是定圆内和圆周上的定点，过P作弦垂直于PQ），把哪个量作为x，哪个作为y，可以得到一个反比例函数。PQ反比例函数的其它模型任意一个自然数p都可以分解为两个自然数m比例推理比例推理-正比例正比例/反比例函数反比例函数下面是两块教学三角板，下面是两块教学三角板，1.左左边边的的一一块块：在在底底边边上上随随便便取取一一点点P，量量一一量量OP和和PQ的的长长度度，看看看看会会有有什什么么规规律律？你你觉觉得得为为什什么么会会有有这这样样的的规规律律？这这个个规规律有什么用处吗？律有什么用处吗？2.右边的三角板也有右边的三角板也有类似类似的规律吗？的规律吗？OPQ3.设左边三角形的两条直角边长为2，OP=x，则三角形OPQ的面积与原三角形面积之比（原三角形面积与OPQ面积之比）为y，将y表示为x函数,y=1/2的意义？4.如果是一般的三角形或者改为其它平面图形，上述情形有什么变化？比例推理-正比例/反比例函数下面是两块教学三角板，OPQ设左墙壁上的图案墙壁上的图案如图，是一座建筑物墙壁上用正方形瓷砖镶嵌而成的图案，你能看出其中隐藏的反比例函数吗？请建立直角坐标系，写出其中的一个反比例函数的表达式墙壁上的图案如图，是一座建筑物墙壁上用正方形瓷砖镶嵌而成的图初中课例初中课例02：无理数的学习空间：无理数的学习空间关键属性关键属性2：背景：背景几几何何方方程程函函数数小小数数极极限限关键属性关键属性4：应用：应用方程问题方程问题不等式问题不等式问题函数问题函数问题关键属性关键属性3：算与证：算与证结构：代数，序，拓扑结构：代数，序，拓扑证明：不能写成整数之比证明：不能写成整数之比性质：封闭性，稠密性性质：封闭性，稠密性算法：加减乘除算法：加减乘除关键属性关键属性1：形式：形式特例：特例：2，无限不循环小数无限不循环小数数轴上的点数轴上的点变式：变式：2+初中课例02：无理数的学习空间关键属性2：背景几何方程函数小教学路径（教学路径（1）1.背景：正方形背景：正方形2.形式：数轴上的点形式：数轴上的点0 1 a 2 3.形式：小数估计形式：小数估计教学路径（1）1.背景：正方形2.形式：数轴上的点0 教学路径（教学路径（2）4.算与证：可以写成两个整数之比吗？算与证：可以写成两个整数之比吗？5.形式：无限不循环小数形式：无限不循环小数对比：有限小数和无限循环小数都可以写成分数6.形式：根号形式：根号教学路径（2）4.算与证：可以写成两个整数之比吗？5.形教学路径（教学路径（3）7.形式：还有其它这样的数吗？形式：还有其它这样的数吗？教学路径（3）7.形式：还有其它这样的数吗？教学路径（教学路径（4）8.算与证：两个无理数的运算结果一定是无理数吗？算与证：两个无理数的运算结果一定是无理数吗？教学路径（4）8.算与证：两个无理数的运算结果一定是无理数高中课例高中课例01：椭圆：椭圆1.四基层面四基层面椭圆的定义：多种方式，实验操作，活动经验椭圆的定义：多种方式，实验操作，活动经验标准方程：坐标平面，方程的特征，形式结构标准方程：坐标平面，方程的特征，形式结构几何性质：解析法，性质的运用几何性质：解析法，性质的运用2.核心素养层面核心素养层面数学运算，符号运算，运算方向、运算的合理性，数学运算，符号运算，运算方向、运算的合理性，几何直观等几何直观等数学建模：圆锥曲线的光学性质、双曲线的定位功数学建模：圆锥曲线的光学性质、双曲线的定位功能等能等3.情感态度价值观层面情感态度价值观层面数学方法描述自然现象的优越性数学方法描述自然现象的优越性数学是有趣的、有用的、优美的数学是有趣的、有用的、优美的高中课例01：椭圆四基层面几何直观与代数表征几何直观与代数表征1.由圆由圆“压缩压缩”到椭圆：猜想椭圆方程是到椭圆：猜想椭圆方程是二次方程二次方程，2.由对称性及奇偶函数的表达式猜测：椭圆方程关于由对称性及奇偶函数的表达式猜测：椭圆方程关于x、y只有平方项；只有平方项；3.对比直线的截距式方程，对比直线的截距式方程，x轴上的截距为轴上的截距为a，y轴上的截距轴上的截距为为b，4.对比圆的标准方程（可以看作是极端情形等），猜想椭对比圆的标准方程（可以看作是极端情形等），猜想椭圆的圆的标准方程标准方程.