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目录 上页 下页 返回 结束 二、空间曲线的切线与法平面二、空间曲线的切线与法平面 第六节一、一元向量值函数及其导数一、一元向量值函数及其导数 三、曲面的切平面与法线三、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第九章 二、空间曲线的切线与法平面 第六节一、一元向量值函数及其目录 上页 下页 返回 结束 一、一元向量值函数及其导数一、一元向量值函数及其导数引例引例:已知空间曲线已知空间曲线 的参数方程的参数方程:的的向量方程向量方程 对对 上的动点上的动点M,即即 是是此方程确定映射此方程确定映射,称此映射为一元向量值函数称此映射为一元向量值函数.的终点的终点M 的轨迹的轨迹,此此轨迹称为向量值函数的轨迹称为向量值函数的终端曲线终端曲线.要用向量值函数研究曲线的要用向量值函数研究曲线的连续性连续性和和光滑性光滑性，就需要引进向，就需要引进向量值函数的极限、连续量值函数的极限、连续和和导数的概念导数的概念.的的向量形式向量形式一、一元向量值函数及其导数引例:已知空间曲线 的参数方目录 上页 下页 返回 结束 定义定义:给定数集给定数集 D R,称映射称映射为为一元向量一元向量值函数值函数(简称向量值函数简称向量值函数),记为记为定义域定义域自变量自变量因变量因变量向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、连续和导数密切相关连续和导数密切相关,进行讨论进行讨论.极限：极限：连续：连续：导数：导数：严格定义见严格定义见P93因此下面仅以因此下面仅以 n=3 的情形为代表的情形为代表定义:给定数集 D R,称映射为一元向量值函数(简目录 上页 下页 返回 结束 向量值函数的导数运算法则向量值函数的导数运算法则:(P94)设设是可导向量值函数是可导向量值函数,是可导函数是可导函数,则则C 是常向量是常向量,c 是任一常数是任一常数,向量值函数的导数运算法则:(P94)设是可导向量值函数,目录 上页 下页 返回 结束 向量值函数导数的几何意义向量值函数导数的几何意义:在在 R3中中,设设的终端曲线为的终端曲线为 ,表示终端曲线在表示终端曲线在t0处的处的切向量切向量,其指向与其指向与t 的增长方的增长方向一致向一致.,则则设设向量值函数导数的几何意义:在 R3中,设的终端曲线为,目录 上页 下页 返回 结束 向量值函数导数的物理意义向量值函数导数的物理意义:设设表示质点沿光滑曲线运动的位置向量表示质点沿光滑曲线运动的位置向量,则有则有 例例1.设设速度向量：速度向量：加速度向量：加速度向量：解：解：向量值函数导数的物理意义:设表示质点沿光滑曲线运动的位置向量目录 上页 下页 返回 结束 例例2.设空间曲线设空间曲线 的向量方程为的向量方程为 求曲线求曲线 上上对应于对应于解解:的点处的单位切向量的点处的单位切向量.故所求单位切向量为故所求单位切向量为其方向与其方向与 t 的增长方向一致的增长方向一致另一与另一与 t 的增长方向相反的单位切向量为的增长方向相反的单位切向量为=6例2.设空间曲线 的向量方程为 求曲线 上对应于解:的目录 上页 下页 返回 结束 例例3.一人悬挂在滑翔机上一人悬挂在滑翔机上,受快速上升气流影响作螺受快速上升气流影响作螺求求旋式上升旋式上升,其位置向量为其位置向量为(1)滑翔机在任意时刻滑翔机在任意时刻 t 的速度向量与加速度向量的速度向量与加速度向量;(2)滑翔机在任意时刻滑翔机在任意时刻 t 的速率的速率;(3)滑翔机的加速度与速度正交的时刻滑翔机的加速度与速度正交的时刻.解解:(1)(3)由由即即即仅在开始时刻滑翔机的加速度与速度正交即仅在开始时刻滑翔机的加速度与速度正交.例3.一人悬挂在滑翔机上,受快速上升气流影响作螺求旋式上目录 上页 下页 返回 结束 二、空间曲线的切线与法平面二、空间曲线的切线与法平面过点过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面法平面.