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考点考点搜索搜索直线和平面所成的角的概念与计算直线和平面所成的角的概念与计算二面角、二面角的平面角的概念，二面角、二面角的平面角的概念，平面角大小的计算高考平面角大小的计算高考高考高考猜想猜想1.利用几何或向量方法求直线和平面利用几何或向量方法求直线和平面所成的角、二面角的平面角所成的角、二面角的平面角.2.转化角的条件，探求角的范围转化角的条件，探求角的范围.11.一一个个平平面面的的斜斜线线和和它它在在这这个个平平面面内内的的_的的夹夹角角，叫叫做做斜斜线线和和平平面面所所成成的的角角；如如果果直直线线和和平平面面垂垂直直，则则直直线线和和平平面面所所成成的的角角为为_;如如果果直直线线在在平平面面内内或或与与平平面面平平行行，则直线和平面所成的角为则直线和平面所成的角为_.2.从从一一条条直直线线出出发发的的_所所组组成成的的图图形形叫叫做做二二面面角角，这这条条直直线线叫叫做做二二面面角角的的_，每个半平面叫做二面角的，每个半平面叫做二面角的_.射影射影900两个半平面两个半平面棱棱面面2 棱为棱为l，两个平面分别为，两个平面分别为、的二面角的二面角记为记为_.3.一个平面垂直于二面角一个平面垂直于二面角-l-的棱且与的棱且与两个半平面的交线分别是射线两个半平面的交线分别是射线OA、OB，O为垂足，则为垂足，则AOB叫做二面角叫做二面角-l-的的_.4.从二面角从二面角-l-的棱上任取一点的棱上任取一点O，分，分别在二面角的两个面别在二面角的两个面、内作内作 _ 的射的射线线OA、OB,则则_为二面角的平面角为二面角的平面角.-l-平面角平面角垂直于棱垂直于棱AOB35.从二面角从二面角-l-的一个面的一个面内取一点内取一点P，过，过点点P作作的垂线，垂足为的垂线，垂足为A，过点，过点A作棱作棱l的垂线，的垂线，垂足为垂足为B，则，则 _为二面角的平面角为二面角的平面角(或其补或其补角角).6.平面角是平面角是_的二面角叫做直二面角的二面角叫做直二面角.7.直线和平面所成的角的取值范围直线和平面所成的角的取值范围_;二面角的平面角的取值范围二面角的平面角的取值范围_.8.平面的斜线和平面所成的角，是这条斜平面的斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中线和这个平面内任一条直线所成的角中_.PBA直角直角0,最小的角最小的角41.若正四棱柱若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边的底面边长为长为1，AB1与底面与底面ABCD成成60角，角，则则A1C1到底面到底面ABCD的距离为的距离为()A.B.1 C.D.解：解：依题意，依题意，B1AB=60，如图，如图，BB1=1tan60=，故选故选D.D52.平面平面的斜线与的斜线与所成的角为所成的角为30，则此斜，则此斜线和线和内所有不过斜足的直线中所成的角的最内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为大值为()A.30 B.60 C.90 D.150解：解：本题易误选本题易误选D，因为斜线和，因为斜线和内所有不内所有不过斜足的直线为异面直线，故最大角为过斜足的直线为异面直线，故最大角为90.C6 2.在边长为在边长为a的正三角形的正三角形ABC中，中，AD BC于于D，沿，沿AD折成二面角折成二面角B-AD-C后，后，BC=a，这时二面角这时二面角B-AD-C的大小为的大小为()A.30 B.45 C.60 D.90 解：解：折起后的折起后的BCD为正三角形，故选为正三角形，故选C.C71.如图，四棱锥如图，四棱锥P-ABCD中，底面中，底面AB CD为矩形，为矩形，PD底面底面ABCD，AD=PD，E、F分别为分别为CD、PB的中点的中点.(1)求证求证:平面平面AEF平面平面PAB;(2)设设AB=BC，求直线，求直线AC与与平面平面AEF所成的角的大小所成的角的大小.题型题型1 求直线和平面所成的角求直线和平面所成的角8解法解法1：(1)证明：连结证明：连结PE.因为因为PD底面底面ABCD，所以所以PDDE.又又CE=ED，PD=AD=BC，所以所以RtBCE RtPDE，所以所以PE=BE.因为因为F为为PB的中点，的中点，所以所以EFPB.由三垂线定理，得由三垂线定理，得PAAB.9所以在所以在RtPAB中，中，PF=AF.又又PE=BE=AE，所以所以EFP EFA，所以，所以EFFA.因为因为PB、FA为平面为平面PAB内两相交直线，内两相交直线，所以所以EF平面平面PAB，故平面故平面AEF平面平面PAB.10(2)不妨设不妨设BC=1，则，则AD=PD=1，AB=2，PA=2，AC=3.