中职数学教学ppt课件：第7章-平面向量

第七章平面向量本章主要研究平面向量的概念及线性运算，平面向量的坐标表示与平面向量的内积.第七章第七章平面向量本章主要研究平面向量的概念及平面向量本章主要研究平面向量的概念及线线性运算，平面向性运算，平面向7.1 平面向量的概念教学目标（1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；（2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系；（3）通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的质区别.7.1平面向量的概念平面向量的概念教学目教学目标标唉唉,哪儿去了哪儿去了?嘻嘻嘻嘻!大笨大笨猫猫!AB引入引入不能，因为方向错了。不能，因为方向错了。BA位移不同位移不同老鼠由老鼠由A向东北方向以向东北方向以6m/s的速度逃窜的速度逃窜,而猫由而猫由B向东南向东南方向方向10m/s的速度追的速度追.问猫能问猫能否抓到老鼠？为什么？否抓到老鼠？为什么？AB引入不能，因引入不能，因为为方向方向错错了。了。BA位移不同老鼠由位移不同老鼠由A向向东东北方向北方向重力、浮力、弹力重力、浮力、弹力有大小、有方向有大小、有方向重力、浮力、重力、浮力、弹弹力有大小、有方向力有大小、有方向许多物理量都有这样的性质许多物理量都有这样的性质抽抽象象概概括括向向 量量许许多物理量都有多物理量都有这样这样的性的性质质抽象概括向抽象概括向量量（一）向量的概念（一）向量的概念定义定义：既有既有大小大小又有又有方向方向的量叫向量。的量叫向量。2.向量与数量的区别：向量与数量的区别：数量只有数量只有大小大小 向量有向量有方向方向，大小大小双重属性，而方向是不能双重属性，而方向是不能比较大小的，因此向量不能比较大小。比较大小的，因此向量不能比较大小。注：注：1.向量两要素：向量两要素：大小，方向大小，方向，可以比较大小。，可以比较大小。注注：物理中向量与数量分别叫做：物理中向量与数量分别叫做矢量、标量矢量、标量（一）向量的概念（一）向量的概念定定义义：既有大小又有方向的量叫向量：既有大小又有方向的量叫向量(二）向量的表示方法二）向量的表示方法 1 1、几何表示法、几何表示法：用用有向线段有向线段表示表示。A(A(起点）起点）B(B(终点）终点）有向线段三要素：有向线段三要素：起点、起点、方向、长度方向、长度2 2、小写字母小写字母a,b,ca,b,c印刷用黑体表示，手写时写成印刷用黑体表示，手写时写成此易错也，此易错也，望记住望记住2 2、向量的字母表示：、向量的字母表示：注：由起点指向终点；注：由起点指向终点；(二）向量的表示方法二）向量的表示方法1、几何表示法：、几何表示法：用有向用有向线线段表示段表示。A（三）向量的模（三）向量的模注：向量的模是可以比较大小的注：向量的模是可以比较大小的记作：记作：如：如：向向量量的的模模(或长度或长度)就是向量就是向量的大小的大小（三）向量的模注：向量的模是可以比（三）向量的模注：向量的模是可以比较较大小的大小的记记作：如：作：如：向量向量1.1.零向量零向量:2 2.单位向量单位向量:长度（模）为长度（模）为1个单位长度个单位长度 的向量的向量长度（模）为长度（模）为0的向量，记作的向量，记作规定：规定：方向是任意的。方向是任意的。（四）两个特殊向量（四）两个特殊向量1.零向量零向量:2.单单位向量位向量:长长度（模）度（模）为为1个个单单位位长长度度1.相等向量：相等向量：长度长度相等相等且方向且方向相同相同的向量。的向量。abca=b=cA1B1=A2B2=A3B3=A4B4A1B1A2B2A3B3A4B4（五）（五）.向量间的关系：向量间的关系：注：注：1.若向量若向量相等，则记为相等，则记为；2.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的表示，并且与有向线段的起点无关起点无关。3、向量可以自由平移、向量可以自由平移规定：规定：0=00=01.相等向量：相等向量：长长度相等且方向相同的向量。度相等且方向相同的向量。abca=b=cA规定：零向量与任一向量平行规定：零向量与任一向量平行记作：记作：/2.