212求曲线的方程

12.1 12.1 求曲线的方程求曲线的方程复复 习习1.1.什么是曲线的方程和方程的曲线什么是曲线的方程和方程的曲线.答答:一般地，在直角坐标系中，如果某曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C C上上的点与一个二元方程的点与一个二元方程 F(xF(x，y)=0y)=0的实数解建立的实数解建立了如下的关系：了如下的关系：（1 1）曲线）曲线 C C 上的点的坐标都是方程上的点的坐标都是方程 F(xF(x，y)=0 y)=0 的解的解,（2 2）以方程）以方程F(xF(x，y)=0 y)=0 的解为坐标的点都是曲线的解为坐标的点都是曲线 C C 上上 的点，的点，那么方程那么方程 F(x，y)=0 叫做曲线叫做曲线 C 的方程；的方程；曲线曲线 C 叫做方程叫做方程 F(x，y)=0 的曲线（图形）。的曲线（图形）。复习复习2 2坐标法和解析几何的本质、基本问题坐标法和解析几何的本质、基本问题坐标法坐标法对于一个几何问题，在建立直角坐标系的基础上，用坐标表示对于一个几何问题，在建立直角坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，点，用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法。这一研究几何问题的方法称为坐标法。解析几何的本质解析几何的本质用代数的方法来研究几何问题。用代数的方法来研究几何问题。解析几何的两大基本问题解析几何的两大基本问题（1 1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程。（由曲线来求出方程）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程。（由曲线来求出方程）（2 2）通过方程，研究平面曲线的性质。（由方程来研究曲线）通过方程，研究平面曲线的性质。（由方程来研究曲线）如何根据已知条件，求出曲线的方程如何根据已知条件，求出曲线的方程问题：问题：【例题引路】例题引路】例、如图，已知两定点例、如图，已知两定点P（-1，0）和）和Q（3，0），），求到点求到点P和和Q的距离的平方和是的距离的平方和是16的点的轨迹方程的点的轨迹方程.解解:设设M(x,yM(x,y)为所求轨迹上的任意一点，则有为所求轨迹上的任意一点，则有 由两点间的距离公式，由两点间的距离公式，得得 化简，得化简，得 （1 1）由上述推导过程可知，所求的轨迹上的任意由上述推导过程可知，所求的轨迹上的任意一点的坐标都满足方程（一点的坐标都满足方程（1 1）。）。1PQMO求曲线方程的基本步骤求曲线方程的基本步骤:1.1.建建立适当的直角坐标系，并用坐标表示点；立适当的直角坐标系，并用坐标表示点；2.2.设设出曲线上任意一点出曲线上任意一点M M的坐标；的坐标；3.3.写出写出限限制条件制条件p p的点的点M M的集合的集合P=M/P=M/p(Mp(M)；4.4.把坐标把坐标代代入条件入条件p(Mp(M),),列出方程列出方程f(x,yf(x,y)=0)=0 5.5.化化方程方程f(x,yf(x,y)=0)=0为最简形式；为最简形式；6.6.说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。上述五个步骤可简记为：上述五个步骤可简记为：1 1、建；、建；2 2、设；、设；(3(3、限；、限；)4)4、代；、代；5 5、化、化.B例例2、动点、动点M与距离为与距离为2a的两个定点的两个定点A，B的连线的连线的斜率之积等于的斜率之积等于-1/2，求动点，求动点M的轨迹方程。