一维随机变量函数及其分布-教学课件

2.4 一维随机变量的函数及其分布主要内容主要内容一维离散型随机变量函数的分布一维离散型随机变量函数的分布一维连续型随机变量函数的分布一维连续型随机变量函数的分布 在实际中在实际中,人们常常对随机变量的函数更感兴趣人们常常对随机变量的函数更感兴趣.如如,某商店某种商品的销售量是一个随机变量某商店某种商品的销售量是一个随机变量X,销销售该商品的利润售该商品的利润Y也是随机变量也是随机变量,它是它是X的函数的函数g(X)，即，即Y=g(X).人们往往更加关注利润人们往往更加关注利润Y.假设随机变量假设随机变量 X 的分布已知，如何由的分布已知，如何由 X 的的分布求出分布求出 Y 的分布？的分布？1、离散型随机变量、离散型随机变量函数的分布函数的分布解：解：当当 X 取值取值 1，2，5 时，时，Y 取对应值取对应值 5，7，13，而且，而且X取某值与取某值与Y取其对应值是两个同取其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率时发生的事件，两者具有相同的概率.于是于是引例引例设设X求求 Y=2X+3 的概率函数的概率函数.一般地，若离散型一般地，若离散型一般地，若离散型一般地，若离散型 r.v r.v，X X 的分布律的分布律的分布律的分布律 如果g(xk)中有一些相同的值，把它们做适 当的并项即可X 则则 Y=g(X)例则 Y=X2 的分布律为如果如果,XY练习练习设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为求求Y=2X2+1的分布律的分布律 X -2 -1 0 1P 1/6 2/6 1/6 2/6提示 因为Y=2XY=2X2 2+1+1的分布律为的分布律为X -2 -1 0 1Y=2X2+1 9 3 1 3P 1/6 2/6 1/6 2/6Y 1 3 9P 1/6 4/6 1/6接下来我们看接下来我们看 连续型随机变量函数的分布密度连续型随机变量函数的分布密度 设随机变量设随机变量X X的密度函数为的密度函数为设设Y Y为为X X的函数的函数如何确定如何确定Y Y的密度函数？的密度函数？1、通过分布函数定义求解、通过分布函数定义求解分析分析：根据分布函数的定义根据分布函数的定义根据分布函数与密度函数的关系根据分布函数与密度函数的关系关键点：积分区域的确定，定积分的求解关键点：积分区域的确定，定积分的求解求求分分布布函函数数是是关关键键！分分布布函函数数的的定定义义求求法法例例1 1第一步，求第一步，求Y Y的分布函数的分布函数（1）设随机变量设随机变量X X服从服从00，11上的均匀分布上的均匀分布求求X2的密度函数的密度函数（2）（3）第二步，根据分布函数求密度函数第二步，根据分布函数求密度函数联立（联立（1 1）（）（2 2）（）（3 3）例例2 设随机变量设随机变量X服从标准正态分布服从标准正态分布求求|X|的密度函数的密度函数第一步，求第一步，求Y Y的分布函数的分布函数（1）（2）第二步，根据分布函数求密度函数第二步，根据分布函数求密度函数联立（联立（1 1）（）（2 2）如果随机变量的密度函数是一阶单调函数，且如果随机变量的密度函数是一阶单调函数，且具有一阶连续导数，具有一阶连续导数，则则2、通过公式求解、通过公式求解的反函数为的密度函数的密度函数为为例例3 3第一步，条件判断第一步，条件判断 设随机变量设随机变量X X服从参数为服从参数为(,(,2 2)的正态分布的正态分布求求Y=a+bX的密度函数的密度函数单调函数单调函数一阶连续可导一阶连续可导第二步，求反函数及反函数的导数第二步，求反函数及反函数的导数 的反函数为的反函数为反函数的导数反函数的导数第三步，确定第三步，确定X X的密度函数的密度函数 第四步，代公式求第四步，代公式求Y Y的密度函数的密度函数 结论：结论：正态分布的线性函数仍为正态分布正态分布的线性函数仍为正态分布例例4 4第一步，条件判断第一步，条件判断 设随机变量设随机变量X X服从参数为服从参数为1 1的指数分布的指数分布求求Y=eX的密度函数的密度函数单调增加单调增加一阶连续可导一阶连续可导第二步，求反函数及反函数的导数第二步，求反函数及反函数的导数 的反函数为的反函数为反函数的导数反函数的导数第三步，确定第三步，确定X X的密度函数的密度函数 第四步，代公式求第四步，代公式求Y Y的密度函数的密度函数 例例5 设设试求试求Y Y的分布的分布第一步第一步 条件判断条件判断y=g(x)y=g(x)是是x x的非连续函数，显的非连续函数，显然不满足条件然不满足条件第二步第二步 求各点发生的概率求各点发生的概率进一步考察，进一步考察，Y Y实际上是一个离散实际上是一个离散型随机变量，取值只有三个点型随机变量，取值只有三个点Y Y概率概率 -5 -1 20 -5 -1 200.16 0.16 0.680.16 0.16 0.68二、二、二维离散型随机变量函数的分二维离散型随机变量函数的分布布 设二维离散型随机变量（设二维离散型随机变量（X X，Y Y）的联合分布）的联合分布设设Z Z为为X X、Y Y的函数的函数如何确定如何确定Z Z的分布？