第4章-系统运动的稳定性分析课件

稳定性判别方法稳定性判别方法经典控制理论中：经典控制理论中：线性定常系统的稳定性：线性定常系统的稳定性：代数判据（劳斯判据、赫尔维茨判据）；代数判据（劳斯判据、赫尔维茨判据）；奈奎斯特判据奈奎斯特判据 ；对数稳定判据等。；对数稳定判据等。非线性定常系统的稳定性：非线性定常系统的稳定性：描述函数法描述函数法：要求系统的线性部分具有良好的滤要求系统的线性部分具有良好的滤 除谐波的性能；除谐波的性能；相平面法相平面法：仅适合于一阶、二阶非线性系统。：仅适合于一阶、二阶非线性系统。现代控制理论中：现代控制理论中：一般系统一般系统（包括单变量、线性、定常系统，以及多变量、（包括单变量、线性、定常系统，以及多变量、非线性、时变系统）的稳定性：非线性、时变系统）的稳定性：李雅普诺夫稳定性理李雅普诺夫稳定性理论。论。稳定性判别方法经典控制理论中：线性定常系统的稳定性：代数判据李雅普诺夫稳定性理论。李雅普诺夫稳定性理论。李雅普诺夫稳定性理论在建立了一系列关于稳定李雅普诺夫稳定性理论在建立了一系列关于稳定性概念的基础上，提出了判断系统稳定性的两种方法：性概念的基础上，提出了判断系统稳定性的两种方法：1.1.间接法：间接法：利用线性系统微分方程的解来判系统的稳利用线性系统微分方程的解来判系统的稳 定性，又称定性，又称李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法；2.2.直接法直接法：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函 数，然后利用李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性，数，然后利用李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性，又称又称李雅普诺夫第二法。李雅普诺夫第二法。李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的一般李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的一般理论，它采用状态空间描述，在分析一些特定的非线理论，它采用状态空间描述，在分析一些特定的非线性系统的稳定性时，有效地解决了其它方法所不能解性系统的稳定性时，有效地解决了其它方法所不能解决的问题。该理论比经典控制理论中的稳定性判据适决的问题。该理论比经典控制理论中的稳定性判据适应范围更广。应范围更广。李雅普诺夫稳定性理论。李雅普诺夫稳定性理论在建立了一4.1 4.1 李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义4.2 4.2 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法4.3 4.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法4.44.4李雅普诺夫李雅普诺夫方法在方法在线性系统中的应线性系统中的应用用*4.54.5李雅普诺夫李雅普诺夫方法在方法在非线性系统稳定非线性系统稳定性分析性分析4.1李雅普诺夫稳定性定义4.1 4.1 李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义 BIBOBIBO稳定性的概念稳定性的概念 对对于于一一个个初初始始条条件件为为零零的的系系统统，如如果果在在有有界界的的输输入入u(t)u(t)的的作作用用下下，所所产产生生的的输输出出y(t)y(t)也也是是有有界界的的，则则称称此此系系统统是是外外部部稳稳定定的的，也也即即是是有有界界输输入入-有有界界输输出稳定的。