逻辑函数的运算和卡诺图课件

交换率A+B=B+AAB=BA结合率A+(B+C)=(A+B)+CA(BC)=(AB)C分配率A(B+C)=AB+ACA+(BC)=(A+B)(A+C)吸收率A+AB=AA(A+B)=A01率A+1=1,A+O=AA0=0,A1=A互补率重叠率A+A=AAA=A非非率反演率包含率逻辑代数的基本公式交换率A+B=B+AAB=BA结合率A+(1（1 1）常量之间的关系）常量之间的关系0 0=0 0+0=0 0 1=0 0+1=1 1 0=0 1+0=1 1 1=1 1+1=1 0=1 1=0 请特别注意请特别注意与普通代数与普通代数不同之处不同之处与或 这些常量之间的关这些常量之间的关系，同时也体现了逻辑系，同时也体现了逻辑代数中的基本运算规则，代数中的基本运算规则，也叫做公理，它是人为也叫做公理，它是人为规定的，这样规定，既规定的，这样规定，既与逻辑思维的推理一致，与逻辑思维的推理一致，又与人们已经习惯了的又与人们已经习惯了的普通代数的运算规则相普通代数的运算规则相似。似。（1）常量之间的关系0 0=0 0+0=2（2）常量与变量之间的关系普通代数结普通代数结果如何？果如何？（3）与普通代数相似的定理 交换律交换律AB=BAA+B=B+A结合律结合律A（BC）=（AB）CA+(B+C)=(A+B)+C分配律分配律A（B+C）=AB+ACA+(BC)=(A+B)(A+C)（2）常量与变量之间的关系普通代数结果如何？（3）与普通代数3（4）特殊的定理De De morgenmorgen定理定理反演律：P14注意（4）特殊的定理De morgen定理逻辑代数的基本公式4 目的：要求学会证明函数相等的方法，运用逻辑代数的目的：要求学会证明函数相等的方法，运用逻辑代数的基本定律，得出一些常用公式。基本定律，得出一些常用公式。吸收律：吸收律：（互补率）说说明明：两两个个乘乘积积项项相相加加时时，若若乘乘积积项项分分别别包包含含B B和和/B/B两两个个因因子子。而而其其余余因因子子相相同同。则则两两项项定定能能合合并并成成一一项项，消消去去B B和和/B/B两个因子。两个因子。说明：两个乘积项相加时，其中一项的部分因子恰好说明：两个乘积项相加时，其中一项的部分因子恰好是另一乘积项的补是另一乘积项的补（/A)/A)，则该乘积项中的则该乘积项中的/A/A是多余的。是多余的。吸收律吸收律：常用公式常用公式 目的：要求学会证明函数相等的方法，运用逻辑代数5冗余律：冗余律：推论：推论：证：P14冗余律：推论：证：若干常用公式P146A+BC=(A+B)(A+C)证：(A+B)(A+C)=AA+AC+AB+BC=(A+AC+AB)+BC=A(1+C+B)+BC=A+BC交叉互换律：交叉互换律：加对乘的分配率：加对乘的分配率：P14六式-2A+BC=(A+B)(A+C)证：(A+B)(A+C)=7(1)(1)定义：定义：最小项是一个与项最小项是一个与项。(2)2)特点特点：n n 个变量都出现，每个变量以原变量或反变量的形式个变量都出现，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次。称这个出现一次，且仅出现一次。称这个与项与项为最小项。为最小项。n n 变量变量有有 2 2n n 个最小项。个最小项。例如：在三变量A、B、C的最小项中：1 1、最小项、最小项 输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项的值等于1。当A=1、B=0、C=1时，所对应的十进制数就是5。按照上述约定，作出三变量最小项编号表。原取原取1,1,反取反取0.0.(1)定义：最小项是一个与项。(2)特点：8最小项使最小项为1的变量取值对应十进制数编号ABC00000011010201131004101511061117最小项的重要性质最小项的重要性质 在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为仅有一个最小项的值为1 1。最小项使最小项为1的变量取值对应十进制数编号ABC000009所有最小项之和为所有最小项之和为1 1。