的分布？由于由于X X，Y Y的取值是有限的或可数的的取值是有限的或可数的而而Z Z为为X X，Y Y的函数的函数因此，因此，Z Z的取值是有限的或可数的的取值是有限的或可数的分析：分析：计算每一取值点发生的概率即可得到概率分布计算每一取值点发生的概率即可得到概率分布Z Zz z1 1 z z2 2 概率概率 p p1 1 p p2 2 列出（列出（X X，Y Y）的所有取值点）的所有取值点利用联合分布律确定相应的概率利用联合分布律确定相应的概率方法：方法：（X,YX,Y）计算这些点对应的计算这些点对应的Z Z值值（如：（如：Z=X+YZ=X+Y）（x x1 1,y,y1 1）（）（x x1 1,y,y2 2)(x)(x2 2,y,y1 1)(x)(x2 2,y,y2 2)(x)(xi i,y,y1 1)(x)(xi i,y,y2 2)x x1 1+y+y1 1 x x1 1+y+y2 2 x x2 2+y+y1 1 x x2 2+y+y2 2 x xi i+y+y1 1 x xi i+y+y2 2 Z Z概率概率 p p11 11 p p1212 p p21 21 p p2222 p pi1i1 p pi2i2 将相同的将相同的z z值进行合并，其概率值作相应合并值进行合并，其概率值作相应合并XY121 20 1/31/3 1/3例例5 5求求X+YX+Y，X-YX-Y的分布的分布 （1,11,1）（1,2)(2,1)(2,2)1,2)(2,1)(2,2)2 2 3 3 43 3 4X+YX+Y概率概率 0 0 1/3 1/31/3 1/3 1/31/3（X,YX,Y）0 0 -1 1 0-1 1 0X-YX-Y 2 2 3 4 3 4X+YX+Y概率概率 0 0 2/3 2/3 1/31/3 0 0 -1 1 -1 1X-YX-Y概率概率 1/3 1/3 1/3 1/3 1/31/3例例6 6 X X，Y Y相互独立，分别服从相互独立，分别服从P P（1 1），），P P（2 2),),求求X+YX+Y的分布的分布分析：分析：X X的取值的取值0 0，1 1，2 2，Y Y的取值的取值0 0，1 1，2 2，X+YX+Y的取值的取值0 0，1 1，2 2，结论推广：结论推广：称作称作PoissonPoisson分布的可加性（再生性）分布的可加性（再生性）例例7 7X X、Y Y相互独立相互独立 0 0 1 1X X概率概率 1/2 1/2 1/21/2 0 0 1 1Y Y概率概率 1/2 1/2 1/21/2求求Z=maxZ=max（X X，Y Y）的分布律）的分布律分析：分析：Z Z可能取值可能取值0 0，1 1，计算相应的概率即可，计算相应的概率即可三、三、二维连续型随机二维连续型随机 变量函数的分布变量函数的分布 设二维连续型随机变量（设二维连续型随机变量（X X，Y Y）的联合密度）的联合密度设设Z Z为为X X、Y Y的函数的函数如何求如何求Z Z的密度函数？的密度函数？通过分布函数定义求解通过分布函数定义求解分析分析：根据分布函数的定义根据分布函数的定义根据分布函数与密度函数的关系根据分布函数与密度函数的关系关键点：积分区域的确定，二重积分的求解关键点：积分区域的确定，二重积分的求解求求分分布布函函数数是是关关键键分分布布函函数数的的定定义义求求法法求解步骤：求解步骤：第一步第一步 确定（确定（X X，Y Y）联合密度）联合密度第二步第二步 计算计算Z Z的分布函数的分布函数确定积分区域和积分限确定积分区域和积分限计算二重积分计算二重积分第三步第三步 计算计算Z Z的密度函数的密度函数 X X，Y Y相互独立，均服从标准正态分布，求相互独立，均服从标准正态分布，求下列函数的密度函数下列函数的密度函数例例8 8（1 1）Z=X+Y Z=X+Y（2 2）第一步确定（第一步确定（X X，Y Y）的联合密度）的联合密度 第二步第二步 计算计算Z Z的分布函数的分布函数（1 1）Z=X+Y Z=X+Y为什么可以交换积为什么可以交换积分次序？分次序？令令第三步第三步 计算计算Z Z的密度函数的密度函数结论：结论：第一步确定（第一步确定（X X，Y Y）的联合密度）的联合密度 第二步第二步 计算计算Z Z的分布函数的分布函数（2 2）(1)(1)(2)(2)第三步第三步 计算计算Z Z的密度函数的密度函数联立（联立（1 1）（）（2 2）结论推广：结论推广：称作称作正态分布的可加性（再生性）正态分布的可加性（再生性）思考题：思考题：1 1、正态分布和、正态分布和PoissonPoisson分布具有可加性，分布具有可加性，其它分布是否也有此性质？其它分布是否也有此性质？2 2、是否任意随机变量函数的分布都容易、是否任意随机变量函数的分布都容易确定？确定？1.一维随机变量函数的的密度函数一维随机变量函数的的密度函数2.二维离散型随机变量函数的分布二维离散型随机变量函数的分布内容小结内容小结3.二维连续型随机变量函数的密度二维连续型随机变量函数的密度网上作业：网上作业：192.168.14.39作业书面作业：书面作业：P75-76 3,4,5,7,9，10，12，13谢谢！谢谢！51