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中考数学（河北专用）2.3分式方程中考数学（河北专用）2.3分式方程1考点一分式方程及其解法1.(2020四川成都,8,3分)已知x=2是分式方程+=1的解,那么实数k的值为()A.3B.4C.5D.6答案答案Bx=2是+=1的解,+(-1)=1,解得k=4.故选B.考点一分式方程及其解法1.(2020四川成都,8,3分)已22.(2019四川成都,7,3分)分式方程+=1的解为()A.x=-1B.x=1C.x=2D.x=-2答案答案A原方程去分母得x(x-5)+2(x-1)=x(x-1),解得x=-1,检验:当x=-1时,x(x-1)0,所以x=-1是原分式方程的解,故选A.3.(2017河南,4,3分)解分式方程-2=,去分母得()A.1-2(x-1)=-3B.1-2(x-1)=3C.1-2x-2=-3D.1-2x+2=3答案答案A分式方程两边同乘(x-1),得1-2(x-1)=-3.故选A.2.(2019四川成都,7,3分)分式方程+=1的解为34.(2016河北,12,2分)在求3x的倒数的值时,嘉淇同学误将3x看成了8x,她求得的值比正确答案小5.依上述情形,所列关系式成立的是()A.=-5B.=+5C.=8x-5D.=8x+5答案答案B3x的倒数是,而嘉淇同学求得的值是,因为她求得的值比小5,所以可得+5=.思路分析思路分析根据题意知,8x的倒数+5=3x的倒数,据此列出方程即可.4.(2016河北,12,2分)在求3x的倒数的值时,嘉淇同45.(2018甘肃兰州,10,4分)关于x的分式方程=1的解为负数,则a的取值范围为()A.a1B.a1C.a1且a2答案答案D去分母得2x+a=x+1,解得x=1-a,分式的分母不为0,x+1=1-a+10,解得a2,方程的解为负数,a1.a的取值范围是a1且a2,故选D.6.(2017四川成都,9,3分)已知x=3是分式方程-=2的解,则实数k的值为()A.-1B.0C.1D.2答案答案D把x=3代入分式方程得-=2,解得k=2.故选D.5.(2018甘肃兰州,10,4分)关于x的分式方程=1的57.(2020内蒙古呼和浩特,13,3分)分式与的最简公分母是,方程-=1的解是.答案答案x(x-2);x=-4解析解析x2-2x=x(x-2),两个分式的最简公分母是x(x-2).-=1,去分母得2x2-8=x2-2x,整理得x2+2x-8=0,解得x=-4或x=2,经检验,x=-4是原方程的解,x=2是原方程的增根.原方程的解为x=-4.7.(2020内蒙古呼和浩特,13,3分)分式与的最简公6考点二分式方程的应用1.(2020福建,8,4分)我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,倩人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6210文能买多少株椽?设这批椽的数量为x株,则符合题意的方程是()A.3(x-1)=B.=3C.3x-1=D.=3答案答案A根据题意可列出方程=3(x-1).故选A.考点二分式方程的应用1.(2020福建,8,4分)我国古代72.(2020湖南长沙,11,3分)随着5G网络技术的发展,市场对5G产品的需求越来越大,为满足市场需求,某大型5G产品生产厂家更新技术后,加快了生产速度,现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品,现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同.设更新技术前每天生产x万件产品,依题意得()A.=B.=C.=D.=答案答案B根据工作时间=及题意,得=,故选B.2.(2020湖南长沙,11,3分)随着5G网络技术的发展,83.(2018山东淄博,10,4分)“绿水青山就是金山银山”.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务,为了迎接雨季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%,结果提前30天完成了这一任务.设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米,则下面所列方程中正确的是()A.-=30B.-=30C.-=30D.-=30答案答案C实际工作时每天绿化的面积为x万平方米,则原计划每天绿化的面积为万平方米,依题意得-=30,即-=30.故选C.3.(2018山东淄博,10,4分)“绿水青山就是金山银山”94.(2018新疆,14,5分)某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支,第二次又用600元购进该款铅笔,但这次每支的进价是第一次进价的倍,购进数量比第一次少了30支.则该商店第一次购进的铅笔,每支的进价是元.答案答案4解析解析设第一次购进的铅笔,每支的进价为x元,则可列方程-=30,解得x=4.经检验,x=4是原分式方程的解且符合题意.答:第一次购进的铅笔,每支的进价为4元.4.(2018新疆,14,5分)某商店第一次用600元购进2105.