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2.2 2.2 直接证明与间接证明直接证明与间接证明 2.2.2 2.2.2 反证法反证法 中国古代有一个叫中国古代有一个叫路边苦李路边苦李的故事的故事:王王戎戎7 7岁时岁时,与小伙伴们外出游玩与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树看到路边的李树上结满了果子上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子小伙伴们纷纷去摘取果子,只有只有王戎站在原地不动王戎站在原地不动.有人问王戎为什么有人问王戎为什么?王戎回答说王戎回答说:“:“树在道边而多子树在道边而多子,此必苦李此必苦李.”.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的呢王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎他运用了怎样的推理方法样的推理方法?假设假设“李子甜李子甜”树在道边则李子少树在道边则李子少与已知条件与已知条件“树在道边而多子树在道边而多子”产生矛产生矛盾盾假设假设“李子甜李子甜”不成立不成立所以所以“树在道边而多子树在道边而多子,此必为苦李此必为苦李”是正确的是正确的王戎王戎推理方法是推理方法是:一般地，假设原命题不成立（一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，即在原命题的条件下，结论不成立结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立说明假设错误，从而证明了原命题成立,这样这样的证的证明明方法叫方法叫反证法反证法。反证法的一般步骤：反证法的一般步骤：（1 1）反设：）反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）；假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）；（2 2）归缪：）归缪：从从假设出发假设出发，经过推理论证，得出，经过推理论证，得出矛盾矛盾；（3 3）定论）定论：由矛盾判定假设不成立，从而肯由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题结论成定原命题结论成立。立。得出矛盾的方法：得出矛盾的方法：（1 1）与已知条件矛盾；（）与已知条件矛盾；（2 2）与定义、定理、公理矛盾；）与定义、定理、公理矛盾；（3 3）与既定事实矛盾）与既定事实矛盾 （4 4）自相矛盾。自相矛盾。反证法定义：反证法定义：一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立说明假设错误，从而证明了原命题成立,这样这样的证的证明明方法叫方法叫反证法反证法。反证法定义：反证法定义：应用反证法的情形：应用反证法的情形：直接证明困难直接证明困难;需分成很多类进行讨论需分成很多类进行讨论 结论为结论为“至少至少”、“至多至多”、“有无穷多个有无穷多个”类类命题；命题；结论为结论为 “唯一唯一”类命题；类命题；反证法的思维方法：反证法的思维方法：正难则反正难则反 例例.求证：求证：是无理数。是无理数。任一有理数都可以写成如下形式任一有理数都可以写成如下形式:巩固训练巩固训练1、“ab”的反面应是（的反面应是（）（A）ab （B）a b（C）a=b （D）a=b或或a b2、用反证法证明命题、用反证法证明命题“三角形中最多有三角形中最多有一个是直角一个是直角”时，应如何反设？时，应如何反设？_D假设三角形中至少有两个角是直角假设三角形中至少有两个角是直角试一试试一试已知：如图，直线已知：如图，直线a,b被直线被直线c所截，所截，1 2求证：求证：ab有有1=2(两直线平行两直线平行,同位角相等同位角相等)这与已知的这与已知的12矛盾矛盾假设不成立假设不成立证明：假设证明：假设abab 用反证法证明（填空）用反证法证明（填空）:在三角形的内角中，至少在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于有一个角大于或等于60.60.这与这与_相矛盾相矛盾.所以所以_不成立，所求证的结论成立不成立，所求证的结论成立.已知已知:A，B，C是是ABC的内角的内角.求证求证:A，B，C中至少有一个角大于或等于中至少有一个角大于或等于60证明证明:假设所求证的结论不成立，即假设所求证的结论不成立，即 A _ 60，B _ 60，C _60 则则A+B+C 180.三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于180180假设假设 如如图在图在O O中中,弦弦ABAB、CDCD相交于相交于P P，且，且ABAB、CDCD不全是直径不全是直径 求证：求证：ABAB、CDCD不能互相平分。不能互相平分。A AB BC CD DP PO O合作探究：合作探究：证明：证明：假设假设ABAB、CDCD互相平分互相平分则四边形则四边形ACBDACBD是平行四边形是平行四边形ACB=ADB,CAD=CBDACB=ADB,CAD=CBD因为四边形因为四边形ACBDACBD是圆内接四边形是圆内接四边形ACB+ADBACB+ADB180180,CAD+CBD,CAD+CBD180180,所以所以ACB=90ACB=90,CAD=90,CAD=90所以对角线所以对角线ABAB、CDCD均为直径，与已知条件矛盾。均为直径，与已知条件矛盾。所以假设不成立，因此所以假设不成立，因此ABAB、CDCD不能互相平分不能互相平分思考？思考？A A、B B、C C三个人，三个人，A A说说B B撒谎，撒谎，B B说说C C撒谎，撒谎，C C说说A A、B B都撒谎。都撒谎。则则C C必定是在撒谎，为什么？必定是在撒谎，为什么？假设假设C C没有撒谎没有撒谎,则则C C真真;由由A A假假,知知B B真真.那么假设那么假设“C C没有撒谎没有撒谎”不成立不成立;则则C C必定是在撒谎必定是在撒谎.那么那么A A假且假且B B假假;这与这与B B假矛盾假矛盾.分析分析:总结回顾总结回顾:1 1、反证法的概念、反证法的概念;2.2.反反证法的一般步骤：证法的一般步骤：（1 1）反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）；）反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）；（2 2）归缪：从）归缪：从假设出发假设出发，经过推理论证，得出，经过推理论证，得出矛盾矛盾；（3 3）定论）定论：由矛盾判定假设不成立，从而肯：由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题结论成定原命题结论成立。立。3.3.得出矛盾的方法：得出矛盾的方法：（1 1）与已知条件矛盾；（）与已知条件矛盾；（2 2）与公理、定理、定义矛）与公理、定理、定义矛盾；盾；（3 3）与既定事实矛盾）与既定事实矛盾 （4 4）自相矛盾。自相矛盾。4.4.应应用反证法的情形：用反证法的情形：直接证明困难直接证明困难;需分成很多类进行讨论需分成很多类进行讨论 结论为结论为“至少至少”、“至多至多”、“有无穷多个有无穷多个”类类命题；命题；结论为结论为 “唯一唯一”类命题；类命题；
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