所以所以PAB为等腰直角三角形为等腰直角三角形,且且PB=2.因为因为F为斜边为斜边PB的中点，所以的中点，所以BF=1，且且AFPB.又又EFPB，所以，所以PB平面平面AEF.连结连结BE，交，交AC于于G.作作GHBP交交EF于于H，则则GH平面平面AEF，11所以所以GAH为为AC与平面与平面AEF所成的角所成的角.由由EGCBGA可知，可知，EG=GB，所以所以EG=EB，从而，从而AG=AC=.由由EGHEBF可知，可知，GH=BF=.所以在所以在RtAHG中中 ，所以所以AC与平面与平面AEF所成的角为所成的角为arcsin .12解法解法2：以以D为坐标原点，为坐标原点，DC、DA、D P所在直线分别为所在直线分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴建立空间直角轴建立空间直角坐标系，如图坐标系，如图.(1)设点设点A(0，1，0)，点点E(a，0，0)(a0)，则点则点C(2a，0，0)，B(2a，1，0)，P(0，0，1)，F(a，)，所以所以 =(0，)，=(2a，1，-1)，=(2a，0，0).13于是于是 ，所以所以EFPB，EFAB.则则EF平面平面PAB，故平面，故平面AEF平面平面PAB.(2)由由 ，得，得a=，所以所以 =(，-1，0)，=(，1，-1)，=(，-，).于是于是 ，所以，所以PBAF.又又PBEF，所以，所以PB平面平面AEF，14即即 是平面是平面AEF的一个法向量的一个法向量.因为因为cos ，=，所以异面直线所以异面直线AC与与PB所成的所成的角为角为arccos .设设AC与平面与平面AEF所成的角为所成的角为，则，则 ，所以，所以 所以所以=arcsin .故故AC与平面与平面AEF所成的角是所成的角是arcsin .15点点评评：直直线线与与平平面面所所成成的的角角，其其实实质质就就是是直直线线与与其其在在平平面面上上的的射射影影所所成成的的角角.找找直直线线在在平平面面上上的的射射影影是是关关键键，然然后后把把题题中中条条件件转转化化到到某某些些三三角角形形中中去去，再再利利用用解解三三角角形形的的知知识识求求得得所所求求角角.如如果果用用向向量量法法来解，则关键是求平面的法向量来解，则关键是求平面的法向量.16 如图，如图，l1、l2是互相垂直的异面直是互相垂直的异面直线，线，MN是它们的公垂线段，点是它们的公垂线段，点A、B在在l1上，上，C在在l2上，上，AM=MB=MN.(1)证明：证明：ACNB;(2)若若ACB=60，求求NB与平面与平面ABC所成的所成的角的余弦值角的余弦值.17解法解法1：(1)证明：由已知证明：由已知l2MN，l2 l1，MNl1=M，可得，可得l2平面平面ABN.由已知由已知MNl1，AM=MB=MN，可知可知AN=NB且且ANNB.又又AN为为AC在平面在平面ABN内的射影，内的射影，所以所以ACNB.18(2)因为因为RtCNA RtCNB，所以所以AC=BC.又已知又已知ACB=60，因此因此ABC为正三角形为正三角形.在在ABN中，中，AN=AB.在在RtANC中，因为中，因为AC=AB，所以所以NC=NA，所以，所以NC=NA=NB.19因此，因此，N在平面在平面ABC内的射影内的射影H是是正三角形正三角形ABC的中心的中心.连结连结BH，则，则NBH为为NB与与平面平面ABC所成的角所成的角.在在RtNHB中，中，20解法解法2：如图，建立空间直角坐标系如图，建立空间直角坐标系M-xyz.令令MN=1，则有，则有A(-1，0，0)，B(1，0，0)，N(0，1，0).(1)因为因为MN是是l1、l2的公垂的公垂线，线，l2l1，所以所以l2平面平面ABN，所以，所以l2平行于平行于z轴，轴，故可设故可设C(0，1，m).于是于是 =(1，1，m)，=(1，-1，0).因为因为 =1+(-1)+0=0，所以，所以ACNB.21(2)因为因为AC=(1，1，m)，BC=(-1，1，m)，所以所以 又已知又已知ACB=60，所以，所以ABC为为正三角形，正三角形，AC=BC=AB=2.在在RtCNB中，中，NB=，可得，可得NC=，故故C(0，1，).连结连结MC，作，作NHMC于于H.设设H(0，2)(0)，所以所以 =(0，1-，-2)，=(0，1，2).22因为因为 =1-2=0，所以，所以=.由由H(0，)，可得，可得 =(0，-).连结连结BH，则，则 =(-1，).因为因为 所以所以HNBH.又又MCBH=H，所以，所以HN平面平面ABC，则则NBH为为NB与平面与平面ABC所成的角所成的角.因为因为 =(-1，1，0)，所以所以232.如图，在三棱锥如图，在三棱锥V-ABC中，中，VC底面底面ABC，ACBC，D是是AB的中点，且的中点，且AC=BC=a，VDC=(0 ).