平平行行向向量量：方方向向或或的的向向量量叫叫平平行行向向量量如如下下图图：平平行行相同相同相反相反任一组平行向量都可移到同一条直线上任一组平行向量都可移到同一条直线上,平行向量也叫平行向量也叫共线向量共线向量记作记作:规规定：零向量与任一向量平行定：零向量与任一向量平行记记作：作：/23.向量的负向量：向量的负向量：长度长度相等相等且方向且方向相反相反的向量。的向量。ab向量向量的负向量，记作的负向量，记作规定：零向量的负向量仍为零向量规定：零向量的负向量仍为零向量 与与互为相反向量互为相反向量3.向量的向量的负负向量：向量：长长度相等且方向相反的向量。度相等且方向相反的向量。ab向量向量相等的有相等的有7个个长度相等长度相等的有的有15个个.试一试试一试相等的有相等的有7个个.试试一一试试例例1判断下列结论是否正确。判断下列结论是否正确。(1)(1)平行向量方向一定相同；平行向量方向一定相同；()()(2)(2)不相等向量一定不平行；不相等向量一定不平行；()()(3)(3)与零向量相等的向量是零向量；与零向量相等的向量是零向量；()()(4)(4)单位向量是相等向量；单位向量是相等向量；()()(5)(5)共线向量一定在一条直线上；共线向量一定在一条直线上；()()(6)(6)相等向量一定是平行向量相等向量一定是平行向量;()例例1判断下列判断下列结论结论是否正确。是否正确。(1)平行向量方向一定相同；平行向量方向一定相同；【例例2 2】:如图，设如图，设O是正六边形的中心，分别写是正六边形的中心，分别写出图中与向量出图中与向量 、相等的向量，相等的向量，负向负向量。量。BACDEFO【例【例2】:如如图图，设设O是正六是正六边边形的中心，分形的中心，分别别写出写出图图中与向中与向BACDEFO解解：BACDEFO解：解：下面几个命题：下面几个命题：（3）若）若|a|=|b|，则，则a=b（2）若）若|a|=0，则，则a=0（1）若）若a=b，b=c，则，则a=c。A0B.1 C.2 D.3 其中正确的个数是其中正确的个数是()（5）向量）向量ABCD，则，则A、B、C、D四点必在一直线上；四点必在一直线上；（4）两个向量）两个向量a=bab|a|=|b|下面几个命下面几个命题题：C（3）若）若|a|=|b|，则则a=b7.2 平面向量的运算教学目标（1）能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量；（2）在应用活动中，理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义.掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等；（3）通过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量；（4）学会分析问题和创造地解决问题.能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量；（5）通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律7.2平面向量的运算平面向量的运算教学目教学目标标 台北台北香港香港上海上海从运动的合成看向量运算在大陆和台湾没有直航之前，台湾同胞要到上海探亲，得乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，那么这两次位移之和是什么？ABC位移位移叫做位移叫做位移与位移与位移的和，记作的和，记作台北香港上海从运台北香港上海从运动动的合成看向量运算在大的合成看向量运算在大陆陆和台湾没有和台湾没有F1F2FEOOEF1+F2=F从力的合成看向量运算橡皮条在力F1与F2的作用下，从E点伸长到了O点；同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？F1F2FF是以是以F1与与F2为邻边所形成的为邻边所形成的平行四边形的对角线平行四边形的对角线F1F2FEOOEF1+F2=F从力的合成看向量运算橡皮条在从力的合成看向量运算橡皮条在ABC向量的加法运算运动的合成力的合成F1F2FF1+F2=F 数的加法启发我们，从运算的角度看，数的加法启发我们，从运算的角度看，AC可以认为可以认为是是AB与与BC的和，的和，F可以认为是可以认为是F1与与F2的和，即位移、力的的和，即位移、力的合成可以看作向量的加法。