211一元二次方程

21.1 一元二次方程一元二次方程R九年级上册九年级上册第二十一章第二十一章 一元二次方程一元二次方程 设计师在设计人体雕像时，一般设计师在设计人体雕像时，一般都考虑到都考虑到美学角度。雷锋纪念馆前的美学角度。雷锋纪念馆前的雷锋雕像，就符合黄金分割比例：腰雷锋雕像，就符合黄金分割比例：腰部以上与腰部以下的高度比等于腰部部以上与腰部以下的高度比等于腰部以下与全身的高度比。以下与全身的高度比。新课导入新课导入新课导入新课导入2mxm(2-x)m解：依题意得：解：依题意得：x x=2=2（2-x2-x），），即：即：x x+2x-4=0+2x-4=0，显然这个方程只含有一个未知数，显然这个方程只含有一个未知数，且且x x的最高次数为的最高次数为2.2.它是关于它是关于x x的方程吗？如果是，你能看出的方程吗？如果是，你能看出它和我们以往学过的方程有什么不同吗？它和我们以往学过的方程有什么不同吗？新课推进新课推进新课推进新课推进 如图，有一块矩形铁皮，长如图，有一块矩形铁皮，长100cm100cm。宽。宽50cm50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为要制作的无盖方盒的底面积为3600cm3600cm，那么铁皮，那么铁皮各角应切去多大的正方形？各角应切去多大的正方形？探探 究究 1 1 解：解：设切去的正方形的边长为设切去的正方形的边长为xcmxcm，则盒底的长，则盒底的长为（为（100-2x100-2x）cmcm，宽为（，宽为（50-2x50-2x）cmcm，x x100-2x100-2x5 50 0-2 2x x 列方程：列方程：(100-2x)(50-2x)=3600(100-2x)(50-2x)=3600，整理为：整理为：4x-300 x+1400=04x-300 x+1400=0，化简得化简得:x-75x+350=0.:x-75x+350=0.探探 究究 2 2 要组织一次排球邀请赛，参加的每两个队要组织一次排球邀请赛，参加的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排赛程计划安排7 7天，每天安排天，每天安排4 4场比赛，比赛组场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？织者应邀请多少个队参赛？请问请问：（1 1）这次排球赛共安排）这次排球赛共安排 场；场；（2 2）若设应邀请）若设应邀请x x个队参赛，则每个队与其它个队参赛，则每个队与其它 个队各个队各比赛一场，这样应共有比赛一场，这样应共有 场比赛；场比赛；（3 3）由此可列出的方程为）由此可列出的方程为 ，化简得化简得 。2828x-1x-1x(x-x(x-1)1)x-x-56=0 x-x-56=0 归归 纳纳 总总 结结1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是ax+bx+c=0(a0）,其中ax是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.想想 一一 想想1.1.二次项的系数二次项的系数a a为什么不能为为什么不能为0 0？2.2.在指出二次项系数、一次项系数和常数项时，在指出二次项系数、一次项系数和常数项时，a a、b b、c c都一定是正数吗？谈谈你的看法。都一定是正数吗？谈谈你的看法。从探究从探究2 2中我们可以看出，由于参赛球队的支数中我们可以看出，由于参赛球队的支数x x只能只能是正整数，因此可列表如下：是正整数，因此可列表如下：x x1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1010.x-x-x-x-5656 可以发现，当可以发现，当x=8x=8时，时，x-x-56=0 x-x-56=0，所以，所以x=8x=8是方程是方程x-x-56=0 x-x-56=0的解，一元二次方程的解也叫做一元二次的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根方程的根.-56-56-54-54-26-26-14-14 0 0-36-36-44-44-50-50探探 究究 3 3思思 考考1.1.一元二次方程的根的定义应怎样描述呢一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？使一元二次方程左右两边相等的未知使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做数的值叫做一元二次方程一元二次方程的根的根.