wg1第2讲 数列求和及数列的综合应用

第第2 2讲讲 数列求和及数列的综合应用数列求和及数列的综合应用1.1.等差、等比数列的求和公式等差、等比数列的求和公式 （1 1）等差数列前）等差数列前n n项和公式：项和公式：S Sn n=nana1 1+d d =（2 2）等比数列前）等比数列前n n项和公式：项和公式：q q=1=1时，时，S Sn n=nana1 1 q q11时，时，S Sn n=.=.2.2.数列求和的方法技巧数列求和的方法技巧 （1 1）转化法）转化法 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再 合并合并.（2 2）错位相减法）错位相减法 这是在推导等比数列的前这是在推导等比数列的前n n项和公式时所用的方项和公式时所用的方 法，这种方法主要用于求数列法，这种方法主要用于求数列 a an nb bn n 的前的前n n项项 和，其中和，其中 a an n，b bn n 分别是等差数列和等比数列分别是等差数列和等比数列.（3 3）倒序相加法）倒序相加法 这是在推导等差数列前这是在推导等差数列前n n项和公式时所用的方法，项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列（反序），当它与原也就是将一个数列倒过来排列（反序），当它与原 数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求 得，则这样的数列可用倒序相加法求和得，则这样的数列可用倒序相加法求和.（4）裂项相消法）裂项相消法 利用通项变形，将通项分裂成两项或利用通项变形，将通项分裂成两项或n n项的差，通项的差，通 过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和.3.3.数列的应用题数列的应用题 （1 1）应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背）应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背 景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首 先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数 学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然 后再用数学运算、数学推理予以解决后再用数学运算、数学推理予以解决.（2 2）数列应用题一般是等比、等差数列问题，其）数列应用题一般是等比、等差数列问题，其 中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利 润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立 一个数列模型一个数列模型 a an n，利用该数列的通项公式、递推，利用该数列的通项公式、递推 公式或前公式或前n n项和公式项和公式.一、错位相减法求数列的和一、错位相减法求数列的和例例1 1 已知已知f f（x x）=log=loga ax x（a a00且且a a11）,设设f f（a a1 1）、）、f f（a a2 2）、）、f f（a an n）（n nN N*）是首项为）是首项为4 4，公差为，公差为 2 2的等差数列的等差数列.（1 1）设）设a a为常数，求证：为常数，求证：a an n 成等比数列；成等比数列；（2 2）若）若b bn n=a an nf f（a an n）,b bn n 的前的前n n项和是项和是S Sn n，当，当a a=时，求时，求S Sn n；（3 3）令）令c cn n=a an nlglga an n问是否存在问是否存在a a,使得使得 c cn n 中每一项恒中每一项恒 小于它后面的项，若存在，求出小于它后面的项，若存在，求出a a的范围；若不存的范围；若不存 在，说明理由在，说明理由.思维启迪思维启迪 （1 1）用定义）用定义 =q q（n n22）为常数）为常数.（2 2）观察）观察b bn n的通项，有两部分构成，一部分为等的通项，有两部分构成，一部分为等 差，一部分为等比，可考虑错位相减差，一部分为等比，可考虑错位相减.（3 3）实质上讨论）实质上讨论n nNN+时，时，c cn n c cn n+1+1恒成立恒成立.（1 1）证明证明 f f（a an n）=4+=4+（n n-1-1）2=22=2n n+2,+2,即即logloga aa an n=2=2n n+2,+2,可得可得a an n=a a2 2n n+2+2.当当n n22时，时，,为定值为定值.a an n 为等比数列为等比数列.