合成可以看作向量的加法。向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量的加法法则向量的加法法则：三角形法则、平行四边形法则：三角形法则、平行四边形法则ABC向量的加法运算运向量的加法运算运动动的合成的合成F1F2FF1+F2=oABC力的合成可以看作向量加法的力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型平行四边形法则的物理模型向量加法法则CAB位移的合成可以看作向量位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型加法三角形法则的物理模型oABC力的合成可以看作向量加法的向量加法法力的合成可以看作向量加法的向量加法法则则CAB位移位移向量加法法则总结与拓展向量加法的三角形法则:1.将向量平移使得它们首尾相连首尾相连2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾向量加法的平行四边形法则:1.将向量平移到同一起点同一起点2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的对角线三角形法则推广为多边形法则：向量加法法向量加法法则总结则总结与拓展向量加法的三角形法与拓展向量加法的三角形法则则:探究一：当向量共线时，如何相加？ABC(1)同向同向(2)反向反向ABC探究一：当向量共探究一：当向量共线时线时，如何相加？，如何相加？ABC(1)同向同向(2)反向反向A探究二：向量的加法是否具备交换律和结合律？数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，bR，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)向量的加法具备吗？你能否画图解释？向量加法满足交换律和结合律：向量加法满足交换律和结合律：以上两个运算律可以以上两个运算律可以推广推广到任意多个向量到任意多个向量.探究二：向量的加法是否具探究二：向量的加法是否具备备交交换换律和律和结结合律？数的加法合律？数的加法满满足交足交换换律律练习：练习：1、化简、化简练习练习：1、化、化简简例例3一艘船以一艘船以12km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为速度为5km/h，求该船的实际航行速度，求该船的实际航行速度ABDC速度，由向量加法的平行四边形法则，速度，由向量加法的平行四边形法则，是船的实际航行速度，显然是船的实际航行速度，显然解解如图所示，如图所示，表示船速，表示船速，为水流为水流=13利用计算器求得利用计算器求得即船的实际航行速度大小是即船的实际航行速度大小是13km/h，其方向与河岸线的夹角约，其方向与河岸线的夹角约例例3一艘船以一艘船以12km/h的速度航行，方向的速度航行，方向例例4用两条同样的绳子挂一个物体用两条同样的绳子挂一个物体,设物体的重力为设物体的重力为k，两条，两条，求物体受到沿两条绳子的方向的，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力拉力与与的大小的大小绳子的方向与垂线的夹角为绳子的方向与垂线的夹角为f1f2k解解 利用平行四边形法则，可以得到利用平行四边形法则，可以得到所以所以根据例题根据例题4的分析，判断在单杠上悬挂身体时，两臂的分析，判断在单杠上悬挂身体时，两臂成什么角度时，双臂受力最小？成什么角度时，双臂受力最小？