七章节一阶电路课件

第七章第七章 一一 阶阶 电电 路路第七章第七章 一阶电路一阶电路含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。由于动态元件是储能元件，其由于动态元件是储能元件，其 VAR 是对时是对时间变量间变量 t 的微分和积分关系，因此的微分和积分关系，因此动态电路的特动态电路的特点是：点是：当电路状态发生改变时（换路）需要经历当电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过程称为电路的过渡过程过渡过程。1、动态电路、动态电路第七章第七章 一阶电路一阶电路电阻、电容和电感电路在换路时的表现。电阻、电容和电感电路在换路时的表现。1)电阻电路电阻电路 图图6.1（a）所示的电阻电路在）所示的电阻电路在 t=0 时合上开关，电路中的参数时合上开关，电路中的参数发生了变化。电流发生了变化。电流 i 随时间的随时间的变化情况如图变化情况如图6.1（b）所示，）所示，显然电流从显然电流从t0时的稳定状态时的稳定状态直接进入直接进入t0 后的稳定状态。后的稳定状态。说明纯电阻电路在换路时没有说明纯电阻电路在换路时没有过渡期。过渡期。图 6.1（a）图 6.1（b）第七章第七章 一阶电路一阶电路2)电容电路电容电路 图图 6.2(a)所示的电容和电阻组成的电路在开关未动作前，所示的电容和电阻组成的电路在开关未动作前，电路处于稳定状态，电流电路处于稳定状态，电流 i 和电容电压满足：和电容电压满足：i=0，uC=0。t=0 时合上开关，电容充电，时合上开关，电容充电，接通电源后很长时间，电容接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态，电流充电完毕，电路达到新的稳定状态，电流 i 和电容电压满足：和电容电压满足：i=0，uC=US。电流电流 i 和电容电压和电容电压uC 随时间的变化情况如图随时间的变化情况如图6.2（c）所示，）所示，显然从显然从t0 时的稳定状态不是直接进入时的稳定状态不是直接进入t0后新的稳定状态。后新的稳定状态。说明含电容的电路在换路时需要一个过渡期。说明含电容的电路在换路时需要一个过渡期。图图 6.3 6.3（a a）（b b）（c）第七章第七章 一阶电路一阶电路3)电感电路电感电路 图图 6.3(a)所示的电感和电阻组成的电路在开关未动作前，所示的电感和电阻组成的电路在开关未动作前，电路处于稳定状态，电流电路处于稳定状态，电流i 和电感电压满足：和电感电压满足：i=0，uL=0。t=0 时合上开关。接通电源很长时间后，电路达到新的稳时合上开关。接通电源很长时间后，电路达到新的稳定状态，电流定状态，电流 i 和电感电压满足：和电感电压满足：i=0，uL=US/R。电流电流 i 和电感电压和电感电压uL 随时间的变化情况如图随时间的变化情况如图6.3（c）所示，）所示，显然从显然从t0时的稳定状态不是直接进入时的稳定状态不是直接进入t0后新的稳定状态。后新的稳定状态。说明含电感的电路在换路时需要一个过渡期。说明含电感的电路在换路时需要一个过渡期。图图 6.3（a）（b）（c）第七章第七章 一阶电路一阶电路从以上分析需要明确的是：从以上分析需要明确的是：1)换路是指电路结构、状态发生变化，即支路换路是指电路结构、状态发生变化，即支路接入或断开或电路参数变化；接入或断开或电路参数变化；2)含有动态元件的电路换路时存在过渡过程，含有动态元件的电路换路时存在过渡过程，过渡过程产生的原因是由于储能元件过渡过程产生的原因是由于储能元件L、C，在换，在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放需要一定路时能量发生变化，而能量的储存和释放需要一定的时间来完成；的时间来完成；3)代替电路方向就是研究换路后动态电路中电代替电路方向就是研究换路后动态电路中电压、电流随时间的变化过程。压、电流随时间的变化过程。第七章第七章 一阶电路一阶电路2.动态电路的方程动态电路的方程 分析动态电路，首先要建立描述电路的方程。分析动态电路，首先要建立描述电路的方程。动态电路方程的建立包括两部分内容：动态电路方程的建立包括两部分内容：一是应用一是应用基尔霍夫定律，基尔霍夫定律，二是应用电感和电容的微分或积二是应用电感和电容的微分或积分的基本特性关系式。下面通过例题给出详细的分的基本特性关系式。下面通过例题给出详细的说明。说明。