（2 2）解解 b bn n=a an nf f（a an n）=a a2 2n n+2+2logloga aa a2 2n n+2+2=（2 2n n+2+2）a a2 2n n+2+2.当当a a=时，时，b bn n=（2 2n n+2+2）（）（）2 2n n+2+2=（n n+1+1）2 2n n+2+2.S Sn n=2=22 23 3+3+32 24 4+4+42 25 5+（n n+1+1）2 2n n+2 +2 2 2S Sn n=2=22 24 4+3+32 25 5+4+42 26 6+n n2 2n n+2+2+(+(n n+1)+1)2 2n n+3+3 -得得 -S Sn n=2=22 23 3+2+24 4+2+25 5+2+2n n+2+2-（n n+1+1）2 2n n+3+3=16+-=16+-（n n+1+1）2 2n n+3+3=16+2=16+2n n+3+3-2-24 4-n n2 2n n+3+3-2-2n n+3+3=-=-n n2 2n n+3+3.S Sn n=n n2 2n n+3+3.（3 3）解解 c cn n=a an nlglga an n=a a2 2n n+2+2lglga a2 2n n+2+2=（2 2n n+2+2）a a2 2n n+2+2lglga a.要使要使c cn n-1-1 c cn n对一切对一切n n22成立成立.即即n nlglga a 11时，即时，即n n（n n+1+1）a a2 2,对一切对一切n n22恒成立恒成立.当当00a a1（n n+1+1）a a2 2 n n 对一切对一切n n22成立成立.只需只需2 ,0 ,0a a .故故a a的范围为的范围为00a a 1.1.探究提高探究提高 第（第（1 1）题判定）题判定 a an n 是等比数列常利用等是等比数列常利用等比数列的定义比数列的定义.第（第（2 2）题求）题求S Sn n前必先求通项前必先求通项a an n，通过，通过分析分析a an n的特点来选择求和方法的特点来选择求和方法.在第（在第（3 3）问解不等式）问解不等式求求a a的取值范围时，实质上是恒成立问题的取值范围时，实质上是恒成立问题.变式训练变式训练 1 1（20092009潍坊模拟）已知等差数列潍坊模拟）已知等差数列 a an n 和和 正项等比数列正项等比数列 b bn n,a a1 1=b b1 1=1=1，a a3 3+a a5 5+a a7 7=9,=9,a a7 7是是b b3 3和和b b7 7 的等比中项的等比中项.（1 1）求数列）求数列 a an n、b bn n 的通项公式；的通项公式；（2 2）若）若c cn n=2=2a an n ，求数列，求数列 c cn n 的前的前n n项和项和T Tn n.解解 （1 1）设等差数列）设等差数列 a an n 的公差为的公差为d d，等比数列等比数列 b bn n 的公比为的公比为q q,由题设知由题设知a a3 3+a a5 5+a a7 7=9=9，3 3a a5 5=9,=9,a a5 5=3.=3.则则d d=,=,a an n=a a1 1+（n n-1-1）d d=.=.a a7 7=4.=4.又又 =b b3 3b b7 7=16,=16,=b b3 3b b7 7=16,=16,又又b b5 500，b b5 5=4,=4,q q4 4=4=4，又，又q q0.0.q q=,=,b bn n=b b1 1q qn n-1-1=.=.（2 2）c cn n=2=2a an n =（n n+1+1）2 2n n-1-1,T Tn n=c c1 1+c c2 2+c cn n=2+3=2+32+42+42 22 2+（n n+1+1）2 2n n-1-1 2 2T Tn n=2=22+32+32 22 2+n n2 2n n-1-1+（n n+1+1）2 2n n -得得-T Tn n=2+2+2=2+2+22 2+2+2n n-1-1-（n n+1+1）2 2n n=-=-（n n+1+1）2 2n n+1=-+1=-n n2 2n n T Tn n=n n2 2n n.二、裂项相消求数列的前二、裂项相消求数列的前n n项和项和例例2 2 等差数列等差数列 a an n 各项均为正整数，各项均为正整数，a a1 1=3=3，前，前n n 项和为项和为S Sn n，等比数列，等比数列 b bn n 中，中，b b1 1=1=1，且，且b b2 2S S2 2=64=64，是公比为是公比为6464的等比数列的等比数列.（1 1）求）求a an n与与b bn n；（2 2）证明：）证明：+.+00）,对任意的正整数对任意的正整数n n,S Sn n=a a1 1+a a2 2+a an n且且S Sn n=，（1 1）求）求a a的值；的值；（2 2）试确定数列）试确定数列 a an n 是否是等差数列，若是，求出是否是等差数列，若是，求出 其通项公式其通项公式.