任意两个最小项的乘积为任意两个最小项的乘积为0 0。具有相邻性的两个最小项之和，可以合并成一项，并消具有相邻性的两个最小项之和，可以合并成一项，并消去一对因子。去一对因子。相邻性：相邻性：若两个最小项彼此只有一个因子不同，且互为反变量，若两个最小项彼此只有一个因子不同，且互为反变量，则称这两个最小项具有相邻性。则称这两个最小项具有相邻性。例：所有最小项之和为1。任意两个最小项的乘积为0。具有相邻10 定理：定理：任何逻辑函数任何逻辑函数 y y都可以用最小项之和的形式表示。都可以用最小项之和的形式表示。而且这种形式是唯一的。而且这种形式是唯一的。1 1、真值表法：真值表法：将逻辑函数先用真值表表示，然后再根据真值表写出最小项之和。例：将表示为最小项之和的形式。解：由最小项特点知：n 个变量都出现，BC 缺变量 A,所以 F 是一般与或式，不是最小项之和的标准形式。列：F 真值表：定理：任何逻辑函数 y都可以用最小项之和的形式表11 由最小项性质、知：每个最小项等于1的自变量取值是惟一的。那么：将 F=1 的输入变量组合相加即可。其输入变量组合中，1表示原变量,0表示反变量 由最小项性质、知：每个最小项等于1的自变量取值是惟12摩根定律及配项法摩根定律及配项法 将逻辑函数反复利用摩根定律及配项法，将其表示为最小项之和的形式。例1：解：原取原取1 1反取反取0 0摩根定律及配项法 将逻辑函数反复利用摩根定律及配项13 卡诺图的目的是用来化简逻辑函数，那么如何用卡诺图来表示逻辑函数？真值表法真值表法 已知一个真值表，可直接填出卡诺图。方法是：把真值表中输出为 1 的最小项，在的卡诺图对应小方格内填 1，把真值表中输出为 0 的最小项，在卡诺图对应小方格内填 0。例：已知真值表为ABCFm m i i0000m m 0 00011m m 1 10101m m 2 20110m m 3 31001m m 4 41010m m 5 51101m m 6 61111m m 7 7 填有填有1 的所有小方的所有小方格的合成区域就是该格的合成区域就是该函数的卡诺图。函数的卡诺图。卡诺图的目的是用来化简逻辑函数，那么如何用卡诺图来14是 m13 和 m12 的公因子所以只要在 A=B=1，C=0 所对应的区域填1即可。同理：在 A=0，B=D=1 所对应的区域填1。在 A=1，C=1 所对应的区域填1。直接观察法：（填公因子法）直接观察法：（填公因子法）是 m13 和 m12 的公因子所以只要在 A=B=1，C15以四变量为例说明卡诺图的化简方法:若规定：代表一个最小项的小方格叫做“0”维块。“0 0”维块：维块：表示四个变量一个也没有被消去。“0”维块相加“1”维块“2”维块“3”维块从上述分析中可以看出：从上述分析中可以看出：二个二个“0 0”维块维块相加相加，可合并为一项，并消去一对有 0，1变化因子。四个四个“0 0”维块维块相加相加，可合并为一项，并消去二对有 0，1变化因子。八个八个“0 0”维块维块相加相加，可合并为一项，并消去三对有 0，1变化因子。m0+m1m3+m2m4+m5m7+m6 将相邻“0”维块相加，可以将两项合并为一项，并消去一对因子。相邻项以四变量为例说明卡诺图的化简方法:若规定：代表一个最162、画出表示该函数的卡诺图。3、画合并圈。将相邻的“1”格按 2n 圈一组，直到所有“1”格全部被覆盖为止。1、合并圈越大，与项中因子越少，与门的输入端越少合并圈越大，与项中因子越少，与门的输入端越少。2、合并圈个数越少，与项数目越少，与门个数越少合并圈个数越少，与项数目越少，与门个数越少。3、由于由于 A+A=AA+A=A，所以同一个，所以同一个“1 1”格可以圈多次格可以圈多次。4、每个合并圈中要有新的未被圈过的每个合并圈中要有新的未被圈过的“1 1”格格。卡诺图化简原则：4、将每个合并圈所表示的与项逻辑相加与项逻辑相加。1、将函数化简为最小项之和的形式。2、画出表示该函数的卡诺图。3、画合并圈。将相邻的“17有有“约束约束”的逻辑函数的化简的逻辑函数的化简l“约束约束”是用来说明逻辑函数中各逻辑变量之间互相是用来说明逻辑函数中各逻辑变量之间互相“制约制约”的概的概念。