由此猜想椭圆的标准方程：由此猜想椭圆的标准方程：在建系、推导方程之前，可以根据操作在建系、推导方程之前，可以根据操作活动先初步推测椭圆的特征：对称性，中心，活动先初步推测椭圆的特征：对称性，中心，封闭图形，有界性等；这样，一方面有助于封闭图形，有界性等；这样，一方面有助于坐标系的选择，另一方面可以预见到方程的坐标系的选择，另一方面可以预见到方程的某些特征，如：某些特征，如：几何直观与代数表征由圆“压缩”到椭圆：猜想椭圆方程是二次方程数学运算数学运算4.标准方程的推导（化简），可以关注一下几点：标准方程的推导（化简），可以关注一下几点：在一般的化简过程中，为什么要把其中一个根式移到在一般的化简过程中，为什么要把其中一个根式移到等号的另一边：等号的另一边：形式直观与对偶关系的运用：形式直观与对偶关系的运用：对符号运算的强化训练：两边直接开方，利用平方差对符号运算的强化训练：两边直接开方，利用平方差关系来简化运算关系来简化运算数学运算标准方程的推导（化简），可以关注一下几点：形式直观与几何直观：离心率的发现几何直观：离心率的发现1.实验观察：椭圆的形状有实验观察：椭圆的形状有“扁扁”有有“圆圆”；2.数学问题：如何刻画椭圆的数学问题：如何刻画椭圆的“扁平扁平”程度？程度？3.多种角度思考：多种角度思考：回顾用定长线段画椭圆的过程，猜想与回顾用定长线段画椭圆的过程，猜想与a、c有关，猜有关，猜测与这两个量相关的模型：测与这两个量相关的模型：a+c,a-c,ac,a/c,c/a观察平面截圆柱观察平面截圆柱/锥的情形，猜想：与平面和旋转轴所锥的情形，猜想：与平面和旋转轴所成的角有关，可能的模型：角度，三角函数，比值成的角有关，可能的模型：角度，三角函数，比值观察椭圆的现状或标准方程，猜想可能与观察椭圆的现状或标准方程，猜想可能与a、b的接近的接近程度有关，可能的模型程度有关，可能的模型：|a-b|，a/b，4.选择合理的几何模型选择合理的几何模型几何直观：离心率的发现实验观察：椭圆的形状有“扁”有“圆”；作为一种数学建模活动作为一种数学建模活动5.可以尝试作为一种数学建模活动，具体步骤如下：可以尝试作为一种数学建模活动，具体步骤如下：椭圆是一种常见图形，先观察一些实际情形：如椭圆是一种常见图形，先观察一些实际情形：如倾斜的圆柱形杯子的水面，篮球的影子，压扁的倾斜的圆柱形杯子的水面，篮球的影子，压扁的圆环，卫星规定（图片）等圆环，卫星规定（图片）等;讨论是否可以讨论是否可以“画出画出”这种曲线？依据圆与椭圆这种曲线？依据圆与椭圆的联系，探索椭圆的的联系，探索椭圆的“画法画法”;发现操作中的等量关系，猜测方程的形式与特征发现操作中的等量关系，猜测方程的形式与特征（依据压扁的圆环，或倾斜的杯子）；（依据压扁的圆环，或倾斜的杯子）；建立坐标系，化简，得出标准方程；建立坐标系，化简，得出标准方程；讨论模型（方程）的限制条件；讨论模型（方程）的限制条件；利用方程讨论椭圆的几何性质利用方程讨论椭圆的几何性质.作为一种数学建模活动可以尝试作为一种数学建模活动，具体步骤如投影与椭圆投影与椭圆如图所示，篮球在照射的阳光下会如图所示，篮球在照射的阳光下会在地面上留下影子在地面上留下影子太阳的光线与篮球相切的切点所太阳的光线与篮球相切的切点所组组成的是什么图形？成的是什么图形？篮球在地面上所形成的影子什么时篮球在地面上所形成的影子什么时候是一个圆面，什么时候是一个椭候是一个圆面，什么时候是一个椭圆面？圆面？当篮球的影子是一个椭圆面时，篮当篮球的影子是一个椭圆面时，篮球与地面的切点位于椭圆的什么位球与地面的切点位于椭圆的什么位置？置？当篮子的影子是椭圆面时，证明：当篮子的影子是椭圆面时，证明：太阳光线与篮球相切的切点所在的太阳光线与篮球相切的切点所在的平面与地面的交线是这个椭圆的一平面与地面的交线是这个椭圆的一条准线。条准线。投影与椭圆如图所示，篮球在照射的阳光下会在地面上留下影子高中课例高中课例02：充分条件与必要条件：充分条件与必要条件1.数学中的常用逻辑与传统形式逻辑的异同？数学中的常用逻辑与传统形式逻辑的异同？u基本的思维方式：概念、命题、推理基本的思维方式：概念、命题、推理u常见的命题形式：假言命题（蕴含式）：若常见的命题形式：假言命题（蕴含式）：若p，则，则q.u常用的推理规则：传递性常用的推理规则：传递性2.是否需要强调命题的四种形式？