并简称为出稳定的。并简称为BIBOBIBO稳定。稳定。李雅普诺夫稳定性的物理意义是李雅普诺夫稳定性的物理意义是系统响应是否有界系统响应是否有界。4.1李雅普诺夫稳定性定义BIBO稳定性的概念李雅普诺夫4.1.14.1.1系统状态的运动及平衡状态系统状态的运动及平衡状态李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。1.1.平衡状态的定义平衡状态的定义 设系统状态方程为：设系统状态方程为：若若对对所所有有t t，状状态态x x满满足足 ，则则称称该该状状态态x x为为平平衡衡状态，记为状态，记为x xe e。故有下式成立：。故有下式成立：由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。2.2.平衡状态的求法平衡状态的求法 由由定定义义可可见见，平平衡衡状状态态将将包包含含在在 这这样一个代数方程组中。样一个代数方程组中。对对于于线线性性定定常常系系统统 ，其其平平衡衡状状态态为为x xe e应满足代数方程应满足代数方程 。只有坐标原点处是系统的平衡状态点只有坐标原点处是系统的平衡状态点 4.1.1系统状态的运动及平衡状态2.平衡状态的求法只有 对于非线性系统，方程对于非线性系统，方程 的解可能有多的解可能有多个，视系统方程而定。个，视系统方程而定。如：如：该系统存在三个平衡状态：该系统存在三个平衡状态：对于非线性系统，方程的解可能有多3 3范数的概念范数的概念范数的定义范数的定义 n n维维状状态态空空间间中中，向向量量x x的的长长度度称称为为向向量量x x的的范范数数，用用 表示，则：表示，则：向量的距离向量的距离 长度长度 称为向量称为向量x x与与x xe e的距离，写为的距离，写为：3范数的概念向量的距离 定定义义：对对于于系系统统 ，设设系系统统初初始始状状态态位位于于以以平衡状态平衡状态x xe e为球心、为球心、为半径的闭球域为半径的闭球域S()S()内，即内，即 若若能能使使系系统统从从任任意意初初态态x x0 0出出发发的的解解 在在tttt0 0的的过过程程中中，都都位位于于以以x xe e为为球球心心、任任意意规规定定的的半半径径的的闭闭球域球域S()S()内，即：内，即：则称系统的平衡状态则称系统的平衡状态x xe e在在李雅普诺夫意义下是李雅普诺夫意义下是稳定稳定的。的。4.1.2李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义1 1李雅普诺夫意义下的稳定性李雅普诺夫意义下的稳定性 P159P159定义：对于系统，设系统初始状态位于以平衡几何意义几何意义 按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动，将在平面描绘出一条封闭曲线，但只要减的振荡运动，将在平面描绘出一条封闭曲线，但只要不超出不超出S(),S(),则认为是稳定的，这与经典控制理论中线则认为是稳定的，这与经典控制理论中线性定常系统的稳定性定义有差异。性定常系统的稳定性定义有差异。几何意义按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰2 2渐进稳定性（经典理论稳定性）渐进稳定性（经典理论稳定性）定义：定义：如果系统的平衡状态如果系统的平衡状态x xe e不仅有李雅普诺夫意义下的不仅有李雅普诺夫意义下的稳定性，且对于任意小量稳定性，且对于任意小量00，总有，总有则称平衡状态则称平衡状态x xe e是李雅普诺夫意义下渐进稳定的。是李雅普诺夫意义下渐进稳定的。