第七章第七章 一阶电路一阶电路 设设 RC 电路如图电路如图 所示，根据所示，根据 KVL 列出回路方程为：列出回路方程为：由于电容的由于电容的 VCR VCR 为为 ：从两式中从两式中消去电流消去电流得得以电容电压为变量的以电容电压为变量的电路方程：电路方程：若以电流为变量，则有：若以电流为变量，则有：对以上方程求导得：对以上方程求导得：1）RC 电路电路第七章第七章 一阶电路一阶电路设设 RL 电路如图电路如图 所示的，根据所示的，根据 KVL 列出回路方程为：列出回路方程为：由于电感的由于电感的 VCR VCR 为：为：以上两式中消去电感电压得以上两式中消去电感电压得以电流为变量的电路方程：以电流为变量的电路方程：若以电感电压为变量，则有：若以电感电压为变量，则有：对以上方程求导得：对以上方程求导得：2）RL 电路电路第七章第七章 一阶电路一阶电路根据根据 KVL KVL 和电容、电感的和电容、电感的 VAR VAR 可得方程为：可得方程为：整理以上各式得以电容电压为变量的二阶微分方程：整理以上各式得以电容电压为变量的二阶微分方程：3）RLC电路电路第七章第七章 一阶电路一阶电路考察上述方程可得以下结论：考察上述方程可得以下结论：（1 1）描述动态电路的电路方程为微分方程；）描述动态电路的电路方程为微分方程；（2 2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数，一般而）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数，一般而言，若电路中含有言，若电路中含有 n n 个独立的动态元件，那么描述该电路的个独立的动态元件，那么描述该电路的微分方程是微分方程是 n n 阶的，称为阶的，称为 n n 阶电路；阶电路；（3 3）描述动态电路的微分方程的一般形式为：）描述动态电路的微分方程的一般形式为：描述一阶电路的方程是一阶线性微分方程：描述一阶电路的方程是一阶线性微分方程：描述二阶电路的方程是二阶线性微分方程：描述二阶电路的方程是二阶线性微分方程：高阶电路的方程是高阶微分方程高阶电路的方程是高阶微分方程 方程中的系数与动态电路的结构和元件参数有关。方程中的系数与动态电路的结构和元件参数有关。第七章第七章 一阶电路一阶电路动态电路的分析要点动态电路的分析要点1、解微分方程、解微分方程2、分解的观点、分解的观点7.1 7.1 分解方法在动态电路分析中的应用分解方法在动态电路分析中的应用7.2 7.2 一阶微分方程的求解一阶微分方程的求解7.3 7.3 零输入响应零输入响应7.4.7.4.零状态响应零状态响应7.5 7.5 线性动态电路的叠加定理线性动态电路的叠加定理7.6 7.6 三要素法三要素法7.7 7.7 阶跃函数和阶跃响应阶跃函数和阶跃响应7.8 7.8 一阶电路的子区间分析一阶电路的子区间分析第七章第七章 一阶电路一阶电路7.1 分解方法在动态电路分析中的应用分解方法在动态电路分析中的应用1、利用等效（戴维南定理或诺顿、利用等效（戴维南定理或诺顿定理）的概念简化电路定理）的概念简化电路2、列写电路的状态方程、列写电路的状态方程3、解方程求电容电压或电感电流、解方程求电容电压或电感电流4、利用置换定理，用电压源或电、利用置换定理，用电压源或电流源置换电容电压或电感电流，流源置换电容电压或电感电流，使原电路成为一个纯电阻电路，使原电路成为一个纯电阻电路，运用电阻电路的分析方法求解运用电阻电路的分析方法求解电路的其余支路变量。电路的其余支路变量。第七章第七章 一阶电路一阶电路1、直接积分法、直接积分法2、猜试法猜试法7.2 一阶微分方程的求解一阶微分方程的求解第七章第七章 一阶电路一阶电路猜试法求解一阶微分方程：猜试法求解一阶微分方程：1 1）齐次方程齐次方程通解：通解：2 2）非非齐次方程齐次方程特解：特解：W=Q 常数常数3 3）K K确定：确定：常系数非齐次一阶微分方程常系数非齐次一阶微分方程由初始条件解出由初始条件解出K K通解答为通解答为：第七章第七章 一阶电路一阶电路若已知初始条件：若已知初始条件：则带入通解式得：则带入通解式得：从而可以解得从而可以解得K的值。的值。P55 例例7-1P56 练习题练习题7-1，7-2第七章第七章 一阶电路一阶电路1 1、什么叫一阶电路？、什么叫一阶电路？1 1）用一阶微分方程描述其变量的电路。）用一阶微分方程描述其变量的电路。2 2）只含一个动态元件）只含一个动态元件(C(C、L)L)的电路。如：的电路。如：NC1C2NL1L27.3 零输入响应零输入响应第七章第七章 一阶电路一阶电路 电路在没有外界输入的情况下，只由电路中动电路在没有外界输入的情况下，只由电路中动态元件初始储能作用而产生的响应为零输入响应。