(2019云南,18,6分)为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围,推进平安校园建设,甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生,分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发,前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动.已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的1.5倍,甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地,分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度.解析解析设甲校师生所乘大巴车的平均速度为xkm/h,则乙校师生所乘大巴车的平均速度为1.5xkm/h.根据题意得-=1,(3分)解得x=60.经检验,x=60是原分式方程的解,且符合题意.1.5x=90.答:甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度分别为60km/h和90km/h.(6分)易错警示易错警示解分式方程的应用题时要对结果进行检验.5.(2019云南,18,6分)为进一步营造扫黑除恶专项斗争116.(2018吉林,19,7分)下图是学习分式方程应用时,老师板书的问题和两名同学所列的方程.15.3分式方程甲、乙两个工程队,甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等,乙队每天比甲队多修20米,求甲队每天修路的长度.冰冰:=庆庆:-=20根据以上信息,解答下列问题.(1)冰冰同学所列方程中的x表示,庆庆同学所列方程中的y表示;(2)两个方程中任选一个,并写出它的等量关系;(3)解(2)中你所选择的方程,并回答老师提出的问题.6.(2018吉林,19,7分)下图是学习分式方程应用时,老12解析解析(1)甲队每天修路的长度;(1分)甲队修路400米所用的天数(乙队修路600米所用的天数).(2分)(2)选冰冰所列的方程(选第一个方程),甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等.(3分)选庆庆所列的方程(选第二个方程),乙队每天修路长度与甲队每天修路长度的差等于20米.(3分)(3)选第一个方程=.解方程,得x=40.(5分)经检验,x=40是原分式方程的解,且符合题意.(6分)x=40.答:甲队每天修路的长度为40米.(7分)选第二个方程-=20.解方程,得y=10.(5分)解析(1)甲队每天修路的长度;(1分)13经检验,y=10是原分式方程的解,且符合题意.(6分)=40.答:甲队每天修路的长度为40米.(7分)经检验,y=10是原分式方程的解,且符合题意.(6分)14教师专用题组考点一分式方程及其解法1.(2020黑龙江齐齐哈尔,7,3分)若关于x的分式方程=+5的解为正数,则m的取值范围为()A.m-10且m-6答案答案D将分式方程=+5两边同时乘(x-2),去分母整理得2x=m+10,系数化为1得x=,由0,且-20,解得m-10且m-6,故选D.易错警示易错警示求解分式方程时,一定要检验.此题去分母后,解得x=,根据题意可得0,而x=是分式方程的解,因此还需检验-20,从而解得m-10且m-6.教师专用题组1.(2020黑龙江齐齐哈尔,7,3分)若关于x152.(2020重庆A卷,10,4分)若关于x的一元一次不等式组的解集为xa;且关于y的分式方程+=1有正整数解,则所有满足条件的整数a的值之积是()A.7B.-14C.28D.-56答案答案A由化简得因为它的解集为xa,所以a7,关于y的分式方程+=1的解为y=,且y2,因为分式方程有正整数解,且a7,所以a=1或a=7.所以满足条件的整数a的值之积为7,故选A.易错警示易错警示求分式方程的解时,要注意是否产生增根.本题中当a=4时,y=2是增根,所以a4.2.(2020重庆A卷,10,4分)若关于x的一元一次不等式163.(2018湖南株洲,5,3分)关于x的分式方程+=0的解为x=4,则常数a的值为()A.1B.2C.4D.10答案答案D把x=4代入分式方程+=0得+=0,解得a=10(符合题意),故选D.4.(2016广东梅州,7,3分)对于实数a、b,定义一种新运算“”为ab=,这里等号右边是实数运算.例如:13=-.则方程x(-2)=-1的解是()A.x=4B.x=5C.x=6D.x=7答案答案B根据新运算可知,原式可化为=-1,解得x=5.经检验,x=5是原方程的解,故选B.评析评析本题主要考查了新定义的应用和解分式方程,解答本题的关键是熟记解分式方程的步骤,同时注意检验.3.(2018湖南株洲,5,3分)关于x的分式方程+=0175.(2019重庆A卷,11,4分)若关于x的一元一次不等式组的解集是xa,且关于y的分式方程-=1有非负整数解,则符合条件的所有整数a的和为()A.0B.1C.4D.65.