这时，从S()出发的轨迹不仅不会超出S()，且当t时收敛于xe，可见经典控制理论中的稳定性经典控制理论中的稳定性定义与渐进稳定性渐进稳定性对应。2渐进稳定性（经典理论稳定性）定义：这时，从S(几何意义：几何意义：几何意义：定定义义：当当初初始始状状态态扩扩展展到到整整个个状状态态空空间间，且且平平衡衡状状态态x xe e均均具具有有渐渐进进稳稳定定性性，称称这这种种平平衡衡状状态态x xe e是是大大范范围围渐渐进进稳稳定定的的。此此时时，S()S()。当当tt时，由状态空间中任意一点出发的轨迹都收敛于时，由状态空间中任意一点出发的轨迹都收敛于x xe e。3.3.大范围渐进稳定性大范围渐进稳定性 对于严格的线性系统，如果它是渐进稳定的，对于严格的线性系统，如果它是渐进稳定的，必定是大范围渐进稳定的。必定是大范围渐进稳定的。这是因为线性系统的稳这是因为线性系统的稳定性与初始条件的大小无关。而对于非线性系统来定性与初始条件的大小无关。而对于非线性系统来说，其稳定性往往与初始条件大小密切相关，系统说，其稳定性往往与初始条件大小密切相关，系统渐进稳定不一定是大范围渐进稳定。渐进稳定不一定是大范围渐进稳定。定义：当初始状态扩展到整个状态空间，且平衡状态xe均大范围稳定的系统大范围稳定的系统局部稳定的系统局部稳定的系统几何意义：几何意义：大范围稳定的系统局部稳定的系统几何意义：定定义义：如如果果对对于于某某个个实实数数00和和任任一一实实数数00，不不管管这这两两个个实实数数多多么么小小，在在S()S()内内总总存存在在一一个个状状态态x x0 0，使使得得由由这这一一状状态态出出发发的的轨轨迹迹超超出出S()S()，则则称平衡状态称平衡状态x xe e是不稳定的。是不稳定的。4 4不稳定性不稳定性几何意义：几何意义：定义：如果对于某个实数0和任一实数0，不管这 对于不稳定平衡状态的轨迹，虽然超出了对于不稳定平衡状态的轨迹，虽然超出了S()S()，但并不意味着轨迹趋于无穷远处。例如以下物理系，但并不意味着轨迹趋于无穷远处。例如以下物理系统比喻不稳定，轨迹趋于统比喻不稳定，轨迹趋于S()S()以外的平衡点。以外的平衡点。当然，对于线性系统，从不稳定平衡状态出发的当然，对于线性系统，从不稳定平衡状态出发的轨迹，理论上趋于无穷远。轨迹，理论上趋于无穷远。对于不稳定平衡状态的轨迹，虽然超出了S()，但并 从上述四种稳定性定义可见，球域从上述四种稳定性定义可见，球域S()S()限制着初限制着初始状态始状态x x0 0的取值，球域的取值，球域S()S()规定了系统自由运动响应规定了系统自由运动响应 的边界。的边界。简单地说，简单地说，1.1.如果如果 有界，则称有界，则称x xe e稳定；稳定；2.2.如果如果 不仅有界，而且当不仅有界，而且当tt时收敛于时收敛于原点，则称原点，则称x xe e渐进稳定；渐进稳定；3.3.如果如果 无界，则称无界，则称x xe e不稳定；不稳定；返回从上述四种稳定性定义可见，球域S()限制着初始状4.2 4.2 李雅普诺夫第一法（间接法）李雅普诺夫第一法（间接法）4.2.14.2.1线性定常系统稳定性判据线性定常系统稳定性判据 定理定理4.14.1线性定常系统线性定常系统 （1 1）平平衡衡状状态态x xe e是是渐渐进进稳稳定定的的充充分分必必要要条条件件是是矩矩阵阵A A的所有特征值均具有负实部；的所有特征值均具有负实部；（2 2）平平衡衡状状态态x xe e是是不不稳稳定定的的充充分分必必要要条条件件是是矩矩阵阵A A的有些特征值均具有正实部；的有些特征值均具有正实部；（3 3）当当系系统统用用传传递递函函数数描描述述时时，系系统统BIBOBIBO稳稳定定的的充分必要条件充分必要条件为为G(sG(s）的极点具有负实部。）的极点具有负实部。