态元件初始储能作用而产生的响应为零输入响应。2 2、什么是零输入响应？、什么是零输入响应？输入为零，则响应为零输入为零，则响应为零输入为零，且输入为零，且 初始状态为零则响应为零初始状态为零则响应为零第七章第七章 一阶电路一阶电路一、一、RC RC 电路的零输入响应电路的零输入响应（输入为零）（输入为零）图图(a)所所示示电电路路，开开关关原原来来在在1端端，电电容容电电压压已已经达到经达到U0，在，在t=0时开关由时开关由1端转换到端转换到2端，如图端，如图(b)求：求：uC(t)；iC(t),t 0 t 0 充电充电 t=0 换路换路 t0 放电放电 若把电路发生换路的时刻记为若把电路发生换路的时刻记为 t t=0=0 时刻，则换时刻，则换路前一瞬间记为路前一瞬间记为0 0，换路后一瞬间记为换路后一瞬间记为0 0。第七章第七章 一阶电路一阶电路由于电容电压和电感电流是时间的连续函数，从而有：由于电容电压和电感电流是时间的连续函数，从而有：以上式子称为以上式子称为换路定律换路定律，它表明：，它表明：1 1）换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）在换路前后保持不变，这是电荷守恒容电压（电荷）在换路前后保持不变，这是电荷守恒定律的体现。定律的体现。2 2）换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感）换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）在换路前后保持不变。这是磁链守恒的电流（磁链）在换路前后保持不变。这是磁链守恒的体现。体现。第七章第七章 一阶电路一阶电路1.1.定性分析定性分析第七章第七章 一阶电路一阶电路uC(0+)02 3 4uC(t)t(s)t(s)O23 4iC(t)电流可以跃变电流可以跃变结论：结论：通过定性分析，我通过定性分析，我们可以得到图示的电压们可以得到图示的电压电流的大致变化曲线。电流的大致变化曲线。要想得到确切的响应曲线，还需要经过定量分析。要想得到确切的响应曲线，还需要经过定量分析。第七章第七章 一阶电路一阶电路 建立图建立图(b)电路的一阶微分方程电路的一阶微分方程 其解为：其解为：根据初始条件：根据初始条件：齐次方程齐次方程通解：通解：2.定量分析定量分析第七章第七章 一阶电路一阶电路 最后得到电路的零输入响应为最后得到电路的零输入响应为 uC(0+)02 3 4uC(t)t(s)t(s)O23 4iC(t)电流可以跃变电流可以跃变第七章第七章 一阶电路一阶电路3、有关概念、有关概念 时间常数：时间常数：=RC 。它决定了它决定了 UC 衰减的快慢衰减的快慢 。RC 大，表示衰减的慢大，表示衰减的慢;RC 小，表示衰减的快。小，表示衰减的快。以以 为例，说明电压的变化与时间常数的关系为例，说明电压的变化与时间常数的关系 U0 02 3 4uC(t)t(s)0.368U0t0 2 3 4 5 uc(t)U00.368U00.135U00.050U00.018U00.007U00 当当t=0时，时，uC(0)=U0，当，当t=时，时，uC()=0.368U0由于波形衰由于波形衰减很快，实际上只要经过减很快，实际上只要经过45 的时间就可以认为放电过程基的时间就可以认为放电过程基本结束。本结束。第七章第七章 一阶电路一阶电路固有频率：固有频率：即系统的特征根。即系统的特征根。当系统的特征根为负实数时，电路的零输入响应当系统的特征根为负实数时，电路的零输入响应总是按指数规律衰减。总是按指数规律衰减。第七章第七章 一阶电路一阶电路换换 路路：电路由电源接入或断开，元件参数或电路结构突然改变。：电路由电源接入或断开，元件参数或电路结构突然改变。过渡过程：电路由一种稳定状态向另一种稳定状态过渡的过程。过渡过程：电路由一种稳定状态向另一种稳定状态过渡的过程。时间常数：时间常数：=RC RC 它决定了它决定了 u uC C 衰减的快慢衰减的快慢 RC RC 大，表示衰减的慢大，表示衰减的慢;RC;RC 小，表示衰减的快。小，表示衰减的快。电阻在电容放电过程中消耗的全部能量为：电阻在电容放电过程中消耗的全部能量为：换路定律：换路定律：第七章第七章 一阶电路一阶电路二、RL 电路的零输入响应电路的零输入响应已知已知 iL(0)=I0，求求 iL(t),uL(t),t 0解：解：1.1.