七点的运动学课件

理论力学Theoretical MechanicsTheoretical MechanicsCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第二篇运动学KINEMATICS矿大力学：胡新宇矿大力学：胡新宇运动学运动学：研究物体运动的几何性质的科学。运动学的研究内容：运动学的研究内容：建立物体的运动方程建立物体的运动方程建立物体的运动方程建立物体的运动方程 分析物体运动的速度、加速度、角速度、分析物体运动的速度、加速度、角速度、分析物体运动的速度、加速度、角速度、分析物体运动的速度、加速度、角速度、角加速度等角加速度等角加速度等角加速度等 研究物体运动的分解与合成规律研究物体运动的分解与合成规律研究物体运动的分解与合成规律研究物体运动的分解与合成规律 运动学的抽象模型：运动学的抽象模型：指其形状、大小可以忽略不计而只指其形状、大小可以忽略不计而只在空间占有确定位置的几何点。在空间占有确定位置的几何点。l l点点l l刚体刚体可视作由无穷多个点组成的不变形可视作由无穷多个点组成的不变形的几何体。的几何体。飞机作三维变速曲线运动飞机作三维变速曲线运动理论力学Theoretical MechanicsTheoretical MechanicsCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYKinematics of a ParticleKinematics of a Particle第七章点的运动学运动学运动学7-1 7-1 描述点的运动的描述点的运动的矢径法矢径法7-2 7-2 描述点的运动的描述点的运动的直角坐标法直角坐标法7-3 7-3 描述点的运动的描述点的运动的自然坐标法自然坐标法7-4 7-4 结论与讨论结论与讨论目录目录目录目录描述点的运动的一些概念：运动学中常把确定为研究对象的运动的点，称运动学中常把确定为研究对象的运动的点，称为为动点。动点。l参考体（参考系）：一般工程问题中，都取与地面固连的坐标系为参考系。一般工程问题中，都取与地面固连的坐标系为参考系。l点的运动的描述包括：点的点的运动方程运动方程、运动轨迹运动轨迹、运动速度运动速度和和加速度加速度。l动点：运动方程：运动方程：xzyO7-1 7-1 描述点的运动的矢径法描述点的运动的矢径法运动轨迹：运动轨迹：1.1.运动方程运动方程运动方程运动方程 为动点相对于原点为动点相对于原点o的位置矢的位置矢量，简称量，简称位矢位矢或或矢径矢径。矢径矢径 的矢端曲线。的矢端曲线。xzyOPP速速 度度 描述点在描述点在描述点在描述点在 t t 瞬时瞬时瞬时瞬时运动快慢和运动方向的力学量。运动快慢和运动方向的力学量。运动快慢和运动方向的力学量。运动快慢和运动方向的力学量。速度的方向沿着运动轨迹的切线；指向与点的运动方向一致；速度的方向沿着运动轨迹的切线；指向与点的运动方向一致；速度的方向沿着运动轨迹的切线；指向与点的运动方向一致；速度的方向沿着运动轨迹的切线；指向与点的运动方向一致；速度大小等于矢量的模。速度大小等于矢量的模。速度大小等于矢量的模。速度大小等于矢量的模。2.2.速速速速 度度度度 t t 瞬时瞬时瞬时瞬时:矢径矢径矢径矢径 t+t+t t 瞬时瞬时瞬时瞬时:矢径矢径矢径矢径 或或或或xzyO而：而：所以：所以：3.3.加速度加速度加速度加速度 t t 瞬时瞬时瞬时瞬时:速度速度速度速度 t t+t t 瞬时瞬时瞬时瞬时:速度速度速度速度 或或或或 PP7-2 7-2 描述点的运动的直角坐标法描述点的运动的直角坐标法xzy运动方程：运动方程：运动轨迹：运动轨迹：1.运动方程运动方程 xzyOP 2.