4.2李雅普诺夫第一法（间接法）4.2.1线性定常系统稳 例例4.2.14.2.1 设系统的状态空间表达式为：设系统的状态空间表达式为：试试分分析析系系统统平平衡衡状状态态x xe e=0=0的的稳稳定定性性与与系系统统的的BIBOBIBO（输出）稳定性。（输出）稳定性。解：解：系统的特征方程为系统的特征方程为A A阵的特征值为阵的特征值为+1+1，-1-1。故系统。故系统平衡状态平衡状态xe是不稳定的是不稳定的。系统传递函数系统传递函数传递函数极点位于传递函数极点位于S S左半平面，故系统左半平面，故系统是是BIBOBIBO稳定的稳定的。P161例4-1例4.2.1设系统的状态空间表达式为：试分BIBO稳定渐近稳定 结论：结论：1.1.线线性性定定常常系系统统是是内内部部稳稳定定的的，则则其其必必是是BIBOBIBO稳稳定定 的；的；2.2.线性定常系统是线性定常系统是BIBOBIBO稳定的，则不能保证系统稳定的，则不能保证系统 一定是渐进稳定的；一定是渐进稳定的；3.3.如果线性定常系统为能控和能观测，则其内部如果线性定常系统为能控和能观测，则其内部 稳定性与外部稳定性是等价。稳定性与外部稳定性是等价。BIBO稳定渐近稳定结论：4.2.24.2.2非线性系统的稳定性判定非线性系统的稳定性判定 对对于于可可以以线线性性化化的的非非线线性性系系统统，可可以以在在一一定定条条件件下用它的线性化模型，用定理下用它的线性化模型，用定理4.14.1的方法来研究。的方法来研究。对于非线性系统对于非线性系统 ，设，设x xe e为其平为其平衡点。衡点。4.2.2非线性系统的稳定性判定对于非线性系统李雅普诺夫给出以下结论：李雅普诺夫给出以下结论：（1 1）A A的所有特征值均具有负实部，则平衡状态的所有特征值均具有负实部，则平衡状态xexe是是渐渐进稳定进稳定的；的；（2 2）A A的特征值至少有一个为正实部，则平衡状态的特征值至少有一个为正实部，则平衡状态xexe是是不稳定不稳定的。的。（3 3）A A的特征值至少有一个实部为的特征值至少有一个实部为0 0，则不能根据，则不能根据A A来判来判平衡状态平衡状态xexe的稳定性，而要由的稳定性，而要由 中中的的 决定。决定。李雅普诺夫给出以下结论：例例4.2.24.2.2 已已知知非非线线性性系系统统的的状状态态空空间间表表达达式式，试试分分析析系系统统平平衡衡状态的稳定性。状态的稳定性。P162P162例例4-2 4-2 解：解：系统系统有有2 2个个平衡状态：平衡状态：x xe1e1=0,0=0,0和和x xe2e2=1,1=1,1在在x xe1e1=0,0=0,0处线性化，处线性化，A A1 1阵的特征值为阵的特征值为+1+1，-1-1。故系统在。故系统在x xe1e1处处是是不稳定的不稳定的。在在x xe2e2=1,1=1,1处线性化，处线性化，A A2 2阵的特征值为阵的特征值为+j+j，-j-j,其实部为其实部为0,0,不能不能根据根据A A来判断稳定性。来判断稳定性。返回例4.2.2已知非线性系统的状态空间表达式，试分析系统4.3 4.3 李雅普诺夫第二法及其主要定理李雅普诺夫第二法及其主要定理 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法是通过构造李雅普诺夫函是通过构造李雅普诺夫函数数V(x)V(x)来直接判断运动稳定性的一种定性的方法。来直接判断运动稳定性的一种定性的方法。根据经典力学中的振动现象，若系统能量随时间根据经典力学中的振动现象，若系统能量随时间推移而衰减，系统迟早会达到平衡状态，但要找到实推移而衰减，系统迟早会达到平衡状态，但要找到实际系统的能量函数表达式并非易事。际系统的能量函数表达式并非易事。李雅普诺夫提出，虚构一个能量函数，一般它与李雅普诺夫提出，虚构一个能量函数，一般它与 及及t t有关，记为有关，记为V(x,t)V(x,t)或或V(x)V(x)。