定性分析定性分析 t 0 储磁场能储磁场能 t=0 换路换路 t0 衰减到零衰减到零第七章第七章 一阶电路一阶电路列出列出KCL方程，得到微分方程方程，得到微分方程 通解为通解为 代入初始条件代入初始条件iL(0+)=I0求得求得 最后得到最后得到第七章第七章 一阶电路一阶电路三、结论：三、结论：1 1RCRC电路（或电路（或RLRL电路）电压与电流的零输入响应都是从电路）电压与电流的零输入响应都是从它的初始值按指数规律衰减到零。它的初始值按指数规律衰减到零。2 2 表达式：表达式：X(0X(0+)初始值初始值 时间常数时间常数3 3衰减的快慢取决于时间常数衰减的快慢取决于时间常数 。时间常数具有对偶性。时间常数具有对偶性。=RC RC；=L/R L/R4 4其中，其中，U UC C(0(0+)和和I IL L(0(0+)根据其连续性判别，其余各个分量根据其连续性判别，其余各个分量的初始值则由的初始值则由0 0+时刻的时刻的KCLKCL和和KVLKVL判别。判别。5 5零输入响应和初始状态呈现出比例性。零输入响应和初始状态呈现出比例性。P62 思考题 7-1第七章第七章 一阶电路一阶电路例例1：电路如图：电路如图(a)所示，已知电容电压所示，已知电容电压uC(0-)=6V。t=0闭合开关，求闭合开关，求t 0时时uC(t)、iC(t)、iR(t)。解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，得到解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，得到 将连接电容两端的单口网络等效于一个电阻，为将连接电容两端的单口网络等效于一个电阻，为 第七章第七章 一阶电路一阶电路 电阻中的电流电阻中的电流iR(t)可以用与可以用与iC(t)同样数值的同样数值的电流源代替电容，用电阻并联的分流公式求得电流源代替电容，用电阻并联的分流公式求得 iR(t)第七章第七章 一阶电路一阶电路例例2 2：3 3 6 6 2 2 i i1 1u uC C+_ _100100 F F已知已知 u uC C (0(0+)=18V)=18V求：求：u uC C (t),(t),i i1 1(t),t(t),t 0 0。第七章第七章 一阶电路一阶电路3 3 1 1 i iu u+_ _4 H4 H0.5u0.5u例例3 3：已知：已知i i(0(0+)=2A)=2A求：求：i i(t),(t),u(tu(t),t),t 0 0第七章第七章 一阶电路一阶电路作业：作业：3，4，7第七章第七章 一阶电路一阶电路7.4.零状态响应零状态响应零状态响应定义：零状态响应定义：电路中动态元件的电路中动态元件的初始状态为零初始状态为零，电路只在，电路只在外加激励作用下外加激励作用下产生的响应。产生的响应。第七章第七章 一阶电路一阶电路一、一阶一、一阶RCRC电路的零状态响应电路的零状态响应C CR Rt=0t=0+_ _u uC C+_ _U US Si(t)i(t)电路原处于稳态，电路原处于稳态，t=0t=0时开关打向电源端，求时开关打向电源端，求u uC C(t),(t),i i(t),(t),t t 0 0。1.1.定性分析：定性分析：t t 0 0 无响应无响应 t=0 换路换路 t0 t0 电路达到直流稳态电路达到直流稳态注意：和教材中的电路图进行比较。注意：和教材中的电路图进行比较。第七章第七章 一阶电路一阶电路各分量的基本波形如下：各分量的基本波形如下：t(s)O2 3 4iC(t)电流可以跃电流可以跃变变 Us 02 3 4uC(t)t(s)Us 02 3 4uR(t)t(s)Us/R 02 3 4IR(t)t(s)第七章第七章 一阶电路一阶电路 2.2.定量分析定量分析+_ _ _U US Su uC C(t(t)R Ri iC C(t(t)其解为：其解为：根据初始条件：根据初始条件：通解：通解：特特解：解：代入原方程解得代入原方程解得：第七章第七章 一阶电路一阶电路1 1）u uC C(t t)的零状态响应是从零的零状态响应是从零按按指数规律指数规律 上升到它的稳态值上升到它的稳态值 u uC C(););O2 2）当）当t4t4 ,u uC C()=Us)=Us是是电容电容 C C 开路时开路时 u uC C 的值的值。表示为表示为iC=0=0，tuC(t)uC()Us4 4 第七章第七章 一阶电路一阶电路+_ _ _U US Su uC C(t(t)R Ri iC C(t(t)t tO Oi iC C RCRC求电流：求电流：第七章第七章 一阶电路一阶电路二、二、RLRL电路的零状态响应电路的零状态响应I IS St=0t=0L L+_ _u uL LR Ri iR Ri iL L求求 i iL L(t(t),),u uL L(t(t),),t t 0 0 1.1.