一阶微分方程在经济学中的综合应用ppt课件

第三节第三节 一阶微分方程在经济学中的综合应用一阶微分方程在经济学中的综合应用 在研究各经济变量之间的联系及其内在规律时，常在研究各经济变量之间的联系及其内在规律时，常 需要建立某一经济函数及其导数所满足的关系式，并需要建立某一经济函数及其导数所满足的关系式，并 由此确定所研究函数的形式，从而根据一些已知的条由此确定所研究函数的形式，从而根据一些已知的条 件来确定该函数的表达式。件来确定该函数的表达式。从数学上讲，就是建立微分方程并求解微分方程。从数学上讲，就是建立微分方程并求解微分方程。下面举一些一阶微分方程在经济学中应用的例子。下面举一些一阶微分方程在经济学中应用的例子。第三节 一阶微分方程在经济学中的综合应用 第十章 一、分析商品的市场价格与需求量一、分析商品的市场价格与需求量(供给量供给量)之间的之间的 函数关系函数关系 例例1 1 某商品的需求量某商品的需求量 Q 对价格对价格 P 的弹性为的弹性为 P 1n3,若若该该商商品品的的最最大大需需求求量量为为 1200(即即 P=0 时时,Q=1200),(P 的单位为元的单位为元,Q 的单位为的单位为 kg).1.试求需求量试求需求量 Q 与价格与价格 P 的函数关系的函数关系;2.求当价格为求当价格为 1 元时元时,市场对该商品的需求量市场对该商品的需求量;3.当当 P +时时,需求量的变化趋势如何需求量的变化趋势如何?解解 1.由条件可知由条件可知 一、分析商品的市场价格与需求量(供给 即即 分离变量并求解此微分方程分离变量并求解此微分方程,得得 (C 为任意常数为任意常数)由由 得得,C=1200,2.当当P=1(元元)时时,3.显然显然 P +时时,Q 0,即随着价格的无限增大即随着价格的无限增大,需求量将趋于零需求量将趋于零 .即 分离变量并求解此微分方程,例例2 2 设某商品的需求函数与供给函数分别为设某商品的需求函数与供给函数分别为 (其中其中 a,b,c,d 均为正常均为正常数数)假假设设商商品品价价格格 P 为为时时间间 t 的的函函数数,已已知知初初始始价价格格 P(0)=且且在在任任一一时时刻刻 t,价价格格 P(t)的的变变化化率率总总与与这这一一时时刻刻 的超额需求的超额需求 成正比成正比(比例常数为比例常数为 k 0).1.求供需相等时的价格求供需相等时的价格 (均衡价格均衡价格);2.求价格求价格 P(t)的表达式的表达式;3.分析价格分析价格 P(t)随时间的变化情况随时间的变化情况.解解 1.由由 得得 2.由题意可知由题意可知 例2 设某商品的需求函数与供给函数分别为 将将 代人上式代人上式,得得(1)解此一阶非齐次线性微分方程解此一阶非齐次线性微分方程,得通解为得通解为 由由 P(0)=得得 则特解为则特解为 将 3.讨论价格讨论价格 P(t)随时间的变化情况随时间的变化情况 .由于由于 为常数为常数,k(b+d)0,故当故当 t +时时,从而从而 (均衡价格均衡价格)(从数学上讲从数学上讲,显然均衡价显然均衡价格格 即为微分方程即为微分方程(1)的平衡解的平衡解,且由于且由于 故微分方程的平衡解是稳定的故微分方程的平衡解是稳定的).由由 与与 的大小还可分三种情况进一步讨论的大小还可分三种情况进一步讨论(见下图见下图)3.讨论价格 P(t)随时间 1)若若 ，则，则 ，即价格为常数，市场，即价格为常数，市场无无 需调节达到均衡；需调节达到均衡；2)若若 ，因为，因为 总是大于零且总是大于零且趋趋 于零，故于零，故 P(t)总大于总大于 而趋于而趋于 ；3)若若 ，则，则 P(t)总是小于总是小于 而趋于而趋于 .由以上讨论可知，在价格由以上讨论可知，在价格 P(t)的表达式中的两项：的表达式中的两项：为为均均衡衡价价格格，而而 就就可可理理解解为为均均衡衡偏偏 差差.1)若 ，则 例例3 3 某林区实行封山养林，现有木材某林区实行封山养林，现有木材 10 万立方米，万立方米，如果在每一时刻如果在每一时刻 t 木材的变化率与当时木材数成正比木材的变化率与当时木材数成正比.假设假设 10 年时这林区的木材为年时这林区的木材为 20 万立方米万立方米.若规若规定，定，该林区的木材量达到该林区的木材量达到 40 万立方米时才可砍伐，问至万立方米时才可砍伐，问至 少多少年后才能砍伐少多少年后才能砍伐.二、预测可再生资源的产量，预测商品的销售量二、预测可再生资源的产量，预测商品的销售量 解解 若时间若时间 t 以年为单位，假设任一时刻以年为单位，假设任一时刻 t 木材的木材的 数量为数量为 P(t)万立方米，由题意可知万立方米，由题意可知(k 为比例常数为比例常数)且且 例3 某林区实行封山养林，现有木材 该方程的通解为该方程的通解为 将将 t=0 时时,P=10 代人代人,得得 C=10,故故 再将再将 t=10 时时,P=20 代人代人,得得 于是于是 要使要使 P=40,则则 t=20.