V(x)V(x)是一是一标量函数，考虑到能量总大于标量函数，考虑到能量总大于0 0，故为正定函数。能，故为正定函数。能量衰减特性用量衰减特性用 或或 表示。李雅普诺夫第二法表示。李雅普诺夫第二法利用利用V V和和 的符号特征，直接对平衡状态稳定性作出的符号特征，直接对平衡状态稳定性作出判断，无需求解系统状态方程的解，故称判断，无需求解系统状态方程的解，故称直接法直接法。4.3李雅普诺夫第二法及其主要定理李雅普诺夫第二法是 直接法解决了一些其它稳定性判据难以解决的直接法解决了一些其它稳定性判据难以解决的非线性系统的稳定性问题，但遗憾的是对一般非线非线性系统的稳定性问题，但遗憾的是对一般非线性系统仍未找到构造李雅普诺夫函数性系统仍未找到构造李雅普诺夫函数V(x)V(x)的通用方的通用方法。尽管如此目前它仍然是研究系统法。尽管如此目前它仍然是研究系统(包括时变、包括时变、非线性非线性)稳定性的有力工具。稳定性的有力工具。对于线性系统，通常用二次型函数对于线性系统，通常用二次型函数 作为李雅普诺夫函数。作为李雅普诺夫函数。直接法解决了一些其它稳定性判据难以解决的非线性系统的4.3.14.3.1预备知识预备知识1 1二次函数的定义及其表达式二次函数的定义及其表达式 定定义义：设设 为为n n个个变变量量，定定义义二二次次型型标标量量函数为：函数为：其中，其中，则称，则称P P为实对称阵。为实对称阵。4.3.1预备知识其中，则称P为实对称阵。例如：例如：显然，二次型显然，二次型v(x)v(x)完全由矩阵完全由矩阵P P确定。因此二次型确定。因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的。和它的矩阵是相互唯一决定的。二次型的标准型二次型的标准型 只只含含有有平平方方项项的的二二次次型型称称为为二二次次型型的的标标准准型型，如：如：例如：显然，二次型v(x)完全由矩阵P确定。因此二次 2.2.标量函数标量函数V(x)V(x)的符号和性质的符号和性质 设设:,且且在在x=0 x=0处处，V(x)0V(x)0。对对于于x0 x0的的任何向量。任何向量。V(x)0V(x)0，称，称V(x)V(x)为为正定的正定的。例如：。例如：V(x)0V(x)0，称，称V(x)V(x)为为负定的负定的。例如：。例如：V(x)0V(x)0，称，称V(x)V(x)为为半正定的半正定的。例如：。例如：V(x)0V(x)0，称，称V(x)V(x)为为半负定的半负定的。例如：。例如：2.标量函数V(x)的符号和性质设实对称矩阵设实对称矩阵 二二次次型型函函数数V(x)V(x)为为正正定定的的充充要要条条件件是是,P,P阵阵的的所有各阶主子行列式均大于零（正定）所有各阶主子行列式均大于零（正定）,即即:即即:3.3.希尔维斯特希尔维斯特(Sylvester)准则准则(二次型标量函数定号性判别准则二次型标量函数定号性判别准则)设实对称矩阵二次型函数V(x)为正定的充要条件是,4.3.24.3.2李雅普诺夫第二法的判稳主要定理李雅普诺夫第二法的判稳主要定理 系统系统渐进稳定渐进稳定的判别定理一的判别定理一 定定理理4.2 4.2 设设系系统统状状态态方方程程为为:,其其状状态态平平衡衡点点x xe e=0,=0,满满足足 。如如果果存存在在一一个个具具有有连连续续偏偏导导数数的的标标量函数量函数V(x,t),V(x,t),且满足以下条件且满足以下条件1.V(x,t)1.V(x,t)是正定的；是正定的；2.2.是负定的；是负定的；系统在原点处的平衡系统在原点处的平衡状态是渐进稳定的。状态是渐进稳定的。1，2，3 系系统统在在原原点点处处的的平平衡衡状状态态是是大范围渐进稳定的。