例例4用两条同用两条同样样的的绳绳子挂一个物体子挂一个物体,设设物体的重力物体的重力为为k，两条，两条，平面向量的减法运算平面向量的减法运算平面向量的减法运算动脑思考探索新知动脑思考探索新知与数的运算相类似，可以将向量与数的运算相类似，可以将向量a与向量与向量b的负向量的和定义的负向量的和定义为向量为向量a与向量与向量b的差即的差即ab=a(b)即即观察图可以得到：起点相同的观察图可以得到：起点相同的个向量，其起点是减向量个向量，其起点是减向量b的终点，的终点，两个向量两个向量a、b，其差，其差ab仍然是仍然是一一终点是被减向量终点是被减向量a的终点的终点aAabBbO设设a，b，则，则动脑动脑思考探索新知与数的运算相思考探索新知与数的运算相类类似，可以将向量似，可以将向量a与向量与向量b的的负负向量减法法则要点:1.平移到同一起点同一起点；2.指向指向被减向量.ABOABO向量减法法向量减法法则则要点要点:1.平移到同一起点；平移到同一起点；2.指向被减向量指向被减向量.AB探究三：当向量共线时，如何相减？(1)同向同向(2)反向反向探究四：平行四边形法则的两条对角线探究四：平行四边形法则的两条对角线ADCB探究三：当向量共探究三：当向量共线时线时，如何相减？，如何相减？(1)同向同向(2)反向探究四：反向探究四：中中职职数学教学数学教学ppt课课件：第件：第7章章-平面向量平面向量平面向量的数乘运算平面向量的数乘运算平面向量的数乘运算aaaABCOa-a-a-aPQMNaaaABCOa-a-a-aPQMN向量的数乘运算的定义向量的数乘运算的定义你能说出向量数乘运算的几何意义吗？向量的数乘运算的定向量的数乘运算的定义义你能你能说说出向量数乘运算的几何意出向量数乘运算的几何意义吗义吗？数乘向量运算律向量的加、减、数乘运算统称向量的线性运算线性运算.第一分配律第二分配律数乘结合律1.如何证明？2.如何解释运算律的几何意义，尤其是(3)？数乘向量运算律向量的加、减、数乘运算数乘向量运算律向量的加、减、数乘运算统统称向量的称向量的线线性运算性运算.第一第一线性运算练习线线性运算性运算练习练习两非零向量共线的充要条件：两非零向量共线的充要条件：两非零向量共两非零向量共线线的充要条件：的充要条件：例例5在平行四边形在平行四边形ABCD中，中，O为两对角线交点如图，为两对角线交点如图，a，b，试用，试用a,b表示向量表示向量、解解ab，ba，因为因为O分别为分别为AC，BD的中点，所以的中点，所以（ab）ab，（ba）ab，ab和和ab都叫做向量都叫做向量a，b的线性组合，或者说，的线性组合，或者说，可以用向量可以用向量a，b线性表示线性表示一般地，一般地，ab叫做叫做a,b的一个线性组合（其中的一个线性组合（其中均为实数），如果均为实数），如果lab，则称，则称l可以用可以用a，b线性表示线性表示例例5在平行四在平行四边边形形ABCD中，中，O为为两两对对角角线线交点如交点如图图，a，自我反思目标检测自我反思目标检测向向量量概念及表示：概念及表示：向量间的关系：向量间的关系：向量的线性运算：向量的线性运算：自我反思目自我反思目标检测标检测向量概念及表示：向量向量概念及表示：向量间间的关系：向量的的关系：向量的线线性运性运7.3 平面向量的坐标表示教学目标(1)掌握平面向量的坐标表示；(2)会进行向量线性运算的坐标表示；(3)掌握向量共线的充要条件.7.3平面向量的坐平面向量的坐标标表示表示教学目教学目标标创设情境兴趣导入创设情境兴趣导入设平面直角坐标系中，设平面直角坐标系中，x轴的单位向量为轴的单位向量为i,y轴的单位向量为轴的单位向量为j，为从原点出发的向量，点为从原点出发的向量，点A的坐标为（的坐标为（2，3）则）则由平行四边形法则知由平行四边形法则知图图717创设创设情境情境兴兴趣趣导导入入设设平面直角坐平面直角坐标标系中，系中，x轴轴的的单单位向量位向量为为i,动脑思考探索新知动脑思考探索新知设设i,j分别为分别为x轴、轴、y轴的单位向量，轴的单位向量，(1)设设点点，则，则（如图（如图718(1)）；）；OxijM(x,y)yjiBAOyx图图718(1)图图718(2)向量的坐标等向量的坐标等于原点到终点的于原点到终点的向量的坐标减去向量的坐标减去原点到起点的向原点到起点的向量的坐标量的坐标动脑动脑思考探索新知思考探索新知设设i,j分分别为别为x轴轴、y轴轴的的单单位向量，位向量，(动脑思考探索新知动脑思考探索新知由此看到，对任一个平面向量由此看到，对任一个平面向量a，都存在着一对，都存在着一对叫做叫做向量向量a的坐标，记作的坐标，记作，使得使得有序实数对有序实数对有序实数有序实数动脑动脑思考探索新知由此看到，思考探索新知由此看到，对对任一