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观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧上侧上侧下侧下侧外侧外侧内侧内侧5/4/20241大家大概都知道莫比乌斯带。大家大概都知道莫比乌斯带。你可以把一条纸带的一端扭你可以把一条纸带的一端扭180度，再和度，再和单侧曲面例子单侧曲面例子(注注:本课程不讨论此类曲面本课程不讨论此类曲面)另一端粘起来来得到一条莫比乌斯带的模型。另一端粘起来来得到一条莫比乌斯带的模型。这是一张只有一个这是一张只有一个侧侧面的曲面。面的曲面。5/4/20242用法向量的指向用法向量的指向方向余弦方向余弦 0 为前侧为前侧 0 为右侧为右侧 0 为上侧为上侧 0 时时,说明流说明流入入 的流体质量少于的流体质量少于 当当 0 时时,说明流说明流入入 的流体质量多于流的流体质量多于流出出的的,则单位时间通过则单位时间通过 的流量为的流量为 当当 =0 时时,说明流入与流出说明流入与流出 的流体质量相等的流体质量相等.流流出出的的,表明表明 内有内有源源;表明表明 内有汇内有汇;根据高斯公式根据高斯公式,流量也可表为流量也可表为(1)5/4/202439方向向外的任一闭曲面方向向外的任一闭曲面,记记 所围域为所围域为,设设 是是包含点包含点 M 且且为了揭示场内任意点为了揭示场内任意点M 处的特性处的特性,在在(1)式两边同除以式两边同除以 的体积的体积 V,并令并令 以以任意方式缩小至点任意方式缩小至点 M 则有则有此式反应了流速场在点此式反应了流速场在点M 的特点的特点:其值为正其值为正,负或负或 0,分别反映在该点有流体涌出分别反映在该点有流体涌出,吸入吸入,或没有任何变化或没有任何变化.5/4/202440定义定义:设有向量场设有向量场其中其中P,Q,R 具有连续一阶偏导数具有连续一阶偏导数,是是场内的一片场内的一片则称则称有向曲面有向曲面,其单位法向量其单位法向量 n,为向为向量场量场 A 通过有向曲面通过有向曲面 的通量的通量(流量流量).在场中点在场中点 M(x,y,z)处处 称为向量场称为向量场 A 在点在点 M 的散度的散度.记作记作5/4/202441表明该点处有正源表明该点处有正源,表明该点处有负源表明该点处有负源,表明该点处无源表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度散度绝对值的大小反映了源的强度.若向量场若向量场 A 处处有处处有,则称则称 A 为无源场为无源场.例如例如,匀速场匀速场 故它是无源场故它是无源场.说明说明:由引例可知由引例可知,散度是通量对体积的变化率散度是通量对体积的变化率,且且5/4/202442散度运算的基本公式：散度运算的基本公式：5/4/202443课课课课 外外外外 作作作作 业业业业 习题习题习题习题12 6(A)12 6(A)1(1),2(1),3(1)习题习题习题习题12 6(B)12 6(B)1(2,4),25/4/20244877、斯托克斯公式、斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度一、一、斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 斯托克斯公式是格林公式的推广。斯托克斯公式是格林公式的推广。格林公式表达了平面闭区域上格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，之间的关系，而斯托克斯公式则把曲面而斯托克斯公式则把曲面上的曲面积分与沿着上的曲面积分与沿着的边界曲线上的的边界曲线上的曲曲线积分联系了起来线积分联系了起来。5/4/202449定理：定理：定理：定理：定理：定理：设设为分段光滑的空间有向为分段光滑的空间有向闭闭曲线曲线，是是以以为边界为边界的分片光滑有向曲面的分片光滑有向曲面,的的正向与正向与的侧符合的侧符合右手法则右手法则右手法则右手法则,函数函数区域内具有一阶连续偏导数，则有区域内具有一阶连续偏导数，则有 斯托克斯公式斯托克斯公式5/4/202450右手法则右手法则右手法则右手法则分片光滑有向曲面分片光滑有向曲面的边界曲线为的边界曲线为分段光滑的空间有向分段光滑的空间有向闭闭曲线曲线.5/4/202451斯托克斯公式斯托克斯公式又可写成：又可写成：其中其中为有向曲面为有向曲面 的单位法向量的单位法向量。5/4/202452利用行列式记号，又写成：利用行列式记号，又写成：利用行列式记号，又写成：利用行列式记号，又写成：或或5/4/202453 如果如果如果如果 是是是是 xoy xoy 平面上的一块平平面上的一块平平面上的一块平平面上的一块平面闭区域，面闭区域，面闭区域，面闭区域，则斯托克斯公式就变成则斯托克斯公式就变成则斯托克斯公式就变成则斯托克斯公式就变成了格林公式。因此，了格林公式。因此，了格林公式。因此，了格林公式。因此，格林公式是斯格林公式是斯格林公式是斯格林公式是斯托克斯公式的一托克斯公式的一托克斯公式的一托克斯公式的一 个特殊情形。个特殊情形。个特殊情形。个特殊情形。5/4/202454例例1.求求是从是从 A(a,0,0)经过经过 B(0,a,0)和和 C(0,0,a)回到回到A(a,0,0)的三角形的三角形。0 xyzA(a,0,0)B(0,a,0)C(0,0,a)解：解：解：解：围成的平面围成的平面 取上侧取上侧。用用Stokes公式。此时公式。此时，5/4/202455aa0 xyzA(a,0,0)B(0,a,0)C(0,0,a)5/4/202456解解解解则单位法向量则单位法向量91年北京市数学竞赛题年北京市数学竞赛题5/4/202457则单位法向量则单位法向量即即由由斯托克斯公式斯托克斯公式5/4/202458即即由由斯托克斯公式斯托克斯公式5/4/202459即即由由斯托克斯公式斯托克斯公式5/4/202460例例3.其中其中是圆周是圆周若从若从 z 轴正向看去轴正向看去,这圆这圆周是取逆时针方向。周是取逆时针方向。x z y解：解：解：解：.25/4/202461课课课课 外外外外 作作作作 业业业业 习题习题习题习题12 7(A)12 7(A)1(3),2(1),3(2),45/4/202466供娄浪颓蓝辣袄驹靴锯澜互慌仲写绎衰斡染圾明将呆则孰盆瘸砒腥悉漠堑脊髓灰质炎(讲课2019)脊髓灰质炎(讲课2019)供娄浪颓蓝辣袄驹靴锯澜互慌仲写绎衰斡染圾明将呆则孰盆瘸砒腥悉漠堑脊髓灰质炎(讲课2019)脊髓灰质炎(讲课2019)
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