速速 度度 由于由于:(Oxyz)为定参考系为定参考系:所以所以所以所以:xzyOPxzy 3.加速度加速度 xzyOPxzy例例 题题 1椭圆规机构椭圆规机构椭圆规机构椭圆规机构求：求：求：求：P P点的运动方程、点的运动方程、点的运动方程、点的运动方程、轨迹、轨迹、轨迹、轨迹、速度、加速度。速度、加速度。速度、加速度。速度、加速度。1、建立固定参考系、建立固定参考系Oxy；2、将所考察的点置于、将所考察的点置于坐标系中的一般位置；坐标系中的一般位置；3、根据已知的约束条、根据已知的约束条件列写点的运动方程。件列写点的运动方程。P P点的运动方程：点的运动方程：点的运动方程：点的运动方程：P P 点的轨迹方程点的轨迹方程点的轨迹方程点的轨迹方程为：为：为：为：P P点的速度：点的速度：点的速度：点的速度：P P点的加速度：点的加速度：点的加速度：点的加速度：C MxOy解：建立图示直角坐标系：解：建立图示直角坐标系：运动方程运动方程:速度速度:例例 题题 2轮作匀速滚动。求：轮缘上任一点轮作匀速滚动。求：轮缘上任一点M 的运动方程、的运动方程、速度、加速度。速度、加速度。EC MxOy速度速度:加速度加速度:7-3 7-3 描述点的运动的自然坐标法描述点的运动的自然坐标法 如果点沿着已知的轨迹运动，则点的运动方如果点沿着已知的轨迹运动，则点的运动方如果点沿着已知的轨迹运动，则点的运动方如果点沿着已知的轨迹运动，则点的运动方程，可用点在已知轨迹上所走过的弧长随时间程，可用点在已知轨迹上所走过的弧长随时间程，可用点在已知轨迹上所走过的弧长随时间程，可用点在已知轨迹上所走过的弧长随时间变化的规律描述。变化的规律描述。变化的规律描述。变化的规律描述。弧坐标具有以下要素：弧坐标具有以下要素：1 1、有、有、有、有坐标原点坐标原点(一般在轨迹上一般在轨迹上一般在轨迹上一般在轨迹上任选一参考点作为坐标原点任选一参考点作为坐标原点任选一参考点作为坐标原点任选一参考点作为坐标原点)；2 2、有、有、有、有正、负方向正、负方向(一般以点的一般以点的一般以点的一般以点的运动方向作为正向运动方向作为正向运动方向作为正向运动方向作为正向)；3 3、有相应的坐标系、有相应的坐标系、有相应的坐标系、有相应的坐标系(自然轴系自然轴系)。s=f(t)yxzMo(-)(+)s 1.弧坐标要素与运动方程弧坐标要素与运动方程 s-s+P自然轴系自然轴系自然轴系自然轴系自然轴系P PTNBTNBP空间曲线上的动点；空间曲线上的动点；空间曲线上的动点；空间曲线上的动点；过动点过动点过动点过动点P P的密切面内的密切面内的密切面内的密切面内 的切线，其正向指向的切线，其正向指向的切线，其正向指向的切线，其正向指向 弧坐标正向；弧坐标正向；弧坐标正向；弧坐标正向；密切面密切面密切面密切面与法平面的交线与法平面的交线与法平面的交线与法平面的交线，其，其，其，其正向指向曲率中心；正向指向曲率中心；正向指向曲率中心；正向指向曲率中心；法平面内法平面内过动点过动点过动点过动点P P垂直于主垂直于主垂直于主垂直于主法线的直线，其正向由法线的直线，其正向由法线的直线，其正向由法线的直线，其正向由右手螺旋右手螺旋右手螺旋右手螺旋法则法则法则法则确定确定确定确定。(副法线副法线)(主法线主法线)(切线切线)(切线切线)(主法线主法线)(副法线副法线)自然轴系的自然轴系的自然轴系的自然轴系的 单位矢量单位矢量 跟随动点在轨迹上作跟随动点在轨迹上作空间曲线运动。空间曲线运动。自然轴系的自然轴系的自然轴系的自然轴系的 特点特点P 2.2.