个平面向量任一个平面向量a，都存在着一，都存在着一对对图图719巩固知识典型例题巩固知识典型例题例例1如图如图719所示，用所示，用x轴与轴与y轴上的单位向量轴上的单位向量i、j表示表示向量向量a、b,并写出它们的坐标并写出它们的坐标解解因为因为5i3j，a所以所以同理可得同理可得可以看到，从原可以看到，从原点出发的向量，其坐点出发的向量，其坐标在数值上与向量终标在数值上与向量终点的坐标是相同的点的坐标是相同的图图719巩固知巩固知识识典型例典型例题题例例1如如图图719所示，用所示，用x轴轴巩固知识典型例题巩固知识典型例题已知点已知点，求，求的坐标的坐标例例2解解巩固知巩固知识识典型例典型例题题已知点，求的坐已知点，求的坐标标例例2解解运用知识强化练习运用知识强化练习组合表示向量组合表示向量1点点A的坐标为（的坐标为（2，3），写出向量），写出向量的坐标，并用的坐标，并用i与与j的线性的线性2设向量设向量,写出向量写出向量e的坐标的坐标运用知运用知识识强强化化练习组练习组合表示向量合表示向量1点点A的坐的坐标为标为（2，运用知识强化练习运用知识强化练习已知已知A，B两点的坐标，求两点的坐标，求的坐标的坐标(1)(2)(3)(1)(2)(3)运用知运用知识识强强化化练习练习已知已知A，B两点的坐两点的坐标标，求，求运用知识强化练习运用知识强化练习略略已知已知A，B两点坐标，求两点坐标，求的坐标及模的坐标及模(1)A(5,3)，B(3，1)；(2)A(1,2)，B(2，1)；(3)A(4,0)，B(0，3)3运用知运用知识识强强化化练习练习略略已知已知A，B两点坐两点坐标标，求的坐，求的坐标标及模及模创设情境兴趣导入创设情境兴趣导入图图720观察图观察图720，向量，向量可以看到，两个向量和的坐标恰好是这两个向量对应坐标的和可以看到，两个向量和的坐标恰好是这两个向量对应坐标的和创设创设情境情境兴兴趣趣导导入入图图720观观察察图图720，向量，向量可以看到，可以看到，动脑思考探索新知动脑思考探索新知设平面直角坐标系中，设平面直角坐标系中，则，则所以所以（7.6）类似可以得到类似可以得到（7.7）（7.8）动脑动脑思考探索新知思考探索新知设设平面直角坐平面直角坐标标系中，系中，则则所以所以（7.6）巩固知识典型例题巩固知识典型例题例例3设设a(1,2),b(2,3)，求下列向量的坐标：，求下列向量的坐标：(1)ab，(2)3a，(3)3a2b解解(1)ab(1,2)(2,3)(1,1)(2)3a3(1,2)(3,6)(3)3a2a3(1,2)2(2,3)(3,6)(4,6)(7,12)巩固知巩固知识识典型例典型例题题例例3设设a(1,2),b(2运用知识强化练习运用知识强化练习已知向量已知向量a,b的坐标，求的坐标，求ab、ab、2a3b的坐标的坐标（1）a(2,3)，b=(1,1)；（2）a(1,0)，b=(4,3)；（3）a(1,2)，b=(3,0)运用知运用知识识强强化化练习练习已知向量已知向量a,b的坐的坐标标，求，求ab、ab创设情境兴趣导入创设情境兴趣导入前面我们学习了公式（前面我们学习了公式（7.4），知道对于非零向量），知道对于非零向量a、b，当，当时，有时，有如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢？如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢？创设创设情境情境兴兴趣趣导导入前面我入前面我们们学学习习了公式（了公式（7.4），知道），知道对对于非零于非零动脑思考探索新知动脑思考探索新知由此得到，对非零向量由此得到，对非零向量a、b，设，设当当时，有时，有（79）动脑动脑思考探索新知由此得到，思考探索新知由此得到，对对非零向量非零向量a、b，设设当当时时，有，有巩固知识典型例题巩固知识典型例题解解例例4设设，判断向量，判断向量a、b是否共线是否共线由于由于32160，故由公式（故由公式（79）知，）知，即向量即向量a、b共线共线巩固知巩固知识识典型例典型例题题解解例例4设设，判断向量，判断向量a、b是否共是否共线线运用知识强化练习运用知识强化练习略略(2)a(1,1)，b(2,2)；(3)a(2,1)，b(1,2)判断下列各组向量是否共线：判断下列各组向量是否共线：(1)a(2,3)，b(1,)；运用知运用知识识强强化化练习练习略略(2)a(1,1)，b向量坐标的概念向量坐标的概念？