(2019重庆A卷,11,4分)若关于x的一元一次不等式18答案答案B解不等式x-(4a-2),得xa,解不等式x+2,得x5.解集是xa,a5.解分式方程-=1,得y=.关于y的分式方程有非负整数解,0,a-3,-3a5.为整数,a=-3,-1,1,3.当a=-1时,y=1,不是分式方程的解,a=-3,1,3,-3+1+3=1,即符合条件的所有整数a的和为1,故选B.答案B解不等式x-(4a-2),得xa,解196.(2019黑龙江齐齐哈尔,14,3分)关于x的分式方程-=3的解为非负数,则a的取值范围为.答案答案a4且a3解析解析方程两边同乘(x-1),得2x-a+1=3(x-1),解得x=4-a,由题意得x0且x1,解得a4且a3.思路分析思路分析先解关于x的分式方程,求得x的值,再依据“解为非负数,分母不为0”建立不等式组求a的取值范围.6.(2019黑龙江齐齐哈尔,14,3分)关于x的分式方程207.(2018黑龙江齐齐哈尔,14,3分)若关于x的方程+=无解,则m的值为.答案答案-1或5或-(答对一个得1分)解析解析去分母,得x+4+m(x-4)=m+3,去括号,移项,合并同类项,得(m+1)x=5m-1,因为分式方程无解,所以分下面三种情况:(1)当m+1=0,即m=-1时,5m-10,方程无解;(2)当x=4时,解方程得m=5;(3)当x=-4时,解方程得m=-.综上,m的值为-1或5或-.7.(2018黑龙江齐齐哈尔,14,3分)若关于x的方程+218.(2018四川眉山,15,3分)已知关于x的分式方程-2=有一个正数解,则k的取值范围为.答案答案k0且x3,6-k0且6-k3,即k0,y随a的增大而增大.当a=22时,y有最大值,为10520.答:最大费用为10520元.(8分)解析(1)设每个A类摊位占地面积为x平方米,则每个B类摊位30思路分析思路分析(1)设每个A类摊位占地面积为x平方米,则每个B类摊位占地面积为(x-2)平方米,根据“用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的”列分式方程求解即可.(2)设建造A类摊位a个,则建造B类摊位(90-a)个,列出总费用y关于a的表达式,根据一次函数的性质和a的取值范围进行求解即可.思路分析(1)设每个A类摊位占地面积为x平方米,则每个B类317.(2019湖北黄冈,20,7分)为了对学生进行革命传统教育,红旗中学开展了“清明节祭扫”活动.全校学生从学校同时出发,步行4000米到达烈士纪念馆.学校要求九(1)班提前到达目的地,做好活动的准备工作.行走过程中,九(1)班步行的平均速度是其他班的1.25倍,结果比其他班提前10分钟到达.分别求九(1)班、其他班步行的平均速度.解析解析设其他班步行的平均速度为x米/分,则九(1)班步行的平均速度为1.25x米/分,依题意得-=10,解得x=80.经检验,x=80是所列方程的解且符合题意.此时,1.25x=1.2580=100.答:九(1)班步行的平均速度为100米/分,其他班步行的平均速度为80米/分.思路分析思路分析可设其他班的平均速度,然后根据九(1)班比其他班提前10分钟到达建立方程.7.(2019湖北黄冈,20,7分)为了对学生进行革命传统教328.(2019湖南衡阳,24,8分)某商店购进A、B两种商品,购买1个A商品比购买1个B商品多花10元,并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等.(1)求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元;(2)商店准备购买A、B两种商品共80个,若A商品的数量不少于B商品数量的4倍,并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元,那么商店有哪几种购买方案?解析解析(1)设购买一个B商品需要x元,则购买一个A商品需要(x+10)元,由题意知=,解得x=5.经检验,x=5是原方程的解,且符合题意,x+10=15.答:购买一个A商品需要15元,购买一个B商品需要5元.(2)设购买A商品y个,则购买B商品(80-y)个,由题意得解得64y65,所以有两种购买方案:买A商品64个,B商品16个;买A商品65个,B商品15个.8.(2019湖南衡阳,24,8分)某商店购进A、B两种商品339.(2018内蒙古包头,23,10分)某商店以固定进价一次性购进一种商品,3月份按一定售价销售,销售额为2400元,为扩大销量,减少库存,4月份在3月份售价基础上打9折销售,结果销售量增加30件,销售额增加840元.(1)求该商店3月份这种商品的售价是多少元;(2)如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元,那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元?9.(2018内蒙古包头,23,10分)某商店以固定进价一次34解析解析(1)设该商店3月份这种商品的售价为x元.根据题意,得=-30,解得x=40.经检验,x=40是所得方程的解,且符合题意.答:该商店3月份这种商品的售价为40元.(2)设该商品的进价为a元.