若不是，说明理由；若不是，说明理由；（3 3）令）令p pn n=，证明：，证明：2 2n n p p1 1+p p2 2+p pn n222）,于是于是a an n=a an n-1-1=a a2 2 =（n n-1-1）p p，由由a a1 1=（1-11-1）p p=0=0，a an n 是一个以是一个以0 0为首项，为首项，p p为公差的等差数列为公差的等差数列.（3 3）证明证明 p p1 1+p p2 2+p pn n22n n.p p1 1+p p2 2+p pn n22n n+3,+3,综上可得，综上可得，2 2n n p p1 1+p p2 2+p pn n22n n+3+3（n n=1,2,=1,2,）.探究提高探究提高 常见的证明不等式的方法：常见的证明不等式的方法：作差法（与作差法（与0 0比较）；比较）；作商法（与作商法（与1 1比较）；比较）；综合法；综合法；分析法；分析法；反证法；反证法；放缩法放缩法.变式训练变式训练 3 3（20082008浙江理，浙江理，2222）已知数列）已知数列 a an n,a an n0,0,a a1 1=0,=0,四、数列应用题四、数列应用题例例4 4 （20092009盐城模拟）下图是一个面积为盐城模拟）下图是一个面积为1 1的的 等边三角形，现进行如下操作：第一次操作：等边三角形，现进行如下操作：第一次操作：分别连接这个三角形三边的中点，构成分别连接这个三角形三边的中点，构成4 4个三角个三角 形，挖去中间一个三角形（如图形，挖去中间一个三角形（如图中阴影部分所中阴影部分所 示），并在挖去的三角形上贴上数字标签示），并在挖去的三角形上贴上数字标签“1 1”；第二次操作连接剩余的三个三角形三边的中点，第二次操作连接剩余的三个三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形（如图再挖去各自中间的三角形（如图中阴影部分所中阴影部分所 示），同时在挖去的示），同时在挖去的3 3个三角形上都贴上数字标签个三角形上都贴上数字标签 “2 2”；第三次操作：连接剩余的各三角形三边的；第三次操作：连接剩余的各三角形三边的 中点，再挖去各自中间的三角形，同时在挖去的中点，再挖去各自中间的三角形，同时在挖去的 三角形上都贴上数字标签三角形上都贴上数字标签“3 3”，如此下去，如此下去，记第记第n n次操作后剩余图形的总面积为次操作后剩余图形的总面积为a an n.（1 1）求）求a a1 1、a a2 2；（2 2）欲使剩余图形的总面积不足原三角形面积的）欲使剩余图形的总面积不足原三角形面积的 ，问至少经过多少次操作？，问至少经过多少次操作？（3 3）求第）求第n n次操作后，挖去的所有三角形上所贴标次操作后，挖去的所有三角形上所贴标 签上的数字和签上的数字和S Sn n.思维启迪思维启迪 （1 1）根据平面几何知识：面积比等于）根据平面几何知识：面积比等于 相似比的平方，可求阴影部分的面积，作差可求相似比的平方，可求阴影部分的面积，作差可求 a a1 1,a a2 2.（2 2）根据题意可知）根据题意可知a an n是一个等比数列，可写出是一个等比数列，可写出a an n的的 通项公式通项公式.由由a an n ，可求，可求n n.（3 3）由题意可知）由题意可知S Sn n=1=11+21+23+33+39+9+n n3 3n n-1-1,利利 用错位相减法求用错位相减法求S Sn n.解解（1 1）根据题意）根据题意 ，s s1 1=s s=，a a1 1=1-=1-=,=,同理图同理图中一个小三角形中一个小三角形2 2的面积的面积s s2 2=.=.a a2 2=-=.=-=.a a1 1=,=,a a2 2=.=.（2 2）易知）易知 a an n 是以是以 为首项为首项,以以 为公比的等比数列为公比的等比数列,a an n=（）n n.由（由（）n n ，得，得3 3n n4440 0,3,32 2441 1,3,33 3442 2,3,34 4443 3,3,35 5444 4，当当n n=5=5时，（时，（）n n b b2 2；n n=3=3时，时，a a3 3=2=2a a,b b3 3=a a,有有a a3 3 b b3 3；当当n n44时时,a an n33a a，而，而b bn n3 b bn n,则则 (n n-1)-1)a a 3-23-2()()n n-1-1a na n-16-4-16-4()()n n-1-1,即即n n7-47-4（）n n-1-1.又当又当n n77时，时，0404（）n n-1-11,7-47-4（）n n-1-1.即第即第7 7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购市将被甲超市收购.规律方法总结规律方法总结1.1.数列求和的方法归纳数列求和的方法归纳（1 1）转化法：将数列的项进行分组重组，使之转化）转化法：将数列的项进行分组重组，使之转化为为n n个等差数列或等比数列，然后应用公式求和个等差数列或等比数列，然后应用公式求和.