1自我反思目标检测自我反思目标检测一般地，设平面直角坐标系中，一般地，设平面直角坐标系中，x轴的单位向量轴的单位向量为为i,y轴的单位向量为轴的单位向量为j，则对于从原点出发的任，则对于从原点出发的任意向量意向量a都有唯一一对实数都有唯一一对实数x、y，使得，使得有序实数对有序实数对叫做向量叫做向量a的坐标，记作的坐标，记作向向量量的的坐坐标标等等于于原原点点到到终终点点的的向向量量的的坐坐标标减减去去原点到起点的向量的坐标原点到起点的向量的坐标.任意起点的向量的坐标表示？任意起点的向量的坐标表示？2向量坐向量坐标标的概念？的概念？1自我反思目自我反思目标检测标检测一般地，一般地，设设平平共线向量的坐标表示？共线向量的坐标表示？3对非零向量对非零向量a、b，设，设当当时，有时，有自我反思目标检测自我反思目标检测共共线线向量的坐向量的坐标标表示？表示？3对对非零向量非零向量a、b，设设当当时时学习行为学习行为学习效果学习效果学习方法学习方法自我反思目标检测自我反思目标检测学学习习行行为为学学习习效果效果学学习习方法方法自我反思目自我反思目7.4 平面向量的内积教学目标（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义；（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础；（3）通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力.7.4平面向量的内平面向量的内积积教学目教学目标标创设情境兴趣导入创设情境兴趣导入Fs图图721O如图如图721所示，水平地面上有一辆车，某人用所示，水平地面上有一辆车，某人用100N的力，的力，角的方向拉小车，使小车前进了角的方向拉小车，使小车前进了100m朝着与水平线成朝着与水平线成那么，这个人做了多少功？那么，这个人做了多少功？做功等于力与在力的方向上移动做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积的距离的乘积力力F是水平方向的力是水平方向的力WFcos30s10010500与垂直方向的力的和，垂直方向上与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为上产生的位移为s，即，即创设创设情境情境兴兴趣趣导导入入Fs图图721O如如图图721所示，水平地面所示，水平地面动脑思考探索新知动脑思考探索新知WFcos30s10010500这里，力这里，力F与位移与位移s都是向量，而功都是向量，而功W是一个数量，它等于由是一个数量，它等于由两个向量两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量叫做向量F与与向量向量s的内积的内积,它是一个数量，又叫做数量积它是一个数量，又叫做数量积动脑动脑思考探索新知思考探索新知WFcos30s100BAOab如图，设有两个非零向量如图，设有两个非零向量a，b，作，作由射线由射线OA与与OB所形成的的角叫做向量所形成的的角叫做向量a与向量与向量b的夹角，记作的夹角，记作两个向量两个向量a，b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量与向量b的内积，记作的内积，记作ab，即即ab|a|b|cos(7.10)由内积的定义可知由内积的定义可知a00,0a0.动脑思考探索新知动脑思考探索新知BAOab如如图图，设设有两个非零向量有两个非零向量a，b，作由射，作由射线线OA与与OB动脑思考探索新知动脑思考探索新知由内积的定义可以得到下面几个重要结果：由内积的定义可以得到下面几个重要结果：当当ab时，有时，有0，所以，所以aa|a|a|a|2，即，即|a|cos当当0时，时，ab|a|b|；当；当=时，时，ab|a|b|ab0ab.对非零向量对非零向量a，b，有，有动脑动脑思考探索新知由内思考探索新知由内积积的定的定义义可以得到下面几个重要可以得到下面几个重要结结果：果：当当动脑思考探索新知动脑思考探索新知可以验证，向量的内积满足下面的运算律：可以验证，向量的内积满足下面的运算律：abba.