速速速速 度度度度 其中其中其中其中:所以所以所以所以的方向与的方向与的方向与的方向与P P点的切线方向一致点的切线方向一致点的切线方向一致点的切线方向一致而而而而 点的速度在切线轴上的投影等于点的速度在切线轴上的投影等于点的速度在切线轴上的投影等于点的速度在切线轴上的投影等于弧坐标对时间的一阶导数。弧坐标对时间的一阶导数。弧坐标对时间的一阶导数。弧坐标对时间的一阶导数。若若若若,则则则则，即点沿着，即点沿着，即点沿着，即点沿着s+s+的方向运动；的方向运动；的方向运动；的方向运动；反之点沿着反之点沿着反之点沿着反之点沿着 s s-的方向运动；的方向运动；的方向运动；的方向运动；注：注：中中中中 和和和和 分别表示速度的大小与方向。分别表示速度的大小与方向。分别表示速度的大小与方向。分别表示速度的大小与方向。3.加速度加速度 根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式?P P P P 当当当当 0 0 时，时，时，时，和和和和 以及以及以及以及 同处同处同处同处于于于于P P点的密切面内，这点的密切面内，这点的密切面内，这点的密切面内，这时，时，时，时，的极的极的极的极限方向垂直于限方向垂直于限方向垂直于限方向垂直于 ，亦即，亦即，亦即，亦即 方向方向方向方向。弧坐标中的加速度表示弧坐标中的加速度表示加速度表示为自然轴系投影形式加速度表示为自然轴系投影形式切向加速度切向加速度切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度法向加速度法向加速度几点讨论几点讨论几点讨论几点讨论 切向加速度切向加速度切向加速度切向加速度表示速度矢量大小的变化率；表示速度矢量大小的变化率；表示速度矢量大小的变化率；表示速度矢量大小的变化率；法向加速度法向加速度法向加速度法向加速度表示速度矢量方向的变化率；表示速度矢量方向的变化率；表示速度矢量方向的变化率；表示速度矢量方向的变化率；即即即即 表明加速度表明加速度表明加速度表明加速度 在副法线在副法线在副法线在副法线方向没有分量；方向没有分量；方向没有分量；方向没有分量；还表明速度矢量还表明速度矢量还表明速度矢量还表明速度矢量 和加速度矢量和加速度矢量和加速度矢量和加速度矢量 都位于密切面内。都位于密切面内。都位于密切面内。都位于密切面内。s解解:(1)建立图示弧坐标建立图示弧坐标OMAB2C加速度加速度:速度速度:运动方程运动方程:已知：已知：R，=t(为常数）为常数）求：求：(1)小环小环M 的运动方程、速度、加速度的运动方程、速度、加速度(2)小环小环M 相对于相对于 AB 杆的速度、加速度杆的速度、加速度 例例 题题 3OMAB2C(2)建立图示直角坐标系建立图示直角坐标系运动方程运动方程:速度速度:加速度加速度:xy解：由已知的运动方程可知解：由已知的运动方程可知已知点作平面曲线运动，其运动方程：已知点作平面曲线运动，其运动方程：x=x(t)，y=y(t)求：任意瞬时该点的切向加速度、法向加速度及曲率半径。求：任意瞬时该点的切向加速度、法向加速度及曲率半径。例例 题题 4解：由例解：由例2的计算结果得的计算结果得:求例求例2任意瞬时该点的切向加速度、法向加速度及任意瞬时该点的切向加速度、法向加速度及曲率半径。曲率半径。例例 题题 5xOyCM 描述点运动的三种方法比较 矢径法矢径法矢径法矢径法 结果简明，具有概括性，且与坐标选择结果简明，具有概括性，且与坐标选择结果简明，具有概括性，且与坐标选择结果简明，具有概括性，且与坐标选择 无关。对于实际问题需将变矢量及其导无关。对于实际问题需将变矢量及其导无关。对于实际问题需将变矢量及其导无关。对于实际问题需将变矢量及其导 数表示成标量及其导数的形式。数表示成标量及其导数的形式。数表示成标量及其导数的形式。数表示成标量及其导数的形式。