ch4-随机变量的数字特征资料课件

第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 2024/5/4概率论概率论数学期望的定义数学期望的定义随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望数学期望的性质数学期望的性质1 数学期望数学期望2024/5/4概率论概率论一、数学期望定义一、数学期望定义1）离散型离散型设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为：的分布律为：若级数若级数 绝对收敛，则称随机变量绝对收敛，则称随机变量 X 的数的数学期望存在，记作学期望存在，记作 E(X)，且且数学期望也称为数学期望也称为均值均值。2024/5/4概率论概率论2）连续型）连续型设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为 ，若积分若积分 绝对收敛，则称积分绝对收敛，则称积分的值为的值为X的数学期望。的数学期望。记为记为2024/5/4概率论概率论例例1此例说明了数学期望更完整地刻化了此例说明了数学期望更完整地刻化了X 的均值状态。的均值状态。2024/5/4概率论概率论例例 2按规定，火车站每天按规定，火车站每天8:009:00,9:0010:00都恰都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立，其规律为：两者到站的时间相互独立，其规律为：到站时间到站时间 8:10,9:10 8:30,9:30 8:50,9:50 概率概率 1/6 3/6 2/6(1)旅客旅客8:00到站，求他侯车时间的数学期望。到站，求他侯车时间的数学期望。(2)旅客旅客8:20到站，求他侯车时间的数学期望。到站，求他侯车时间的数学期望。2024/5/4概率论概率论二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望定理定理 1：设设 Y=g(X),g(x)是连续函数，是连续函数，(2)若若 X 的概率密度为的概率密度为 f(x)，（1）若）若 X 的分布率为的分布率为则则则则2024/5/4概率论概率论定理定理 2：若若(X,Y)是二维随机变量，是二维随机变量，(1)若若(X,Y)的分布律为的分布律为(2)若若(X,Y)的概率密度为的概率密度为 f(x,y)，且，且 g(x,y)是二元连续函数，是二元连续函数，2024/5/4概率论概率论例例 3 设设(X,Y)在区域在区域A上服从均匀分布，其中上服从均匀分布，其中A为为x轴轴,y 轴和直线轴和直线x+y+1=0所围成的区域。求所围成的区域。求E(X)，E(-3X+2Y)，E(XY)。例例4 国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量是随机变量 X（吨），（吨），X U2000,4000，每售出这，每售出这种商品种商品一吨一吨，可为国家挣得外汇，可为国家挣得外汇3万元，但销售不出万元，但销售不出而囤积在仓库，则而囤积在仓库，则每吨每吨需浪费保养费需浪费保养费1万元。万元。问需要问需要组织多少货源，才能使国家收益最大。组织多少货源，才能使国家收益最大。2024/5/4概率论概率论三、数学期望的性质三、数学期望的性质c是常数是常数.c是常数是常数.4)若若X,Y 独立独立.2024/5/4概率论概率论例例 5对对N个人进行验血，有两种方案：个人进行验血，有两种方案：（2）将采集的每个人的血分成两份，然后取其）将采集的每个人的血分成两份，然后取其中的一份，按中的一份，按k个人一组混合后进行化验（设个人一组混合后进行化验（设N是是k的倍数），若呈阴性反应，则认为的倍数），若呈阴性反应，则认为k个人的血都个人的血都是阴性反应，这时是阴性反应，这时k个人的血只要化验一次；如个人的血只要化验一次；如果混合血液呈阳性反应，则需对果混合血液呈阳性反应，则需对k个人的另一份个人的另一份血液逐一进行化验，这时血液逐一进行化验，这时k个人的血要化验个人的血要化验k+1次次;（1）对每人的血液逐个化验，共需）对每人的血液逐个化验，共需 N 次化验；次化验；2024/5/4概率论概率论假设所有人的血液呈阳性反应的概率都是假设所有人的血液呈阳性反应的概率都是p，且各，且各次化验结果是相互独立的。次化验结果是相互独立的。试说明适当选取试说明适当选取 k 可使第二个方案减少化验次数。可使第二个方案减少化验次数。