推测电感电流的响应表达式及响应规律：推测电感电流的响应表达式及响应规律：第七章第七章 一阶电路一阶电路1 1）i iL L 的零状态响应是从零按指数规律上升到的零状态响应是从零按指数规律上升到它的稳态值它的稳态值 iL()。当当t4t4，iL()=)=I IS S,是电感短路时的值。是电感短路时的值。tiL()iLIS2 2）iL 零状态响应的快慢，取决于电路的时间零状态响应的快慢，取决于电路的时间 常数常数（=L/R=L/R）。）。越小，越小，上升上升越快。越快。第七章第七章 一阶电路一阶电路 .定量分析定量分析R RL L+_ _u uL Li iL Li iR RI IS S则：则：解得：解得：t tO Ou uL LRIRIS S第七章第七章 一阶电路一阶电路三、结论：三、结论：1.1.u uC C(t t)和和i iL L(t(t)的零状态响应是从零按指数的零状态响应是从零按指数 规律上升到它的稳态规律上升到它的稳态i iL L()；i iC C(t t)和和u uL L(t(t)是按指数规律衰减到零。是按指数规律衰减到零。2.2.状态量：（初始状态为零对应的变量）状态量：（初始状态为零对应的变量）X()X()稳态值稳态值;时间常数时间常数3.3.非状态量：非状态量：i iC C(t t)和和 u uL L(t(t)。求解方法：先求状态量，再求非状态量。求解方法：先求状态量，再求非状态量。第七章第七章 一阶电路一阶电路例例1 电路如图电路如图(a)，已知已知 uC(0-)=0。t=0 打开开关，打开开关，求：求：t 0的的uC(t)，iC(t)及电阻电流及电阻电流 i1(t)。解：在开关打开瞬间，电容电压不能跃变，得到解：在开关打开瞬间，电容电压不能跃变，得到 将连接电容两端的单口网络等效为戴维南电路图将连接电容两端的单口网络等效为戴维南电路图(b)电路的时间常数为电路的时间常数为 第七章第七章 一阶电路一阶电路 当电路达到新的稳定状态时，电容相当开路得当电路达到新的稳定状态时，电容相当开路得 根据图（根据图（a）所示电路，用所示电路，用KCL方程得到方程得到 t(s)iC(A)234O0.4t(s)uC(V)120234O第七章第七章 一阶电路一阶电路例例2 电路如图电路如图(a)所示，已知电感电流所示，已知电感电流iL(0-)=0。t=0闭合开关，求：闭合开关，求：t 0的的iL(t t)，uL(t(t)，i(t)t)。解：电感电流不能跃变，即解：电感电流不能跃变，即 将连接电感的单口网络用诺顿等效电路代替，得图将连接电感的单口网络用诺顿等效电路代替，得图(c)第七章第七章 一阶电路一阶电路注意：以上规律是在直流激励的作用下得到的，注意：以上规律是在直流激励的作用下得到的，如果是非直流输入，则只能选择求解微分方程如果是非直流输入，则只能选择求解微分方程的方法，先求出电感电流或电容电压，然后利的方法，先求出电感电流或电容电压，然后利用置换定理求出其它支路的响应分量。用置换定理求出其它支路的响应分量。P73 例例 7-6第七章第七章 一阶电路一阶电路作业：作业：12，15，18第七章第七章 一阶电路一阶电路叠加定理叠加定理：适用于任何线性电路。适用于任何线性电路。考虑：考虑：在动态电路中，除了独立源是一种激励外，在动态电路中，除了独立源是一种激励外，动态元件的初始状态也可看作为一种激励。利动态元件的初始状态也可看作为一种激励。利用线性电路的叠加性，则电路的完全响应应该用线性电路的叠加性，则电路的完全响应应该是各个激励单独作用是所引起响应的叠加。是各个激励单独作用是所引起响应的叠加。事实是否如此？事实是否如此？7.5 线性动态电路的叠加定理线性动态电路的叠加定理第七章第七章 一阶电路一阶电路一、一阶一、一阶RCRC电路的完全响应：电路的完全响应：由由动态元件动态元件的初始储能和的初始储能和外施激励外施激励 共同引起的响应，称为全响应。共同引起的响应，称为全响应。例：已知电路如图例：已知电路如图(a)所示，所示，uC(0-)=U0，t=0 时开关倒向时开关倒向2端。求：端。求：uC(t),t 0。第七章第七章 一阶电路一阶电路以电容电压以电容电压uC(t)为变量，列出图为变量，列出图(b)电路微分方电路微分方程程其解为其解为 代入初始条件代入初始条件 求得求得 第七章第七章 一阶电路一阶电路 于是得到电容电压表达式于是得到电容电压表达式 ：第七章第七章 一阶电路一阶电路结论：结论：线性动态电路中任一支路电压或电流的线性动态电路中任一支路电压或电流的全响应等于零输入响应与零状态响应之和。全响应等于零输入响应与零状态响应之和。