对应于输入变量的某些取值下，输出函数的值可以是任意的念。对应于输入变量的某些取值下，输出函数的值可以是任意的(随随意项、任意项意项、任意项)，或者这些输入变量的取值根本不会（也不允许）出，或者这些输入变量的取值根本不会（也不允许）出现现(约束项约束项)，通常把这些输入变量取值所对应的最小项称为无关项，通常把这些输入变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项，在卡诺图中用符号或任意项，在卡诺图中用符号“”表示，在标准与或表达式中用表示，在标准与或表达式中用d（）表示。（）表示。l“约束条件约束条件”所含的最小项称为所含的最小项称为“约束项约束项”，或，或“无关项无关项”、“禁禁止项止项”有“约束”的逻辑函数的化简“约束”是用来说明逻辑函数中各逻辑182.5.6 有有“约束约束”的逻辑函数的化简的逻辑函数的化简l例例 2.5.3：如图电路，：如图电路，A、B、C、D 是十进制数是十进制数 x 的的 8421BCD 编码，编码，当当 x5 时输出出 F 为1。求。求 F 的最的最简与或表达式。与或表达式。ABCDFl解：列真值表解：列真值表 画卡画卡诺图0001111000 01 11 1011111xA B C DF50 1 0 1160 1 1 0170 1 1 1181 0 0 0191 0 0 11-1 0 1 0-1 0 1 1-1 1 0 0-1 1 0 1-1 1 1 0-1 1 1 12.5.6 有“约束”的逻辑函数的化简例 2.5.3：如图19如何处理约束项如何处理约束项0001111000 01 11 10111110001111000 01 11 1011111l将约束项当作任意项处理，将约束项当作任意项处理，可可 0 可可 1如何处理约束项0000 01 20本章小结本章小结 数字电路中广泛采用数字电路中广泛采用二进制二进制，二进制的特点是逢二进一，二进制的特点是逢二进一，用用0 0和和1 1表示逻辑变量的两种状态。二进制可以方便地转换成表示逻辑变量的两种状态。二进制可以方便地转换成八进制、十进制八进制、十进制和和十六制十六制。数数字字电电路路的的输输入入变变量量和和输输出出变变量量之之间间的的关关系系可可以以用用逻逻辑辑代代数数来描述，最基本的逻辑运算是来描述，最基本的逻辑运算是与运算与运算、或运算或运算和和非运算。非运算。本章小结 数字电路中广泛采用二进制，二进制的特点是逢二21逻辑函数有四种表示方法：逻辑函数有四种表示方法：真值表真值表、逻辑表达式逻辑表达式、逻逻辑图辑图和和工作波形图工作波形图。这四种方法之间可以互相转换，真值。这四种方法之间可以互相转换，真值表和卡诺图是逻辑函数的最小项表示法，它们具有惟一性。表和卡诺图是逻辑函数的最小项表示法，它们具有惟一性。而逻辑表达式和逻辑图都不是惟一的。使用这些方法时，而逻辑表达式和逻辑图都不是惟一的。使用这些方法时，应当根据具体情况选择最适合的一种方法表示所研究的逻应当根据具体情况选择最适合的一种方法表示所研究的逻辑函数。辑函数。本章小结本章小结 逻辑函数有四种表示方法：真值表、逻辑表达式、逻辑图和工作22 本章介绍了两种逻辑函数化简法。本章介绍了两种逻辑函数化简法。公式化简法公式化简法是利用逻是利用逻辑代数的公式和规则，经过运算，对逻辑表达式进行化简。辑代数的公式和规则，经过运算，对逻辑表达式进行化简。它的优点是不受变量个数的限制，但是否能够得到最简的结它的优点是不受变量个数的限制，但是否能够得到最简的结果，不仅需要熟练地运用公式和规则，而且需要有一定的运果，不仅需要熟练地运用公式和规则，而且需要有一定的运算技巧。算技巧。图解化简法图解化简法是利用逻辑函数的卡诺图进行化简，其是利用逻辑函数的卡诺图进行化简，其优点是方便直观，容易掌握，但变量个数较多时（五个以上）优点是方便直观，容易掌握，但变量个数较多时（五个以上），则因为图形复杂，不宜使用。在实际化简逻辑函数时，将，则因为图形复杂，不宜使用。在实际化简逻辑函数时，将两种化简方法结合起来使用，往往效果更佳。两种化简方法结合起来使用，往往效果更佳。本章小结本章小结 本章介绍了两种逻辑函数化简法。公式化简法是利用逻辑代数23