根据题意,得(40-a)=900,解得a=25.4月份的售价:400.9=36(元).4月份的销售数量:=90(件).4月份的利润:(36-25)90=990(元).答:该商店4月份销售这种商品的利润是990元.解析(1)设该商店3月份这种商品的售价为x元.35一、选择题(每小题3分,共18分)A组20182020年模拟基础题组时间:25分钟分值:34分1.(2020唐山开平一模,3)使分式和分式相等的x的值是()A.-5B.-4C.-3D.-1答案答案C根据题意可得=,解得x=-3.经检验,x=-3是原分式方程的解,故选C.一、选择题(每小题3分,共18分)A组20182020年362.(2020唐山路北一模,11)解分式方程+=,分以下四步,其中,错误的一步是()A.最简公分母是(x-1)(x+1)B.方程两边都乘(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6C.解这个整式方程,得x=1D.原方程的解为x=1答案答案D最简公分母为(x-1)(x+1),方程两边都乘(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6,解这个整式方程,得x=1.检验:当x=1时,(x-1)(x+1)=0,x=1不是原分式方程的解.故选D.2.(2020唐山路北一模,11)解分式方程+=,分以373.(2020衡水模拟,13)九年级(1)班全体师生义务植树300棵.原计划每小时植树x棵,但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨,实际工作效率提高为原计划的1.2倍,结果提前20分钟完成任务.则下面所列方程中,正确的是()A.-=B.-=20C.-=D.=-答案答案A根据题意可得方程:-=.故选A.3.(2020衡水模拟,13)九年级(1)班全体师生义务植树384.(2019唐山路南一模,5)分式方程=0的解是()A.x=-1B.x=1C.x=1D.x=0答案答案C两边都乘x,得x2-1=0,解得x=1,当x=1时,x0,所以x=1是原分式方程的解.故选C.5.(2019石家庄质检,5)解分式方程=1-,去分母后得到的方程正确的是()A.-2x=1-(2-x)B.-2x=2-x+1C.2x=x-2-1D.2x=x-2+1答案答案D方程两边同乘(x-2)得2x=x-2+1,故选D.4.(2019唐山路南一模,5)分式方程=0的解是(396.(2019保定竞秀一模,10)某书店分别用2000元和3000元两次购进流浪地球小说,第二次购进的数量比第一次多50套,两次进价相同.若设该书店第一次购进x套,则根据题意,列方程正确的是()A.=B.=C.=D.=答案答案A该书店第一次购进x套,则第二次购进(x+50)套,根据两次进价相同得=.故选A.6.(2019保定竞秀一模,10)某书店分别用2000元和40二、填空题(每小题3分,共6分)7.(2020秦皇岛模拟改编)当x=时,代数式-的值为-1.答案答案2解析解析由题意得-=-1,解得x=2.经检验,x=2是原分式方程的解.所以当x=2时,代数式-的值为-1.二、填空题(每小题3分,共6分)7.(2020秦皇岛模拟改编418.(2018邢台一模,18)两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工1个月完成总工程的,这时增加了乙队,两队又共同施工了半个月,总工程全部完成.设乙队单独施工1个月能完成总工程的,根据题意可得方程为.答案答案+=1解析解析乙队单独施工1个月完成总工程的,则甲、乙两队共同工作1个月完成总工程的.根据题意得+=1,即+=1.8.(2018邢台一模,18)两个工程队共同参与一项筑路工程42三、解答题(共10分)9.(2019石家庄桥西一模,20)小华想复习分式方程,由于印刷问题,有一个数“?”看不清楚:+3=.(1)她把这个数“?”猜成5,请你帮小华解这个分式方程;(2)小华的妈妈说:“我看到标准答案是方程的增根为x=2,原分式方程无解.”请你求出原分式方程中“?”代表的数是多少.解析解析(1)方程两边同时乘(x-2)得5+3(x-2)=-1,解得x=0,经检验,x=0是原分式方程的解.(2)设“?”代表的数是m,方程两边同时乘(x-2)得m+3(x-2)=-1,由于x=2是原分式方程的增根,所以把x=2代入m+3(x-2)=-1,得m+3(2-2)=-1,m=-1.所以原分式方程中“?”代表的数是-1.三、解答题(共10分)9.(2019石家庄桥西一模,20)小43一、选择题(每小题3分,共15分)B组20182020年模拟提升题组时间:25分钟分值:37分1.(2020衡水期末,5)对于非零实数a、b,规定ab=-,若2(2x-1)=1,则x的值为()A.B.C.D.-答案答案Aab=-,2(2x-1)=-.又2(2x-1)=1,-=1,解得x=.经检验,x=是原分式方程的解.故选A.一、选择题(每小题3分,共15分)B组20182020年442.(2020承德模拟,8)为抗击新冠肺炎,加强防疫措施,某口罩生产公司复工后每天的生产效率比原来提高了60%,结果提前15天完成了原计划200万只口罩的生产任务.设原计划x天完成任务,则下列方程正确的是()A.-=15B.-=15C.