零输入响应+零状态响应全响应=uC(0+)t234OuCUS第七章第七章 一阶电路一阶电路例题：例题：P80 例例7-7第七章第七章 一阶电路一阶电路二、线性动态电路响应的齐次性二、线性动态电路响应的齐次性以以RC电路为例电路为例1.零输入响应：零输入响应：U0增大增大K倍，倍，UC也会增大也会增大K倍。倍。2.零状态响应：零状态响应：US增大增大K倍，倍，UC也会增大也会增大K倍。倍。3.完全响应：必须完全响应：必须U0和和 US同时增大同时增大K倍，倍，UC才增大才增大K倍。倍。P79 P79：思考题：思考题第七章第七章 一阶电路一阶电路三、全响应的三种分解方式：三、全响应的三种分解方式：1.1.全响应全响应 =零输入响应零输入响应+零状态响应零状态响应 新名词：新名词：1 1、固有频率：、固有频率：2 2、固有响应：、固有响应：3 3、暂态响应：、暂态响应：4 4、强制响应：、强制响应：5 5、稳态响应：、稳态响应：2.2.全响应全响应 =暂态响应暂态响应+稳态响应稳态响应3.3.全响应（全解）全响应（全解）=通解通解 +特解特解第七章第七章 一阶电路一阶电路 第一项是对应微分方程的通解第一项是对应微分方程的通解uCh(t)，称为电称为电路的固有响应或自由响应。路的固有响应或自由响应。将随时间增长而按指将随时间增长而按指数规律衰减到零，也称为数规律衰减到零，也称为暂态响应暂态响应。第二项是微分方程的特解第二项是微分方程的特解uCp(t)，其变化规律其变化规律与输入相同，称为强制响应。与输入相同，称为强制响应。当当 t时时uC(t)=uCp(t)也称为稳态响应。也称为稳态响应。从响应表达式上看：从响应表达式上看：第七章第七章 一阶电路一阶电路固有响应：与输入无关，由电路本身决定。固有响应：与输入无关，由电路本身决定。暂态响应：在过渡过程暂态响应：在过渡过程(0-4(0-4 )的响应。的响应。强制响应：与外加激励有关。强制响应：与外加激励有关。稳态响应：在过渡过程完成以后的响应。稳态响应：在过渡过程完成以后的响应。tuC(0+)USUSuC(0+)全响应全响应注意注意第七章第七章 一阶电路一阶电路例题：例题：P81例例7-7（法二）（法二）P81 例例7-8（自己看）（自己看）作业：作业：19，22，25（上交）（上交）26，27，28，29（课下自己做）（课下自己做）第七章第七章 一阶电路一阶电路7.6 三要素法三要素法一、直流一阶电路状态变量响应的特点一、直流一阶电路状态变量响应的特点电容电压：电容电压：电感电流：电感电流：一般式：一般式：第七章第七章 一阶电路一阶电路二、直流一阶电路非状态变量响应的特点二、直流一阶电路非状态变量响应的特点已求得电容电压：已求得电容电压：则电容电流：则电容电流：电阻电压：电阻电压：同样满足同样满足一般式：一般式：第七章第七章 一阶电路一阶电路猜想：猜想：任意的一阶直流电路，其任意支路的电任意的一阶直流电路，其任意支路的电压或电流的全响应可以由以下三个要素直接求出。压或电流的全响应可以由以下三个要素直接求出。初始值初始值 三个要素：三个要素：稳态值稳态值 时间常数时间常数 三要素法证明：三要素法证明：P86-P87第七章第七章 一阶电路一阶电路三、三个要素的求解步骤三、三个要素的求解步骤2.2.求初始值求初始值 f(0f(0+)由由 换路定律：换路定律：u uC C(0(0+)=u)=uC C(0(0 )或或i iL L(0(0+)=i)=iL L(0(0 )和和置换定理得到置换定理得到 0 0+时刻的等效电路，从而求时刻的等效电路，从而求出待求量的初始值出待求量的初始值f(0f(0+)3.3.求稳态值求稳态值 f(f()画画 t=t=时的等效电路：时的等效电路：将将 电路的电容开路，电路的电容开路，或电感短路，作直流分析，求出或电感短路，作直流分析，求出 f(f()。1.1.画画 t=0t=0-时的时的等效电路，求等效电路，求 u uC C(0(0 )或或 i iL L(0(0 )第七章第七章 一阶电路一阶电路4.4.求时间常数求时间常数先求输出电阻先求输出电阻R R0 0，=R=R0 0C C先求先求 R R0 0 ,1)1)若为含电容电路，若为含电容电路，则为则为 R R0 0N N0 0C C2)2)若为含电感电路，若为含电感电路，则为则为 R R0 0N N0 0L L5.5.根据三要素公式得出全响应根据三要素公式得出全响应第七章第七章 一阶电路一阶电路10V10V+_ _u uC Ct=0t=0i i2 2i i1 12020 3030 0.1F0.1F例例1 1：已知：已知 t 0 t 0 时电路已处于稳态，时电路已处于稳态，求求 u uC C(0(0+),i),i1 1(0(0+),i),i2 2(0(0+)。