置置.空间光滑曲线在点空间光滑曲线在点 M 处的处的切线切线为此点处割线的极限位为此点处割线的极限位给定光滑曲线给定光滑曲线 在在点法式可建立曲线的法平面方程点法式可建立曲线的法平面方程利用利用点点M(x,y,z)处的切向量及法平面的处的切向量及法平面的法向量法向量均为均为点向式可建立曲线的切线方程点向式可建立曲线的切线方程二、空间曲线的切线与法平面过点 M 与切线垂直的平面称为曲线目录 上页 下页 返回 结束 1.曲线方程为参数方程的情况曲线方程为参数方程的情况因此因此曲线曲线 在点在点 M 处的处的则则 在点在点M 的导向量为的导向量为法平面方程法平面方程 给定光滑曲线给定光滑曲线为为0,切线方程切线方程1.曲线方程为参数方程的情况因此曲线 在点 M 处的目录 上页 下页 返回 结束 例例4.求曲线求曲线在点在点 M(1,1,1)处的切线处的切线 方程与法平面方程方程与法平面方程.解：解：点点(1,1,1)对应于对应于故点故点M 处的切向量为处的切向量为因此所求切线方程为因此所求切线方程为 法平面方程为法平面方程为即即思考思考:光滑曲线光滑曲线的切向量有何特点的切向量有何特点?答答:切向量切向量例4.求曲线在点 M(1,1,1)处的切线 方程与目录 上页 下页 返回 结束 2.曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况光滑曲线光滑曲线曲线上一点曲线上一点,且有且有 可表示为可表示为处的切向量为处的切向量为 2.曲线为一般式的情况光滑曲线曲线上一点,且有 可表目录 上页 下页 返回 结束 则在点则在点切线方程切线方程法平面方程法平面方程有有或或则在点切线方程法平面方程有或目录 上页 下页 返回 结束 也可表为也可表为法平面方程法平面方程(自己验证自己验证)也可表为法平面方程(自己验证)目录 上页 下页 返回 结束 例例5.求曲线求曲线在点在点M(1,2,1)处的切线方程与法平面方程处的切线方程与法平面方程.切线方程切线方程解法解法1 令令则则即即切向量切向量例5.求曲线在点M(1,2,1)处的切线方程目录 上页 下页 返回 结束 法平面方程法平面方程即即解法解法2 方程组两边对方程组两边对 x 求导求导,得得曲线在点曲线在点 M(1,2,1)处有处有:切向量切向量解得解得法平面方程即解法2 方程组两边对 x 求导,得曲线在点目录 上页 下页 返回 结束 切线方程切线方程即即法平面方程法平面方程即即点点 M(1,2,1)处的处的切向量切向量切线方程即法平面方程即点 M(1,2,1)处的切向目录 上页 下页 返回 结束 三、曲面的切平面与法线三、曲面的切平面与法线 设设 有有光滑曲面光滑曲面通过其上定点通过其上定点对应点对应点 M,切线方程为切线方程为不全为不全为0.则则 在在且且点点 M 的的切向量切向量为为任意任意引一条光滑曲线引一条光滑曲线下面证明下面证明:此平面称为此平面称为 在该点的在该点的切平面切平面.上过点上过点 M 的任何曲线在该点的切线都的任何曲线在该点的切线都在同一平面上在同一平面上.三、曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面通过其上定点对应点 目录 上页 下页 返回 结束 证证:在在 上上,得得令令由于曲线由于曲线 的任意性的任意性,表明这些切线都在以表明这些切线都在以为法向量为法向量的平面上的平面上,从而切平面存在从而切平面存在.证:在 上,得令由于曲线 的任意性,表明这些切线目录 上页 下页 返回 结束 曲面曲面 在点在点 M 的的法向量法向量:法线方程法线方程 切平面方程切平面方程 过过M点且垂直于切平面的直线点且垂直于切平面的直线 称为曲面称为曲面 在点在点 M 的的法线法线.