大范围渐进稳定的。4.3.2李雅普诺夫第二法的判稳主要定理系统渐进稳定的判 例例4.3.14.3.1 已知非线性系统的状态方程为已知非线性系统的状态方程为:试分析其平衡状态的稳定性试分析其平衡状态的稳定性.解解：显然，坐标原点：显然，坐标原点x xe e=0=0（即（即x x1 1=0,x=0,x2 2=0)=0)是系统惟一是系统惟一 的平衡状态。选取正定标量函数为的平衡状态。选取正定标量函数为 则沿任意轨迹，则沿任意轨迹，V(x)V(x)对时间的导数对时间的导数 是负定的。说明是负定的。说明V(x)V(x)沿任意轨迹是连续减小的，沿任意轨迹是连续减小的，因此因此V(x)V(x)是一个李雅普诺夫函数。是一个李雅普诺夫函数。而且，而且，所以系统所以系统在原点处的平衡状态是在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的大范围渐进稳定的P167例例4-4例4.3.1试分析其平衡状态的稳定性.解：显然，坐标原 系统系统渐进稳定渐进稳定的判别定理二的判别定理二 定定理理4.3 4.3 设设系系统统状状态态方方程程为为:,其其状状态态平平衡衡点点x xe e=0,=0,满满足足 。如如果果存存在在一一个个具具有有连连续续偏偏导导数的标量函数数的标量函数V(x,t),V(x,t),且满足以下条件且满足以下条件1.V(x,t)1.V(x,t)是正定的；是正定的；2.2.是是半负定半负定的；的；系统渐进稳定的判别定理二1.V(x,t)是正定的；定理的运动分析定理的运动分析：以二维空间为例：以二维空间为例定理的运动分析：以二维空间为例 例例4.3.24.3.2已知非线性系统的状态方程为已知非线性系统的状态方程为:试分析其平衡状态的稳定性。试分析其平衡状态的稳定性。解解：显然，坐标原点：显然，坐标原点x xe e=0=0（即（即x x1 1=0,x=0,x2 2=0)=0)是系统惟一是系统惟一 的平衡状态。的平衡状态。选取正定标量函数为当 进一步分析 的定号性：如果假设，必然要求，进一步要求。但从状态方程可知，必满足表明只可能在原点（x1=0,x2=0）处恒等于零。渐进稳定而且，当而且，当 ，所以系统在，所以系统在原点处的平衡状态是原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的大范围渐进稳定的P167例例4-5例4.3.2已知非线性系统的状态方程为:解：显然，坐标原若在该例中选取正定标量函数为选取正定标量函数为负定负定 而且，当而且，当 ，所以系统在，所以系统在原点处的平衡状态是原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的大范围渐进稳定的 由以上分析看出，选取不同的由以上分析看出，选取不同的V(x)V(x)，可能使问题，可能使问题分析采用不同的判别定理。分析采用不同的判别定理。若在该例中选取正定标量函数为负定而且，当系统系统李氏稳定李氏稳定的判别定理的判别定理 定定理理4.4 4.4 设设系系统统状状态态方方程程为为:,其其状状态态平平衡衡点点x xe e=0,=0,满满足足 。如如果果存存在在一一个个具具有有连连续续偏偏导导数的标量函数数的标量函数V(x,t),V(x,t),且满足以下条件且满足以下条件 则系统在原点处的平衡状态是李雅普诺夫李雅普诺夫意义意义下下稳定稳定的，但不是渐进稳的，但不是渐进稳定的。这时系统可保持在定的。这时系统可保持在一个稳定的等幅振荡状态一个稳定的等幅振荡状态上。上。1.V(x,t)是正定的；2.是半负定的，且 。系统李氏稳定的判别定理则系统在原点处的平衡状态是李 例例4.3.34.3.3已知非线性系统的状态方程为已知非线性系统的状态方程为:试分析其平衡状态的稳定性。