（2 2）错位相减法：适用于）错位相减法：适用于 a an nb bn n 的前的前n n项和，其中项和，其中 a an n 是等差数列，是等差数列，b bn n 是等比数列是等比数列.（3 3）裂项法：求）裂项法：求 a an n 的前的前n n项和时，若能将项和时，若能将a an n拆分为拆分为a an n=b bn n-b bn n+1+1，则，则a a1 1+a a2 2+a an n=b b1 1-b bn n+1+1.（4 4）倒序相加法：一个数列倒过来与原数列相加）倒序相加法：一个数列倒过来与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和容易求出，时，若有公因式可提，并且剩余的项的和容易求出，那么这样的数列求和可采用此法那么这样的数列求和可采用此法.其主要用于求组合其主要用于求组合数数列的和数数列的和.这里易忽视因式为零的情况这里易忽视因式为零的情况.（5 5）试值猜想法：通过对）试值猜想法：通过对S S1 1，S S2 2，S S3 3，的计算的计算进行归纳分析，寻求规律，猜想出进行归纳分析，寻求规律，猜想出S Sn n，然后用数学归，然后用数学归纳法给出证明纳法给出证明.易错点：对于易错点：对于S Sn n不加证明不加证明.（6 6）并项求和法：先将某些项放在一起先求和，）并项求和法：先将某些项放在一起先求和，然后再求然后再求S Sn n.例如对于数列例如对于数列 a an n:a a1 1=1,=1,a a2 2=3,=3,a a3 3=2,2,a an n+2+2=a an n+1+1-a an n,可证其满足可证其满足a an n+6+6=a an n，在求和时，依次，在求和时，依次6 6项求和，再求项求和，再求S Sn n.2.2.复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式的定义及其等价形式.注意函数与方程思想、整体思注意函数与方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.一、选择题一、选择题1.1.若等比数列若等比数列 a an n 的前的前n n项和项和S Sn n，且，且S S1010=18=18，S S2020=24=24，则则S S4040等于等于 （）A.B.C.A.B.C.D.D.解析解析 根据分析易知：根据分析易知：S S1010=18=18，S S2020-S S1010=6=6，S S3030-S S2020=2=2，S S4040-S S3030=，S S4040=，故选，故选A.A.A2.(20092.(2009大连模拟大连模拟)设设S Sn n为数列为数列 a an n 的前的前n n项和项和,若若 不等式不等式 +对任何等差数列对任何等差数列 a an n 及任何及任何 正整数正整数n n恒成立，则恒成立，则的最大值为的最大值为 （）A.0 B.A.0 B.C.D.1C.D.1 解析解析 a a1 1=0=0时，不等式恒成立时，不等式恒成立.当当a a1 100时，时，将，将a an n=a a1 1+（n n-1-1）d d,S Sn n=nana1 1+代入上式，并化简得：代入上式，并化简得：2 2+,+,max=.,max=.B3.3.数列数列 a an n 的通项公式的通项公式a an n=，若，若 a an n 的前的前n n 项和为项和为2424，则，则n n为为 （）A.25 B.576 A.25 B.576 C.624 C.624 D.625D.625 解析解析 a an n=-=-（）,前前n n项和项和 S Sn n=-=-(1-)+(-)+(1-)+(-)+(-)+(-)=-1=24 =-1=24，故，故n n=624.=624.选选C.C.C4.4.（20092009广东理，广东理，4 4）已知等比数列）已知等比数列 a an n 满足满足a an n 0,0,n n=1,2,=1,2,且且a a5 5a a2 2n n-5-5=2=22 2n n（n n33），则当），则当n n1 1 时，时，loglog2 2a a1 1+log+log2 2a a3 3+log+log2 2a a2 2n n-1-1=（）A.A.n n（2 2n n-1-1）B.B.（n n+1+1）2 2C.C.n n2 2 D.D.（n n-1-1）2 2 解析解析 由题意知由题意知a an n=2=2n n,log,log2 2a a2 2n n-1-1=2=2n n-1,-1,loglog2 2a a1 1+log+log2 2a a3 3+log+log2 2a a2 2n n-1-1 =1+3+=1+3+（2 2n n-1-1）=n n2 2.C5.5.已知数列已知数列 a an n 满足满足a a1 1=0=0，a an n+1+1=（n nN N*），），则则a a2020等于等于 （）A.0 A.0 B.-B.-C.D.C.D.