故至少故至少 20 年后才能砍伐年后才能砍伐 .该方程的通解为 将 t=0 例例4 4 假假设设某某产产品品的的销销售售量量 x(t)是是时时间间 t 的的可可导导函函数数,如如果果商商品品的的销销售售量量对对时时间间的的增增长长速速率率 与与销销售售量量 x(t)及销售量接近于饱和水平的程度及销售量接近于饱和水平的程度 N x(t)之积成正比之积成正比 (N 为饱和水平为饱和水平,比例常数为比例常数为 k 0),且当且当 t=0 时时,1.求销售量求销售量 x(t);2.求求 x(t)的增长最快的时刻的增长最快的时刻 T.解解 1.由题意可知由题意可知(2)分离变量分离变量,得得 例4 假设某产品的销售量 x(t 两边积分两边积分,得得 解出解出 x(t),得得(3)其中其中 由由 得得,B=3,故故 两边积分,得 解出 x(2.由于由于 令令 得得 当当 t T 时时,故故 时时,x(t)增长最快增长最快.2.由于 令 在生物学、经济学中，常遇到这样的量在生物学、经济学中，常遇到这样的量 x(t)，其增，其增 长率长率 dx/dt 与与 x(t)及及 N x(t)之积成正比之积成正比 (N 为为饱和值饱和值),这时这时 x(t)的变化规律遵循微分方程的变化规律遵循微分方程 (2)，而，而 x(t)本本身按身按 Logistic 曲线曲线 (3)的方程而变化的方程而变化 .微分方程微分方程 (2)称为称为 Logistic 方程，其解曲线方程，其解曲线 (3)称为称为 Logistic 曲线曲线 .在生物学、经济学中，常遇到这样的量 x 例例5 5 某商场的销售成本某商场的销售成本 y 和存贮费用和存贮费用 S 均是时间均是时间 t 的的 函数，随时间函数，随时间 t 的增长，销售成本的变化率等于存贮的增长，销售成本的变化率等于存贮 费用的倒数与常数费用的倒数与常数 5 的和，而贮存费用的变化率为存的和，而贮存费用的变化率为存 贮贮费费用用的的(1/3)倍倍 .若若当当 t=0 时时，销销售售成成本本 y=0，存存 贮费用贮费用 S=10.试求销售成本与时间试求销售成本与时间 t 的函数关系及存的函数关系及存 贮费用与时间贮费用与时间 t 的函数关系的函数关系.三、成本分析三、成本分析 解解 由已知由已知(4)(5)例5 某商场的销售成本 y 和存贮费 解微分方程解微分方程(5)得得 由由 得得,C=10,故存贮费用与时间故存贮费用与时间 t 的函的函数数 关系为关系为 将上式代入微分方程将上式代入微分方程(4),得得 从而从而 由由 得得 从而销售成本与时间从而销售成本与时间 t 的的函函 数关系为数关系为 解微分方程(5)得 四、公司的净资产分析四、公司的净资产分析 对于一个公司，它的资产的运营，我们可以把它简对于一个公司，它的资产的运营，我们可以把它简对于一个公司，它的资产的运营，我们可以把它简对于一个公司，它的资产的运营，我们可以把它简 化地看作发生两个方面的作用。化地看作发生两个方面的作用。化地看作发生两个方面的作用。化地看作发生两个方面的作用。一方面，它的资产可一方面，它的资产可一方面，它的资产可一方面，它的资产可 以象银行的存款一样获得利息，以象银行的存款一样获得利息，以象银行的存款一样获得利息，以象银行的存款一样获得利息，另一方面，它的资产另一方面，它的资产另一方面，它的资产另一方面，它的资产 还需用于发放职工工资。还需用于发放职工工资。还需用于发放职工工资。还需用于发放职工工资。显然，显然，显然，显然，当工资总额超过利息的盈取时，公司的经营当工资总额超过利息的盈取时，公司的经营当工资总额超过利息的盈取时，公司的经营当工资总额超过利息的盈取时，公司的经营 状况将逐渐变糟，状况将逐渐变糟，状况将逐渐变糟，状况将逐渐变糟，而当利息的盈取超过付给职工的工而当利息的盈取超过付给职工的工而当利息的盈取超过付给职工的工而当利息的盈取超过付给职工的工 资总额时，公司将维持良好的经营状况。资总额时，公司将维持良好的经营状况。资总额时，公司将维持良好的经营状况。资总额时，公司将维持良好的经营状况。为了表达准为了表达准为了表达准为了表达准 确起见，假设利息是连续盈取的，并且工资也是连续确起见，假设利息是连续盈取的，并且工资也是连续确起见，假设利息是连续盈取的，并且工资也是连续确起见，假设利息是连续盈取的，并且工资也是连续 支付的。对于一个大公司来讲，这一假设是较为合理支付的。