是否需要强调命题的四种形式？3.是否适合用现实的例子来说明？（更多的用数学是否适合用现实的例子来说明？（更多的用数学例子来说事）例子来说事）4.是否需要了解推理规则？（是否需要了解推理规则？（8条蕴含规则条蕴含规则+10条等条等价规则）价规则）高中课例02：充分条件与必要条件数学中的常用逻辑与传统形式逻高中课例高中课例03：函数的奇偶性：函数的奇偶性1.有剪纸引出对称性：对称性在剪纸艺术中的运用，有剪纸引出对称性：对称性在剪纸艺术中的运用，不只是对称美；不只是对称美；2.与整数的奇偶性的对比：函数奇偶性源自幂函数与整数的奇偶性的对比：函数奇偶性源自幂函数的指数的奇偶性的指数的奇偶性3.确定奇偶性的应用：事半功倍，画函数图像，讨确定奇偶性的应用：事半功倍，画函数图像，讨论函数的单调性、最值等论函数的单调性、最值等4.对奇偶函数定义域的人为限制：对奇偶函数定义域的人为限制：6.奇偶函数的构造，如：奇偶函数的构造，如：5.关于函数奇偶性的讨论，如：关于函数奇偶性的讨论，如：高中课例03：函数的奇偶性有剪纸引出对称性：对称性在剪纸艺术高中课例高中课例04：向量与立体几何：向量与立体几何需要考虑的几个问题：需要考虑的几个问题：1.应该在哪个核心素养上有所侧重：直观想象，逻应该在哪个核心素养上有所侧重：直观想象，逻辑推理与数学运算？辑推理与数学运算？2.立体几何中的直观想象：立体几何中的直观想象：u三维空间的直观三维空间的直观：实物：实物模型模型图形图形文字文字符号符号u基于概念的空间想象基于概念的空间想象：位置关系（相交、平行、异面等）位置关系（相交、平行、异面等）图形的转换（展开、旋转、折叠等）图形的转换（展开、旋转、折叠等）表象操作（直观图、透视、投影、截面等）表象操作（直观图、透视、投影、截面等）3.立体几何中的逻辑推理：立体几何中的逻辑推理：u基于形象性概念的空间推理基于形象性概念的空间推理（代数推理：基（代数推理：基于过程性概念的符号推理）于过程性概念的符号推理）u基于平面直观图和空间想象的逻辑推理基于平面直观图和空间想象的逻辑推理高中课例04：向量与立体几何需要考虑的几个问题：向量对立体几何教学的影响向量对立体几何教学的影响 向量的引入对立体几何教学产生了很多的影响，其中的利弊需要深入探讨：1.为数形结合提供机会：如何兼顾“数”的简洁与“形”的特征？2.作为解决问题的工具：向量的引入能否拓展立几的实际应用？3.作为几何模型的三维向量空间：三维空间可以作为线性代数和高维空间的具体模型4.理解公理化的思想：5.局限性（没有引入向量积）：相交、异面、截面等6.从推理到运算：向量处理是否在一定程度上弱化了几何推理与空间想象？例证明三角形PEF是锐角三角形。QACPEF向量对立体几何教学的影响 向量的引入对立体几何教指向指向“直观想象直观想象”的数学活动：截面与投影的数学活动：截面与投影1.在一个密闭透明的圆柱型桶内装了一定体积的水在一个密闭透明的圆柱型桶内装了一定体积的水.(1)将圆柱桶分别直立、水平、倾斜放置时，写出水将圆柱桶分别直立、水平、倾斜放置时，写出水平面可能呈现出的所有几何形状？平面可能呈现出的所有几何形状？(2)请分别画出（请分别画出（1）的直观示意图）的直观示意图.2.如图是一个密封的水槽，里面注入了一定容量的水。如图是一个密封的水槽，里面注入了一定容量的水。是否可以适当的摆放水槽，使得水面成为：正三角形，直角三是否可以适当的摆放水槽，使得水面成为：正三角形，直角三角形，锐角三角形，钝角三角形，平行四边形，矩形，正方形，角形，锐角三角形，钝角三角形，平行四边形，矩形，正方形，菱形，梯形，正五边形，正六边形菱形，梯形，正五边形，正六边形假设水槽里面的水量是水槽容积的假设水槽里面的水量是水槽容积的3/4，请在水槽上凿一个小洞，请在水槽上凿一个小洞，适当摆放水槽后，恰好流掉适当摆放水槽后，恰好流掉1/4的水？的水？指向“直观想象”的数学活动：截面与投影在一个密闭透明的圆柱型谢谢！谢谢！谢谢！此此课件下件下载可自行可自行编辑修改，修改，仅供参考！供参考！感感谢您的支持，我您的支持，我们努力做得更好！努力做得更好！谢谢此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力