直角坐标法直角坐标法直角坐标法直角坐标法实际问题中，一种广泛应用的方法。实际问题中，一种广泛应用的方法。实际问题中，一种广泛应用的方法。实际问题中，一种广泛应用的方法。弧坐标法弧坐标法弧坐标法弧坐标法应用于运动轨迹已知的情形，其最大特应用于运动轨迹已知的情形，其最大特应用于运动轨迹已知的情形，其最大特应用于运动轨迹已知的情形，其最大特 点是将速度矢量大小的变化率和方向变点是将速度矢量大小的变化率和方向变点是将速度矢量大小的变化率和方向变点是将速度矢量大小的变化率和方向变 化率区分开来，使得数学表达式的含义化率区分开来，使得数学表达式的含义化率区分开来，使得数学表达式的含义化率区分开来，使得数学表达式的含义 更加清晰。更加清晰。更加清晰。更加清晰。7-4 7-4 结论与讨论结论与讨论矢径法矢径法矢径法矢径法直角坐标法直角坐标法直角坐标法直角坐标法自然坐标法自然坐标法自然坐标法自然坐标法运动方程运动方程运动方程运动方程运动轨迹运动轨迹运动轨迹运动轨迹点的速度点的速度点的速度点的速度点的加速度点的加速度点的加速度点的加速度矢径矢径r(t)r(t)的矢端曲线。的矢端曲线。x =x(t)y =y(t)z =z(t)f(x,y,z)f(x,y,z)=0=0s =f(t)已知曲线已知曲线 速度、加速度的标量表示与矢量表示的速度、加速度的标量表示与矢量表示的重要区别重要区别速度大小速度大小速度大小速度大小速度方向速度方向速度方向速度方向速度大小的变化率速度大小的变化率速度方向的变化率速度方向的变化率 点的运动学应用的两类问题 第一类问题：第一类问题：已知运动轨迹，确定速度与加速度；已知运动轨迹，确定速度与加速度；已知运动轨迹，确定速度与加速度；已知运动轨迹，确定速度与加速度；给定约束条件，确定运动轨迹、速度、加速度。给定约束条件，确定运动轨迹、速度、加速度。给定约束条件，确定运动轨迹、速度、加速度。给定约束条件，确定运动轨迹、速度、加速度。第二类问题：第二类问题：已知加速度以及运动的初始条件，确定速度和已知加速度以及运动的初始条件，确定速度和已知加速度以及运动的初始条件，确定速度和已知加速度以及运动的初始条件，确定速度和运动轨迹第一类问题的反运算。运动轨迹第一类问题的反运算。运动轨迹第一类问题的反运算。运动轨迹第一类问题的反运算。点沿着一螺旋线自外向内点沿着一螺旋线自外向内点沿着一螺旋线自外向内点沿着一螺旋线自外向内运动。点所走过的弧长与时运动。点所走过的弧长与时运动。点所走过的弧长与时运动。点所走过的弧长与时间的一次方成正比。请判断间的一次方成正比。请判断间的一次方成正比。请判断间的一次方成正比。请判断点的运动性质：点的运动性质：点的运动性质：点的运动性质：(A)越跑越快；越跑越快；(C)加速度越来越大；加速度越来越大；(D)加速度越来越小。加速度越来越小。(B)越跑越慢；越跑越慢；思考题思考题1 (t)(t)运动方程的极坐标形式运动方程的极坐标形式(t)在极坐标在极坐标在极坐标在极坐标 (,)中，中，中，中，(t)f1(t)(t)f2(t)P 思考题思考题2 为极坐标单位矢量。为极坐标单位矢量。为极坐标单位矢量。为极坐标单位矢量。运动方程可以表示为运动方程可以表示为运动方程可以表示为运动方程可以表示为p经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量pStudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe写在最后感谢聆听感谢聆听不足之处请大家批评指导不足之处请大家批评指导Please Criticize And Guide The Shortcomings结束语结束语讲师讲师：XXXXXX XX年年XX月月XX日日