试分析其平衡状态的稳定性。解：显然，坐标原点xe=0（即x1=0,x2=0)是系统惟一 的平衡状态。选取正定标量函数为 由上式可见，由上式可见，则，则系统在原点处的平衡状态是李雅普诺夫李雅普诺夫意义下意义下稳定稳定的，但不是渐进稳定的。的，但不是渐进稳定的。例4.3.3已知非线性系统的状态方程为:解：显然，坐标原系统系统不稳定不稳定的判别定理的判别定理 定定理理4.5 4.5 设设系系统统状状态态方方程程为为:,其其状状态态平平衡衡点点x xe e=0,=0,满满足足 。如如果果存存在在一一个个具具有有连连续续偏偏导导数的标量函数数的标量函数V(x,t),V(x,t),且满足以下条件且满足以下条件1.V(x,t)1.V(x,t)是正定的；是正定的；2.2.是正定的；是正定的；则系统在原点处的则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。平衡状态是不稳定的。系统不稳定的判别定理1.V(x,t)是正定的；则 例例4.3.44.3.4已知非线性系统的状态方程为已知非线性系统的状态方程为:试分析其平衡状态的稳定性。试分析其平衡状态的稳定性。解解：显然，坐标原点：显然，坐标原点x xe e=0=0（即（即x x1 1=0,x=0,x2 2=0)=0)是系统惟一是系统惟一 的平衡状态。的平衡状态。选取正定标量函数为选取正定标量函数为 系统不稳定系统不稳定例4.3.4已知非线性系统的状态方程为:解：显然，坐标原四四不稳定不稳定四不稳定定定理理的的形形式式简简单单而而有有规规律律，在在定定理理的的应应用用中中，要要注注意意以以下下几点：几点：(1)(1)构构造造一一个个合合理理的的李李雅雅普普诺诺夫夫函函数数，是是李李氏氏第第二二法法的关键，李氏函数具有几个突出性质：的关键，李氏函数具有几个突出性质：1)1)李雅普诺夫函数是一个标量函数。李雅普诺夫函数是一个标量函数。2)2)李李雅雅普普诺诺夫夫函函数数是是一一个个正正定定函函数数，至至少少在在原原点点的的邻邻域是如此。域是如此。3)3)对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数不是唯一的。对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数不是唯一的。(2)(2)如如果果在在包包含含状状态态空空间间原原点点在在内内的的邻邻域域内内，可可以以找找到到一一个个李李雅雅普普诺诺夫夫函函数数，那那么么，就就可可以以用用它它来来判判断断原原点点的的稳稳定定性性或或渐渐近近稳稳定定性性。然然而而这这并并不不一一定定意意味味着着，从从邻邻域域外外的的一一个个状状态态出出发发的的轨轨迹迹都都趋趋于于无无穷穷大大，这这是是因因为为李李雅雅普诺夫第二法确定的仅仅是稳定性的普诺夫第二法确定的仅仅是稳定性的充分充分条件条件。返回定理的形式简单而有规律，在定理的应用中，要注意以下几点：返回4.4 4.4 李亚普诺夫方法在线性系统中的应用李亚普诺夫方法在线性系统中的应用 4.4.14.4.1线性定常系统渐进稳定的判别。线性定常系统渐进稳定的判别。1 1 渐进稳定的判别方法渐进稳定的判别方法 设设线线性性定定常常连连续续系系统统为为：，则则平平衡衡状状态态x xe e=0=0为为大大范范围围渐渐进进稳稳定定的的充充要要条条件件是是：对对任任意意给给定定的的一一个个正正定定实实对对称称矩矩阵阵Q Q，必必存存在在一一个个惟惟一一正正定定的的实实对对称称矩矩阵阵P P，且满足李雅普诺夫方程且满足李雅普诺夫方程并且并且 是系统的李雅普诺夫函数。是系统的李雅普诺夫函数。4.4李亚普诺夫方法在线性系统中的应用4.4.1线性定常定理说明：定理说明：1.1.