(1)求证：平面求证：平面VAB平面平面VCD;(2)当角当角变化时，变化时，求直线求直线BC与平面与平面VAB所成的角的取值范围所成的角的取值范围.题型题型2 求直线和平面所成的角的取值范围求直线和平面所成的角的取值范围24解法解法1：(1)证明：因为证明：因为AC=BC=a，所以所以ACB是等腰三角形是等腰三角形.又又D是是AB的中点，所以的中点，所以CDAB.因为因为VC底面底面ABC，所以，所以VCAB.于是于是AB平面平面VCD.而而AB平面平面VAB，所以平面所以平面VAB平面平面VCD.25(2)如图，过点如图，过点C在平面在平面VCD内作内作CH VD于于H，则由，则由(1)知知CH平面平面VAB.连结连结BH，于是，于是CBH就是直线就是直线BC与与平面平面VAB所成的角所成的角.在在RtCHD中，中，设设CBH=.在在RtBHC中，中，CH=a sin，所以，所以 sin=sin.因为因为0 ，所以所以0sin1，则则0sin .26又又0 ，所以，所以0 .即直线即直线BC与平面与平面VAB所成的角的取值范所成的角的取值范围是围是(0，).解法解法2：(1)以以CA、CB、CV所在的直线所在的直线分别为分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴，建立如图所示的空间轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则直角坐标系，则C(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，D(，0)，V(0，0，atan).27于是于是 =(，-atan)，=(，0)，=(-a，a，0).从而从而 =(-a，a，0)(，0)，即，即ABCD.同理，同理，即即ABVD.又又CDVD=D，所以所以AB平面平面VCD.而而AB平面平面VAB，所以平面所以平面VAB平面平面VCD.28(2)设直线设直线BC与平面与平面VAB所成的角为所成的角为，平面平面VAB的一个法向量为的一个法向量为n=(x，y，z).则由则由n =0，n =0，得得 .故可取故可取n=(1，1，cot).又又 =(0，-a，0)，于是于是 .因为因为0 ,所以所以0sin1,则则0sin .29又又0 ，所以，所以0 .即直线即直线BC与平面与平面VAB所成的角的取所成的角的取值范围为值范围为(0，).点评：点评：求与角有关的取值范围问题，求与角有关的取值范围问题，一是可利用函数思想把所求问题转化一是可利用函数思想把所求问题转化为某参数的函数问题；二是可利用数为某参数的函数问题；二是可利用数形结合思想结合图形的某些特殊情况形结合思想结合图形的某些特殊情况求得最值或范围求得最值或范围.30 如果如果BC平面平面，斜线，斜线AB与平与平面面所成的角为所成的角为，ABC=，AA 平面平面，垂足为，垂足为A，ABC=(为锐角为锐角)，那么，那么()A.cos=coscos B.sin=sinsinC.cos=coscosD.cos=coscosA31解：解：作作ADBC于于D，连结连结AD.由三垂线定理得由三垂线定理得ADBD.在在RtAAB中，中，cos=.在在RtABD中，中，cos=.在在RtABD中，中，cos=.所以所以coscos=，故选故选A.321.直直线线与与平平面面所所成成的的角角是是平平面面的的一一条条斜斜线线和和它它在在平平面面内内的的射射影影所所成成的的锐锐角角(直直线线与与平平面面垂垂直直或或平平行行(包包括括直直线线在在平平面面内内)时时，成成直直角角或或0角角).我我们们往往往往在在斜斜线线上上取取一一点点向向平平面面引引垂垂线线，以以形形成成由由平平面面的的斜斜线线、垂垂线线及及斜斜线线在在平平面面上上的的射射影影组组成成的的直直角角三三角角形形.这这里里的的关关键是引平面的垂线，明确垂足的位置键是引平面的垂线，明确垂足的位置.332.求角的一般步骤是求角的一般步骤是:(1)找出或作出有关的平面角；找出或作出有关的平面角；(2)证明它符合定义证明它符合定义;(3)归到某一三角形中进行计算归到某一三角形中进行计算.为了便于记忆，可总结口诀：为了便于记忆，可总结口诀：“一找、二证、三计算一找、二证、三计算”.34求求直直线线和和平平面面所所成成的的角角，有有时时可可考考虑虑将将直直线线或或直直线线在在平平面面内内的的射射影影作作适适当当平平移移，再进行求解再进行求解.3.设设n是是平平面面的的一一个个法法向向量量，AB为为平平面面的的一一条条斜斜线线段段，A为为斜斜足足，直直线线AB和和平平面面所成的角为所成的角为，则则=|-n，|.35 更多精品资请访问更多精品资请访问 更多品资源请访问更多品资源请访问
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