变换群置换群与循环群课件

1.彭姝彭姝Email:实验室实验室:软件楼软件楼3102.顾俊顾俊Email: 实验室：软件楼实验室：软件楼3103.赵一鸣赵一鸣BBS:zhymEmail:每周三交作业每周三交作业1.彭姝2 2 变换群、置换群与循环群变换群、置换群与循环群例例13.8:证证明明不不等等边边长长方方形形所所有有对对称称的的集集合合,关于其合成关于其合成 构成群。构成群。B4=e,B4;是是4元素群元素群,称为称为Klein四元群。四元群。2 变换群、置换群与循环群例13.8:证明不等边长方形所有一、变换群一、变换群变换变换:非空集合非空集合S到到S的一个映射的一个映射,当映射是一一对应时当映射是一一对应时,称为称为一一变换一一变换。SS表示表示S到到S的所有映射全体组成的集合的所有映射全体组成的集合,SS=f|f:SS，SS;是半群。是拟群。不是群是半群。是拟群。不是群T(S)表示表示S上所有一一变换组成的集合。上所有一一变换组成的集合。T(S)=f|f SS,且且f为一一对应为一一对应T(S);是群是群一、变换群变换:非空集合S到S的一个映射,定义定义13.5:设设G T(S),当当G;为群时为群时,就就称该群为称该群为变换群变换群,其中其中 为一一变换的合为一一变换的合成成(复合复合)运算运算,并称为变换的乘法。并称为变换的乘法。定理定理13.9:T(S);是一个变换群。是一个变换群。变换群不一定是交换群变换群不一定是交换群定义13.5:设GT(S),当G;为群时,就称该群为二、置换群二、置换群定定义义13.6:设设S,|S|+,S上上的的一一个个一一一一变变换换称称为为置置换换。S上上的的某某些些置置换换关关于于乘乘法法运算构成群时运算构成群时,就称为就称为置换群置换群。若若|S|=n,设设S=1,2,n,其其置置换换全全体体组组成成的的集合表示为集合表示为Sn;Sn;是一个置换群是一个置换群,n次对称群次对称群。二、置换群定义13.6:设S,|S|1)当当|S|=n,任取任取Sn中的置换中的置换 由元素由元素1出发取出发取 上的循环置换上的循环置换推推论论13.1:任任意意一一个个置置换换可可以以分分解解为为若若干干个对换的乘积。个对换的乘积。定理13.10:Sn中的任一个置换均可分解为不含公共元的若干说明分解不唯一说明分解不唯一说明分解不唯一定定理理13.11：任任意意一一个个置置换换可可分分解解成成对对换换的的乘乘积积,这这种种分分解解是是不不唯唯一一的的,但但是是这这些些对对换换的的个个数数是是奇奇数数个个还还是是偶偶数数个个却却完完全全由置换本身确定。由置换本身确定。对对一一个个置置换换，它它可可能能有有不不同同的的对对换换乘乘积积，但它们的对换个数的奇偶性则是一致的。但它们的对换个数的奇偶性则是一致的。定定义义1 13 3.8.8：一一个个置置换换的的对对换换分分解解式式中中,对对换换因因子子的的个个数数是是偶偶数数时时称称该该置置换换为为偶偶置换置换,否则否则,称它为称它为奇置换奇置换。定理13.11：任意一个置换可分解成对换的乘积,这种分解是长度为长度为k k的循环置换的循环置换(i1 i2 ik)=(i1 i2)(i2 i3)(ik-2 ik-1)(ik-1 ik)共共k-1个对换个对换所以当所以当k是奇数时，该循环为偶置换是奇数时，该循环为偶置换 当当k k是偶数时，该循环为奇置换是偶数时，该循环为奇置换推论推论1 13 3.2.2：一个长度为：一个长度为 k k的循环置换的循环置换,当当k k为奇数时为奇数时,它是一个偶置换它是一个偶置换;当当k k为为偶数时偶数时,它是一个奇置换。它是一个奇置换。长度为k的循环置换推推论论13.3：每每个个偶偶置置换换均均可可分分解解为为若若干干个个长长度度为为 3 的的循循环环置置换换的的乘乘积积,循循环环置置换换中中可以含有公共元。可以含有公共元。证明证明:对任两个对换对任两个对换:(a,b)(c,d)(a,b)(b,c)推论13.3：每个偶置换均可分解为若干个长度为 3 的循环置推论推论1 14 4.4.4：Sn中的奇、偶置换在置换的乘法运算中的奇、偶置换在置换的乘法运算下下,其奇偶性由下表给出其奇偶性由下表给出:偶置换偶置换 奇置换奇置换 偶置换偶置换 偶置换偶置换 奇置换奇置换 奇置换奇置换 奇置换奇置换 偶置换偶置换恒等置换看作为偶置换恒等置换看作为偶置换Sn=OnAnOnAn=偶偶置置换换与与偶偶置置换换的的乘乘积积仍仍是是偶偶置置换换，是是An上上的运算的运算An;是代数系统。是代数系统。推论14.4：Sn中的奇、偶置换在置换的乘法运算下,其奇偶性1.封闭性封闭性2.结合律当然成立结合律当然成立3.恒等置换恒等置换e An4.对于对于An,在在Sn中有逆元中有逆元-1,-1也是偶也是偶置换置换推论推论13.5：对称群：对称群Sn中所有偶置换组成的中所有偶置换组成的集合集合,记为记为An,关于置换的乘法构成群。关于置换的乘法构成群。1.封闭性定义定义13.9：称上述：称上述An;为为n次交待群次交待群。由由于于An中中每每个个元元素素都都是是置置换换,因因此此根根据据置置换群的定义可知换群的定义可知An;也是置换群也是置换群.|An|=?若若n=1，Sn只只有有一一个个置置换换恒恒等等置置换换，它也是它也是An的元素，的元素，|An|=1。若若n1,|An|=|On|=定义13.9：称上述An;为n次交待群。例：例：G=g1,g2,gn,G;是群是群,对任意对任意g G,定义映射定义映射 g:GG,使得对任意使得对任意g G,有有 g(g)=g g。设设=g|g G,则则;是置换群。这里是置换群。这里 是关于映射是关于映射的复合运算的复合运算.证明证明:(0)是是 上的上的运算运算(1)是满足结合律的是满足结合律的.(2)存在单位元存在单位元(3)对任意对任意 g ,存在逆元存在逆元(4)g是是G上的置换上的置换例：G=g1,g2,gn,G;是群,对任意g三、循环群三、循环群1.1.元素的阶元素的阶定定义义13.10:设设G为为群群,e是是G的的单单位位元元，对对于于a G,如如果果存存在在最最小小正正整整数数r，使使得得ar=e，则则称称r为为元元素素a的的阶阶;也也可可称称a是是r阶阶元元。若若不不存存在在这这样样的的r，则则称称a为为无无限限阶阶元元或说或说a的的阶无限阶无限。三、循环群1.元素的阶元素元素a的阶有限的特征：的阶有限的特征：若元素若元素a的阶有限，则存在的阶有限，则存在k,l Z(k l),使使ak=al，如果如果a的任意两个幂都不相等的任意两个幂都不相等,则元素则元素a的的阶无限。阶无限。定定理理13.12：G为为群群,a G,阶阶为为n,则则对对m Z,am=e当且仅当当且仅当n|m。定定理理(一一)：若若G是是有有限限群群，则则G中中的的每每个个元素的阶都是有限的。元素的阶都是有限的。元素a的阶有限的特征：作业作业:P171 12.(2)(3),13作业:P171 12.(2)(3),13