如果任取的一个正定实对称矩阵如果任取的一个正定实对称矩阵Q Q，则满足矩阵则满足矩阵的实对称矩阵的实对称矩阵P P是惟一的，若是惟一的，若P P正定，则系统在平衡正定，则系统在平衡状态状态x xe e=0=0为为大范围渐进稳定大范围渐进稳定的。的。P P的正定性是一个充的正定性是一个充分必要条件。分必要条件。2.2.为计算简便，在选取正定实对称矩阵为计算简便，在选取正定实对称矩阵Q Q时选单位时选单位阵阵I I，于是方程简化为：，于是方程简化为：定理说明：1.如果任取的一个正定实对称矩阵Q，则满足矩阵 2.V(x)2.V(x)的求法的求法 例例4.4.14.4.1 设线性定常系统为设线性定常系统为:,:,试判别该系统的稳定性试判别该系统的稳定性(其平衡状态为其平衡状态为x xe e=0)=0)。解：解：为了便于对比，先用李氏第一法判断。为了便于对比，先用李氏第一法判断。系统是渐近稳定的系统是渐近稳定的2.V(x)的求法例4.4.1解：为了便于对比，先设设李雅普诺夫函数为：李雅普诺夫函数为：则有：则有：展开有展开有：正定正定系统是渐近稳定的系统是渐近稳定的设李雅普诺夫函数为：则有：展开有：正定系统是渐近稳定的4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用 从前面分析可知，线性系统的稳定性具有全局性质，而且稳定判据的条件是充分必要的。但是，非线性系统的稳定性却可能只具有局部性质。4.5.1 雅町比(Jacobian)矩阵法 雅可比矩阵法，亦称克拉索夫斯基(Krasovski)法，二者表达形式略有不同，但基本思路是一致的。实际上，它们都是寻找线性系统李雅普诺夫函数方法的一种推广。设非线性系统的状态方程为：（12）式中，为 维状态矢量；为与 同维的非线性矢量函数。4.5李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用 假设原点 是平衡状态，对 可微，系统的雅可比矩阵为：（13）则系统在原点渐近稳定的充分条件是：任给正定实对称阵P P，使下列矩阵假设原点是平衡状态，（14）为正定的。并且（15）是系统的一个李雅普诺大函数。如果当 时，还有 ，则系统在 是大范围渐近稳定。4.5.2 变量梯度法 变量梯度法也叫舒茨一基布逊(ShultzGibson)法，这是他们在1962年提出的一种寻求李雅普诺夫函数较为实用的方法。（14）为正定的。并且（15）是系统的一个李雅普诺大函数。变量梯度法是以下列事实为基础的：即如果找到一个特定的李雅普诺夫函数 ，能够证明所给系统的平衡状态为渐近稳定的，那么，这个李雅普诺夫函数 的梯度：必定存在且唯一。于是 对时间的导数可表达为：（16）变量梯度法是以下列事实为基础的：即如果找到一个或写成矩阵形式，得：（17）由此，舒茨-基布逊提出，从假设一个旋度为零的梯度Vy着手，然后根据式(17)的关系确定 。如果这样确定的 和 都满足判据条件，那么这个 就是所要构造的李雅普诺夫函数。2变量梯度法1有关场论的几个基本概念(1)标量函数的梯度(2)矢量的曲线积分(3)矢量的旋度本章完本章完或写成矩阵形式，得：（17）由此，舒茨-基布逊本章小结本章小结本章要求：本章要求：1 1熟练掌握李雅普诺夫意义下的稳定、渐进稳熟练掌握李雅普诺夫意义下的稳定、渐进稳 定、大范围渐进稳定、不稳定概念及定义；定、大范围渐进稳定、不稳定概念及定义；2 2能熟练运用李雅普诺夫第一法（间接法）判能熟练运用李雅普诺夫第一法（间接法）判 线性定常系统的稳定性；线性定常系统的稳定性；3 3掌握李雅普诺夫第二法四个主要定理；掌握李雅普诺夫第二法四个主要定理；4 4能熟练运用李雅普诺夫第二法判线性定常系能熟练运用李雅普诺夫第二法判线性定常系 统的稳定性；统的稳定性；本章小结本章要求：