解析解析 a a1 1=0=0，a an n+1+1=，a a2 2=-=-，a a3 3=，a a4 4=0=0，.从而知从而知3 3为最小正周期，为最小正周期，从而从而a a2020=a a3 36+26+2=a a2 2=-.=-.B二、填空题二、填空题6.6.设数列设数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，S Sn n=(=(n n N N*)，且且a a4 4=54,=54,则则a a1 1=.解析解析 由于由于S Sn n=（n n N N*），则），则a a4 4=S S4 4-S S3 3=27=27a a1 1，且，且a a4 4=54,=54,则则 a a1 1=2.=2.27.7.设等差数列设等差数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，若，若S S4 41010，S S5 5 15 15，则，则a a4 4的最大值为的最大值为 .解析解析 设等差数列的首项为设等差数列的首项为a a1 1，公差为，公差为d d,则则S S4 4=4=4a a1 1+6+6d d1010，即，即2 2a a1 1+3+3d d5,5,S S5 5=5=5a a1 1+10+10d d1515，即，即a a1 1+2+2d d3.3.又又a a4 4=a a1 1+3+3d d,因此求因此求a a4 4的最值可转化为在线性约束条件的最值可转化为在线性约束条件 2 2a a1 1+3+3d d5,5,a a1 1+2+2d d3,3,限制之下的线性目标函数的最值问题，作出可行域如限制之下的线性目标函数的最值问题，作出可行域如下图，可知当下图，可知当a a4 4=a a1 1+3+3d d，经过点，经过点A A（1 1，1 1）时有最大）时有最大值值4 4.答案答案 4 48.8.设等差数列设等差数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,若若a a5 5=5=5a a3 3,则则 =.解析解析 设等差数列的公差为设等差数列的公差为d d,首项为首项为a a1 1,则由则由a a5 5=5=5a a3 3知知a a1 1=-=-d d,=,=9.=9.9三、解答题三、解答题9.9.（20092009济南模拟）已知等比数列济南模拟）已知等比数列 a an n 的前的前n n项和项和 为为S Sn n=k k2 2n n+m m，k k00，且，且a a1 1=3.=3.（1 1）求数列）求数列 a an n 的通项公式；的通项公式；（2 2）设）设b bn n=，求数列，求数列 b bn n 的前的前n n项和项和T Tn n.解解 （1 1）方法一方法一 依题意有依题意有 解得解得a a2 2=2=2k k,a a3 3=4=4k k,公比为公比为q q=2=2，=2,=2,k k=3,=3,代入代入得得m m=-3,=-3,a an n=3=32 2n n-1-1.3=23=2k k+m m,3+3+a a2 2=4=4k k+m m,3+3+a a2 2+a a3 3=8=8k k+m m.方法二方法二 n n22时，时，a an n=S Sn n-S Sn n-1-1=2=2n n-1-1k k.由由a a1 1=3=3得得k k=3=3，a an n=3=32 2n n-1-1，又，又a a1 1=2=2k k+m m=3,=3,m m=-3.=-3.（2 2）b bn n=-得得 T Tn n=10.10.设函数设函数f f（x x）=,=,数列数列 a an n 满足满足a a1 1=f f（0 0）,f f（a an n+1+1）=（n nN N*）.（1 1）求数列）求数列 a an n 的通项公式；的通项公式；（2 2）令）令b bn n=,=,S Sn n=b b1 1+b b2 2+b bn n,T Tn n=+,+,试比较试比较S Sn n与与 T Tn n的大小，并加以证明的大小，并加以证明.解解 （1 1）f f（x x）=，a a1 1=f f（0 0）=1=1，又又f f（a an n+1+1）=，a an n+1+1=a an n+2+2，即，即a an n+1+1-a an n=2=2，数列数列 a an n 是首项为是首项为1 1，公差为，公差为2 2的等差数列的等差数列 a an n=1+=1+（n n-1-1）2=22=2n n-1.-1.（2 2）b bn n=即数列即数列 b bn n 是首项为是首项为 ，公比为，公比为 的等比数列的等比数列.故比较故比较S Sn n与与 T Tn n的大小，只需比较的大小，只需比较 与与 的大的大小即可小即可.即只需比较即只需比较2 2n n+1+1与与4 4n n的大小，的大小，4 4n n=（1+31+3）n n=1+=1+3+3+33n n+12+12n n+1.+1.,1-1-,1-T Tn n（或用数学归纳法证明）（或用数学归纳法证明）.返回