解：解：1 1）.先求先求 u uC C(0(0 )：画画t=0t=0 等效电路等效电路10V10V2020 3030+_ _u uC C(0(0 )t=0t=0-第七章第七章 一阶电路一阶电路2 2）.再求再求 i i1 1(0(0+),i),i2 2(0(0+)：10V10V2020 3030 i i1 1(0(0+)i i2 2(0(0+)+_ _u uC C(0(0+)=6V =6Vt=0t=0+画画t=0t=0+等效电路等效电路第七章第七章 一阶电路一阶电路例例2 2：已知：已知 t 0 t 00，而不是而不是t t 0 0。电阻电流电阻电流i(t)还可以还可以利用三要素法直接利用三要素法直接求得求得 第七章第七章 一阶电路一阶电路例例4：图示电路中，开关转换前电路已处于稳态，：图示电路中，开关转换前电路已处于稳态，t=0 时开关时开关S由由1端接至端接至2端，求：端，求：t0时的电感电流时的电感电流 iL(t)，电阻电流电阻电流i2(t)，i3(t)和电感电压和电感电压uL(t)。解：解：1.求求iL(0+)：开关转换前，电感相当于短路开关转换前，电感相当于短路 2.求求iL()：3.求求：第七章第七章 一阶电路一阶电路 4.计算计算iL(t)，uL(t)，i2(t)和和i3(t)。第七章第七章 一阶电路一阶电路例例5：图图(a)所示电路，在所示电路，在t=0时闭合开关，时闭合开关，求：电容电压求：电容电压 uC(t)和电流和电流i2(t)的零状态响应。的零状态响应。解：开关闭合后，与电容连接的单口网络用图解：开关闭合后，与电容连接的单口网络用图(c)所示的戴维南等效电路代替，其中所示的戴维南等效电路代替，其中 用外施电源法求图用外施电源法求图(b)单口网络的输出电阻单口网络的输出电阻Ro 第七章第七章 一阶电路一阶电路 时间常数为时间常数为 代入三要素公式得到代入三要素公式得到 从图从图(a)电路中开关闭合后的电路求得电流电路中开关闭合后的电路求得电流 i2(t)第七章第七章 一阶电路一阶电路1 1 1 1 1 1+_ _+_ _2V2V2i2i1 10.8F0.8Fi i1 1t=0t=0例例 6 6 已知已知 t 0 t x()x(),),则其波形为由其初始值按指数则其波形为由其初始值按指数规律下降到其稳态值，即规律下降到其稳态值，即全响应全响应t t 2 2 3 3 4 4 O Ox(t)x(t)x(0 x(0+)x(x()稳态值稳态值下降高度下降高度下降规律下降规律一般式一般式五、利用三要素作出响应波形五、利用三要素作出响应波形第七章第七章 一阶电路一阶电路(2)(2)当当 x(0 x(0+)x()01 t 00 t 00 t 0A t 00 t 00 t 1 t t t0 00 t 0 t A t t t0 00 t 0 t t t0 0第七章第七章 一阶电路一阶电路二、阶跃函数的作用：二、阶跃函数的作用：1)1)代替开关代替开关N N+_ _U US St=0t=0N NU US S(t)(t)+_ _N N+_ _U US St=tt=t0 0N NU US S(t(t t t0 0)+_ _第七章第七章 一阶电路一阶电路2)2)分段常量信号分段常量信号可表示为一系列阶跃信号之和可表示为一系列阶跃信号之和分段常量信号：分段常量信号：一些阶梯形状波形和矩形脉冲波形。一些阶梯形状波形和矩形脉冲波形。f(tf(t)o ot t0 0t t3 32 2-1-1 t t2 2t t1 1t t3 3f(tf(t)o ot t0 0t tA A B Bt t1 1第七章第七章 一阶电路一阶电路t tu uC C(t(t)o oU US St tu uC C(t(t)o o1 1三、阶跃响应三、阶跃响应1 1、定义：电路在阶跃信号作用下的、定义：电路在阶跃信号作用下的零状态响应。零状态响应。电路在单位阶电路在单位阶跃信号作用下的跃信号作用下的零状态响应，称为单位零状态响应，称为单位阶跃响应，记作阶跃响应，记作S S（t t）。例如例如(t)(t)+_ _R R+_ _C Cu uC CU US S(t)(t)+_ _R R+_ _C Cu uC C =RC=RCU US S(t)(t)t tU US So ot t(t)(t)1 1o o第七章第七章 一阶电路一阶电路R R+_ _ U US S(t(t t t0 0)C Cu uC C+_ _U US S U US S(t(t t t0 0)t tt t0 0o ou uC C(t(t)t tU US St t0 0o o非时变性的表现非时变性的表现第七章第七章 一阶电路一阶电路2、阶跃响应的特点、阶跃响应的特点首先，记单位阶跃响应为首先，记单位阶跃响应为S（t)1）比例性：若阶跃信号的幅度增大）比例性：若阶跃信号的幅度增大K倍，则响应倍，则响应也增大也增大K倍，即为：倍，即为：KS（t)。