=(1+60%)D.(1+60%)=答案答案D根据题意可得方程:(1+60%)=.故选D.思路分析思路分析从实际问题中找出等量关系:原计划工作效率(1+60%)=实际工作效率,依此可列出方程.2.(2020承德模拟,8)为抗击新冠肺炎,加强防疫措施,某453.(2019廊坊安次一模,10)某校为进一步开展“阳光体育”活动,购买了一批篮球和足球,已知购买足球的数量是篮球数量的2倍,购买足球用了4000元,购买篮球用了2800元,篮球单价比足球单价贵16元,若可用方程=-16表示题中的等量关系,则方程中的x表示()A.足球的单价B.篮球的单价C.足球的数量D.篮球的数量答案答案D利用“篮球单价比足球单价贵16元”作为等量关系,方程左边的表示足球的单价,右边的表示篮球的单价,故方程中的x表示篮球的数量.解题关键解题关键本题考查了由实际问题抽象出分式方程,找到关键描述语以及合适的等量关系是解决问题的关键.3.(2019廊坊安次一模,10)某校为进一步开展“阳光体育464.(2019石家庄质检,10)某工程队承接了60万平方米的绿化工程,由于情况有变,.设原计划每天的绿化面积为x万平方米,列方程为-=30.根据方程可知省略的部分是()A.实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%,结果提前30天完成任务B.实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%,结果延误30天完成任务C.实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%,结果延误30天完成任务D.实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%,结果提前30天完成任务答案答案C方程-=30,表示实际用的时间-原计划用的时间=30,说明实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%,结果延误30天完成任务.故选C.4.(2019石家庄质检,10)某工程队承接了60万平方米的475.(2019石家庄二模,10)关于x的分式方程=1的解是不小于-3的负数,则下列各数中,a可取的一组数是()A.-1,1B.5,6C.2,3D.1.5,4答案答案D分式方程去分母得2x+a=x+1,解得x=1-a,由方程的解是不小于-3的负数可得-31-a0,且1-a-1,即1”“;解析解析根据规定可得(-2)1=-,1(-2)=-2,-2,(-2)11(-2).x3=(x-1)(-4),即=,解得x=.经检验,x=是原分式方程的解.二、填空题(每小题3分,共12分)6.(2020邢台一模,1497.(2020张家口一模改编)已知关于x的方程=1的解是正数,则m的取值范围为.答案答案m1且m2解析解析去分母得2x-m=x-1,解得x=m-1,由题意得m-10且m-11,解得m1且m2.思路分析思路分析首先将分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解,由分式方程的解为正数得到整式方程的解大于0,同时注意分母不为0这个条件,即可得出结果.7.(2020张家口一模改编)已知关于x的方程=1的解是正508.(2018沧州模拟,18)关于x的两个方程x2-x-2=0与=有一个解相同,则a=.答案答案-5解析解析解方程x2-x-2=0得x1=-1,x2=2,x-20,x2.把x=-1代入分式方程得=,解得a=-5.经检验,a=-5符合题意.8.(2018沧州模拟,18)关于x的两个方程x2-x-2=519.(2018保定定兴二模改编)对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号Maxa,b表示a,b中的较大值,如:Max2,4=4,按照这个规定,方程Maxx,-x=的解为.答案答案1+或-1解析解析当x-x,即x0时,方程Maxx,-x=,即为分式方程x=,解得x-1=,即x=1,经检验,x=1满足题意.x0,x=1+;当x-x,即x0时,方程Maxx,-x=,即为分式方程-x=,解得x=-1.经检验,x=-1满足题意.综上,方程Maxx,-x=的解为1+或-1.9.(2018保定定兴二模改编)对于两个不相等的实数a,b,52三、解答题(共10分)10.(2018保定一模,23)下面是售货员与小明的对话:根据对话内容解答下列问题:(1)A,B两种文具的单价各是多少元?(2)若购买A,B两种文具共20件,其中A种文具的数量少于B种文具的数量,且购买总费用不超过260元,共有几种购买方案?三、解答题(共10分)10.(2018保定一模,23)下面是53解析解析(1)设A种文具的单价为x元,则B种文具的单价为(25-x)元,根据题意得=,解得x=10.经检验,x=10是原分式方程的解.25-x=15.所以A,B两种文具的单价分别为10元,15元.(2)设购买A种文具m件,依题意得解得8m10,m为整数,m=8或9,共有两种购买方案.解析(1)设A种文具的单价为x元,则B种文具的单价为(2554
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