例例6一民航送客载有一民航送客载有20位旅客自机场开出，旅客位旅客自机场开出，旅客有有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以下车就不停车。以X表示停车的次数。表示停车的次数。求求E(X)（设（设每个旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅每个旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立）。客是否下车相互独立）。2024/5/4概率论概率论本节小结：本节小结：1）数学期望的定义。）数学期望的定义。2）随机变量函数的数学期望。）随机变量函数的数学期望。3）数学期望的性质。）数学期望的性质。2024/5/4概率论概率论2 方差方差方差的定义方差的定义方差的性质方差的性质切比雪夫不等式切比雪夫不等式2024/5/4概率论概率论一、方差的定义一、方差的定义设设 X 是随机变量，若是随机变量，若 存在，存在，称其为随机变量称其为随机变量 X 的方差，记作的方差，记作 D(X),或或 Var(X)，即：，即：1）定义：）定义：2024/5/4概率论概率论2）方差公式：）方差公式：注：注：方差描述了随机变量的取值与其均值的偏方差描述了随机变量的取值与其均值的偏 离程度。离程度。离散型：离散型：连续型：连续型：2024/5/4概率论概率论例例12024/5/4概率论概率论二、方差的性质二、方差的性质2024/5/4概率论概率论称称 Y 是随机变量是随机变量 X 的的标准化标准化了的随机变量。了的随机变量。则则 E(Y)=0,D(Y)=1。性质性质4）的证明将在后面给出。）的证明将在后面给出。例例 22024/5/4概率论概率论三、定理：（切比雪夫不等式）三、定理：（切比雪夫不等式）则对任意则对任意设随机变量设随机变量 X 有数学期望有数学期望证明：证明：(只证只证 X 是连续型是连续型)2024/5/4概率论概率论例如：在上面不等式中，取例如：在上面不等式中，取 ，有：，有：这个不等式给出了随机变量这个不等式给出了随机变量X 的分布未知情况下，的分布未知情况下，事件事件的概率的一种估计方法。的概率的一种估计方法。2024/5/4概率论概率论例例3 设种子的良种率为设种子的良种率为1/6，任选，任选600粒，试用切比雪粒，试用切比雪夫（夫（Chebyshev）不等式估计：这）不等式估计：这600粒种子中良种所粒种子中良种所占比例与占比例与1/6之差的绝对值不超过之差的绝对值不超过0.02的概率。的概率。解：解：2024/5/4概率论概率论小结：小结：1）方差的定义；）方差的定义；2）方差的性质；）方差的性质；3）切比雪夫不等式。）切比雪夫不等式。2024/5/4概率论概率论3.几种重要随机变量几种重要随机变量的数学期望及方差的数学期望及方差2024/5/4概率论概率论2）二项分布二项分布1）两点分布）两点分布2024/5/4概率论概率论所以所以说明了二项分布与两点分布的关系。说明了二项分布与两点分布的关系。3）泊松分布）泊松分布设设 X 服从参数为服从参数为 的的泊松分布，泊松分布，2024/5/4概率论概率论4）均匀分布）均匀分布5）指数分布）指数分布2024/5/4概率论概率论5）正态分布）正态分布 2024/5/4概率论概率论注意：注意：在上一节用切比晓夫不等式估计概率有在上一节用切比晓夫不等式估计概率有因此，对于正态随机变量因此，对于正态随机变量X来说，它的值落在区间来说，它的值落在区间 x0内几乎是肯定的。内几乎是肯定的。2024/5/4概率论概率论要求：熟记要求：熟记两点分布、二项分布、泊松分布、两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的期望值和方均匀分布、指数分布、正态分布的期望值和方差值。差值。2024/5/4概率论概率论4 4 协方差及相关系数协方差及相关系数协方差的定义协方差的定义协方差的性质协方差的性质相关系数的定义相关系数的定义相关系数的性质相关系数的性质2024/5/4概率论概率论一、协方差一、协方差称称 COV(X,Y)=EX E(X)Y-E(Y)=E(XY)E(X)E(Y)为随机变量为随机变量 X,Y 的的协方差协方差.COV(X,X)=D(X).称为随机变量称为随机变量 X,Y 的的相关系数相关系数。是一个无量纲的量；是一个无量纲的量；1）协方差的定义协方差的定义2）相关系数的定义）相关系数的定义2024/5/4概率论概率论证明：证明：E(XY)=E(X)E(Y)所以所以COV(X,Y)=0.