三多维随机变量及其分布教学课件

时间反复无常，鼓着翅膀飞逝三多维随机变量及其分布三多维随机变量及其分布三、多维随机变量及其分布随机变量随机变量 随机变量的分布函数的概念及性质随机变量的分布函数的概念及性质离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布常见随机变量的分布 随机变量函数的分布随机变量函数的分布考试内容考试内容XYy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1pi2pij（2）(X,Y)的联合分布律（表）3.联合概率分布的性质联合概率分布的性质（非负性）（归一性）4.边缘分布边缘分布(X,Y)的分量X和Y的分布律称为其边缘分布律.它与联合分布的关系为5.条件分布条件分布对固定的j，若 则称为X关于 的条件分布条件分布.类似地，若 则称为Y关于 的条件分布条件分布.注注：（三）二维连续型随机变量（三）二维连续型随机变量 1.1.定义定义 设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),如果存在非负可积函数f(x,y),使得对任意实数x,y,有则称(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为其联合联合密度函数密度函数.2.2.联合密度函数的性质联合密度函数的性质（非负性）（归一性）xyf(x,y)二元概率密度函数f(x,y)从图形上看是在xoy平面上方的一个曲面,包围着下方的体积为1.3.3.二维连续随机变量的性质二维连续随机变量的性质 设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),密度函数为f(x,y)，则（1）F(x,y)为二元连续函数；（2）对于任何平面曲线L，有（3）对于平面区域D，有概率计算公式：（4）对于f(x,y)的连续点(x,y)，有4.4.边缘分布边缘分布 设(X,Y)的密度函数为f(x,y)，则X和Y的分布函数可表示为分别称为(X,Y)的关于X和Y的边缘分布函数边缘分布函数，而分别称为(X,Y)的关于X和Y的边缘密度函数边缘密度函数.5.条件分布条件分布对于给定的x，若fX(x)0,则称为Y关于X=x的条件密度函数条件密度函数.为X关于Y=y的条件密度函数条件密度函数.类似地，若fY(y)0,则称 条件密度函数条件密度函数同样满足密度函同样满足密度函数的所有性质数的所有性质.注：（四）随机变量的独立性（四）随机变量的独立性1.1.一般情形一般情形 设n维随机变量 的联合分布函数为关于Xi 的边缘分布函数为若对任意实数 有则称随机变量 相互独立相互独立.2.2.离散型离散型 设 为n维离散型随机变量，若对一切可能的值 有则称随机变量 相互独立.特殊：二维情形特殊：二维情形X,Y 相互独立3.3.连续型连续型 设 为n维离散型随机变量，若对任意实数 有其中 是联合密度，为Xi 的边缘密度，则称随机变量 相互独立.X,Y 相互独立特殊：二维情形特殊：二维情形（五）随机变量函数的分布（五）随机变量函数的分布(重点重点)1.1.一般情形一般情形随机变量Z为随机变量X,Y的函数，即Z=g(X,Y),则Z的分布函数为2.离散型离散型已知则Z的分布为3.连续型连续型 已知(X,Y)的密度函数为 f(x,y)，Z=g(X,Y),则Z的分布函数分布函数为若Z任为连续型随机变量，则Z的密度函数密度函数为4.X与与Y的和、商与极值的分布的和、商与极值的分布（1）和的分布设(X,Y)的密度函数为f(x,y),则Z=X+Y的密度函数为当X,Y独立时，有卷积公式卷积公式：(2)商的分布设(X,Y)的密度函数为f(x,y),则 的密度函数为当X,Y独立时，有（3）极值分布 当X,Y相互独立时,其分布函数分别为FX(x),FY(y),则的分布函数为可推广为可推广为n个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量：若X与Y独立同分布？（六）两个常见的二维分布（六）两个常见的二维分布1.1.二维均匀分布二维均匀分布设(X,Y)的密度函数为则(X,Y)U（D）.性质：设(X,Y)服从矩形域上的均匀分布，则两个边缘分布都是均匀分布，即XUa,b,YUc,d,且两个条件分布也是均匀分布.2.2.二维正态分布的二维正态分布的性质性质：(1)两个边缘分布为正态分布(2)X与Y的线性组合仍服从正态分布，即(3)X与Y相互独立(X与Y不相关)（任意两个正态分布的和不一定服从正态分布）两个边缘分布都是正态分布的二维随机变量不一定服从二维正态分布此时，(4)X关于Y=y(Y关于X=x)的条件分布仍为正态分布:注注：当 时,两个条件分布就是相应的边缘分布.几点注意：几点注意：1.1.几个常用的事件的关系几个常用的事件的关系2.2.联合分布、边缘分布和条件分布的关系联合分布、边缘分布和条件分布的关系联合分布边缘分布和条件分布联合分布边缘分布独立独立此时，离散型：连续型：X,Y 相互独立X,Y 相互独立考点与例题分析考点与例题分析考点一：联合分布、边缘分布与条件分布的计算考点一：联合分布、边缘分布与条件分布的计算考点二考点二:利用已知分布求相关事件的概率利用已知分布求相关事件的概率考点三考点三:随机变量的独立性随机变量的独立性考点四：随机变量函数的分布考点四：随机变量函数的分布考点一：联合分布、边缘分布与条件分布的计算考点一：联合分布、边缘分布与条件分布的计算 利用联合分布与边缘分布之间的关系、概率密度或分布律自身的性质如归一性等.例1 同一品种的5个产品中,有2个正品,每次从中取1个检验质量,不放回地抽取,连续2次.记“Xk=0”表示第k次取到正品,而“Xk=1”为第k次取到次品(k=1,2).写出(X1,X2)的联合分布律和边缘分布.解 X1,X2可能取值均为0,1,按乘法公式有0100.10.310.30.3故联合分布律为 0 10.40.4+0.6+同理，0 10.4 0.60.40.6求边缘分布:因为0.6问随机变量X1,X2 独立吗？