由于由于x=-7x=-7时，时，x x-x-56=49-x-56=49-（-7-7）-56=0-56=0，故，故x=-7x=-7也是方程也是方程x x-x-56-x-56的一个根。事实上，一元二次方程的一个根。事实上，一元二次方程如果有实数根，则如果有实数根，则必然有两个必然有两个实数根，通常记为实数根，通常记为x x1 1=a=a，x x2 2=b.=b.2.2.方程方程x-x-56=0 x-x-56=0有一个根为有一个根为x=8x=8，它还有其它的根，它还有其它的根吗？吗？例例1 1 已知关于已知关于x x的方程（的方程（m+2m+2）x x|m|m|+3x+m=0+3x+m=0是一元二是一元二次方程，求此一元二次方程次方程，求此一元二次方程.解：由题意有解：由题意有|m|=2|m|=2且且m+20,m+20,m=2,m=2,因此原一元二次方程为因此原一元二次方程为4x+3x+2=0.4x+3x+2=0.典例精析典例精析典例精析典例精析 例例2 2 将方程将方程3x3x（x-1x-1）=5=5（x+2x+2）化成一元二次）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中二次项系数、一次方程的一般形式，并写出其中二次项系数、一次项系数及常数项项系数及常数项.解：去括号，得解：去括号，得3x-3x=5x+103x-3x=5x+10，移项、合并同类项，移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为：得一元二次方程的一般形式为：3x-8x-10=03x-8x-10=0 其中二次项系数为其中二次项系数为3 3，一次项系数为，一次项系数为-8-8，常数项，常数项为为-10.-10.1.1.下列各式中，是一元二次方程的是（下列各式中，是一元二次方程的是（）A.3xA.3x+=0 +=0 B.ax B.ax+bx+c=0+bx+c=0 C.C.（x-3x-3）（）（x-2x-2）=x=x D.D.（3x-13x-1）（）（3x+13x+1）=3=3 D D随堂演练随堂演练随堂演练随堂演练2.2.关于的方程（关于的方程（k-1k-1）x x|k|+1|k|+1-2x=3-2x=3是一元二次是一元二次方程，则方程，则=3.3.已知方程已知方程5x5x+mx-6=0+mx-6=0的一个根为的一个根为4 4，则的值，则的值为为-1-14.4.根据下列问题，列出关于根据下列问题，列出关于x x的问题，并将其化成一的问题，并将其化成一元二次方程的一般形式，指出其二次项系数、一次元二次方程的一般形式，指出其二次项系数、一次项系数及常数项：项系数及常数项：（1 1）4 4个完全相同的正方形的面积之和是个完全相同的正方形的面积之和是2525，求正，求正方形的边长方形的边长x x；4x-25=0 4x-25=0，其中二次项系数为，其中二次项系数为4 4，一次项系，一次项系数为数为0 0，常数项为，常数项为-25.-25.（2 2）一个长方形的长比宽多）一个长方形的长比宽多2 2，面积是，面积是100100，求长方形的长求长方形的长x x；x-2x-100=0 x-2x-100=0，其中二次项系数为，其中二次项系数为1 1，一次项，一次项系数为系数为-2-2，常数项为，常数项为-100.-100.（3 3）把长为）把长为1 1的长条分成两段，使较短一段的长与全的长条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的平方，求较短一段的长长的积，等于较长一段的平方，求较短一段的长x x。x-3x+1=0 x-3x+1=0，其中二次项系数为，其中二次项系数为1 1，一次项系，一次项系数为数为-3-3，常数项为，常数项为1.1.（1 1）一元二次方程的定义是什么？你知道它的一般式、）一元二次方程的定义是什么？你知道它的一般式、二次项系数、一次项系数和常数项分别是什么了吗？二次项系数、一次项系数和常数项分别是什么了吗？（2 2）一元二次方程一般形式）一元二次方程一般形式axax+bx+c=0+bx+c=0（a0a0）中的括）中的括号是否可有可无？为什么？号是否可有可无？为什么？（3 3）通过这节课的学习你还有哪些收获？）通过这节课的学习你还有哪些收获？课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结1.从教材习题中选取，2.完成练习册本课时的习题.课后作业课后作业课后作业课后作业人要独立生活，学习有用的技艺。人要独立生活，学习有用的技艺。凯德凯德