由数学期望的性质由数学期望的性质:3)定理定理：若若X，Y 独立，则独立，则 X,Y 不相关。不相关。4)(反之，不然）反之，不然）称称 X,Y 不相关不相关，此时此时 COV(X，Y)=0.若若X，Y 独立，独立，注意：注意：若若 EX E(X)Y E(Y)则则X，Y一定相关，且一定相关，且 X，Y 一定不独立。一定不独立。即即 E(XY)-E(X)E(Y)2024/5/4概率论概率论二、协方差的性质二、协方差的性质1)COV(X,Y)=COV(Y,X)2)COV(aX，bY)=abCOV(X，Y)；3)COV(X+Y,Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z);5)X，Y不相关不相关2024/5/4概率论概率论三、相关系数的性质三、相关系数的性质证明：证明：令：令：求求a，b 使使 e 达到最小。达到最小。令：令：2024/5/4概率论概率论得：得：2024/5/4概率论概率论2024/5/4概率论概率论即即由上式得由上式得:现在证明：现在证明：由上面知此时由上面知此时2024/5/4概率论概率论从而从而 所以所以2024/5/4概率论概率论反之，若存在反之，若存在 使使，这时这时故故 则则故故2024/5/4概率论概率论说说 明明X与与Y之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系。之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系。X 与与 Y 不相关，但不一定相互独立。不相关，但不一定相互独立。2024/5/4概率论概率论例例1解：解：2024/5/4概率论概率论2024/5/4概率论概率论命题命题 设设(X，Y)服从二维正态分布，则服从二维正态分布，则2024/5/4概率论概率论例例2证明：证明：2024/5/4概率论概率论2024/5/4概率论概率论小结：小结：1）协方差的定义和性质；）协方差的定义和性质；2）相关系数的定义性质；）相关系数的定义性质；3）不相关的定义及等价条件；不相关的定义及等价条件；4）独立性与不相关性的关系；）独立性与不相关性的关系；5）二维正态分布的不相关性与独立性等价。）二维正态分布的不相关性与独立性等价。2024/5/4概率论概率论55 矩矩矩矩n 维正态分布的性质维正态分布的性质2024/5/4概率论概率论一、矩的定义一、矩的定义若若 存在，称之为存在，称之为 X 的的 k 阶中心矩。阶中心矩。若若 存在，称之为存在，称之为 X 和和 Y 的的k+l阶混合中心矩。阶混合中心矩。所以所以 E（X）是一阶原点矩，）是一阶原点矩，D（X）是二阶中心矩，是二阶中心矩，协方差协方差COV(X，Y)是二阶混合中心矩。是二阶混合中心矩。2024/5/4概率论概率论二、二、n维正态分布的性质维正态分布的性质服从一维正态分布。服从一维正态分布。正态分布。正态分布。相互独立相互独立2024/5/4概率论概率论例例1解：解：2024/5/4概率论概率论思考题：思考题：小结：小结：1）矩的定义）矩的定义.2）n 维正态分布的性质维正态分布的性质.2024/5/4概率论概率论1 1 阐述了数学期望、方差的概念及背景，要掌握阐述了数学期望、方差的概念及背景，要掌握 它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学 期望和方差。期望和方差。2 2 要熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀要熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀 分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差。分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差。3 3 给出了切比雪夫不等式，要会用切比雪夫不等式给出了切比雪夫不等式，要会用切比雪夫不等式 作简单的概率估计。作简单的概率估计。4 4 引进了协方差、相关系数的概念，要掌握它们的引进了协方差、相关系数的概念，要掌握它们的 性质与计算。性质与计算。5 5 要掌握二维正态随机变量的不相关与独立的等价要掌握二维正态随机变量的不相关与独立的等价 性。性。6 6 给出了矩的概念。给出了矩的概念。2024/5/4概率论概率论谢谢！