不独立！求例1的X1关于X2的条件分布PX1=0|X2=1=0.3/0.6=0.5,PX1=1|X2=1=0.50100.10.310.30.3由PX1=0|X2=0=0.1/0.4=0.25,PX1=1|X2=0=3/40.40.60.40.60 1X1|X2=00.25 0.750 1X1|X2=10.5 0.5由例2 设随机变量XU(0,1),在X=x(0 x1.解(1)依题意，有在 时,X和Y的联合密度为在其它点处，f(x,y)=0,即(2)当0y1时,Y 的概率密度为在其它点(x,y)处，因此(3)由图,考点二考点二:利用已知分布求相关事件的概率利用已知分布求相关事件的概率 搞清楚随机变量所表示的事件,利用概率的基本性质和重要公式以及常见分布的定义和性质求解.记住几个常见分布例3 设X和Y均服从 且则解 例4 设Xi(i=1,2)的分布律均为Xi-1 0 1(i=1,2)且满足 则-1 0 p12 0 1/4 0 p21 p22 p23 1/2 1 0 p32 0 1/4 1/4 1/2 1/4 1X2X1-1 0 1由表p12=1/4,p32=1/4,从而p22=0,故解 由 易知 即Xi都不取零列出联合分布律：考点三考点三:随机变量的独立性随机变量的独立性X,Y 相互独立X,Y 相互独立1.一般型：X,Y 相互独立F(x,y)=FX(x)FY(y)2.离散型：3.连续型：例5 设二维随机变量则解 因(X,Y)服从二维正态分布,且故X和Y相互独立,且例6 设随机变量X和Y独立同分布,试证明 证明：设X和Y的分布函数为F(x)和F(y),密度函数为f(x)和f(y),由独立性知X和Y的联合密度函数为f(x,y)=f(x)f(y),故考点四：随机变量函数的分布考点四：随机变量函数的分布 掌握利用分布律或分布函数的定义求解的方法.求解时注意随机变量独立性的条件.(重点和难点：求二维随机变量的函数的分布)注意处理分段多元函数的积分.例7 将两封信随机地往编号为1,2,3,4的4个邮筒内投.Xi表示第i个邮筒内信的数目(i=1,2).(1)写出(X1,X2)的联合分布及(X1,X2)中关于X1的边缘分布；(2)两个邮筒内信的数目之和X1+X2的分布律.解 (1)Xi所有可能取值：0,1,2.试验共有42=16种不同的等可能结果:0129/166/161/1601204/164/161/169/1614/162/1606/1621/16001/16上表计算出 的边缘分布计算结果列于下表并计算X1的边缘分布01204/164/161/1614/162/16021/16000121/41/21/4(2)求X1+X2的分布律：所有可能取值0,1,2,3,4.因此，X1+X2的分布律：01204/164/161/1614/162/16021/1600-2-10121/164/166/164/161/16用斜线法计算 的分布律：因此例8(0713)设二维随机变量(X1,X2)的概率密度为求（1）（2）Z=X+Y的概率密度fZ(z).解(1)(2)法1 先求Z的分布函数，如图当 时，当 时，当 时，当 时，故法2 利用卷积公式：当 或 时，当 时，当 时，故例9 设随机变量X的概率分布为令Y=X2，F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数，求(1)Y的概率密度fY(y);解(1)Y的分布函数为当 时，当当 时，时，（06134）当 时，当 时，故Y的概率密度当 时，当0 y1时,当1 y4时,另解：不需先求出分布函数的具体表达式另解：不需先求出分布函数的具体表达式注意：注意：（因为X,Y 不独立）考研题与练习题考研题与练习题1.(02103)设随机变量 且二次方程y2+4y+X=0无实根的概率为 则应填4.解解 二次方程的判别式为42-4X4,依题意有42.(08134)设X,Y相互独立,X的概率分布为Y的概率密度为记Z=X+Y，求(1)(2)Z的概率密度.考查：随机变量的独立性和全概公式.解(1)由于X,Y相互独立，于是错解：另解：（没有过程）（X与Y不独立）(2)先求Z的分布函数.由于构成一个完备事件组，因此根据全概率公式得故Z的概率密度3.(08134)设随机变量X和Y独立同分布,分布函数为F(X),则 的分布函数为解 选A.因X和Y独立同分布，设Z的分布函数为F(x).一般地考查：随机变量函数的分布、独立性1.选B.应注意到Z的分布函数是一元函数.2.选C.实际上这是minX,Y的答案.错解：4.（06134）设随机变量X和Y独立,且服从区间0,3上的均匀分布，则考查：独立性和均匀分布5.（07134）设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X和Y不相关，分别表示X和Y的概率密度.则在Y=y的条件下,X的条件概率 X与Y相互独立(X与Y不相关)若(X,Y)服从二维正态分布，则一般地一般地X,Y 相互独立X与Y不相关考查：二维正态分布,独立性,不相关,二维概率密度，边缘密度和条件密度，是一道综合题。注注：6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。斯宾诺莎斯宾诺莎7、自知之明是最难得的知识。、自知之明是最难得的知识。西班牙西班牙8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。塞内加塞内加9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。赫尔普斯赫尔普斯10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。笛卡儿笛卡儿 Thank you拯畏怖汾关炉烹霉躲渠早膘岸缅兰辆坐蔬光膊列板哮瞥疹傻俘源拯割宜跟三叉神经痛-治疗三叉神经痛-治疗