曲面 在点 M 的法向量:法线方程 切平目录 上页 下页 返回 结束 曲面曲面时时,则在点则在点故当函数故当函数 法线方程法线方程令令特别特别,当光滑曲面当光滑曲面 的方程为显式的方程为显式 在点在点有连续偏导数时有连续偏导数时,切平面方程切平面方程法向量法向量曲面时,则在点故当函数 法线方程令特别,当光滑曲面 的目录 上页 下页 返回 结束 法向量法向量将将法向量的法向量的方向余弦：方向余弦：用用,表示法向量的方向角表示法向量的方向角,并假定法向量方向并假定法向量方向分别记为分别记为则则向上的向上的,即使得它与即使得它与z轴的正向所成的角轴的正向所成的角为锐角为锐角,复习 法向量将法向量的方向余弦：用,表示法向量目录 上页 下页 返回 结束 例例6.求球面求球面在点在点(1,2,3)处的切处的切平面及法线方程平面及法线方程.解解:令令所以球面在点所以球面在点(1,2,3)处有处有:切平面方程切平面方程 即即法线方程法线方程法向量法向量即即(可见法线经过原点，即球心可见法线经过原点，即球心)例6.求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线目录 上页 下页 返回 结束 例例7.确定正数确定正数 使曲面使曲面在点在点解解:二曲面在二曲面在 M 点的法向量分别为点的法向量分别为二曲面在点二曲面在点 M 相切相切,故故又点又点 M 在球面上在球面上,于是有于是有相切相切.与球面与球面,因此有因此有例7.确定正数 使曲面在点解:二曲面在 M 点的法向量目录 上页 下页 返回 结束 1.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程切线方程法平面方程法平面方程1)参数式情况参数式情况.空间光滑曲线空间光滑曲线切向量切向量内容小结内容小结1.空间曲线的切线与法平面 切线方程法平面方程1)参数式目录 上页 下页 返回 结束 切线方程切线方程法平面方程法平面方程空间光滑曲线空间光滑曲线切向量切向量2)一般式情况一般式情况.切线方程法平面方程空间光滑曲线切向量2)一般式情况.目录 上页 下页 返回 结束 空间光滑曲面空间光滑曲面曲面曲面 在点在点法线方程法线方程1)隐式情况隐式情况.的的法向量法向量切平面方程切平面方程2.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线空间光滑曲面曲面 在点法线方程1)隐式情况.的法向量目录 上页 下页 返回 结束 空间光滑曲面空间光滑曲面切平面方程切平面方程法线方程法线方程2)显式情况显式情况.法线的法线的方向余弦方向余弦法向量法向量空间光滑曲面切平面方程法线方程2)显式情况.法线的方向余弦目录 上页 下页 返回 结束 29Thanks P103 题题3;4;8;.作业作业29Thanks P103 题3;4;8;.作业目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.如果平面与椭球面相切,提示提示:设切点为则(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)思考与练习1.如果平面与椭球面相切,提示:设切点为则(目录 上页 下页 返回 结束 证明 曲面上任一点处的切平面都通过原点.提示提示:在曲面上任意取一点则通过此 作业作业 P99 2，4，6，7，10，11，122.设 f(u)可微,第七节 证明原点坐标满足上述方程.点的切平面为证明 曲面上任一点处的切平面都通过原点.提示:在曲面上任目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1.证明曲面与定直线平行,证证:曲面上任一点的法向量取定直线的方向向量为则(定向量)故结论成立.的所有切平面恒备用题1.证明曲面与定直线平行,证:曲面上任一点的法目录 上页 下页 返回 结束 2.求曲线在点(1,1,1)的切线解解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为由此得切线:法平面:即与法平面.2.求曲线在点(1,1,1)的切线解:点(1,1,1
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