(ab)cacbc.a(bc)(ab)c.一般地，向量的一般地，向量的内积不满足结合律，内积不满足结合律，即即动脑动脑思考探索新知可以思考探索新知可以验证验证，向量的内，向量的内积满积满足下面的运算律：足下面的运算律：a巩固知识典型例题巩固知识典型例题例例1已知已知|a|3,|b|2,60，求，求ab解解ab|a|b|cos32cos603巩固知巩固知识识典型例典型例题题例例1已知已知|a|3,|b|2,a巩固知识典型例题巩固知识典型例题例例2已知已知|a|b|,ab,求求解解cos由于由于 0180180，所以所以巩固知巩固知识识典型例典型例题题例例2已知已知|a|b|,ab,求求运用知识强化练习运用知识强化练习1.已知已知|a|7,|b|4，a和和b的夹角为的夹角为60，求，求ab2.已知已知aa9,求求|a|.3.已知已知|a|2,|b|3,30，求，求(2ab)b运用知运用知识识强强化化练习练习1.已知已知|a|7,|b|4，a和和b的的动脑思考探索新知动脑思考探索新知设平面向量设平面向量a(x1,y1),b(x2,y2)，由于，由于i j，故，故ij0,又又|i|j|1,所以所以ab(x1iy1j)(x2iy2j)x1x2iix1y2ijx2y1ijy1y2jjx1x2|j|2y1y2|j|2x1x2y1y2.这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即即abx1x2y1y2(7.11)设设a(x,y)，则，则，即，即(7.12)动脑动脑思考探索新知思考探索新知设设平面向量平面向量a(x1,y1),b(x2,动脑思考探索新知动脑思考探索新知cos(7.13)利用公式利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角可以方便地求出两个向量的夹角.由于由于a bab0，由公式，由公式(7.11)可知可知ab0 x1x2y1y20因此因此a bx1x2y1y20(7.14)由平面向量内积的定义可以得到，当由平面向量内积的定义可以得到，当a，b是非零向量时，是非零向量时，动脑动脑思考探索新知思考探索新知cos(7.13)巩固知识典型例题巩固知识典型例题例例3求下列向量的内积：求下列向量的内积：（1）a(2,3),b(1,3)；（2）a(2,1),b(1,2)；（3）a(4,2),b(2,3)解解(1)ab21(3)37；(2)ab21(1)20；(3)ab2(2)2(3)14巩固知巩固知识识典型例典型例题题例例3求下列向量的内求下列向量的内积积：（1）a巩固知识典型例题巩固知识典型例题例例4已知已知a(1,2)，b(3,1)求求ab,|a|,|b|,解解ab(1)(3)215.|a|b|cos所以所以巩固知巩固知识识典型例典型例题题例例4已知已知a(1,2)，b(3,1巩固知识典型例题巩固知识典型例题例例5判断下列各组向量是否互相垂直：判断下列各组向量是否互相垂直：(1)a(2,3),b(6,4)；(2)a(0,1),b(1,2)解解(1)因为因为ab(2)6340，所以，所以a b(2)因为因为ab01(1)(2)2，所以所以a与与b不垂直不垂直巩固知巩固知识识典型例典型例题题例例5判断下列各判断下列各组组向量是否互相垂直：向量是否互相垂直：(1运用知识强化练习运用知识强化练习1.已知已知a(5,4)，b(2,3)，求，求ab2.已知已知a(2,3)，b(3,4)，c(1,3),求求a(bc)运用知运用知识识强强化化练习练习1.已知已知a(5,4)，b(2,3)，积叫做向量积叫做向量a与向量与向量b的内积，记作的内积，记作ab两个向量两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之的模与它们的夹角的余弦之平面向量内积的概念平面向量内积的概念？自我反思目标检测自我反思目标检测积积叫做向量叫做向量a与向量与向量b的内的内积积，记记作作ab两个向量两个向量a,b的的学习行为学习行为学习效果学习效果学习方法学习方法自我反思目标检测自我反思目标检测学学习习行行为为学学习习效果效果学学习习方法方法自我反思目自我反思目