的轨迹方程。.AM解解:如图如图,以直线以直线AB为为x轴轴,线段线段AB的垂直平分线的垂直平分线为为y轴轴,建立平面直角坐标系，则建立平面直角坐标系，则A(-a,0),B(a,0)。设设M(x,y)是轨迹上的任意一点，则是轨迹上的任意一点，则由上可知，动点由上可知，动点M的轨迹上的任一点的坐标都满足方程的轨迹上的任一点的坐标都满足方程（1）；容易证明，以方程（）；容易证明，以方程（1）的解为坐标的点都在轨）的解为坐标的点都在轨迹上。所以，方程（迹上。所以，方程（1）就是动点）就是动点M的轨迹方程。的轨迹方程。建立坐标系的一般规律建立坐标系的一般规律:1 1、若有、若有两条垂直的直线，则两条垂直的直线，则以该二直线为坐标轴；以该二直线为坐标轴；2 2、若有、若有对称图形，则对称图形，则以对称图形的对称轴为坐标轴，以对称图形的对称轴为坐标轴，对称中心为坐标原点；对称中心为坐标原点；3 3、若有、若有已知长度的线段，则已知长度的线段，则以线段所在直线为坐标轴，以线段所在直线为坐标轴，线段的端点或中点为坐标原点。线段的端点或中点为坐标原点。4 4、让尽量多的已知点在所建的坐标轴上。、让尽量多的已知点在所建的坐标轴上。练练 习习2.求到求到F(2，0)和和Y轴的距离相等的动点的轴的距离相等的动点的 轨迹方程轨迹方程.3.在三角形在三角形ABC中中,若若|BC|=4,BC边上的中线边上的中线AD的长为的长为3,求点求点A的轨迹方程的轨迹方程.y2=4(x-1)x2+y2=9(y0)1.已知定点已知定点A(0，-1)，动点动点P在曲线在曲线y=2x2+1 上移动，则线段上移动，则线段AP的中点的轨迹方程是的中点的轨迹方程是:_1.到到F(2，0)和和Y轴的距离相等的动点的轴的距离相等的动点的 轨迹方程是轨迹方程是:_ 解解:设动点为设动点为(x，y)，则由题设得则由题设得化简得化简得:y2=4(x-1)这就是所求的轨迹方程这就是所求的轨迹方程.2.在三角形在三角形ABC中，若中，若|BC|=4，BC边上的边上的中线中线AD的长为的长为3，求点，求点A的轨迹方程的轨迹方程.设设A(xA(x，y)y)，又又D(0D(0，0)0)，所以所以化简得化简得 :x x2 2+y+y2 2=9 (y0)=9 (y0)解解:取取B B、C C所在直线为所在直线为X X轴，线段轴，线段BCBC的中垂线为的中垂线为Y Y轴，轴，建立直角坐标系。建立直角坐标系。这就是所求的轨迹方程这就是所求的轨迹方程.小小 结结1 1、明确解析几何中的两大基本问题、明确解析几何中的两大基本问题;2 2、熟练掌握求曲线方程的基本步骤、熟练掌握求曲线方程的基本步骤;反反 思思 在求轨迹方程的问题中，如果化简方程的过程在求轨迹方程的问题中，如果化简方程的过程是同解变形是同解变形.则由此所得的最简方程就是所求曲线则由此所得的最简方程就是所求曲线的方程的方程;如果化简过程不是同解变形，所求得的方程如果化简过程不是同解变形，所求得的方程就不一定是所求曲线的方程就不一定是所求曲线的方程.此时，应该通过调此时，应该通过调整整x x，y y的取值范围来去伪的取值范围来去伪(去伪存真去伪存真)或补缺或补缺(查漏补查漏补缺缺)，使得化简前后的方程保持等价，使得化简前后的方程保持等价.三角形三角形ABC中，中，ab，且且c=(a+b)/2，若顶若顶点点A(-1，0)，B(1，0)，求顶点求顶点C的轨迹方程的轨迹方程.练练 习习 2 2归纳归纳:本题具有隐含条件本题具有隐含条件:x0 x0，y0.y0.解题中容易漏掉解题中容易漏掉.为此应注意以下几点为此应注意以下几点:防止忽略动点应满足的某些隐含条件防止忽略动点应满足的某些隐含条件;防止方程的不同解变形引起的增根或失根防止方程的不同解变形引起的增根或失根;图形可以有不同的位置，应分类讨论图形可以有不同的位置，应分类讨论;字母系数可取不同值，一定要讨论字母系数可取不同值，一定要讨论.