对于一个大公司来讲，这一假设是较为合理支付的。对于一个大公司来讲，这一假设是较为合理支付的。对于一个大公司来讲，这一假设是较为合理 的。的。的。的。四、公司的净资产分析 例例6 6 设某公司的净资产在营运过程中，象银行的设某公司的净资产在营运过程中，象银行的 存款一样，以年存款一样，以年5%的连续复利产生利息而使总资产的连续复利产生利息而使总资产 增长，同时，公司还必须以每年增长，同时，公司还必须以每年200百万元人民币的百万元人民币的 数额连续地支付职工的工资。数额连续地支付职工的工资。1.列出描述公司净资产列出描述公司净资产 W(以百万元为单位以百万元为单位)的微分的微分 方程方程;2.假设公司的初始净资产为假设公司的初始净资产为 (百万元百万元)，求公司的，求公司的 净资产净资产W(t);3.描绘出当描绘出当 分别为分别为 3000,4000 和和 5000 时的解曲时的解曲 线线.解解 先对问题作一个直观分析先对问题作一个直观分析.例6 设某公司的净资产在营运过程 首先看是否存在一个初值首先看是否存在一个初值 ,使该公司的净资产不使该公司的净资产不 变变.若存在这样的若存在这样的 ,则必始终有则必始终有利息盈取的速率利息盈取的速率=工资支付的速率工资支付的速率 即即 所以所以,如果净资产的初值如果净资产的初值 (百万元百万元)时时,利利息息 与工资支出达到平衡与工资支出达到平衡,且净资产始终不变且净资产始终不变.即即 4000(百百 万元万元)是一个平衡解是一个平衡解 .但若但若 (百万元百万元),则利息盈取超过工资支则利息盈取超过工资支出出,净资产将会增长净资产将会增长,利息也因此而增长得更快利息也因此而增长得更快,从而净从而净资资 产增长得越来越快产增长得越来越快;若若 (百万元百万元),则利息的盈取赶不上工资则利息的盈取赶不上工资的的 支付支付;公司的净资产将减少公司的净资产将减少,利息的盈取会减少利息的盈取会减少,从从而而 首先看是否存在一个初值 ,净资产减少的速率更快净资产减少的速率更快.这样一来这样一来,公司的净资产最公司的净资产最终终 减少到零减少到零,以致倒闭以致倒闭 .下面将建立微分方程以精确地分析这一问题下面将建立微分方程以精确地分析这一问题 .1.显然显然 净资产的增长速率净资产的增长速率=利息盈取的速率利息盈取的速率 工资支付速率工资支付速率 若若W 以百万元为单位以百万元为单位,t 以年为单位以年为单位,则利息盈取的则利息盈取的 速率为每年速率为每年 0.05 W 百万元百万元,而工资支付的速率为每年而工资支付的速率为每年 200 百万元百万元,于是于是 即即(6)净资产减少的速率更快.这样一来,公司的 这就是该公司的净资产这就是该公司的净资产 W 所满足的微分方程所满足的微分方程.令令 则得平衡则得平衡解解 2.利用分离变量法求解微分方程利用分离变量法求解微分方程(6)得得 (C 为任意常数为任意常数)由由 得得 故故 3.若若 则则W=4000 即为平衡解即为平衡解 .若若 则则 若若 则则 这就是该公司的净资产 W 所满足的微分 在在 的情形的情形,当当 t 27.7 时时,W=0,这意这意味着味着 该公司在今后的该公司在今后的 28 个年头将破产个年头将破产.下图给出了上述几个函数的曲线下图给出了上述几个函数的曲线.W=4000 是一个是一个 平衡解平衡解.可以看到可以看到,如果净资产在如果净资产在 附近某值开始附近某值开始,但但 并不等于并不等于 4000(百万元百万元),那么随着那么随着 t 的增大的增大,W 将远将远离离 故故 W=4000 是一个不稳定的平衡点是一个不稳定的平衡点 .在 例例7 7 在在宏宏观观经经济济研研究究中中,发发现现某某地地区区的的国国民民收收入入 y,国民储蓄国民储蓄 S 和投资和投资 I 均是时间均是时间 t 的函数的函数.且在任一时刻且在任一时刻 t,储储蓄蓄额额 S(t)为为国国民民收收入入 y(t)的的1/10 倍倍,投投资资额额 I(t)是是 国民收入增长率国民收入增长率 dy/dt 的的 1/3 倍倍.t=0 时时,国民收入为国民收入为 5 (亿亿元元).设设在在时时刻刻 t 的的储储蓄蓄额额全全部部用用于于投投资资,试试求求国国民民 收入函数收入函数.五、关于国民收入、储蓄与投资的关系问题五、关于国民收入、储蓄与投资的关系问题 解解 由题意可知由题意可知 由假设由假设,时刻时刻 t 的储蓄全部用于投资的储蓄全部用于投资,那么那么 S=I,于于 是有是有 例7 在宏观经济研究中,发现某 解此微分方程得解此微分方程得 由由 得得 C=5.故国民收入函数故国民收入函数 而储蓄函数和投资函数为而储蓄函数和投资函数为 解此微分方程得 由