2）非时变性：）非时变性：若阶跃信号有延时若阶跃信号有延时t t0 0，则响应也会有相应的延时，则响应也会有相应的延时，即为：即为：S（t-t t0 0)。3)叠加性：叠加性：第七章第七章 一阶电路一阶电路 3 3、分段直流信号作用下一阶电路的响应、分段直流信号作用下一阶电路的响应例例1 1：已知：已知p(t)p(t)波形，求波形，求u uC CR RC C+_ _u uC C+_ _p(t)Vp(t)V解解一：一：u uC C(0)=0(0)=0 0-t 0-t0 0 充电充电 t t t t0 0 放电放电p(t)p(t)o ot t0 0t tU US So ou uC CU US St tt t0 0第七章第七章 一阶电路一阶电路解二：解二：t tp(t)p(t)t t0 0o ot tp p(t)(t)t t0 0o ot tp p(t)(t)t t0 0o oU US SU US S U US S对对 pp(t)(t)：对对pp(t)(t)：第七章第七章 一阶电路一阶电路2 2+_ _ u uS S(t(t)1F1Fu uC C+_ _i i例例2 2 已知：已知：u uS S(t(t)=5)=5(t(t 2)V2)V，u uC C(t(t)=10V,t)=10V,t 0 05 53.683.68 求：求：u uC C(t(t),i(t),),i(t),t t 0 02 24 46 68 8u uC C(V(V)t(s)t(s)o o1010u uC C u uC Cu uC C第七章第七章 一阶电路一阶电路R Ru uR RC C+_ _u uC C(t)(t)N NR R+_ _V V ，t t 0 0结果：结果：V ,t V ,t 0 0 例例3 3 已知已知 N NR R 是只含电阻的电路，并知是只含电阻的电路，并知 u uC C的单位阶的单位阶跃响应为：跃响应为：V V 求：在同样的求：在同样的激励情况下，若激励情况下，若 u uC C(0(0)=2V)=2V 时的时的 u uC C(t(t)和和 u uR R(t(t)。V,V,第七章第七章 一阶电路一阶电路例例4 图示图示RC分压器电路模型，试求输出电压分压器电路模型，试求输出电压 uC2(t)的阶跃响应。的阶跃响应。解：由于将图解：由于将图(a)电路中的电压源用短路代替后，电路中的电压源用短路代替后，电容电容C1 和和C2并联等效于一个电容并联等效于一个电容第七章第七章 一阶电路一阶电路 现在计算初始值现在计算初始值uC2(0+)。在。在t0时，时，该电路是由该电路是由1V电压源激励的一阶电电压源激励的一阶电路，可以用三要素法计算。路，可以用三要素法计算。当当t电路达到直流电路达到直流稳态时，电容相当开路，输出电压的稳态值为稳态时，电容相当开路，输出电压的稳态值为 用三要素公式得到输出电压的表达式为用三要素公式得到输出电压的表达式为 第七章第七章 一阶电路一阶电路 由上可见，输出电压的稳态分量由两个电阻由上可见，输出电压的稳态分量由两个电阻的比值确定，其暂态分量还与两个电容的比值有的比值确定，其暂态分量还与两个电容的比值有关。我们改变电容关。我们改变电容C1可以得到可以得到三种情况三种情况：当当R1C1=R2C2时，暂态分量为零，输出电压马时，暂态分量为零，输出电压马上达到稳态值，这种情况称为上达到稳态值，这种情况称为完全补偿完全补偿；当当R1C1R2C2时，暂态分量不为时，暂态分量不为零，输出电压要经过一段时间才达到稳态值，前零，输出电压要经过一段时间才达到稳态值，前者称为者称为欠补偿欠补偿，后者称为，后者称为过补偿过补偿。第七章第七章 一阶电路一阶电路7.8 一阶电路的子区间分析一阶电路的子区间分析第七章第七章 一阶电路一阶电路uCUStoti解：(一)当 T 或 T 时 uCT3T2T4T 5T6TU2U1ot第七章第七章 一阶电路一阶电路 本本 章章 小小 结结1 1 掌握以下概念：掌握以下概念：零零输入响应、零状态响应、全响应、输入响应、零状态响应、全响应、暂态、稳态、暂态、稳态、换路换路、过渡过程过渡过程2 2 全响应求解方法：全响应求解方法：1 1）全解）全解 =通解通解 +特解特解2 2）全响应）全响应 =零输入响应零输入响应 +零状态响应零状态响应3 3）熟练掌握一阶电路的三要素法。）熟练掌握一阶电路的三要素法。3 3 会分析计算一阶电路的阶跃响应。会分析计算一阶电路的阶跃响应。